y = Với những giá trị nào của m thì các hàm số trên là bậc nhất.b. cVẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm đợc ở câu a, b trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa độ giao
Trang 1Hàm số bậc nhất
Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )
Hệ số góc của đờng thẳng
Đờng thẳng song song - đờng thẳng cắt nhau
A Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa hàm số bậc nhất:
Hàm số bậc nhất là hàm số cho bởi công thức:
y = ax + b
trong đó a và b là các số thực xác định và a 0
2 Tính chất hàm số bậc nhất:
a Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi x thuộc R
b Trên tập số thực R, hàm số y = ax + b đồng biến khi a > 0
và nghịch biến khi a < 0
3 Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 )
là một đờng thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b và song song với đờng thẳng y = ax nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax nếu b = 0
4 Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0 ) :
Cách 1 : Xác định hai điểm bất kỳ của đồ thị
Chẳng hạn : A(1; a+b) va B(-1; b- a)
Cách 2 : Xác định giao điểm của đồ thị với hai trục toạ độ
Chẳng hạn : A(0 ; b) và B(- ; 0)
5 Đ ờng thẳng cắt nhau:
Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a,
0) cắt nhau khi và chỉ khi a a,
Chú ý : Khi a a, và b = b, thì hai đờng thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung có tung độ chính là b
6 Hai đ ờng thẳng song song :
Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a,
0) song song với nhau khi và chỉ khi: a = a,; b = b, và trùng nhau khi và chỉ khi: a = a, , b = b,
7 Đ ờng thẳng vuông góc
Hai đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) và y = a, x + b, (a,
0) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.a/ = -1
8 Hệ số góc của đ ờng thẳng :
- Khi hệ số a dơng thì góc tạo bởi đờng thẳng y =
ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc nhọn , a càng lớn thì góc
Trang 2- Khi hệ số a âm thì góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b (a 0 ) với tia Ox là góc tù , a càng lớn thì góc càng lớn nhng nhỏ hơn 1800
*Vì có sự liên hệ giữa hệ số a của x và góc tạo bởi đờng thẳng y = ax +b (a 0 ) với tia Ox nên ngời ta gọi:
a là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0 )
B Bài tập.
Bài 1:
Cho hàm số bậc nhất y = (2m – 3)x + 5
a Tìm giá trị của m để hàm số đồng biến
b Tìm giá trị của m để hàm số nghịch biến
Giải :
a hàm số y = (2m – 3)x + 5 đồng biến khi và chỉ khi : 2m – 3 > 0 m >
b hàm số y = (2m – 3)x + 5 nghịch biến khi và chỉ khi: 2m – 3 < 0 m <
Bài 2: Cho hàm số : y = ( 5 + ) x + 2
a Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên tập R? Vì sao ?
b Tính các giá trị tơng ứng của y khi x nhận các giá trị :
0 ; 1 ; +5 ; 5 -
c Tính các giá trị tơng ứng của x khi y nhận các giá trị sau:
0 ; 2 ; 4 ; +5 ; 5 -
Giải:
a Hàm số đồng biến vì : 5 + > 0
b Khi x = 0 thì y = 2
Khi x = 1 thì y = 7 +
Khi x = +5 thì y = ( 5 + ).( +5 ) + 2 = 30 +10
Bài 3: Cho hàm số :
a y = b y = Với những giá trị nào của m thì các hàm số trên là bậc nhất
Trang 3Bài 4: Cho hàm số : y = (m2 + 3m + 2).x2 + (m2 – 4m + 3n2).x + 5
Với giá trị nào của m và n thì hàm số đã cho là bậc nhất
Bài 5: a Vẽ trên cùng một mặt phẳng toạ độ đồ thị các
hàm số
y = 2x (d1) y = x (d2)
b Đờng thẳng (d) song song với trục Ox cắt trục tung tại điểm C(0; 2) và cắt (d1), (d2) theo thứ tự tại A
và B Tìm toạ độ của A, B
c Tính chu vi và diện tích tam giác ABO
Bài 6:
a Trên cùng hệ trục toạ độ vẽ đồ thị các hàm số sau:
y = 3x ; y = 3x + 6 ; y = - x và y = - x + 6
b Bốn đờng thẳng trên cắt nhau tại 4 điểm O, A, B, C ( O là gốc toạ độ)
Chứng minh tứ giác OABC là hình chữ nhật
Bài 7:
a) Vẽ đồ thị hai hàm số: y = x và y = 3x + 3
b) Gọi M là giao điểm của hai đồ thị trên Tìm toạ độ của M
c) Qua điểm N có toạ độ (0 ; 3) vẽ đờng thẳng (d) song song với trục Ox cắt đờng thẳng y = x tại P Tìm toạ độ của P Rồi tính diện tích tam giác MNP ( theo đơn vị đo trên trục toạ độ)
Bài 8: Cho hàm số : y = (m – 2)x + m
a) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng – 3
b) Xác định giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục trục tung tại điểm có tung độ bằng 4
c)Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m tìm
