Trong phần này ta sẽ đi tìm hiểu một số bất biến của knot. Trước tiên, ta bắt
đầu với một bất biến mang tính trực quan nhất – đĩ là khơng số của knot.
- Knot nguyên tố : vì nĩ là tích của knot 3 lá với knot tầm thường.
1. Khơng số của knot (unknotting number) 1.1.Định lý
Đồ thị của một knot bất kì luơn cĩ thể chuyển được về đồ thị của một knot tầm thường sau hữu hạn lần thay đổi tính “trên , dưới” tại các crossing.
Chứng minh:
Xét knot K, giả sử K cĩ đồ thị là D. Trên D ta chọn crossing bất kì, ta cắt cung dưới tại crossing đĩ và sau đĩ đưa hai đầu cung đĩ lên trên cung cịn lại rồi dán chúng lại.
Sau khi dán, nếu đồ thị nhận được chưa tương đương với đồ thị của một knot tầm thường thì ta tiếp tục làm như trên cho đến khi đồ thị nhận được tương đương với
đồ thị của một knot tầm thường thì dừng.
Quá trình trên sẽ kết thúc sau hữu hạn bước bởi ta chỉ xét trên các knot với c(K) là số hữu hạn.
1.2. Định nghĩa
Khơng số của knot K là số crossing nhỏ nhất mà tại đĩ nếu ta thay đổi tính “trên, dưới” thì knot đĩ trở thành một knot tầm thường. Kí hiệu: u(K).
Ví dụ:
Vậy u( knot ba lá ) =1.
1.3. Nhận xét
- Khơng số của knot là một số hữu hạn do các knot ta xét đều cĩ số crossing hữu hạn.
- Khơng số của một knot rất khĩ xác định vì mỗi một knot cĩ rất nhiều đồ thị
biểu diễn.
Ví dụ: Nếu ta thay đổi tính chất “ trên,dưới” một số crosing của knot 74( hình bên dưới ) thì dường như ta thấy nĩ cĩ khơng số u(K) = 2. Tuy nhiên, ta khơng thể biết được cĩ đồ thị nào khác của knot 74 mà chỉ cần thay đổi tính chất một crossing ta đã thu được nút tầm thường. Khi đĩ, u(K) = 1.
-Knot tích liên thơng cĩ khơng số lớn hơn 1 vì nếu ta thay đổi tính chất của một crossing thì ta chỉ tháo được một trong hai thành phần tạo nên knot tích chứ
khơng thể tháo được cả knot tích thành knot tầm thường.
2. Độ xoắn của đồ thị 2.1.Quy ước dấu
Trên đồ thị của một knot định hướng, ta chỉ cĩ hai dạng crossing và chúng
được quy ước dấu tại mỗi crossing như sau:
2.2.Định nghĩa Độ xoắn của một đồ thị định hướng Dđược tính bằng tổng các dấu tại mỗi crossing trên đồ thị. Kí hiệu: w(D). Ví dụ: 2.3.Nhận xét
Khi ta đổi hướng tất cả các thành phần trên đồ thị của một link thì độ xoắn của đồ thịđĩ là khơng đổi. Với nhận xét trên ta thấy rằng: • w(D) = w(r(D)) với r(D) là đồ thị của r(K). • w(D) = -w( D ) với D là đồ thị của K . Ví dụ W(D) = -3 W(D) = 2 W(D) = -1 +1 -1 w(D) = -3 w(r(D)) = -3 w( D ) = 3
3. Số link
3.1. Định nghĩa
Cho D là đồ thị của một link định hướng cĩ n thành phần C C C1, , ,....,2 3 Cn. Ta định nghĩa số link giữa Ci và Cj là nửa tổng các dấu của các crossing tạo bởi
i
C và Cj (ta khơng tính dấu của các crossing được tạo ra bởi một thành phần nào
đĩ của link với chính nĩ). Khi đĩ, ta gọi sốlink của D là: ( ) ( ) 1 , i j i j n lk D lk C C ≤ < ≤ = ∑ . Ví dụ 3.2.Nhận xét : lk D( )∈ .
