SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẦO TẠO THANH HOÁ CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Nông Cống II Độc lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 4 NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN-KHỐI 10 Câu Ý Nội dung Điểm I Cho: ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 2 2 4f x m x m x m= + − + − + 3,00 1 Tìm m để phương trình ( ) 0f x = có hai nghiệm dương phân biệt. 2,00 Điều kiện để phương trình ( ) 0f x = có hai nghiệm dương phân biệt là ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 ; 0; 3 2 0 3 ' 0 2 2 0 0 ; 2 1; 1; 0;2 1 3 0 1;2 2 4 0 1 m m m m P m m m S m m m ∈ −∞ − +∞ + > ÷ ∆ > + > ↔ > ↔ ∈ −∞ − − +∞ ↔ ∈ − − ÷ + > ∈ − − + > + U U U 1,75 ( ) 2 1; 0;2 3 m ∈ − − ÷ U là những giá trị cần tìm 0,25 2 Tìm m để bất phương trình ( ) 0f x < vô nghiệm. 1,00 TH1:N ếu 1m = − thì BPT ( ) 0f x < có nghiệm là : 3x > .Vậy 1m = − (loại) TH2:Nếu 1m ≠ − thì BPT ( ) 0f x < vô nghiệm nếu như ( ) 0f x ≥ với x R∀ ∈ hay : 2 2 2 0 2 ;0 2 ;0 3 ' 3 2 0 3 m m m m m m > − + > ↔ ↔ ∈ − ÷ ∈ − ∆ = + ≤ ÷ 0,25 0,25 0,25 Vậy 2 ;0 3 m ∈ − ÷ là những giá trị cần tìm 0,25 II 2,00 1 Giải phương trình: 4 1 5 2x x x x x x + − = + − (1) 1,00 Điều kiện: 0 1 0 5 2 0 x x x x x ≠ − ≥ − ≥ 02,5 Đặt 1 a x x = − , 5 2b x x = − với a ≥ 0, b ≥ 0 phương trình: (1) ⇔ a – b = b 2 – a 2 .(2) 0,25 (2) ( ) ( ) ( ) 1 0 a 0, b 0 nê a+b+1>0a b a b a b do n↔ − + + = ↔ = ≥ ≥ 2 1 5 4 2 0 4 0 2a b x x x x x x x x = ↔ − = − ↔ − = ↔ − = ↔ = ± 0,25 Thay vào hệ điều kiện thì 2x = thoả mãn.Vậy phương trình có 2 nghiệm: 2x = 0,25 2 Giải hệ phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 4 1 2 2 7 2 x y xy y y x y x y + + + = + − − = 1,00 Từ (1) nếu y = 0 thì được x 2 + 1 = 0 phương trình vô nghiệm nên y ≠ 0. Chia cả 2 vế 0,25 1 của 2 phương trình cho y ta được: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 4 1 1 2 7 2 x x y y x x y y + + + = + + − = Đặt u = 2 1x y + , v = x + y ta có hệ 2 4 2 7 u v v u + = − = (I) Giải hệ (I) được: 1 9 v 3 5 u u v v = = = = − 0,25 Với 2 2 1 1, 2 1 2 0 3 2, 5 3 3 u x y x y x x v x y x y y x = = = + = + − = → ↔ ↔ = = − = + = = − Với 2 2 9 1 9 9 46 0 5 5 5 u x y x x v x y y x = + = + + = → ↔ = − + = − = − − hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (1; 2), (-2; 5) 0,25 0.25 3 Rút gọn biểu thức sau: ( ) ( ) 4 4 2 2 sin cos 1 tan cot 2A x x x x= + − + + 1,00 Ta có : 4 4 2 2 sin cos 1 2sin .cosx x x x+ − = − ; 2 2 2 2 1 tan cot 2 sin .cos x x x x + + = suy ra 2A = − 1,00 III Cho đường tròn (C): 2 2 2 8 1 0x y x y+ − − + = 3,00 1 Lập phương trình tiếp tuyến của (C) 1,50 Đường tròn (C) có tâm ( ) 1;2I bán kính 4R = .Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) 8 6 13 0x y+ − = nên phải có phương trình dạng : 6 8 0x y c− + = . Theo điều kiện tiếp xúc ta có: ( ) 14 26 ; 4 66 10 c c d I d R c = − − = ↔ = ↔ = Vậy có 2 tiếp tuyến thoả mãn đề bài: 3 4 7 0 ; 3 4 33 0x y x y− − = − + = 0,5 0.5 0,5 2 Viết phương trình đường thẳng ( ) ∆ 1,50 Gọi H là trung điểm của MN thì: IH MN ⊥ và 2 2 2IH IM MH= − = . Đường thẳng ( ) ∆ cần lập có dạng: 5 12 0x y m+ + = . Vì ( ) ( ) 27 53 ; 2 2 79 13 m m d I m = − + ∆ = → = ↔ = − 0,5 0.5 0.25 Có hai đường thẳng thoả mãn đề bài là: 5 12 27 0 ; 5 12 79 0x y x y+ − = + − = 0,25 IV Cho các số thực a, b, c sao cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm Gọi x 1 , x 2 là 2 nghiệm của PT đã cho. Theo Vi-et: 1 2 1 2 b x x a c x x a + = − = Ta có ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 b b x x x x x x x x a a P b c x x x x x x x x a a − − ÷ ÷ + + + + + + + = = = + + + + + + + − + Không mất tính tổng quát giả sử x 1 ≤ x 2 do 2 nghiệm thuộc [0; 1] nên 2 2 1 1 2 2 1x x x x≤ ≤ ≤ và 1 2 1 2 1 x x x x+ + + > 0 nên 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + + + ≤ = + + + + + + Vậy P ≤ 3.GTLN( P) = 3 đạt được khi 0 2 b a c = = − ≠ (khi đó PT có nghiệm kép x = 1 ) 1.00 0.25 0.25 0.25 0,25 Ghi chú : + Mọi phương pháp giải khác với đáp án nếu đúng đều được công nhận và cho điểm như nhau ở từng nội dung. 2 . lập - Tự do - Hạnh phúc ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LẦN 4 NĂM HỌC 2010 – 2011 MÔN TOÁN-KHỐI 10 Câu Ý Nội dung Điểm I Cho: ( ) ( ) 2 ( ) 1 2 2 2 4f x m x m x m= + − + −. ( ) 1;2I bán kính 4R = .Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (d) 8 6 13 0x y+ − = nên phải có phương trình dạng : 6 8 0x y c− + = . Theo điều kiện tiếp xúc ta có: ( ) 14 26 ; 4 66 10 c c d. 9 46 0 5 5 5 u x y x x v x y y x = + = + + = → ↔ = − + = − = − − hệ vô nghiệm. Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm: (1; 2), (-2; 5) 0,25 0.25 3 Rút gọn biểu thức sau: ( ) ( ) 4 4