đợc ở câu a, b) trên cùng hệ trục toạ độ Oxy và tìm tọa
độ giao điểm của hai đồ thị vừa vẽ đợc
Bài 9: Gọi (d1) là đồ thị hàm số y = m x + 2 và
Trang 4a) Với m = - , xác định toạ độ giao điểm của (d1) và (d2) b) Xác định giá trị của m để M(- 3; - 3) là giao điểm của (d1) , (d2)
Bài 10: với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số y = -3x +
(m + 2) và
y = 4x - 5 - 2m cắt nhau tại một điểm trên trục tung
Bài 11 :
a Vẽ đồ thị của hai hàm số trên cùng hệ trục toạ độ :
y = 3x + 2 (d1) và y = - x + 6 (d2)
b Hai đờng thẳng cắt nhau tại M và cắt trục hoành theo thứ tự tại P và Q Tìm toạ độ của M, P, Q
c Tính độ dài đoạn thẳng MP, MQ, PQ ( theo đợn vị đo trên trục toạ độ)
d Tính số đo góc tạo bởi đồ thị (d2) với trục O x
Bài 12: Cho hàm số : y = (m – 3)x + 2n ( m 3) có đồ
thị là (d) Tìm giá trị của m và n để (d) đi qua hai
điểm:
a) A(2; - 2) và B(- )
b) Cắt trục tung tại M( 0 ; +2) và cắt trục hoành tại
N(2-; 0)
Bài 13 : Cho ba hàm số :
y = 2x + 3 (d1)
y = x + 5 (d2)
y = 2kx - 5 (d3) Tìm các giá trị của k để (d1), (d2), (d3) đồng quy tại một
điểm trong mặt phẳng toạ độ
Bài 14 : Cho ba đờng thẳng : y = 2x + 1 (d1)
y = 3x – 1 (d2)
y = x +3 (d3)
a) Chứng minh rằng 3 đờng thẳng trên đồng quy
b) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = (m – 1)x + m cũng đi qua giao điểm của các đờng thẳng đó
Bài 15 : Cho hàm số y = (m+2)x + 2m – 1
Chứng tỏ rằng với mọi giá trị của m đồ thị hàm số luôn đi qua điểm cố định
Trang 5Bài 16: Cho đờng thẳng có phơng trình: ax + (2a – 1)y
+3 = 0
a Xác định giá trị của a để đờng thẳng đi qua điểm A(1; -1) Tìm hệ số góc của đờng thẳng
b Chứng minh khi a thay đổi thì các đờng thẳng có phơng trình ở trên luôn đi qua một điểm cố định trên mặt phẳng toạ độ
Bài 17: Cho hai điểm có toạ độ A(1; 2), B(-2; 1+m)
a Xác định giá trị của m để đồ thị (d1) của phơng trình: mx -3y = 5 đi qua điểm A
b Tìm phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua A và B
c Khi m = 11, không cần làm phép tính thì giao điểm của (d1) và (d2) là điểm nào? Toạ độ là bao nhiêu?
Bài 18: Cho 3 điểm A(0; 3), B(2; 2), C(4; 1).
a Lập phơng trình đờng thẳng AB
b Chứng minh A, B, C thẳng hàng
c Từ O( gốc toạ độ) vẽ đờng thăng (d) vuông góc AB Tìm phơng trình đờng thẳng (d)
Bài 19: Cho điểm A(2; 4), B(8; 6), C(3; -2).
a Vẽ tam giác ABC trên mặt phẳng toạ độ
b Tính khoảng cách từ các điêm A, B, C đến gốc toạ độ
Bài 20: Cho 4 điểm A(-1; 1), B(3; 2), C(2; -1), D(-2; -2).
a Lập phơng trình đờng thẳng AB, BC, DC, DA
b Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành
c Tính SABCD và SABCD =?
Bài 21: Cho hàm số y = x +
a Bằng thớc và compa hãy vẽ đồ thị (d) của hàm số
b áp dụng vẽ đồ thị hàm số y = x +
Bài 22:
a Vẽ đồ thị hàm số y = và y =
Trang 6b Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho.
Từ đó suy ra phơng trình = có 1 nghiệm duy nhất
Bài 23 : Cho hai hàm số y = 2x – 1 với x ≥ 1
y = -x + 3 với x < 1
a Vẽ đồ thị của hai hàm số trên
b Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hai hàm số đã cho tại 2 điểm phân biệt Tìm toạ
độ giao điểm
Bài 24 : Vẽ đồ thị hàm số y = +
Từ đó giải phơng trình: = 4 -
Bài 25: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình : x - y + 4
= 0
a Vẽ (d) trên hệ trục toạ độ Oxy và tính góc tạo bởi (d) với trục Ox
b Tính khoảng cách từ O đến đờng thẳng (d)
c Chứng tỏ rằng đờng thẳng (d1) có phơng trình:
-y = 0 chỉ cắt (d) tại 1 điểm trên trục tung Tìm toạ độ
điểm đó
Bài 26: Trên hệ trục toạ độ Oxy, cho A(1; 2), B(5; 1) Xác
định toạ độ điểm C sao cho tứ giác OABC là hình bình hành
Bài 27: Cho hàm số y = f(x) = 2 -
a Vẽ đồ thị hàm số trên
b Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1
Bài 28: Cho họ đờng thẳng có phơng trình:
mx + (2m – 1)y + 3 = 0 (d)
a Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A(2; 1)
b Chứng minh rằng các đờng thẳng trên luôn đi qua một
điểm cố định M với mọi m Tìm tọa độ của M
Bài 29: Cho hàm số y = f(x) =
a Tìm tập xác định của hàm số
b Vẽ đồ thị (d) của hàm số
c Qua điểm M(2, 2) có thể vẽ đợc mấy đờng thẳng
không cắt đồ thị (d) của hàm số
Trang 7Bài 30 : Cho hàm số : y = +
a Vẽ đồ thị của hàm số
b Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tơng ứng của x
c Với giá trị nào của x thì y 4
Bài 31: Cho hàm số: y = ax + b.