Thật vậy, với hai thành phần bất kì của một link thì số crossing tạo bởi chúng luơn là một số chẵn. Do đĩ nên : lk C C( i, j)∈ ∀ ≠; i j và từđĩ ta cĩ lk D( )∈ .
3.3. Định lý
Nếu D và D’ là hai đồ thị của cùng một link định hướng thì lk D( )=lk D( )' . Do vậy nên số link của đồ thị là một bất biến .
Chứng minh:
Do D và D’ là đồ thị của cùng một link nên ta cĩ thể giả sử D’ là sản phẩm của D qua một số hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister. Vì thế, ta chỉ cần
( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 1 , .8 4 2 7 1 , .6 3 2 lk C C lk D lk C C ⎫ = = ⎪⎪⇒ = ⎬ ⎪ = = ⎪⎭ 1 C 2 C 3 C
chứng minh các phép dịch chuyển Reidemeister khơng làm thay đổi số link. Thật vậy:
• R0 và R1 là hiển nhiên đúng.
Vì R1 cĩ thể tạo ra hay làm mất đi một crossing của một thành phần nào đĩ của link với chính nĩ, nhưng nĩ khơng làm ảnh hưởng đến các crossing chung của cả
hai thành phần trong link. Do đĩ nĩ khơng làm ảnh hưởng đến số link.
• Đối với R2
Theo hình trên, ta đã chọn một hướng xác định trên mỗi cung của link. Ta thừa nhận một điều là: hai cung tương ứng với hai thành phần của link khi di chuyển theo hai cách của phép R2 đều khơng làm ảnh hưởng đến số link. Thật vậy, một crossing mới sẽđĩng gĩp giá trị +1 vào tổng liên kết trong khi đĩ crossing mới thứ hai lại đĩng gĩp giá trị -1 vào tổng link nên sựđĩng gĩp cuối cùng của phép R2
vào số link là 0.
• R3 đúng vì:
4. Số crossing của knot
Chúng ta đã nĩi đến bất biến này ở phần trước của bài luận. Số crossing của knot chính là số crossing nhỏ nhất trong tất cả các đồ thị cùng biểu diễn knot đĩ. Hay nĩi cách khác nĩ là số crossing của đồ thị tối tiểu biểu diễn cho knot đĩ (kí hiệu là c(K)).
(1) (2)
(3) (2) (1)
Tuy nhiên việc tìm số crossing của một knot khơng phải là chuyện đơn giản. Giả sửđầu tiên ta cĩ đồ thị của knot K với n crossing, khi đĩ ta cũng khơng thể kết luận số crossing của knot K là n được vì cĩ thể cịn đồ thị khác của knot K cĩ số
crossing nhỏ hơn n. Nếu tất cả các đồ thị khác cĩ ít hơn n crossing đều khác knot K hay nĩi cách khác khơng cĩ đồ thị nào của knot K cĩ ít hơn n crossing thì ta kết luận knot K cĩ số crossing là n.
Ví dụ: Knot 73 cĩ số crossing là 7 vì nĩ cĩ một đồ thị với 7 crossing và đồ thị này phân biệt với tất cả các các đồ thị cĩ ít hơn 7 crossing (hình vẽ).
Nĩi chung, rất khĩ để xác định được số crossing của một knot đã cho. Vì mỗi knot cĩ rất nhiều đồ thị, ta khơng biết đồ thịđang xét cĩ phải là đồ thị tối tiểu hay chưa?
Tuy nhiên, đối với knot xen kẽ ta cĩ nhận xét sau:
- Nếu đồ thị của knot xen kẻ K cĩ n điểm chéo thì số crossing c(K) sẽ bằng chính n.
- Nếu K K1, 2 đều là hai knot xen kẽ thì c K K( 1# 2)=c K( )1 +c K( 2).
