Bước 2: xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn.. Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không Phương pháp : Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến
Trang 1ÔN TẬP TOÁN 7 HỌC KỲ II
I PHẦN ĐẠI SỐ:
Dạng 1: Thu gọn biểu thức đại số:
a) Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số.
Phương pháp:
Bước 1: dùng qui tắc nhân đơn thức để thu gọn
Bước 2: xác định hệ số, bậc của đơn thức đã thu gọn
Bài tập áp dụng : Thu gọn đơn thức, tìm bậc, hệ số
A= 3 5 2 2 3 4
x − x y x y
4x y xy 9x y
b) Thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất.
Phương pháp:
Bước 1: nhóm các hạng tử đồng dạng, tính cộng, trừ các hạng tử đòng dạng
Bước 2: xác định hệ số cao nhất, bậc của đa thức đã thu gọn
Bài tập áp dụng : Thu gọn đa thưc, tìm bậc, hệ số cao nhất
A= x y + x − x y − x + x y − x y
5 1 4 3 2 3 1 5 4 2 3
B= x y+ xy + x y − x y+ xy −x y
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức đại số :
Phương pháp :
Bước 1: Thu gọn các biểu thức đại số
Bước 2: Thay giá trị cho trước của biến vào biểu thức đại số
Bước 3: Tính giá trị biểu thức số
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Tính giá trị biểu thức
a A = 3x3 y + 6x2y2 + 3xy3 tại 1; 1
x= y= −
b B = x2 y2 + xy + x3 + y3 tại x = –1; y = 3
Bài 2 : Cho đa thức
P(x) = x4 + 2x2 + 1;
Q(x) = x4 + 4x3 + 2x2 – 4x + 1;
Tính : P(–1); P(1
2); Q(–2); Q(1);
Dạng 3 : Cộng, trừ đa thức nhiều biến
Phương pháp :
Bước 1: viết phép tính cộng, trừ các đa thức
Bước 2: áp dung qui tắc bỏ dấu ngoặc
Bước 3: thu gọn các hạng tử đồng dạng ( cộng hay trừ các hạng tử đồng dạng)
Bài tập áp dụng:
Bài 1 : Cho đa thức :
A = 4x2 – 5xy + 3y2; B = 3x2 + 2xy - y2
Tính A + B; A – B
Bài 2 : Tìm đa thức M,N biết :
a M + (5x2 – 2xy) = 6x2 + 9xy – y2
b (3xy – 4y2)- N= x2 – 7xy + 8y2
Dạng 4: Cộng trừ đa thức một biến:
Phương pháp:
Bước 1: thu gọn các đơn thức và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến
Bước 2: viết các đa thức sao cho các hạng tử đồng dạng thẳng cột với nhau
Bước 3: thực hiện phép tính cộng hoặc trừ các hạng tử đồng dạng cùng cột
Trang 24 5 6 7 6 7 6 4
Chú ý: A(x) - B(x)=A(x) +[-B(x)]
Bài tập áp dụng :
Cho đa thức
A(x) = 3x4 – 3/4x3 + 2x2 – 3
B(x) = 8x4 + 1/5x3 – 9x + 2/5
Tính : A(x) + B(x); A(x) - B(x); B(x) - A(x);
Dạng 5 : Tìm nghiệm của đa thức 1 biến
1 Kiểm tra 1 số cho trước có là nghiệm của đa thức một biến không
Phương pháp :
Bước 1: Tính giá trị của đa thức tại giá trị của biến cho trước đó
Bước 2: Nếu giá trị của đa thức bằng 0 thì giá trị của biến đó là nghiệm của đa thức
2 Tìm nghiệm của đa thức một biến
Phương pháp :
Bước 1: Cho đa thức bằng 0
Bước 2: Giải bài toán tìm x
Bước 3: Giá trị x vừa tìm được là nghiệm của đa thức
Chú ý :
– Nếu A(x).B(x) = 0 => A(x) = 0 hoặc B(x) = 0
– Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a + b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x =
1, nghiệm còn lại x2 = c/a
– Nếu đa thức P(x) = ax2 + bx + c có a – b + c = 0 thì ta kết luận đa thức có 1 nghiệm là x = –1, nghiệm còn lại x2 = -c/a
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đa thức f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5
Trong các số sau : 1; –1; 2; –2 số nào là nghiệm của đa thức f(x)
Bài 2 : Tìm nghiệm của các đa thức sau
f(x) = 3x – 6; h(x) = –5x + 30 g(x)=(x-3)(16-4x)
k(x)=x2-81 m(x) = x2 +7x -8 n(x)= 5x2+9x+4
Dạng 6 : Tìm hệ số chưa biết trong đa thức P(x) biết P(x 0 ) = a
Phương pháp :
Bước 1: Thay giá trị x = x0 vào đa thức
Bước 2: Cho biểu thức số đó bằng a
Bước 3: Tính được hệ số chưa biết
Bài tập áp dụng :
Bài 1 : Cho đa thức P(x) = mx – 3 Xác định m biết rằng P(–1) = 2
Bài 2 : Cho đa thức Q(x) = -2x2 +mx -7m+3 Xác định m biết rằng Q(x) có nghiệm là -1
Dạng 7: Bài toán thống kê.
