1 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia Đ Ạ I H Ọ C KHOA H Ọ C T Ự NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN Đ Ề THI TH Ử Đ Ạ I H Ọ C KH Ố I A, B L Ầ N 2 – 2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu I. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số : 2 1 ( ) 2 x x y C x 2) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) C đều không đi qua điểm (2;3) A Câu II. 1) Giải phương trình: 1 4cos .cos3 tan5 x x x 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 4 4 4 3 2 3 2 y x x x Câu III. Tính nguyên hàm: 9 10 10 cos sin (sin cos ) x dx x x x Câu IV. Cho 20 ( ) 1 2 x P x . Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển. Câu V. 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 , điểm (1;0), (2;0) A B . Gọi I là giao điểm của AC và BD. Biết I thuộc đường thẳng 0 x y . Viết phương trình đường thẳng CD$. 2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho (1;2; 1), (2 2;2; 3) A B và đường thẳng 2 : 1 x y t z t . Tìm điểm C thuộc sao cho chu vi tam giác ABC nhỏ nhất. Câu VI. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , SA vuông góc với đáy. Góc nhị diện cạnh SC bằng 0 120 . Tính thể tích khối chóp SABCD. Câu VII. Cho các số thực , , 1 x y z thỏa mãn 1 xyz . Chứng minh rằng. 2 2 2 1 1 1 1 x y z x y z 2 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia HƯỚNG DẪN Câu I. (lonelyplanet)______________________________________________________________________ 1. Tự giải 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm 0 0 ( ; ) M x y 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 4 3 2 2 x x x x y x x x x Để tiếp tuyến đi qua (3;2) A thì phương trình sau phải có nghiệm: 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 1 4 3 2 3 2 2 x x x x x x x Giải phương trình này thì thấy nó không có nghiệm khác 2 nên tiếp tuyến không đi qua A. Câu II. 1 (can_hang2007)__________________________________________________________________ Ta có 2 2 2 2 4 2 1 4cos cos3 1 4cos (4cos 3) 1 4(1 sin ) 4(1 sin ) 3 16sin 20sin 5 x x x x x x x x và 4 2 sin5 sin (16sin 20sin 5). x x x x Do đó, với điều kiện cos5 0, x phương trình đã cho tương đương với 4 2 sin (16sin 20sin 5) 1 0. cos5 x x x x Đến đây thì khá dễ rồi. Câu II. 2 (can_hang2007)__________________________________________________________________ Miền xác định 3 0 . 2 x Ta có thể giải bài toán bằng cách sử dụng bất đẳng thức 4 44 , , 0. a b a b a b Cụ thể, ta có 44 4 4 2 (2 ) 2 x x x x và 4 4 4 4 4 2 3 2 16 (3 2 ) 14 3 3. x x x x x Do đó, 4 4 4 4 4 4 2 2 3 2 2 3. y x x x x Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi 0. x Vậy nên 4 4 min 2 3. y Câu III._________________________________________________________________________________ Gợi ý. Đặt t tanx , bài toán đưa được về dạng tìm 10 1 dt I t t là tích phân dạng phân thức. Câu IV. (can_hang2007)___________________________________________________________________ 3 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia Từ giả thiết, sử dụng các lập luận đưa đến: Nếu hệ số của k x là lớn nhất thì 1 19 k và ta phải có 1 1 20 20 20 20 1 1 , . 2 2 2 2 k k k k k k k k C C C C Từ các bất phương trình này suy ra 6 7. k Mà 7 6 20 20 7 6 2 2 C C nên suy ra hệ số lớn nhất trong khai triển là hệ số của 6 x và 7 . x Câu V.1.