GV: Cô Lê Thùy Trang TỔNG HỢP KIẾN THỨC LỚP 11 cos a cot a = ( a ≠ kπ ) sin a A LƯỢNG GIÁC Bảng giá trị lượng giác số cung (góc) đặc biệt 00 Độ Rad 300 π cos tan π sin 45 2 600 900 π π ⑥ Đổi đơn vị 1800 π tan ( a − b ) = ⑥ Công thức nhân đôi, nhân ba − 1800 Công thức hạ bậc sin 2a = 2sin a.cos a π ① ② 2 2 0 3 P P 3 tan a tan 2a = − tan a ③ Cung liên kết “Cos đối – sin bù – phụ chéo – khác Cung −a Đối tan” sin cos tan cot − sin a cos a − tan a − cot a sin a cot a tan a π +a cos a − sin a − cot a − tan a π −a sin a − cos a − tan a − cot a π π +a − sin a − cos a tan a cot a k 2π k 2π + a sin a cos a tan a cot a Hơn Bù tan cot Công thức + + − − cos a.cos b = cos ( a + b ) + cos ( a − b ) 2 − + − + − + − sin a.sin b = −1 cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ④ π sin a + cos a = sin a + ÷ 4 a+b a−b cos 2 ① π sin a − cos a = sin a − ÷ 4 ② π cos a + sin a = cos a − ÷ 4 a+b a −b cos a + cos b = 2cos cos 2 ③ ③ π cos a − sin a = cos a + ÷ 4 a+b a−b cos a − cos b = −2sin sin 2 ④ ④ 11 Các biến đổi thường gặp sin a + cos a = ( sin a + cos a ) ( − sin a.cos a ) t = tan x sin a − cos a = ( sin a − cos a ) ( + sin a.cos a ) sin x = 2t 1+ t2 cos x = 1− t2 1+ t2 ① Công thức cộng ② sin ( a + b ) = sin a.cos b + cos a.sin b ① sin a + cos a = − 2sin a.cos a = − sin 2a = + cos a 4 ④ sin a + cos a = − 3sin a.cos a = − sin 2a = + cos a 8 ③ ⑤ cos ( a − b ) = cos a.cos b + sin a.sin b sin a − cos a = −2 cos 2a ( − sin a.cos a ) ⑥ ④ sin a π tan a = a ≠ + kπ ÷ cos a ② cos ( a + b ) = cos a.cos b − sin a.sin b 1 + cot a = ( a ≠ kπ ) sin a sin a − cos a = sin a − cos a = − cos 2a ② ③ sin ( a − b ) = sin a.cos b − cos a.sin b π + tan a = a ≠ + kπ ÷ cos a ④ sin ( a + b ) − sin ( a − b ) 2 a+b a−b sin a − sin b = 2cos sin 2 + − ③ cos a.sin b = ① ① ② 3sin a − sin 3a ② sin a + sin b = 2sin − + π tan a.cot a = 1 a ≠ k ÷ 2 ⑤ sin ( a + b ) + sin ( a − b ) 2 ② + ① sin a = 10 Cơng thức biến đổi tổng thành tích sin a + cos a = sin a.cos b = ③ Hơn Bảng dấu HSLG “Nhất TỨ - Nhị SIN – Tam TAN – Tứ COS” I II III IV cos 3cos a + cos 3a ⑤ ① Hơn sin cos3 a = ⑤ cos a π − cos 2a + cos 2a Cơng thức biến đổi tích thành tổng π −a Phụ tan a = cos 3a = 4cos3 a − 3cos a π Loại − cos 2a ④ ④ P sin a = ③ −1 sin 3a = 3sin a − 4sin a cot + cos 2a ② = cos2 a − = − 2sin a cos a = ① cos 2a = cos a − sin a tan a − tan b + tan a.tan b + sin 2a = ( sin a + cos a ) tan a + tan b tan ( a + b ) = − tan a.tan b ⑦ − sin 2a = ( sin a − cos a ) ⑤ ⑧ Phương trình – Phương trình bậc theo hslg Dạng: sin x = m x = y + k 2π sin x = sin y ⇔ x = π − y + k 2π x = arcsin m + k 2π ⇔ ( −1 ≤ m ≤ 1) x = π − arcsin m + k 2π ① ② x = arccos m + k 2π ⇔ ( −1 ≤ m ≤ 1) x = − arccos m + k 2π ② ③ π t = sin x − cos x = sin x − ÷ 4 tan x = m ⇔ x = arctan m + kπ ( cos x ≠ ) ③ ④ π sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π sin x = ⇔ x = ① cos x = ⇔ x = cos x = ⇔ x = k 2π ④ ⑤ tập hợp X Số hốn vị tập hợp X có n phần tử, ký