Thời gian làm bài tập của các hs lớp 7 tính bằng phút đươc thống kê bởi bảng sau:
a- Dấu hiệu ở đây là gì? Số các giá trị là bao nhiêu?
b- Lập bảng tần số? Tìm mốt của dấu hiệu?Tính số trung bình cộng?
c- Vẽ biểu đồ đoạn thẳng?
Trang 3II PHẦN HÌNH HỌC:
Một số phương pháp chứng minh trong chương II và chương III
1 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau:
- Cách1: chứng minh hai tam giác bằng nhau
- Cách 2: sử dụng tính chất bắc cầu, cộng trừ theo vế, hai góc bù nhau v v
2 Chứng minh tam giác cân:
- Cách1: chứng minh hai cạnh bằng nhau hoặc hai góc bằng nhau
- Cách 2: chứng minh đường trung tuyến đồng thời là đường cao, phân giác …
- Cách 3:chứng minh tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau v.v
3 Chứng minh tam giác đều:
- Cách 1: chứng minh 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau
- Cách 2: chứng minh tam giác cân có 1 góc bằng 600
4 Chứng minh tam giác vuông:
- Cách 1: Chứng minh tam giác có 1 góc vuông
- Cách 2: Dùng định lý Pytago đảo
- Cách 3: Dùng tính chất: “đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông”
5 Chứng minh tia Oz là phân giác của góc xOy:
- Cách 1: Chứng minh góc xOz bằng yOz
- Cách 2: Chứng minh điểm M thuộc tia Oz và cách đều 2 cạnh Ox và Oy
6 Chứng minh bất đẳng thức đoạn thẳng, góc Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường đồng qui, hai đường thẳng vuông góc v v (dựa vào các định lý tương ứng).
Bài tập áp dụng :
A ĐẠI SỐ:
Bài 1: Tính
1 M = 21 3,5 : 41 31 7,5
23 21 23+ - + +21
3 N = 2 3 :4 1 4 :4
16 : ( ) 28 : ( )
7 - 5 - 7 - 5
5 P = 5: 1 5 5: 1 2
1 3 1 .0,8 0,5 2 :11 1
7 D = 9 : 5, 2 3, 4.23 7 : 1 9
3.3 39.39 ( 7) 91.91
+
Bài 2:
1 Tam giác ABC có số đo các góc là ˆA , ˆB , ˆC lần lượt tỉ lệ với 1 ; 2 ; 3
a Tính số đo các góc của ABC
b ABC là tam giác gì ?
c Cho biết AB = 5cm , BC = 13cm Tính AC ?
2 Tam giác ABC có độ dài các cạnh tỉ lệ với 3 ; 4 ; 5 Và cạnh lớn nhất dài hơn cạnh nhỏ nhất là 6cm
a Tính độ dài mỗi cạnh của tam giác đó
b Tam giác ABC là tam giác gì ? Vì sao ?
3 Tam giác ABC có chu vi là 36 cm và các cạnh a, b, c tỉ lệ với 3 ; 4 ; 5
1 Tính các cạnh của tam giác ABC
2 Tam giác ABC có phải là tam giác vuông không ? Vì sao ?
Bài 3:
Cho hàm số y = ax , biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;2)
Trang 41 Tìm công thức của hàm số trên
2 Vẽ đồ thị của hàm số tìm được
3 Tính f(-2) ; f( 1
2
4 Trong những điểm sau điểm nào thuộc đồ thị hàm số : M(0;2) ; N(1;2) ; H(-1;-2) ; K( 1
2
− ; -1) Bài 4:
1 Cho hai đa thức : P(x) = x5 + 3x2 - 5x4 – 9x3 -7x2 - 1
4x Q(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 1
4 + 11x
3
a Tính P(x) + Q(x) ; Q(x) – P(x)
b Chứng tỏ x = 0 là một nghiệm của đa thức P(x)
c Tìm một nghiệm của đa thức P(x) + Q(x) ?