5. Mã số của knotxen kẽ
Ở phần trước ta đã nắm khái niệm thế nào là knot xen kẽ, liên quan đến knot xen kẽta cĩ định lý sau:
1# 2
5.1. Định lý
Một vết bất kì trong R2 đều đại diện duy nhất một knot xen kẽ khơng định hướng.
Chứng minh:
Trước hết ta chứng minh bổđề sau đây:
Mọi vết trong R2 đều cĩ thểđược tơ màu theo kiểu bàn cờ.
Thật vậy: Giả sử ta cĩ vết D, kẻ một đường thẳng đứng L và di chuyển L dọc từ
biên trái sang biên phải của mặt phẳng. Ta sẽ tơ màu D như sau:
• Chỉ tơ màu khi L khơng cắt D tại crossing.
• Trên những miền mà L cắt đồng thời trên D, ta tơ màu xen kẽ đen trắng từ
trên xuống dưới.
Vì L luơn cắt D tại hữu hạn điểm nên cách tơ trên là hợp lý.
Trở lại định lý, giả sử cĩ vết D. Ta tiến hành tơ màu D theo kiểu bàn cờ
L
Để đưa vềđồ thị của một knot xen kẽ, ta quy ước tính “trên, dưới” tại mỗi crossing như sau:
(i) Lấy một điểm trên D, di chuyển điểm đĩ dọc trên D theo một hướng nhất
định.
(ii) Tại mỗi crossing ta quy ước:
• Nếu miền trắng nằm bên trái hướng dịch chuyển thì cung đĩ nằm dưới.
• Nếu miền trắng nằm bên phải hướng dịch chuyển thì cung đĩ nằm trên.
Do trên D ta tơ màu theo kiểu bàn cờ nên đồ thị nhận được từ vết đã cho cùng với quy ước bên trên hiển nhiên sẽ là một đồ thị xen kẽ và nĩ đại diện cho một knot xen kẽ .
5.2. Mã số của knotxen kẽ
5.2.1.Định nghĩa
Cho đồ thị D của một knot xen kẽ, lấy điểm M trên D, di chuyển M trên D theo một hướng xác định. Qua mỗi crossing ta đánh số thứ tự tăng dần 1,2,…..
Đặt X= tập các số lẻ tại các crossing { }. Y= tập các số chẳn tại các crossing { }. Ta xây dựng song ánh : → : X Y f xa y với x y, là số thứ tự tại cùng crossing.
Dãy số f ( ) ( ) ( )1 ,f 3 ,f 5 ,... được gọi là mã số của knot xen kẽđã cho. Kí hiệu là Cd(K).
5.2.2.Nhận xét
a. Số phần tử trong dãy mã cũng chính là số crossing của đồ thị của knot
đĩ.
b.Ứng với mỗi bộ mã a1,....,an ta cĩ sự tương ứng
( ) (1,a1 ; 3,a2);...; 2( n−1,an).
c. Nếu ta quy ước rằng tại mỗi crossing, cung mang số lẻ là cung nằm dưới, cịn cung mang số chẵn là cung nằm trên; thì khi đĩ ta cĩ thể dựng lại đồ thị
của một knot xen kẽ tương ứng với bộ mã a1,...,an cho trước theo cách sau:
• Lấy một điểm M bất kì.Trên mặt phẳng, ta lấy n điểm bất kì và đánh số 1, , ,...,2 3 n a a a a . • Sau đĩ, tại mỗi điểm ta gán thêm tạo ảnh của nĩ: Gán 1 cho a1. Gán 3 cho a2. ………….. Gán 2n-1 cho an.
Nối điểm M với các điểm đĩ theo thứ tự 1,2,3,… ; và tuân theo quy ước trên ta sẽ được đồ thị cần dựng. Ví dụ : Với Cd(K) = 4 6 2; thì đồ thị tương ứng của K là: 1 2 6 4 5 3