a Tìm a và b biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 1) và N(2; 4) Vẽ đồ thị (d1) của hàm số với a, b vừa tìm
đợc
b Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m - m)x + m +
m là một đờng thẳng song song với (d1) Vẽ (d2) với m vừa tìm đợc
c Gọi A là điểm trên (d1) có hoành độ x = 2 Tìm phơng trình đờng thẳng (d3) đi qua A vuông góc với cả (d1) và (d2) Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2)
Bài 32: Cho hàm số : y = mx – 2m – 1 (m 0) (1)
a Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ O
Vẽ đồ thị (d1) với m tìm đợc
b Tính theo m toạ độ giao điểm A, B của đồ thị hàm số (1) lần lợt với trục Ox, Oy Xác định m để AOB có diện tích bằng 2 (đv dt)
c Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một
điểm cố định khi m thay đổi
Bài 33 : Cho đờng thẳng (D1): y = mx – 3 và (D2): y = 2mx + 1 – m
a Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ Oxy cắt đờng thẳng (D1) và (D2) ứng với m = 1 Tìm toạ độ giao điểm B của chúng
Qua O viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (D1) tại A Xác định A và S
b Chứng tỏ rằng đờng thẳng (D1) và (D2) đều đi qua những điểm cố định.Tìm tọa độ của điểm cố định
Bài 34: Cho hàm số : y = + + ax
a Xác định a để hàm số luôn đồng biến
b Xác định a để đồ thị hàm số đi qua B(1; 6) Vẽ đồ thị (C) của hàm số với a tìm đợc
c Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của
ph-ơng trình
+ = x + m
Trang 8Bài 35: Xác định hàm số (D): y = ax + b, biết rằng:
a (D) song song với đờng phân giác thứ nhất của góc hợp bởi hai trục toạ độ và (D) cắt trục hoành tại điểm (-3 ; 0)
b (D) song song với đờng thẳng (d1) : y = 2x + 3 và đi qua điểm
M(- ;3)
c (D) vuông góc với đờng thẳng (d2): y = - x + 2 tại điểm A(0; 2) ( là giao điểm của (d2) với trục tung)
Bài 36: Cho hàm số:
(D1): y = 2x – 1 (D2): y = - 3x + 4 (D3) : y = (-
a Gọi A là giao điểm của (D1) và (D2) Tìm toạ độ của A
b Xác định giá trị của m để (D1), (D2) , (D3) đồng quy tại một điểm
c Minh hoạ hình học kết quả tìm đợc
Bài 37: Cho đờng thẳng (D) có phơng trình:
y = (m + 2)x + m – 2 (1)
a Xác định giá trị của m, biết rằng (D) đi qua điểm A(3; 0)
b Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (D) đi qua một điểm cố định trong mặt phẳng toạ độ
Bài 38: Cho hai đờng thẳng;
(D1) : y = (m – 2)x + 4 (1) (D2) : y = (2m – 1)x + n -3 (2)
1 Xác định giá trị của m và n để:
a (D1) cắt (D2) b (D1) / / (D2)
c (D1) (D2) d (D1) (D2)
2.a Tìm m , n để (D1) và (D2) cùng đi qua điểm A(2 ; 0)
b Vẽ (D1) và (D2) với giá trị cùa m và n vừa tìm đợc
Bài 39: Trên cùng mặt phẳng toạ độ , xác định các
điểm sau:
A(4;1) ; B( 1 ; - 3) ; C( 1 ; 0)
Qua C vẽ đờng thẳng (D) vuông góc với đờng thẳng AB tại H (H AB)
a Viết phơng trình các đờng thẳng AB và (D)
b Tìm toạ độ điểm H
Trang 9c Tính diện tích tam giác ABC theo đơn vị đo trên các trục tọa độ
Bài 40 :Cho các đờng thẳng có phơng trình nh sau :
(D1): 2x + y = 5 (D2): - 3x + 2y = - 4 (D3): x – y = 1
a Chứng minh rằng(D1); (D2); (D3) đồng quy tại một điểm
b Minh hoạ hình học kết quả vừa tìm đợc