1. Phép dịch chuyển( )∆
1.1. Định nghĩa
Xét L là một link và một tam giác phẳng trong 3
R . Giả sử tam giác đĩ cĩ một cạnh nằm trên L. Khi đĩ, ta cĩ thể chuyển L thành L’ tương đương với nĩ theo cách sau : trên L ta xĩa đoạn chung với tam giác rồi lắp vào chổ hổng trên L hai cạnh cịn lại của tam giác ta thu được L’.
Rõ ràng trong một tam giác, ta luơn cĩ tương ứng 1-1 sau :
Do đĩ dễ thấy tồn tại một song ánh liên tục thỏa mãn ( ) ' f Id f L L ⎧ ⎨ = ⎩ Vậy L L'.
Phép dịch chuyển trên được gọi là phép dịch chuyển ( )∆ . 1.2.Định lý
Hai link L và L’ được gọi là tương đương với nhau nếu và chỉ nếu L’ là sản phẩm của L qua hữu hạn các phép dịch chuyển ( )∆ (hoặc ngược lại).
2. Phép dịch chuyển Reidemeister
2.1. Định nghĩa
Phép dịch chưyển Reidemeister là phép biến đổi đồ thị của một knot bằng cách thay đổi tính chất của các crossing.
Trong R3các phép dịch chuyển sau đây được gọi là phép dịch chuyển Reidemeister:
- Phép dịch chuyểnR0 cho phép ta thay đổi tồn bộ tính chất “trên, dưới” tại các crossing của knot.
- Phép dịch chuyển Reidemeister R1 cho phép ta tạo hay tháo một crosing trên đồ
thị của knot.
0
R
- Phép dịch chuyển ReidemeisterR2 cho phép ta tạo thêm hay bớt ra hai crossing trên đồ thị của knot.
- Phép dịch chuyển Reidemeister R3 cho phép ta di chuyển một cung trên đồ thị từ
hai chỗ giao nhau này đến hai chỗ giao nhau khác.
2.2. Nhận xét
- Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister làm thay đổi đồ thị của knot nhưng khơng biến knot đã cho thành knot khác.
- Mỗi phép dịch chuyển Reidemeister trên đồ thị của knot K tương ứng với một dãy hữu hạn phép dịch chuyển ( )∆ trên K . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Thật vậy : Điều này hiển nhiên đối với R0 và R1 (qua hữu hạn phép phân hoạch trên K) cịn đối với R2và R3 thì cĩ thể minh hoạ như dưới đây:
a) Minh hoạđối với R2 1 R 2 R 3 R
b) Minh hoạđối với R3
Từ nhận xét trên ta cĩ định lý :
2.3. Định lý Reidemeister
Hai knot K và K’ cĩ đồ thị tương ứng là D và D’. Ta nĩi K tương đương K’ nếu và chỉ nếu D’ là sản phẩm của D qua hữu hạn các phép dịch chuyển Reidemeister (hoặc ngược lại) .
Ví dụ: Từ knot hình số 8 ta thực hiện một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister ta thu được knot ba lá. Ta nĩi knot hình số 8 và nút ba lá tương đương nhau.
Ngồi ra, Reidemeister cịn chứng minh được nếu ta cĩ hai đồ thị khác nhau của cùng một knot thì ta cĩ thể biến đổi đồ thị này thành đồ thị kia bằng một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister.
2
R ∆
Ví dụ: Hai đồ thị của knot hình số 8 tương đương nhau qua một chuỗi các phép dịch chuyển Reidemeister (hình bên dưới).