Tổng hợp kiến thức lớp 11

Tổng hợp kiến thức lớp 11

CHƯƠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương trình lượng giác là một phần rất quan trọng của chương trình THPT,nó liên quan đến

rất nhiều vấn đề sau này mà trước mắt là bạn thấy trong các đề thi tốt nghiệp và đại học lúc

nào cũng có câu:” Giải phương trình lượng giác”

Vậy chúng ta bắt đầu nghiên cứu vấn đề này nhé ( rất hay đó)

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

………

Phụ lục: MỘT CHÚ Ý NHỎ VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phải nói ngay là k ỹ năng mà tôi trình bày đến các bạn đây không phải là 1 phương pháp vạn năng Nói chung là làm quái gì có pp vạn năng Có chăng chỉ là những nguyên tắc tư duy cơ bản, nói như Polya tức là những "lối đi có lý" Những lối đi có lý giúp người ta bớt mê Thế thôi!

Ta bắt đầu bằng một bài toán Đại Số như sau;

4/ Kết luận: nghiệm phương trình là x=1 và x=-2

-Bạn làm như thế là rất tốt! tuy nhiên việc "quá điêu luyện" và "tự tin" với những kỹ năng máy móc như vậy là cả 1 vấn đề rất chi là nguy hại đến tư duy của bạn Trên quan điểm "hủy diệt" bài toán đó thì quả thực chiêu pháp của bạn là "tàn bạo" và vì "thiếu nhân đạo" nên đôi khi việc bạn mất công thịt

nó cụng chả đem lại tác dụng zề Nói thế tức là ta đè chữ "Dục" với lời giải xuống 1 tý đã "Gian

manh thì sự nó mới TO cái thành " các cụ chả dạy thế là gì?

-Tôi thì có vài ý như sau:

1/ Nhẩm thấy nghiệm x=1

2/ Số 1 là một "nghiệm đẹp" (ngoài đời oánh nhau vì số 1 ) Tuy nhiên khi vác đi tính toán thì số 1 chưa "tiện" bằng số 0 (số này bị sida cứ số nào khác ôm (nhân) phải nó cũng sida theo ) Thêm nữa cộng trừ với 0 thì còn gì khoái bằng! (có phải làm cái giề đâu )

3/ Ẩn x ban đầu tý nữa bằng 1 tức là x=1+t (t: một tý) Cái "tý" ấy lát nữa sẽ bằng 0 ( )

4/ Nếu gặp một phương trình đại số mà có nghiệm x=0 thì nhân tử cứ gọi là tự cởi chuồng Chúng mình chả mất công làm cái gì cả :-SS

Lời giải:

Đặt x=1+t phương trình trở thành (1+t)3-3.(1+t)+2=0 ⇔t3-3t2=0⇔ Hơ hơ!!

Bây giờ ta nói đến phương trình lượng giác

Ai từng giải các phương trình lượng giác (hay phương trình loại cổ khỉ j khác ) cũng phải chấp nhận

là quanh đi quẩn lại ta phải:

i- Biến đổi phương trình để

Bây giờ "bắt chiếc" cái vẹo vặt ở trên kia với phương trình Đại Số ta có vài ý nghĩ như sau:

1/ Do sự xuất hiện của 3 nên ta lọ mọ mò quanh các nghiệm đặc biệt liên can đến π3 và π6

2/ Với cái Fx500 thì bạn chỉ cần mất 1 phút để mò ra nghiệm đặc biệt c=π+π6=7π6

3/ Sẽ đặt x=t+7π6 đưa phương trình về ẩn t

4/ Hý hóp hy vọng nhân tử sẽ tự cởi chuồng

CHƯƠNG 2: GIỚI HẠN VÀ HÀM SỐ LIÊN TỤC

Phần 1 Các dạng bài toán về tính giới hạn hàm số

 Kiến thức cơ bản cần nắm ( không nắm out lun, hehe )

 Giới hạn

0

( ) lim ( )

0 Đây là dạng giới hạn thường gặp vì nó hay!

@ Các bạn có thấy thiếu điều gì không? Đó là khái niệm về giới hạn đấy, cực kì hay nha, vì bài viết này chỉ nhằm luyện thi đại học nên những bài toán đi sâu vào giới hạn không được chúng tôi đề cập nhiều! Nói chung giải thành thạo những bài của đại học chỉ là phần ngoài của giới hạn thôi nhé, hấp dẫn còn ở đằng sau Bạn đừng cười nhiều vì làm bài kiểm tra được điểm cao nha, bình thường thôi!

 Khái niệm giới hạn dãy số: ( an)   a a1, 2, , an;  có giới hạn là số a nếu bắt đầu từ một chỉ số nào đó, mọi số hạng an đều nằm trong một lân cận bất kì của điểm a, tức là ở ngoài lân cận hoặc chỉ

có một số hữu hạn số hạng hoặc không có số hạng nào của dãy Kí hiệu lim n



    ( * )( cái này có được vì sao? )

@ Sau đây là các bài toán hay và thường gặp về giới hạn

 Thí dụ 1 Tìm giới hạn

3 0

Lời giải ( bạn đang cười vì : „ tôi làm nó quá nhiều „ )

Trước hết ta thêm bớt 2 trên tử rồi tách ra như sau

chúng ta đã loại đi những dấu căn cồng kềnh, khi đổi biến thì nhớ đổi „cận‟ của giới hạn) Ưu điểm hơn qua bài toán sau:

 Thí dụ 2. Tìm giới hạn

5 4

T  , cách giải hoàn toàn tương tự bài 1 cái bạn thử xem nhen!

Câu hỏi đặt ra là làm sao tìm được hệ số tự do thêm bớt vào ( trong bài 1 là số „2‟ ấy ) Bạn xem bài toán tổng quát từ đó rút ra suy nghĩ nhé: lim ( ) ( )

x a

f x g x T

os2 lim

x c x

x c x x

 Thí dụ 5. Tính giới hạn

0

ln(s inx cos )lim

x

x T

x x ( ĐH Bách Khoa HN 1997 ) – cùi bắp Lời giải

1 1

x

x T

2sin (1 1 ) 2

4 2

x

x

x x

1 os 2 lim

1 cos

x

x T

4sin 3sin s inx 4sin 3 1 os

lim 1 cos 4sin 3 3 2

sinx

11

( 2 1 1) ( 1 1) lim

 Thí dụ 15 Tính giới hạn

2

2 0

x

x e

( chỗ này tôi viết tắt nhé, các bạn phải thông qua một

bước tam gọi là đổi cận của giới hạn như đã trình bày ở cái thí dụ trước )

@ wow wow đói bụng quá ăn cơm cái đã, mới đánh ba tiếng mà được nhiêu đây cũng kha khá rồi,

hè hè chúng ta chuẩn bị sử dụng vũ khí nguyên tử để tiêu diệt vương quốc giới hạn nha! ( 11h55

Đs: 7

2

T  ( nếu bí quá bạn có thể liên hệ với chúng tôi qua tinhbantoan@yahoo.com )

@ Tiếp tục với những bài có ý tưởng thêm bớt nhé! ( khè khè )

 Thí dụ 17 ( Một bài toán cực kì quan trọng )

Tính giới hạn sau

0

1 ax 1lim

1

y

a a

Ta sử dụng biến đổi sau đây

4

a  x

Phần 2 Các bài toán về tính liên tục và có đạo hàm của hàm số

 Hàm số liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi  

đó có thể ứng dụng tính liên tục để giải phương trình, cái này mới quan trọng vì thi đại học thường có!

 Thí dụ 20. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm x  1:

 Hàm số liên tục tại điểm x  x0 khi và chỉ khi

gì bạn có trong những ví dụ phần 1 thì việc tính giới hạn này chỉ còn là trò trẻ con!

Bạn thấy một chút gì đó khó hiểu, ừ đúng, hãy đọc lại đề một lần nữa thật kĩ Người ta yêu cầu “ tìm m

“ để hàm số liên tục tại điểm x=1 vậy nên ta đã có một giả thiết cực kì quan trọng là hàm số này liên tục tại điểm x=1, điều này tương đương với

 Thí dụ 21. Tìm m để hàm số sau liên tục tại điểm

3

x

t anx 3cot3

3

;3

x x

   a m ( nếu bạn vẫn thấy khó hiểu thì nên ngẫm nghĩ lại những gì mình mới

đọc rồi hãy tiếp tục nha, toán liên quan đến lí thuyết hay lém )

@ Hehe, bạn đang tự tin, ui dễ ợt mà có gì không hiểu, ừ nếu như từ những bài giới hạn ban đầu mà chúng tôi đề cập đến bạn có thể tạo ra được những bài liên tục như thế này, thì chắc chắn bạn đã hiểu rồi đấy! Nào chúng ta cùng qua một số bài tính đạo hàm mà phải dùng đến định nghĩa mới mong có solution đẹp!

 Thí dụ 22. Tính đạo hàm hàm số sau tại điểm x  0

t anx sinx 2

f 

@ Liệu có ai trong các bạn đặt ra câu hỏi này : ‘ ủa sao hàm số chưa biết có liên tục hay không mà tính đạo hàm trời ‘ Hehe, việc có đạo hàm tại một điểm sẽ làm hàm số liên tục tại điểm đó chứ không phải liên tục tại một điểm thì hàm số có đạo hàm tại điểm đó ( làm ơn nhớ dùm )

@ Các bạn có đặt ra câu hỏi là vì sao chúng tôi lại đặt phần này sau phần giới hạn không, uhm, vì khi

thành thạo giới hạn rồi việc tính các giới hạn hệ quả như trên mới dễ dàng được Chúc các bạn may mắn, đi ngủ đây ( 30-31/3/2009), hôm nay khuya quá rồi, ngày mới lại đến!

@ Hãy nhớ lúc này các bạn đã có công lực kha khá về giới hạn rồi nhe, nên việc tính ở trên xin dành

cho các bạn Như vậy để giải bài toán dạng này ta căn cứ vào 2 điều kiện: thứ nhất có đạo hàm thì phải liên tục, điều kiện thứ hai là điều kiện tồn tại của đạo hàm ( xin nhắc lại rằng bạn cần phải hiểu lí thuyết một cách thật cặn kẽ )

 Thí dụ 25. Tìm a, b để hàm số

a)

2 2

@ Sao chúng ta không tự tạo ra những bài toán có hệ số là năm sinh của mình hay là của người yêu

người thân của mình nhĩ? Chúc các bạn may mắn và thật hài lòng với những bài toán mình tạo ra!

 Thí dụ 26 Chứng minh rằng hàm số

1

x y x

limf ( ) lim 0 0

1

x x

  nên đại ca này liên tục tại x0  0

 Bây giờ chúng ta chứng minh hàm số này không có đạo hàm tại x0  0

Nhận xét về bài toán này: tuy là đề thi hsg nhưng rất mềm, không quá khó khăn phải không em Vịt???

Thí dụ 28 Cho hàm số

1 os ; 0 ( )

PHỤ LỤC: CHUYÊN ĐỀ KHỬ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHI TÍNH GIỚI HẠN ( RẤT HAY )

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN: Các dạng vô định:

o Chia tử và mẫu cho xk

với k chọn thích hợp Chú ý rằng nếu x  thì coi như x>0, nếu x thì coi như x<0 khi đưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

3 Giới hạn của hàm số dạng: lim       0.

3 x

3 1 lim

3

3 1 lim

2 2

x x

3 3

x x

2 2

x

x x x

………

Phần 3 Ứng dụng định lí lagrange trong việc giải phương trình

( Dành cho các cho việc bồi dưỡng HSG )

 Thí dụ 29. Chứng minh rằng với mọi số thực a b c, , thì phương trình

cos3 cos 2 cos sinx 0

a x b  x c  x   (1) luôn có nghiệm trong khoảng  0;2  

Lời giải Lần đầu tiên tôi gặp bài toán này vào năm lớp 10, thật sự lời giải làm cho tôi thích nhất của bài toán này là dùng định lí lagrange

f x   x  b x c x x trên đoạn [0;2 ] Rõ ràng hàm số này xác định và liên tục trên [0; 2 ] , có đạo hàm tại mọi điểm thuộc  0; 2   Ngoài ra

dạng  1  2 4  4.4

y y

nghiệm, rồi từ đó bằng cách đoán nghiệm ta suy ra các nghiệm của phương trình Những phương trình dùng tới định lí này thường có mặt trong các kì thi hsg!

f y      nếu ta coi phương trình này là phương trình với biến là 4y thì

rõ ràng nó là một pt bậc hai nên nó sẽ có không quá 2 nghiệm Từ đó (1) sẽ có không quá 3 nghiệm, ta đoán được 1 0; 2 1; 3 1

@ hichic, 3 tiếng rưỡi edit trong đẹp hơn nhiều rồi! – 3h30, 3.4.2009

Phần 4 Sử dụng đạo hàm để tính giới hạn của hàm số ( bom

Lời giải Với bài toán này mà làm theo những cách ở phần 1 thì cũng có vẻ hơi căn phải hong nè! Chúng ta giải bằng cách dùng đạo hàm

( ) (0) lim

0 ( ) (0) lim

0

x

x

f x f x

f g



1 4 15

3 45 4





Việc tính đạo hàm tại x  0 của hai hàm f(x) và g(x) xin dành cho các bạn!

@ Uhm, qua ví dụ này các bạn đã thấy sức mạnh của phương pháp đạo hàm trong giới hạn chưa, thật

sự các ví dụ trong phần 1 điều có thể giải được bằng pp này!

 Thí dụ 34. Tính giới hạn sau

tan 2 os16 8

? với nhận định này ta thực hiện biến đổi như sau

tan 2 os16 tan 2 os16 tan 2 os16

1

88

x

x

e

f x

1

88

x

e

g x

0

ln(1 )lim

1

x x

x T

2 3

ln(1  x ) ln(1  x ) x e x  1  x

 với a là hằng số cho trước

Lời giải Biến đổi bài toán như sau

và những phép biến đổi khéo léo!

 Lời cuối cùng: Sau khoảng 9 tiếng chúng tôi đã hoàn thành xong bài viết này, vì thời gian là

có hạn và mùa thi đã đến gần nên chúng tôi không thể trình bày hết các vấn đề của Giới hạn, liên tục và đạo hàm Chúng tôi hi vọng với bài viết ngắn này, trong kì thi sắp tới các bạn sẽ làm tốt hơn về phần này, và các bạn đang học 11 sẽ có thêm một kiến thức nhỏ để chuẩn bị cho việc học đội tuyển Chúng tôi rất tiếc là không thể thực hiện được ý định như ý muốn là viết thêm phần 5, một phần chúng tôi rất tâm đắc, đó là sử dụng tính liên tục để giải phương trình, bất phương trình, chứng minh sự tồn tại nghiệm, giải phương trình hàm,và phần giới hạn trong dãy số …Nhưng chúng tôi không còn nhiều thời gian nữa, lời cuối chúng tôi xin chúc các bạn thi tốt trong kì thi sắp tới và những kì thi sau này Dù đã rất cố gắng nhưng sai xót là không thể tránh khỏi, hi vọng nhận được nhiều sự đóng góp từ các ban Với bài viết này chúng tôi hi vọng kiến thức về toán sơ cấp của bản thân ngày càng vững vàng hơn Xin chào và hẹn gặp lại các bạn ở những chuyên đề khác khi chúng tôi rời ghế nhà trường THPT

P/S: Trên đây là toàn bộ những kiến thức cơ bản và dạng bài tập của giới hạn hàm số đủ để em có thể làm tất cả các bài về giới hạn chỉ cần em tự học và chịu khó làm bài tập thôi là có thể làm tốt bài thi Đại học

CHƯƠNG 3: ĐẠO HÀM

Lý thuyết đạo hàm

I Định nghĩa đạo hàm

1) Đạo hàm tại 1 điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trong một lân cận của x0 khi x0 nhận một số gia Δx thì y0 = f(x0) nhận một

số gia tương ứng là Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)

Nếu lim (Δy/Δx) tồn tại thì ta gọi đó là đạo hàm của hàm số f tại x0 Ký hiệu f'(x0) :

2- Đạo hàm trên một khoảng, một đoạn

f(x) có đạo hàm trên (a;b) ↔ f(x) có đạo hàm tại mọi x thuộc (a;b)

f(x) có đạo hàm trên [a;b] ↔ f(x) có đạo hàm trên (a;b), f'(a+) và f'( tồn tại

3-Quan hệ giữa đạo hàm và liên tục của hàm số

Cho hàm số có đạo hàm tại xo =>hàm liên tục tại đó

không có dấu chỉ chiều ngược lại

4-Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số f(x) có đạo hàm tại xo thì tại điểm đó đồ thị của nó có tiếp tuyến dạng :

5/ Các công thức đạo hàm cơ bản

Cho hàm u ,v ta có các công thức sau :

II ĐẠO HÀM CẤP CAO - VI PHÂN

Ví dụ 1:Tính đạo hàm cấp 1 của

Riêng về những dạng đạo hàm

thì không thể dùng những phương pháp thông thường được ,Ta cần ln hai vế

Sau đó đạo hàm hai vế lúc đó ta có :

Từ đó ==> đạo hàm cần tìm

IV ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

1/ Tính đơn điệu của hàm số

a/ Điều kiện cần của tính đơn điệu

Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)

f(x) tăng trên (a;b) → f'(x) ≥ 0, với mọi x thuộc (a;b)

f(x) giảm trên (a;b) → f'(x) ≤ 0, với mọi x thuộc (a;b)

b/ Điều kiện đủ của tính đơn điệu

Cho y = f(x) là hàm số có đạo hàm trên (a;b)

f'(x) > 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) tăng trên (a;b)

f'(x) < 0, với mọi x thuộc (a;b) → f(x) giảm trên (a;b)

c/ Hàm hằng

f là hàm hằng trên (a;b) ↔ f'(x) = 0, với mọi x thuộc (a;b)

2/ Chứng minh bất đẳng thức

a/ Định lý Lagrange: Nếu f là hàm liên tục trên [a;b] và có đạo hàm trên (a;b) thì tồn tại ít nhất một số c

thuộc (a;b) sao cho

* Ý nghĩa hình học : Trên cung AB của đồ thị hàm f, tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng AB

* Áp dụng : Nếu f'(x) bị chặn trong khoảng (a;b), tức tồn tại 2 số m, M sao cho :

m < f'(x) < M, với mọi x thuộc (a;b) → tồn tại c : m < f'(c) < M

Suy ra :

b/ Tính đơn điệu hoặc bảng biên thiên

- Khảo sát sự biến thiên của hàm f

- Dựa vào bảng biến thiên, rút ra đpcm (có thể dùng f'' để xét dấu f')

3/ Biện luận phương trình và bất phương trình

a/ Phương trình f(x) = m

- Phương trình f(x) = m là phương trình hoàng độ điểm chung của đường thẳng (d): y = m và đồ thị hàm

số (C): y = f(x)

- Số nghiệm của phương trình là số điểm chung của (d) và (C)

- Dựa vào bảng biến thiên của hàm f và giá trị của m, kết luận số điểm chung, tức số nghiệm của phương trình

- Một cách tổng quát: phương trình f(x) = m có nghiệm ↔ m thuộc MGT của f

b/ Bất phương trình f(x) < m

Gọi D là MXĐ của f(x)

- Nghiệm của bất phương trình f(x) < m là hoành độ các điểm thuộc đồ thị (C): y = f(x) nằm dưới đường thẳng (d): y = m

- Bất phương trình f(x) < m có nghiệm ↔ có một phần của đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)

- Bất phương trình f(x) < m thỏa với mọi x thuộc D ↔ toàn bộ đồ thị (C) nằm dưới đường thẳng (d)

** Tương tự với các bất phương trình : f(x) > m , f(x) ≤ m, f(x) ≥ m

y = f(x0+x) –f(x0) = f(x) –f(0) = x

x 1



 y

hàm số đó có đạo hàm hay không ?

2

(x 1) ,neáu x 0



a) Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x = 0

b) Tính đạo hàm của f(x) tại x =

 hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián đoạn tại x0 = 0)

Bài 7: Tính đạo hàm các hàm số sau:

10 y =

2 2