________________________________________________________________________________ Cách 1. (F7T7) Phương trình đường thẳng AB là 0 y . Do đó phương trình CD song song với AB có dạng y a Suy ra 0 a chính là chiều cao của hình bình hành ứng với cạnh AB. Ta có . 4 a AB Suy ra 4 a . Vậy phương trình CD là 4 y hoặc 4 y Cách 2. (can_hang2007) Giả sử ( , ). I a a Ta có (1 , ), (2 , ). IA a a IB a a Suy ra 1 1 (1 )( ) (2 )( ) | |. 2 2 IAB S a a a a a Mặt khác, do tứ giác ABCD là hình bình hành nên 1 2 2 ABC ABCD S S và 1 1. 2 IAB ABC S S Vậy nên ta có | | 2, a tức 2 a hoặc 2. a [*] Với 2, a ta có (2,2). I Suy ra (3,4) C và (2,4). D Từ đó, ta tìm được phương trình đường thẳng CD là 4. y [*] Với 2, a ta có ( 2, 2). I Suy ra ( 5, 4) C và ( 6, 4). D Và như thế, ta tìm được phương trình đường thẳng CD là 4. y Bài toán được giải quyết xong. Câu V.2 (kienqb)________________________________________________________________________ Vì độ dài AB là không đổi. Ta có chu vi tam giác nhỏ nhất khi: CA CB nhỏ nhất Gọi (2;1 ; ) C t t ta có: 2 2 2 2 1 2( 1) 1 2( 2) 4 ( 1) ( 2) 2 2 2 CA CB CA CB t t t t Đặt: 1 ( 1; ), ( 2; 2) 2 u t v t . Ta có: | | | | | | u v u v 2 1 1 ( 2 ) 2 Dấu bằng xảy ra khi u kv từ đó ta tính được 7 4 2; ; 3 3 C Hoặc ta chọn: 1 ( 1; ), ( 2; 2) 2 E F và điểm ( ; 0) M t sau đó dùng bất đẳng thức tam giác ME MF EF Dấu bằng xảy ra khi , , M E F thẳng hàng và M nằm trong đoạn EF . Kết quả: Giá trị nhỏ nhất bằng 11 tại 7 4 (2; ; ) 3 3 C Câu VI. (jet_nguyen)______________________________________________________________________ 4 https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia Ta có: góc nhị diện của SC bằng 0 0 120 ( ),( ) 60 SAC SBC Kẻ 0 , ( ) ( ),( ) 60 AM SB AN SD SC AMN SAC SBC MAN Mà 2 ? 2 a AM AN AMNd u AM AN MN Xét SAB A và AM SB SA a - Vì 3 1 ( ) . . 3 3 SABCD ABCD a SA ABCD V SAS Câu VII. _______________________________________________________________________________ Cách 1. (can_hang2007) Đặt , 1 1 x y a b x y và . 1 z c z Khi đó, ta thấy 1 1 1 1 1 1 1 , 1 , 1 . x a y b z b Mà 1 xyz nên suy ra ( 1)( 1)( 1) , a b c abc tức 1 0. ab bc ca a b c Mặt khác, cũng từ phép đặt, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương 2 2 2 1, a b c hay 2 2 2 2( 1) 1. a b c ab bc ca a b c Sau khi thu gọn, ta có 2 ( 1) 0, a b c hiển nhiên đúng nên bài toán được chứng minh xong. Cách 2. (Lil.Tee) Đổi biến như trên, và chúng ta luôn có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 3 ) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b b c c a abc a b b c c a a b b c c a Do đó bài toán chứng minh xong Lời giải được tổng hợp bởi https://sites.google.com/site/dethithudaihockhoia Từ lời giải các thành viên diễn đàn BoxMath.vn và Onluyentoan.vn . 2, a tức 2 a hoặc 2. a [*] Với 2, a ta có (2,2 ). I Suy ra (3,4) C và (2,4 ). D Từ đó, ta tìm được phương trình đường thẳng CD là 4. y [*] Với 2, a ta có ( 2,. T Ự NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN Đ Ề THI TH Ử Đ Ạ I H Ọ C KH Ố I A, B L Ầ N 2 – 2012 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu I. 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. III._________________________________________________________________________________ Gợi ý. Đặt t tanx , bài toán đưa được về dạng tìm 10 1 dt I t t là tích phân dạng phân thức. Câu IV. (can_hang2007)___________________________________________________________________