hiệu π + kπ Chỉnh hợp ⑥ ① a.cos x + b.cos x + c = ② (1) t = sin x ( −1 ≤ t ≤ 1) Đặt ⇔ at + bt + c = … (2) a.tan x + b.tan x + c = … ④ (1) Đặt ⇔ at + bt + c = (2) t = cot x ( sin x ≠ ) … (2) hiệu a sin x + b cos x = c … Tính chất: ① Cơng thức: Với a a + b2 Bài giải: Chia pt cho a a + b2 b a + b2 b + ÷ ÷ a + b2 cos x = c a2 + b2 nên đặt: c sin x.cos u + cos x.sin u = a + b2 ⇔ sin ( x + u ) = c Đặc biệt: ① TH2: ( a tan x + b tan x + c = : chia pt cho ⇔ a tan x + b tan x + c = d + tan x ) ( a = 1, b = −1) ② n Xác suất biến cố Phép thử: Một phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt phép thử), ký hiệu T, thí nghiệm hay hành động mà: - Có thể lặp lặp lại nhiều lần điều kiện giống - Kết khơng dự đốn trước - Có thể xác định tập hợp tất kết xảy phép thử Khơng gian mẫu: Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi Ω không gian mẫu phép thử, ký hiệu Ω Ω Biến cố: Cho phép thử T không gian mẫu Một tập A không gian mẫu ∅ Ω : kiểm tra pt có thỏa mãn khơng cos x k =0 k (1) π cos x ≠ ⇔ x ≠ + kπ n ∑ Cnk a n − k bk n = Cn0 − C1n + Cn2 + + ( −1) Cnk + + ( −1) Cnn a + b2 cos x = sin x = Bài giải: TH1: = ( a = b = 1) 2n = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn a sin x + b sin x cos x + c cos x = d ) số nguyên dương ta có: a, b ④ Số hạng thứ (k + 1) Phương trình bậc theo sinx, cosx (pt đẳng cấp) ( hai số thực Tính chất: ① Có số hạng ② Tổng số mũ số hạng ③ Các hệ số cách số hạng đầu số hạng cuối Tk +1 = Cnk a n − k bk ( k = 0,1, , n ) (1) Dạng: n ( n + 1) a cos u = a + b2 b sin u = a + b2 =1 ÷ ÷ ③ ( a + b ) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1 b + Cn2 a n − b + + Cnn −1 a b n −1 + Cnn b n : Vì ⇔ sin x + Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 ② a, b đồng thời khác 0) Điều kiện có nghiệm: a + b2 Cnk = Cnn − k Nhị thức Newton b a (1) ( a + b2 ≥ c2 : Cn0 = Cnn = Phương trình bậc theo sinx, cosx (pt cổ điển) Dạng: ( k ∈ ¥, ≤ k ≤ n) Mỗi tập hợp gồm k phần tử tập hợp X gọi tổ hợp chập k n phần tử tập hợp X Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử, ký Ak n! Cnk = n == k Cn ( k ∈ ¥ , ≤ k ≤ n ) k! k !( n − k ) ! Đặt ⇔ at + bt + c = (1) : Tổ hợp a.cot x + b.cot x + c = t = tan x ( cos x ≠ ) ( k ∈ ¥ *,1 ≤ k ≤ n ) phần tử, ký hiệu Đặt ⇔ at + bt + c = (1) ③ (2) t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) : Mỗi cách thứ tự k phần tử tập hợp X gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp X Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n n! Ank = n ( n − 1) ( n − ) ( n − k + 1) = Ank ( ≤ k ≤ n ) ( n −k)! Phương trình bậc hai theo hslg a.sin x + b.sin x + c = 1− t2 Mỗi cách thứ tự n phần tử tập hợp X gọi hoán vị n phần tử Pn Pn = 1.2 ( n − 1) n = n ! sin x = ⇔ x = kπ ③ cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π ) ≤ t ≤ ⇒ sin x.cos x = Hoán vị π + k 2π ② (− - Khi thực cơng việc, có nhiều phương án, phương án ta hồn thành xong cơng việc Khi ta dùng quy tắc cộng (cộng tất số