Chuyen de Tich phan

Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 1 1. Khái niệm nguyên hàm • Cho hàm số f xác đònh trên K. Hàm số F đgl nguyên hàm của f trên K nếu: '() ()F x fx= , ∀x ∈ K • Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì họ nguyên hàm của f(x) trên K là: () ()f x dx F x C= + ∫ , C ∈ R. • Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. 2. Tính chất • '() ()f x dx f x C= + ∫ • [ ] () () () ()f x g x dx f x dx g x dx±= ± ∫ ∫∫ • () () ( 0)kf x dx k f x dx k= ≠ ∫∫ 3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp Ngun hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Ngun hàm của những hàm số hợp đơn giản Ngun hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 tan ln cosxdx x c=−+ ∫ cot ln sinxdx x c= + ∫ kdx kx C= + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 I. NGUYÊN HÀM CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 2 4. Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu () ()f u du F u C= + ∫ và ()u ux= có đạo hàm liên tục thì: [ ] [ ] ().'() ()f ux u xdx Fux C= + ∫ b) Phương pháp tính nguyên hàm từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K thì: udv uv vdu= − ∫∫ VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm bằng cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) 2 1 ( ) –3fx x x x = + b) 4 2 23 () x fx x + = c) 2 1 () x fx x − = d) 22 2 ( 1) () x fx x − = e) 34 () fx xxx =++ f) 3 12 ()fx xx = − g) 2 ( ) 2sin 2 x fx= h) 2 ( ) tanfx x= i) 2 ( ) cosfx x= k) 22 1 () sin .cos fx xx = l) 22 cos2 () sin .cos x fx xx = m) ( ) 2sin3 cos2fx x x= n) ( ) ( ) – 1 xx fx e e= o) 2 () 2 cos x x e fx e x −  = +    p) 31 () x fx e + = Bài 2. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) 3 ( ) 4 5; (1) 3fx x x F=−+ = b) ( ) 3 5cos ; ( ) 2fx x F=−= π c) 2 35 () ; () 1 x f x Fe x − = = d) 2 13 ( ) ; (1) 2 x fx F x + = = e) 3 2 1 ( )= ; ( 2) 0 x fx F x − −= f) 1 ( ) ; (1) 2fx x x F x =+=− g) ( ) sin2 .cos ; ' 0 3 fx x x F  = =   π h) 43 2 325 ( ) ; (1) 2 xx fx F x −+ = = i) 33 2 3 37 ( ) ; (0) 8 ( 1) xxx fx F x + +− = = + k) 2 ( ) sin ; 2 24 x fx F  == =   ππ Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 3 VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm ()f x dx ∫ bằng phương pháp đổi biến số • Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = [ ] ().'()gux u x thì ta đặt () '()t u x dt u x dx= ⇒= . Khi đó: ()f x dx ∫ = ()g t dt ∫ , trong đó ()g t dt ∫ dễ dàng tìm được. Chú ý: Sau khi tính ()g t dt ∫ theo t, ta phải thay lại t = u(x). • Dạng 2: Thường gặp ở các trường hợp sau: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 1): a) (5 1)x dx− ∫ b) 5 (3 2 ) dx x− ∫ c) 52xdx− ∫ d) 27 (2 1)x xdx+ ∫ e) 3 42 ( 5)x x dx+ ∫ f) 2 5 x dx x + ∫ g) 2 1.x xdx+ ∫ h) 2 3 3 52 x dx x+ ∫ i) 2 (1 ) dx xx+ ∫ k) 4 sin cosx xdx ∫ l) 5 sin cos x dx x ∫ m) 2 tan cos xdx x ∫ n) 3 x x e dx e − ∫ o) 2 1 . x x e dx + ∫ p) x e dx x ∫ q) 3 ln x dx x ∫ r) 1 x dx e + ∫ s) tan 2 cos x e dx x ∫ Bài 2. Tính các nguyên hàm sau (đổi biến số dạng 2): a) 23 (1 ) dx x− ∫ b) 23 (1 ) dx x+ ∫ c) 2 1.x dx− ∫ d) 2 4 dx x− ∫ e) 22 1.x x dx− ∫ f) 2 1 dx x+ ∫ g) 2 2 1 x dx x− ∫ h) 2 1 dx xx++ ∫ i) 32 1.x x dx+ ∫ f(x) có chứa Cách đổi biến 