2 Cho đa thức M(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3
a Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến
b Tính M(1) và M(-1)
c Chứng tỏ rằng đa thức trên không có nghiệm
3 1 Chứng tỏ rằng nếu a+b+c=0 thì x=1 là một nghiệm của đa thức f(x) = ax2+bx+c
2 Cho hai đa thức : g(x) = 5x4 x5 2x2 2x3 1
4
h(x) = x5 2x3 3x4 1 x 2x3 4
4
a Tính g(x) – h(x)
b Tìm một nghiệm của đa thức g(x) – h(x)
4 a Chứng tỏ rằng nếu a – b + c = 0 thì x = - 1 là 1 nghiệm của g(x) = ax2 + bx + c
b Áp dụmg: Tìm một nghiệm của đa thức x2 – 5x + 4
5 Cho đa thức f(x) = -15x3 + 5x4 – 4x2 + 8x2 – 9x3 – x4 + 15 + x3
a Thu gọn đa thức trên
b Tính f(1) ; f(-1)
c Tìm một nghiệm của đa thức trên
Bài 5:
1 Tìm x , y biết : (x – 12)2010+ (y + 4,5)2012 = 0
2 Tìm a, b , c biết : (a – 2004)2010 + 2005 b− + (c – 2006)2012 = 0
3 Tìm x , y , z biết : ( )4
x 20− + 21 y+ + 22 z− = 0
4 Tính giá trị của các đa thức sau : x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 tại x = - 1
Bài 6 :
a Thu gọn đơn thức sau :
2
2x y x(y z)
2
b Tìm hệ số và bậc của đơn thức trên
c Tính giá trị của đơn thức trên tại x = 1 ; y = - 1 ; z = 1
Bài 7: Bài kiểm tra Toán của một lớp kết quả như sau :
1 Lập bảng tần số Vẽ biểu đồ đoạn thẳng
2 Tính số trung bình cộng điểm kiểm tra Toán của lớp đó
3 Tìm mốt của dấu hiệu
Trang 5B.HÌNH HỌC:
Bài 1: Cho ABC vuông cân , Â = 900 Gọi M là một điểm trên đường cao AH Chứng minh rằng :
a MB = MC
b MB > AH
Bài 2: Cho DEF cân tại D với trung tuyến DI
a Chứng minh : DIE = DIF
b Các góc DIE và DIF là những góc gì ?
c Biết DE = DF = 13 cm , EF = 10cm Tính DI
Bài 3: Cho góc xOy khác góc bẹt Trên tia Ox lấy hai điểm A và B , trên tia Oy lấy hai điểm C và
D sao cho OA = OC ; OB = OD Gọi I là giao điểm của hai đoạn thẳng AD và BC Chứng minh rằng :
a BC = AD
b IB = ID
c Tia OI là tia phân giác của góc xOy
Bài 4: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy 2 điểm D, E sao cho BD =CE <1
2 BC Kẻ đường thẳng DH vuông góc AB , và EI vuông góc với AC Chứng minh rằng:
a ADE là tam giác gì?
b DH =EI và AH =AI
c Từ E, D kẻ đường thẳng song song DH và EI cắt AB tại AC lần lượt tại L ,K Chứng minh
BLE =CKD
d Gọi O là giao điểm của EL và DK Chứng minh: O nằm trên đường trung trực BC
Bài 5: Cho ABC, ˆB =600 ; ˆC < Aˆ
a Chứng minh : AB < AC
b Trên cạnh BC lấy D sao cho BD = BA C/m : ABD đều
c So sánh độ dài : AB, BC , CA
Bài 6 : ChoABC nhọn, AB< AC AH là đường cao.
