Đề thi HSG toán dự bị 2011 Hà nam

Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hà nam lớp 9 thcs năm 2011 đề dự bị Môn: toán Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1:(4 điểm) Cho x, y,z là các số dơng thỏa mãn: xy + yz + xz = 1 a. Chứng minh rằng: 1 + x 2 = (x + y)(y + z) b. Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 1 1 y z z x x y P x y z x y z + + + + + + = + + + + + Bài 2:(6điểm) a. Giải phơng trình: 2 3 3 4 1x x + = b. Giải hệ phơng trình: 2 2 2 2 3 3 3 0 x y x x y y x y x y + + = + = + Bài 3:(3 điểm) a.Tìm m để đờng thẳng (d): y = 2x + m cắt Parabol (P): y = mx 2 ( 0m )tại hai điểm có hoành độ là: 3 (1 2)+ và 3 (1 2) . b.Với số tự nhiên n ( 3n ) đặt: S n = 1 1 1 3(1 2) 5( 2 3) (2 1)( 1)n n n + + + + + + + + Chứng minh rằng: S n < 1 2 Bài 4:(5,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, A là một điểm thuộc đờng tròn, H là hình chiếu của A trên BC. Vẽ đờng tròn tâm K đờng kính AH cắt AB, AC lần lợt tại M và N. a. Chứng minh : OA MN b. Vẽ đờng kính AOP của (O). Gọi E là trung điểm của HP. Chứng minh E là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC. c. Cho BC cố định. Xác định vị trí của A để bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất. Bài 5:(2,0 điểm) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thỏa mãn hệ thức: BC 2 + AB.AC - AB 2 = 0. Tính: 2 3 A B+ Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1: Giám thị 2: Sở giáo dục và đào tạo đáp án và hớng dẫn chấm Hà nam đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh đề dự bị Môn: toán Năm học : 2010 -2011 Bài Đáp án Điểm Bài 1 1a, 1+x 2 = (x+y)(x+z) 1+x 2 -x 2 -(xy+yz+xz)=0 vì xy+yz+xz = 1 1,5 B A C P H N K M E O (4®) 2a, x 2 2 2 (1 )(1 ) ( )( )( )( ) 1 ( )( ) y z y x y z z x z y x xy xz x x y x z + + + + + + = = + + + + 0,5 y 2 2 2 (1 )(1 ) ( )( )( )( ) 1 ( )( ) z x z x z y x y x z y xy yz y y x y z + + + + + + = = + + + + 0,5 z 2 2 2 (1 )(1 ) 1 x y yz xz z + + = + + 0,5 P = 2(xy+yz +xz) = 2 1,0 Bµi 2 (6®) 2a, 2 3 3 4 1x x− + − = (1) §Æt x-4 =t th× (1) ⇔ 3 2 ( 1) 1t t+ + = 0,5 +, t 2 3 2 0 ( 1) 1 ( 2) 0 0t t t t t t≥ ⇒ + + = ⇔ + + = ⇔ = 1,0 +, t < 2 3 0 ( 1) 1 ( 1)( 2) 0 1t t t t t t⇒ + − = ⇔ + − = ⇔ = − 1,0 Víi t = 0 ⇔ x-4 =0 ⇔ x=4 Víi t = -1 ⇔ x-4 = -1 ⇔ x = ⇔ x=3 VËy S = { } 3;4 0,5 2b, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3(1) 3 3 3 0(2) 0 x y xy y x xy y x y x y y x xy xy y xy x y x y +  +  + = + =   + +   ⇒   − −   − = + =   + +   §K: x 2 +y 2 >0 1,0 Céng vÕ víi vÕ cña hai pt ta ®îc: 2xy+3 = 3y ⇔ x = 3( 1) 2 y y − tõ (2) ⇒ x 2 y +y 3 - y +3x = 0 thay x vµo ta cã: 4y 5 +5y 3 -9y = 0 1,0 ⇔ y(4y 4 +5y 2 -9) =0 ⇔ 1y = ± Víi y = 1 ⇒ x = 0 Víi y = -1 ⇒ x= 3 Thö l¹i tháa m·n .VËy nghiÖm cña hÖ lµ(x;y)= { } (0;1);(3; 1)− 1,0 Bµi 3 (3®) 3a, Pt hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ mx 2 - 2x - m = 0 ( 0m ≠ ) Cã 2 1 0m∆ = + > 0,5 TheoViet:x 1 +x 2 = 2 m 3 3 2 1 (1 2) (1 2) ( ) 4 m T M m ⇔ + + − = ⇔ = 0,5 3b, Theo cosi: ( 1) 2 1n n n+ ≤ + 0,5 1 1 (2 1)( 1) 2( 1) ( 1) 1 1 1 1 ( ) 2 2 ( 1) 1 n n n n n n n n n n n n n < + + + + + + + = = + + 1,0 Nên S < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) (1 ) 2 2 2 2 2 3 1 1n n n + + + + = < + + 0,5 Bài 4 (5,0đ) 4a, C,m: MN đi qua K ( ã MAN = 90 0 ) 0,25 +, ã ã (MAK AMK AKM= cân tại K) ã ã (CAO OCA AOC= cân tại O) 0,25 0,25 Mà ã ã MAK ACO= ( cùng phụ với à B ) 0,25 ã ã AMK CAO = 0,25 Lại có: ã ã 0 90 (AMK ANK MAN+ = vuông tại A) 0,25 ã ã 0 90CAO ANK + = 0,25 Vậy OA MN 0,25 4b,EK là đờng trung bình của / /AHP EK AO EK MN Nên EK là đờng trung trực của MN 0,5 +, tơng tự OE là đờng trung trực của BC 0,5 +, Tứ giác BMNC nội tiếp 0,5 Vậy E là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC 0,5 4c, BC cố định 2 BC BO = cố định BE lớn nhất OE lớn nhất AH lớn nhất AO BC 1,0 Bài 5 (2.0đ) A C B D Từ BC 2 + AB.AC - AB 2 = 0 2 ( ) BC AB AC BC AB AC AB AB BC = = Nên AB > AC 0,5 Trên AB lấy D sao cho AC = AD BD = AB - AC Do đó BC BD AB BC = ABC ~ ( . . )CBD c g c ã ã ACB CDB = (1) 0,5 Mặt khác: ã à ã CDB A ACD= + (2) Có ã à 0 180 2 A ACD = (3) 0,5 Từ (1), (2), (3)có: ã à à à 0 0 180 180 2 2 A A ACB A + = + = à à à à à 0 0 0 2 180 2 180 ( ) 180C A A B A = + + = + à à à à 0 0 2 180 3 2 60 3 A B A B = + + = 0,5 Chú ý: +, Mọi cách làm đúng khác với đáp án cho điểm tơng úng với biểu điểm +, Điểm toàn bài là tổng điểm của các bài và không làm tròn số . Sở giáo dục và đào tạo kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Hà nam lớp 9 thcs năm 2011 đề dự bị Môn: toán Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1:(4 điểm) Cho x, y,z là. thị 2: Sở giáo dục và đào tạo đáp án và hớng dẫn chấm Hà nam đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh đề dự bị Môn: toán Năm học : 2010 -2011 Bài Đáp án Điểm Bài 1 1a, 1+x 2 = (x+y)(x+z) 1+x 2 -x 2 -(xy+yz+xz)=0