22 ax− sin , 22 xa t t= − ≤≤ ππ hoặc cos , 0xa t t= ≤≤ π 22 ax+ tan , 22 xa t t= − << ππ hoặc cot , 0xa t t= << π Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 4 VẤN ĐỀ 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần Với P(x) là đa thức của x, ta thường gặp các dạng sau: Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) .sinx xdx ∫ b) cosx xdx ∫ c) 2 ( 5)sinx xdx+ ∫ d) 2 ( 2 3)cosx x xdx++ ∫ e) sin2x xdx ∫ f) cos2x xdx ∫ g) . x x e dx ∫ h) 2 3 x x e dx ∫ i) ln xdx ∫ k) lnx xdx ∫ l) 2 ln xdx ∫ m) 2 ln( 1)x dx+ ∫ n) 2 tanx xdx ∫ o) 22 cosx xdx ∫ p) 2 cos2x xdx ∫ q) 2 ln(1 )x x dx+ ∫ r) .2 x x dx ∫ s) lgx xdx ∫ Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: a) x e dx ∫ b) ln xdx x ∫ c) sin x dx ∫ d) cos x dx ∫ e) .sinx x dx ∫ f) 3 sin xdx ∫ g) ln(ln )x dx x ∫ h) sin(ln )x dx ∫ i) cos(ln )x dx ∫ Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: a) .cos x e xdx ∫ b) 2 (1 tan tan ) x e x x dx++ ∫ c) .sin2 x e xdx ∫ d) 2 ln(cos ) cos x dx x ∫ e) 2 ln(1 )x dx x + ∫ f) 2 cos x dx x ∫ g) ( ) 2 2 ln 1 1 xxx dx x ++ + ∫ h) 3 2 1 x dx x+ ∫ i) 2 ln x dx x    ∫ ( ). x P x e dx ∫ ( ).cosP x xdx ∫ ( ).sinP x xdx ∫ ( ).lnP x xdx ∫ u P(x) P(x) P(x) lnx dv x e dx cos xdx sin xdx P(x) Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 5 VẤN ĐỀ 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp dùng nguyên hàm phụ Để xác đònh nguyên hàm của hàm số f(x), ta cần tìm một hàm g(x) sao cho nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x) dễ xác đònh hơn so với f(x). Từ đó suy ra nguyên hàm của f(x). Bước 1: Tìm hàm g(x). Bước 2: Xác đònh nguyên hàm của các hàm số f(x) ± g(x), tức là: 1 2 () () () (*) () () () Fx Gx Ax C FxGx BxC  +=+  −=+  Bước 3: Từ hệ (*), ta suy ra [ ] 1 () () () 2 Fx Ax Bx C= ++ là nguyên hàm của f(x). Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) sin sin cos x dx xx− ∫ b) cos sin cos x dx xx− ∫ c) sin sin cos x dx xx + ∫ d) cos sin cos x dx xx + ∫ e) 4 44 sin sin cos x dx xx+ ∫ f) 4 44 cos sin cos x dx xx+ ∫ g) 2 2sin .sin2x xdx ∫ h) 2 2cos .sin2x xdx ∫ i) x xx e dx ee − − ∫ k) x xx e dx ee − − − ∫ l) x xx e dx ee − + ∫ m) x xx e dx ee − − + ∫ VẤN ĐỀ 5: Tính nguyên hàm của một số hàm số thường gặp 1. f(x) là hàm hữu tỉ: () () () Px fx Qx = – Nếu bậc của P(x) ≥ bậc của Q(x) thì ta thực hiện phép chia đa thức. – Nếu bậc của P(x) < bậc của Q(x) và Q(x) có dạng tích nhiều nhân tử thì ta phân tích f(x) thành tổng của nhiều phân thức (bằng phương pháp hệ số bất đònh). Chẳng hạn: 1 ()() AB xaxb xa xb = + −− − − 2 22 1 , 40 ( )( ) A Bx C với b ac xm x m ax bx c ax bx c + = + =−< − − ++ ++ ∆ 22 2 2 1 ()() () () ABCD xa xb xa xb xa xb =+ ++ −− −− − − 2. f(x) là hàm vô tỉ + f(x) = , m ax b Rx cx d  +  +  → đặt m ax b t cx d + = + Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 6 + f(x) = 1 ()() R xaxb    ++  → đặt t xa xb= ++ + • f(x) là hàm lượng giác Ta sử dụng các phép biến đổi lượng giác thích hợp để đưa về các nguyên hàm cơ bản. Chẳng hạn: + [ ] sin()() 11 . sin( ).sin( ) sin( ) sin( ).sin( ) xa xb xa xb ab xa xb +−+ = ++ − ++ , sin( ) 1 sin( ) ab sử dụng ab  − =  −  + [ ] sin()() 11 . cos( ).cos( ) sin( ) cos( ).cos( ) xa xb xa xb ab xa xb +−+ = ++ − ++ , sin( ) 1 sin( ) ab sử dụng ab  − =  −  + [ ] cos()() 11 . sin( ).cos( ) cos( ) sin( ).cos( ) xa xb xa xb ab xa xb +−+ = ++ −++ , cos( ) 1 cos( ) ab sử dụng ab  − =  −  + Nếu ( sin ,cos ) (sin ,cos )R xxRxx−=− thì đặt t = cosx + Nếu (sin , cos ) (sin ,cos )Rx x Rx x−=− thì đặt t = sinx + Nếu ( sin , cos ) (sin ,cos )R x x Rx x−− =− thì đặt t = tanx (hoặc t = cotx) Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: a) ( 1) dx xx+ ∫ b) ( 1)(2 3) dx xx+− ∫ c) 2 2 1 1 x dx x + − ∫ d) 2 7 10 dx xx−+ ∫ e) 2 69 dx xx−+ ∫ f) 2 4 dx x − ∫ g) ( 1)(2 1) x dx xx++ ∫ h) 2 2 32 x dx xx−− ∫ i) 3 2 32 x dx xx−+ ∫ k) 2 ( 1) dx xx + ∫ l) 3 1 dx x+ ∫ m) 3 1 x dx x − ∫ Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: a) 1 11 dx x++ ∫ b) 1 2 x dx xx + − ∫ c) 3 1 11 dx x++ ∫ d) 4 1 dx xx + ∫ e) 3 x dx xx− ∫ f) ( 1) x dx xx+ ∫ g) 34 2 dx xx x ++ ∫ h) 1 1 x dx xx − + ∫ i) 3 1 1 x dx xx − + ∫ k) 2 3 (21) 21 dx xx+− + ∫ l) 2 56 dx xx−+ ∫ m) 2 68 dx xx++ ∫ Bài 3. Tính các nguyên hàm sau: a) sin2 sin5x xdx ∫ b) cos sin3x xdx ∫ c) 24 (tan tan )x x dx+ ∫ d) cos2 1 sin cos x dx xx+ ∫ e) 2sin 1 dx x + ∫ f) cos dx x ∫ g) 1 sin cos x dx x − ∫ h) 3 sin cos x dx x ∫ i) cos cos2 cos3x x xdx ∫ Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 7 1. Khái niệm tích phân • Cho hàm số f liên tục trên K và a, b ∈ K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì: F(b) – F(a) đgl tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là () b a f x dx ∫ . () () () b a f xdx Fb Fa= − ∫ • Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b bb a aa f x dx f t dt f u du F b F a= = = = − ∫ ∫∫ • Ý nghóa hình học: Nếu hàm số y = f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thò của y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b là: () b a S f x dx= ∫ 2. Tính chất của tích phân • 0 0 () 0f x dx = ∫ • () () ba ab f x dx f x dx= − ∫∫ • () () bb aa kf x dx k f x dx= ∫∫ (k: const) • [ ] () () () () b bb a aa f x g x dx f x dx g x dx±= ± ∫ ∫∫ • () () () bcb a ac f x dx f x dx f x dx= + ∫∫∫ • Nếu f(x) ≥ 0 trên [a; b] thì () 0 b a f x dx ≥ ∫ • Nếu f(x) ≥ g(x) trên [a; b] thì () () bb aa f x dx g x dx≥ ∫∫ 3. Phương pháp tính tích phân a) Phương pháp đổi biến số [ ] () () ().'() () ub b a ua f u x u x dx f u du= ∫∫ trong đó: u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K, y = f(u) liên tục và hàm hợp f[u(x)] xác đònh trên K, a, b ∈ K. b) Phương pháp tích phân từng phần Nếu u, v là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên K, a, b ∈ K thì: bb b a aa udv uv vdu= − ∫∫ Chú ý:– Cần xem lại các phương pháp tìm nguyên hàm. – Trong phương pháp tích phân từng phần, ta cần chọn sao cho b a vdu ∫ dễ tính hơn b a udv ∫ . II. TÍCH PHÂN Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 8 VẤN ĐỀ 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng được bảng các nguyên hàm cơ bản. Tìm nguyên hàm F(x) của f(x), rồi sử dụng trực tiếp đònh nghóa tích phân: () () () b a f xdx Fb Fa= − ∫ Chú ý: Để sử dụng phương pháp này cần phải: – Nắm vững bảng các nguyên hàm. – Nắm vững phép tính vi phân. Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ b) I 2 = 2 2 0 x e dx −+ ∫ c) I 3 = 0 1 3 21 dx x − −+ ∫ Giải: a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ = ( ) 1 4 4 4 0 1 (3 1) 1 5 . 