1. Ảnh đối xứng của một knot
1.1. Định nghĩa
Cho knot K, ảnh đối xứng của nĩ qua một mặt phẳng trong R3cũng là một knot và knot đĩ được gọi là ảnh đối xứng của K. Kí hiệu : K
Ví dụ
Dễ thấy rằng để xác định ảnh đối xứng của một knot, ta chỉ cần thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại mỗi crossing.
1.2. Knot tựđối xứng
Một knot được gọi là tựđối xứng nếu nĩ tương đương với ảnh đối xứng của nĩ.
Ví dụ : Knot hình số 8 là một knot tựđối xứng.
K K
III
Thật vậy :
2. Knot định hướng
2.1.Định nghĩa
Cho knot K, lấy một điểm M trên K, di chuyển M dọc trên K theo một hướng nhất định. Khi đĩ, ta đã định hướng cho knot K và K được gọi là một knot định hướng.
Để biểu diễn một knot định hướng ta gắn trên đồ thị của K các mũi tên tương ứng
theo chiều của nĩ.
Ví dụ
2.2.Knot nghịch đảo
Nghịch đảo của một knot định hướng K (kí hiệu r(K)) cũng chính là nĩ nhưng được lấy theo hướng ngược lại.
Ví dụ :
2.3. Knot xen kẽ
a. Một đồ thị D của knot K được gọi là đồ thị xen kẽ nếu ta lấy trên D một
điểm M bất kì, khi di chuyển dọc trên D theo một hướng nhất định thì tại hai crossing liên tiếp bất kì thì tính “trên , dưới” xen kẽ nhau.
b. Một knot K được gọi là một knot xen kẽ nếu nĩ cĩ đồ thị tối tiểu là một đồ
thị xen kẽ. Ví dụ:
Knot ba lá là một knot xen kẻ Knot hình số 8 là một knot xen kẻ
Nhận xét : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Từ một vết trong mặt phẳng ta cĩ thể biến nĩ thành một knot xen kẻ trong khơng gian bằng cách thay thế một cách hợp lý các giao điểm trên vết thành những crossing mà tính chất “ trên, dưới ” của các crossing được thay đổi đều đặn liên tục. Chẳng hạn như vết này
- Bất kỳ một đồ thị của knot nào cũng cĩ thể biến đổi về đồ thị của knot xen kẻ.
- Bằng cách thay đổi tính “trên, dưới” của các cung tại các crossing, bất kỳ
một knot nào đều cĩ thể biến đổi về knot tầm thường. Ví dụ :
2.4. Link định hướng
Một link L gọi là được định hướng nếu các thành phần của nĩ đều cĩ hướng. Ví dụ :
Crossing
3. Tích liên thơng - Knot nguyên tố
3.1. Tích liên thơng
a. Cho hai knot định hướng K và K’. Ta nĩi K và K’ cùng chiều khi hai hướng trên K và K’ là cùng chiều (và ngược lại ).
b. Tích liên thơng của hai knot K và K’ (kí hiệu: K # K’) là một knot được sinh ra bởi quá trình sau :
• Chọn M trên K và N trên K’.
• Cắt K tại M và cắt K’ tại N.
• Dán lần lượt từng đầu mút của K với từng đầu mút của K’( tại M và N ) sao cho bảo đảm khơng vi phạm về hướng.
Ví dụ
3.2. Điều kiện để phép nối hai knot là tích liên thơng
- Sau khi thực hiện phép nối thì hướng trên hai knot K và K’ khớp với nhau. - Hai cung tạo thành do nối hai đầu mút trên knot K với hai đầu mút trên knot K’ phải thoả mãn điều kiện là khơng tạo thành các crosing mới với các cung của hai đồ thị ban đầu.
3.3. Nhận xét
- Tích liên thơng của hai knot cũng tương tự như tích của hai số nguyên dương. Nếu như phép nhân trong Z+ :∀ ∈x Z+: .1x =x thì trong lý thuyết knot ta cĩ tích của knot K với knot tầm thường là knot K. Các thành phần trong knot tích gọi là các knot thừa số ( hình vẽ).
Từ đĩ, dễ thấy tập X ={tất cả các knot} cùng với phép tốn tích liên thơng tạo thành một vị nhĩm với phần tửđơn vị là knot tầm thường.
- Sự khác nhau giữa phép nhân của knot với phép nhân trong Z+ là luơn cĩ nhiều hơn một cách để thực hiện tích của hai knot. Nĩ phụ thuộc vào việc ta chọn
điểm M trên K và N trên K’. Với những cách chọn khác nhau ta sẽ được những cách nhân khác nhau của cùng một knot tích. Vì cĩ vơ số cách chọn nên cĩ vơ số
cách thực hiện phép nhân hai knot.
3.4. Tích liên thơng của hai knot định hướng
Khi ta thực hiện nhân hai knot định hướng K và K’ thì sẽ cĩ hai khả năng xảy ra: hoặc là hướng trên K và K’ khớp nhau – kết quả ta thu được một hướng duy nhất cho knot tích K#K’; hoặc là hướng của K và K’ khơng khớp nhau – khi đĩ hướng trên K#K’ khơng đồng nhất.
Tất cả các phép nhân hai knot K và K’ mà hướng trùng khớp nhau luơn cho ta knot tích giống nhau (hình vẽ).
Tất cả các phép nhân hai knot K và K’ mà hướng khơng trùng khớp nhau sẽ cho ta knot tích đơn. Knot này khác với các knot tích được tạo ra khi hướng của hai knot thừa số khớp nhau (vì nĩ khơng cịn là knot định hướng nữa). (hình vẽ)
3.5. Knot nguyên tố
Một knot K được gọi là knot nguyên tố nếu nĩ khơng là tích liên thơng của hai knot bất kỳ ( khác knot tầm thường ). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Hay nĩi cách khác một knot khơng là knot nguyên tố nếu nĩ là tích liên thơng của hai knot khác knot tầm thường.
Ví dụ: