Đáp án Toán 8 thi HSG huyện 2011

Bài Hướng dẫn chấm Điểm 1(6đ) . 1) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4VT a b a b a ab b a ab b ab VP = + − − = + + − − + = = 3.0đ ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2) 3 3 0 ( ) 0 0 1 ( ) ( ) ( ) 0 2 a b c abc a b c abc a b c a b c ab bc ca a b c a b c a b b c c a a b c + + = ⇔ + + − = ⇔ + + + + − − − = + + =    ⇔ + + − + − + − = ⇔    = =  3.0đ 2 (4đ) 1) ⇔ x 2 + 5x + 6 = 0 ⇔ (x + 2)(x + 3) = 0 ⇔ x = -2; x = -3. Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = -2; x = -3. 2.0đ 2) Ta có a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 4 5 2 7 6 2 0 3 4 5 2 7 2 6 0 4 5 0 5 / 4 2 7 0 7 / 2 2 6 0 1/ 3 x x x x x x x x x x x x + + − − − = ⇔ + − − = + = = −     ⇔ − = ⇔ =     − = =   0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ 3(4đ) 1) Ta có ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 0 0 0 2 1 ab bc ca ab bc ca a b c abc a b c a b c ab bc ca + + + + = ⇔ = ⇒ + + = ⇒ + + = + + − + + = 2) x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2011⇔ x 3 + y 3 + z 3 – (x + y + z) = 2011 ⇔x(x – 1)(x + 1) + y(y – 1)(y + 1) + z(z – 1)(z + 1) = 2011 Ta có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải không chia hết cho 6. Vậy pt đã cho không có nghiệm nguyên 1.0đ 1.0đ 0.5đ 1.0đ 0.5đ 4 (6đ) 1) ( )ABM ACN g g∆ ∆ −: vì có µ A chung, · · AMB ANC= = 90 0 . 2) Từ 1) ta có AM AB AN AC = suy ra ∆AMN ∼ ∆ABC (g-g) Suy ra · · AMN A BC = . Do · 0 120MHN = nên · 0 60MAN = suy ra 1 2 MN AM BC AB = = 3) Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với PQ cắt BC tại I. Ta cm I là trung điểm của BC. Thật vậy, ta có: ∆AHP ∼ ∆CIH (g-g) ⇒ HA IC HP IH = ∆AHQ ∼ ∆BIH (g-g) ⇒ HA IB HQ IH = IC HA HA IB IH HP HQ IH = = = ⇒ IB = IC 3.0đ 1.0đ 1.0đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ A M H N P Q B CI . + − + + = 2) x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2011 x 3 + y 3 + z 3 – (x + y + z) = 2011 ⇔x(x – 1)(x + 1) + y(y – 1)(y + 1) + z(z – 1)(z + 1) = 2011 Ta có vế trái chia hết cho 6 còn vế phải