3 1 ( 1) 3 4 12 4 x −  = − −− =  b) I 2 = 2 2 0 x e dx −+ ∫ = 2 2 0 1 1 x e −+ − = – ( e – 2+2 – e 2 ) = e 2 –1 c) I 3 = 0 1 3 21 dx x − −+ ∫ = 0 1 1 3. ln 2 1 2 x − −+ − = 3 (ln1 ln3) 2 −− Vậy: I 3 = 3 ln3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ b) J 2 = 1 0 23 2 x dx x + − ∫ c) J 3 = 8 6 6 1 2xx dx x + ∫ Giải ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ : a) Ta có: (x 2 + 1) 2 = (x 2 ) 2 +2.x 2 .1 + 1 2 = x 4 + 2x 2 + 1 suy ra J 1 = = 2 42 0 ( 2 1)x x dx++ ∫ = 2 53 0 2 53 xx x  ++   = 206 15 b) Ta có : 23 1 2 7. 22 x xx + =−+ −− Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 9 suy ra J 2 = 1 0 23 2 x dx x + − ∫ = ( ) 1 1 0 0 1 ( 2 7. ) 2 7ln 2 2 dx x x x −+ =− − − − ∫ = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 c) 1/2 1/6 6 1/2 1/6 1/3 1/6 6 22 22 x xx x xx x x − ++ = = += + suy ra J 3 = ( ) 8 8 1/3 4/3 1 1 3 22 4 x dx x x  += +   ∫ = 4/3 33 8 2 8 ( 2) 44  +× − +   = 101 4 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K 1 = 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ c) K 3 = 1 21 0 1 x e dx − − ∫ Giải ( ) 1 sin4 sin2 2 xx+ : a) Ta có: sin3x.cosx = suy ra K 1 = 1 2 4 0 (sin4 sin2 )x x dx π += ∫ 4 0 11 1 cos4 cos2 24 2 xx π  −−   = 1 2 b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ Ta có: cos 2 2x = 1 cos4 2 x+ suy ra K 2 = 1 2 8 0 (1 cos 4 )x dx π += ∫ 8 0 11 sin 4 24 xx π  +   = 1 2 ( ) 14 sin 0 84 8 ππ   +−     = 11 28 4 π  +   c) K 3 = 1 21 0 1 x e dx − − ∫ Ta có : e 2x–1 – 1 = 0 ⇔ e 2x–1 = 1 = e 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = 1 2 [ ] 0;1∈ Suy ra K 3 = 1 1 2 21 21 1 0 2 ( 1) ( 1) xx e dx e dx −− −+ − ∫∫ = 1 1 2 21 21 1 0 2 11 22 xx ex ex −−  −+ −   = 01 111 0 222 ee −    −− −       + 0 1 11 1 2 22 ee    −− −       = 1 1 2 e − − + 1 1 2 e  −   Vậy K 3 = 1 11 1 22 ee − +− Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân Đinh Xuân Thạch – THPT Yên Mô B Trang 10 BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau: a) ∫ ++ 2 1 3 )12( dxxx b) ∫ + ++ 2 1 132 ) 3 ( dxe x x x c) ∫ − 2 1 2 1 dx x x d) 2 2 1 2 x dx x − + ∫ e) ( ) ∫ − − + 1 2 2 2 4 4 dx x x f) 2 2 1 11 () e x x dx x x ++ + ∫ g) 2 1 ( 1)( 1)x x x dx+ −+ ∫ h) 2 2 3 1 () x x x x dx++ ∫ i) ( ) ∫ −+ 4 1 4 3 42 dxxxx k) 2 2 3 1 2xx dx x − ∫ l) 2 1 2 57 e xx dx x +− ∫ m) 8 3 2 1 1 4 3 x dx x   −   ∫ Bài 2. Tính các tích phân sau: a) 2 1 1x dx+ ∫ b) 5 2 dx x2 2x++ − ∫ c) 2 2 3 1 ()x x x x dx++ ∫ d) 2 0 2 1 xdx dx x− ∫ e) 2 2 0 3 3 3 1 x dx x+ ∫ f) 4 2 0 9x x dx+ ∫ Bài 3. Tính các tích phân sau: a) ∫ + π π 0 ) 6 2sin( dxx b) 2 3 (2sin 3 )x cosx x dx ++ ∫ π π c) ( ) 6 0 sin3 cos2x x dx π + ∫ d) 4 2 0 tan . cos x dx x ∫ π e) 3 2 4 3tan x dx ∫ π π f) 4 2 6 (2 cot 5)x dx+ ∫ π π g) 2 0 1 sin dx x+ ∫ π h) 2 0 1 cos 1 cos x dx x − + ∫ π i) 2 22 0 sin .cosx xdx ∫ π Bài 4. Tính các tích phân sau: a) 1 0 dx xx xx ee ee − − − + ∫ b) 2 2 1 ( 1). ln x dx x xx + + ∫ c) 2 1 0 4 2 x x e dx e − + ∫ d) ln2 0 1 x x e dx e + ∫ e) 2 1 (1 ) x x e e dx x − − ∫ f) 1 0 2 x x e dx ∫ g) cos 2 0 sin x e xdx ∫ π h) 4 1 x e dx x ∫ i) 1 1 ln e x dx x + ∫ k) 1 ln e x dx x ∫ l) 2 1 0 x xe dx ∫ m) 1 0 1 1 x dx e+ ∫