a C/m : BAH < HAC
b Trên HC lấy D sao cho : HD = HB C/m : ABD cân
c Từ D kẻ DE vuông góc với AC, Từ C kẻ CF vuông góc với AD Chứng minh : AH , DE , CF cùng đi qua một điểm
Bài 7 : Cho ABC, ˆA =1200 Các tia phân giác của ˆA và ˆ C cắt nhau tại O, cắt cạnh BC và AB
lần lượt tại D và E Đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B của ABC cắt đường thẳng AC tại F Chứng minh :
a BO ⊥BF
b ˆBDF = ADF ˆ
c Ba điểm D, E, F thẳng hàng
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A , phân giác BD.Kẻ DE ^ BC (EÎ BC) Gọi F là giao điểm của BA và ED Chứng minh rằng :
a BD là đường trung trực của AE
b DF = DC
c AD < DC
Bài 9: Cho ABC vuông tại A , đường trung tuyến AM Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA
a Tính số đo góc ABD
b Chứng minh : ABC = BAD
c So sánh độ dài AM và BC
Bài 10: Cho góc vuông xOy , điểm A thuộc tia Ox , điểm B thuộc tia Oy Gọi D , E theo thứ tự
là trung điểm của OA , OB Đường vuông góc với OA tại D và đường vuông góc với OB tại E cắt nhau ở C Chứng minh rằng :
a CE = OD b CE ⊥ CD
Trang 6c CA = CB d CA // DE
e Ba điểm A , B , C thẳng hàng
Bài 11: Cho góc nhọn xOy Gọi C là một điểm thuộc tia phân giác của góc xOy Kẻ CA ⊥Ox (A ∈Ox) , kẻ CB ⊥ Oy (B ∈ Oy)
a Chứng minh rằng CA = CB
b Gọi D là giao điểm của BC và Ox , gọi E là giao điểm của AC và Oy So sánh độ dài CD
và CF
c Cho biết OC = 13cm , OA = 12cm Tính độ dài AC ?
Bài 12 : Cho tam giác ABC có ˆA 90= 0 và AB = AC Gọi K là trung điểm của BC
a Chứng minh rằng AKB = AKC và AK ⊥ BC
b Từ C vẽ đường vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại E Chứng : EC // AK
c Tam giác BCE là tam giác gì ? Tính góc BEC ?
Bài 13 : Cho ∆ ABC cân tại A, đường cao AH Biết AB=5cm, BC=6cm
a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH?
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm A,G,H thẳng hàng?
c) Chứng minh: ·ABG = ACG ?·
Bài 14: Cho ∆ ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của cạnh BC
a) Chứng minh : ∆ ABM = ∆ ACM
b) Từ M vẽ MH ⊥AB và MK ⊥AC Chứng minh BH = CK
c) Từ B vẽ BP ⊥AC, BP cắt MH tại I Chứng minh ∆ IBM cân
Bài 15 : Cho ∆ ABC vuông tại A Từ một điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC vẽ KH ⊥ AC Trên tia đối của tia HK lấy điểm I sao cho HI = HK Chứng minh :
a) AB // HK
b) ∆ AKI cân
c) ·BAK =·AIK
d) ∆ AIC = ∆ AKC
Bài 16 : Cho ∆ ABC cân tại A ( µA<900), vẽ BD ⊥AC và CE ⊥AB Gọi H là giao điểm của
BD và CE
a) Chứng minh : ∆ ABD = ∆ ACE
b) Chứng minh ∆ AED cân
c) Chứng minh AH là đường trung trực của ED
d) Trên tia đối của tia DB lấy điểm K sao cho DK = DB Chứng minh ·ECB DKC=·
Bài 17 Cho ∆ ABC cân tại A Trên tia đối của tia BA lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy
điểm E sao cho BD = CE Vẽ DH và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC Chứng minh : a) HB = CK
b) ·AHB AKC=·
c) HK // DE
d) ∆ AHE = ∆ AKD
e) Gọi I là giao điểm của DK và EH Chứng minh AI ⊥DE
C PHẦN TRẮC NGHIỆM:
Câu 1: Điểm thi môn anh văn của một nhóm học sinh được cho bởi bảng sau :
Dùng các số liệu trên để trả lời các câu hỏi sau :
1 Số các giá trị của dấu hiệu phải tìm là:
2 Số giá trị khác nhau của dấu hiệu là:
3 Tần số học sinh có điểm 7 là:
Trang 74 Tỉ lệ học sinh có 9 điểm là:
5 Điểm trung bình của nhóm học sinh trên được tính bằng số trung bình cộng là :
6 Mốt của dấu hiệu là:
Câu 2: Giá trị của biểu thức : A = 3x2 –4y –x +1 tại x = -2 ; y =3 là :
Câu 3: Giá trị của biểu thức 5x2 + 3x – 1 tại x = 1
3 là :
A 5
1
3 C
1 3
Câu 4: Có bao nhiêu nhóm đơn thức đồng dạng trong các đơn thức :
1 2 1 2 2 2 2
Câu 5: Đơn thức thích hợp vào chỗ trống : +5xy=- 3xylà :
A 2xy B – 8xy C 8xy D – 2xy
Câu 6: Cho đa thức x2 x 1
4
- + Số nào trong các số sau là nghiệm của đa thức ?
Câu 7: Đơn thức 2 xy z.( 3x y)2 2 2
3
- - có dạng thu gọn là :
A 6 x5y4z B 2 x3y3z C -2 x3y3z D -6 x5y4z
Câu 8: Tổng các đơn thức : - 5xy2 ; 1
2xy2 ;
1
4xy2
và-1
2xy2 là :
A -51
4 xy2 B 5
1
4 xy2 C 4
3
4 xy2 D -4
3
4 xy2
Câu 9: Cho đơn thức E = 4x2y3(-3xy) có bậc là :
Câu 10: Giá trị của đa thức : M = -2x2 –5x+1 tại x = 2
A 0 B -2 2 C -3 - 5 2 D Kết quả khác
Câu 11: Một thửa ruộng hình chữ nhật , chiều rộng bằng 4
7chiều dài Gọi chiều dài là x , biểu thức nào sau đây là chu vi của thửa ruộng :
A x +4
4
7x C 2(x +
4
7x) D 4 (x +
4
7x)
Câu 12: Điền vào ô vuông để được đơn thức : 0,2 đồng dạng với : 5x3yt2
A x3yt2 B x2yxt2 C tx3yt D Cả A, B, C đúng
Câu 13: Cho g(x) = 3x3 –12x2 +3x +18 Giá trị nào sau đây của x không là nghiệm của g(x)?
Câu 14: Có tam giác nào mà ba cạnh có độ dài như sau không ?
Câu 15: Tam giác ABC có ˆA 70= 0 , ˆB C 20− =ˆ 0 Tính ˆB và ˆC ?
A 700 và 500 B 650 và 450
C 600 và 450 D 500 và 300
Trang 8Câu 16 : Cho ABC và A’B’C’ có AB= A’B’, ˆB = ˆB ’ Tìm thêm điều kiện để ABC
=A’B’C’
A ˆA = ˆA ’ B BC =B’C’ C AC =A’C’ D Cả A, B đều đúng
Câu 17: Cho MNP và EFQ : Mˆ = =Eˆ 900; ˆN =Fˆ Tìm điều kiện để MNP=EFQ (g.c.g)
Câu 18: Cho tam giác ABC cân tại A , vẽ BH ⊥ AC (H ∈ AC) , biết ˆA 50= 0 Tính ˆCBH ?
Câu 19 : Cho tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng 2cm Cạnh huyền bằng 1,5 lần cạnh
góc vuông đã cho Độ dài góc vuông còn lại là :
Câu 20 : Cho ABC vuông tại A Cho biết AB = 18cm , AC = 24cm Kết quả nào sau đây là
chu vi của ABC ?
Câu 21: Tam giác ABC có AB= 4cm, AC=2cm Biết độ dài cạnh BC là một số nguyên chẵn
.Vậy BC có độ dài là bao nhiêu :
Câu 22: Cho tam giác ABC vuông tại B , có đường cao BD.Trực tâm của tam giác là:
Câu 23: Cho tam giác ABC có µA 80= 0 các đường phân giác BD , CE cắt nhau tại I Góc BIC
có số đo là :
Câu 24: Cho tam giác ABC , ˆB 2C= ˆ Tia phân giác góc B cắt AC tại D Từ D kẻ DE // BC Câu nào sai ?
A BD = DC B AE = EB C EB = ED ; D Nếu ABC vuông tại B thì DA = DC = DB
Câu 25: Cho ABC có H là giao điểm hai đường cao BB’ và CC’ ˆA = 500 Phát biểu nao sau đây đúng ?
A H là trực tâm HBC B H là trực tâm HAC
C ·HBC HCA 25=· = 0 D ·HBC HCB 50+· = 0
Câu 26: Cho ABC cân Biết AB = AC = 10cm , BC = 12cm M là trung điểm BC Độ dài
trung tuyến AM là :
Câu 27 : Cho ABC có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G Phát biểu nào sau đây đúng ?
A GM = GN B GM 1GB
3
2
Câu 28: Cho ABC có hai đường cao AA’ , BB’ cắt nhau tại H ( H nằm trong ABC) , biết ˆC =
300
Số đo góc A’HB’ là :
A 600 B 1500 C 1200 D Một kết quả khác
Câu 29: Nếu G là trọng tâm của tam giác PQR và PX là đường trung tuyến thì PG
GX bằng :
A 1 :1 B 2:1 C 3:1 D 3:2
Câu 30: Ba đường cao của tam giác cắt nhau tại một điểm gọi là:
A Trọng tâm của tam giác B Trực tâm của tam giác
C Tâm đường tròn ngoại tiếp D Tâm đường tròn nội tiếp