cách thực phương án) ta số cách thực công việc - Khi thực công việc mà phải trải qua nhiều bước xong ta dùng quy tắc nhân (nhân tất số cách bước) ta số cách thực công việc ( sin x ≠ ) ④ t2 −1 Quy tắc đếm cot x = m ⇔ x = arc cot m + kπ ( sin x ≠ ) ) ≤ t ≤ ⇒ sin x.cos x = C TỔ HỢP & XÁC SUẤT ( cos x ≠ ) cot x = cot y ⇔ x = y + kπ (− Bài giải: Đặt cos x = m tan x = tan y ⇔ x = y + kπ (1) π t = sin x + cos x = sin x + ÷ 4 ① x = y + k 2π cos x = cos y ⇔ x = − y + k 2π GV: Cô Lê Thùy Trang a ( sin x ± cos x ) + b sin x cos x + c = B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC d cos x : ⇔ ( a − d ) tan x + b tan x + c − d = biến cố, gọi biến cố A.( Phương trình đối xứng, phản đối xứng biến cố xảy ra., biến cố chắn) P ( A) Xác suất biến cố A, ký hiệu , xảy biến cố A tính cơng thức: A n ( A) P ( A) = = n ( A) , n ( Ω ) n ( Ω) Ω : A Nếu A Nếu : Sn = u1 E GIỚI HẠN – LIÊN TỤC lim un = L ⇔ lim ( un − L ) = lim un = ±∞ Định nghĩa: , un Định lí tồn giới hạn: Nếu dãy un hạn) Nếu dãy n u : ¥* → ¡ ( * ⇔ ∀n ∈ ¥ : un < u n +1 un ) Bài giải: Xét H > ⇔ un : u T = n +1 un T > ⇔ un : ② Dãy bị chặn: ( ( un > ) ( ( * ) ⇔ ∃M , m : m ≤ un ≤ M ∀n ∈ ¥ * ) Tính chất: un = k +1 L lim un = L ( L ³ 0) lim ( C un ) = C L ỉ L un ữ ữ lim ỗ ỗ ữ= ( M 0) ỗ ữ ỗ ốvn ứ M ( ) + ( −∞ ) = −∞ ( +∞ ) ( +∞ ) = +∞ ( −∞ ) ( −∞ ) = +∞ a ( +∞ ) = −∞ a < 0: a ( −∞ ) = +∞ = +∞ un lim lim un = +∞ Bài giải: ① Dạng : rút tử mẫu với số mũ (cơ số) lớn → đặt nhân tử chung ∞−∞ → rút gọn ② Dạng tắc vô cực : nhân liên hợp/nhân tử chung, dùng quy tắc hữu hạn, quy Giới hạn hàm số lim f ( x ) = L ( ∞ ) lim f ( x ) = L ( ∞ ) x → x0 Sn = u1 + u2 + + un = n ( u1 + un ) n 2u1 + ( n − 1) d = 2 Định nghĩa: Tổng n số hạng đầu tiên: x →±∞ (GH điểm), lim f ( x) = lim h ( x) = L f ( x) £ g ( x ) £ h ( x ) x ® x0 x ® x0 Định lí kẹp: Nếu Cấp số nhân ( un ) ⇔ un +1 = u n q, ∀n ∈ ¥ * Định nghĩa: cấp số nhân un −1 , un , un +1 =0 un d ( : cơng sai) un −1 + un +1 u = ( n ≥ 2, n ∈ ¥ ) ⇔ n Số hạng tổng quát: ( +∞ ) ( −∞ ) = −∞ ∞ ∞ lập thành cấp số cộng un = u1 + ( n − 1) d ( n ≥ 2, n ∈ ¥ ) Tính chất: ③ ⇔ un +1 = un + d , ∀n ∈ ¥ * un −1 , un , un +1 lim lim un = bị chặn cấp số cộng vô định a ( +∞ ) = +∞ a > 0: a ( −∞ ) = −∞ Cấp số cộng ( un ) lim C = C lim ( un ) = L.M Quy tắc giới hạn vô cực: ( +∞ ) + ( −∞ ) = ) bị chặn un hội tụ +∞ , q > lim q n = 1 , q = 0 , −1 < q < ( +∞ ) + ( +∞ ) = +∞ dãy số giảm) ⇔ ∃m : m ≤ u n ∀ n ∈ ¥ un lim lim un = L k +1 dãy số giảm) ⇔ ∃M : un ≤ M ∀n ∈ ¥ * bị chặn ② lim ( un ± ) = L ± M T < ⇔ un dãy số tăng ( un Định nghĩa: , Quy tắc giới hạn hữu hạn: Cho H < ⇔ un dãy số tăng ( lim = L n dãy số tăng ) hội tụ (có giới lim un = L, lim = M dãy số giảm H = un +1 − un n Công thức: ① un ( tăng bị chặn un 0 , k > lim k = 1 , k = n +∞, k < n a un ⇔ ∀n ∈ ¥ : u n > u n +1 n Định lí kẹp: Nếu Dãy số: hàm số un giảm bị chặn hội tụ (có giới hạn) lim u = lim wn = L n u £ v £ w ,"n (v ) D CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN * ( q < 1) 1− q Giới hạn dãy số hai biến cố độc lập thì: Tính chất: ① Dãy đơn điệu: ,q =1 Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: P ( A.B ) = P ( A ) P ( B ) B Ω P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) xung khắc thì: ,q ≠1 Tổng n số hạng đầu tiên: ( ) B , xác định khả khách quan P A = − P ( A) A Với biến cố − qn u Sn = u1 + u2 + + un = 1 − q n.u số phần tử A P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A.B ) A, B Với biến cố GV: Cô Lê Thùy Trang ≤ P ( A) ≤ , q x → x0 x → x0 ( : công bội) ⇔ un = un −1 u n +1 ( n ≥ 2, n ∈ ¥ ) lập thành cấp số nhân un = u1.q n −1 ( n ≥ 2, n ∈ ¥ ) Cơng thức: ① +∞ , k = 2n lim x k = x →−∞ −∞ , l = 2n + ② ④ ⑤ ) lim x = +∞ x →+∞ lim C = C lim x →±∞ C =0 xk x đ x0 ( Ơ ) Quy tắc giới hạn hữu hạn: Cho k x →±∞ Số hạng tổng quát: x → x0 ③ lim ( lim x k = x0k k ∈ ¢ + lim C = C (GH vô cực) lim g ( x ) = L f ( x ) = L, lim x đ x0 ( Ơ ) g ( x) = M lim f ( x ) ± g ( x ) = L ± M x → x ( ∞) lim f ( x ) g ( x ) = L.M x→ x ( ∞) o o f ( x) L lim = ( M ≠ 0) g ( x ) M lim x → xo ( ∞ ) k +1 f ( x) = k +1 x → xo ( ∞ ) x → xo ( ∞ ) x → xo ( ∞ ) Dấu L lim ① o +∞ g ( x ) = ( g ( x ) ≠ 0∀x ≠ x0 ) lim f ( x ) / g ( x ) – + – – ⑦ +∞ −∞ – + Bài giải: ① Thay : ổn ② Dạng : đặt nhân tử chung dạng ∞ ∞ thức), nhân liên hơp (hàm vô tỉ) ③ Dạng 0.∞ ∞−∞ ⑤ Dạng ( u ≠ 0) ( sin u ) ' = u '.cos u ( cos u ) ' = −u '.sin u ⑧’ ( tan u ) ' = ( u' = u ' + tan u cos 2u ) ⑨’ (e )'=e ) ( cot u ) ' = − ⑩’ ( u' = −u ' + cot u sin u ) ( e ) ' = e u ' x u u ⑪’ ( ) ( a ) ' = a ln a.u ' u ( a > 0) u ( a > 0) ⑫’ ⑫ + lim f ( x ) , x → x0 − x → x0 + ( ln x ) ' = x → x0 ⇔ x > x0 x → x0 ( a, b ) ( u > 0) ( log a u ) ' = u' u.ln a ( ≠ a > 0, u > ) ⑭’ ( u.v ) ' = u '.v + u.v ' x0 ∈ ( a, b ) u' u ( u ± v ± ± w ) ' = u '± v '± ± w ' Quy tắc tính đạo hàm xác định khoảng điểm lim f ( x ) = f ( x0 ) x0 x → x0 liên tục điểm x.ln a ( ≠ a > 0, x > ) ⑭ Định lý: f ( ln u ) ' = ( x > 0) ⑬’ ( log a x ) ' = x → x0 ⇔ x < x0 x → x0 Hàm số liên tục điểm x ⑬ Giới hạn bên trái: lim + f ( x ) = lim− f ( x ) = L ⇔ lim f ( x ) = L f ⑦’ ( cos x ) ' = − sin x a x ' = a x ln a Định nghĩa: Giới hạn bên phải: Hàm số ⑥’ ⑪ lim f ( x ) , x → x0 f ; nu ' n ÷' = − n +1 u u ( x ≠ 0) ku ' k ÷' = − u u ( u ≠ 0) ⑤’ ( sin x ) ' = cos x x : rút tử mẫu với số mũ (cơ số) lớn x → x0 + Định nghĩa: Hàm số u' 1 ÷' = − u u ; ⑩ Giới hạn bên x → x0 ( x ≠ 0) ( (hàm phân ( u > 0) ④’ k −k ÷' = x x ( cot x ) ' = − = − + cot x sin x ( x − x0 ) u ' ( u ) ' = 2u 'u ( x > 0) x ⑨ 0 −1 ③’ 1 ( tan x ) ' = = + tan x cos x +∞ ( uα ) ' = α uα ) ⑧ −∞ x = x0 ④ Dạng ⑥ x → xo ( ∞ ) + ② (α ∈¡ n n ÷' = − n +1 x x Dấu + ( x) ' = ) −1 ⑤ g ( x) ( ( xα ) ' = α xα −1 ÷' = x x Quy tắc 2: Cho Dấu L có ④ +∞ lim Nếu hàm f ( x) = phương trình c = const ( x) ' = −∞ x → xo ( ∞ ) ③ −∞ – f ( x ) = L; , nghĩa tồn tại: f ( a ) f ( b) < [ a, b ] liên tục ( a; b ) ( c) ' = lim f ( x ) g ( x ) x→ x ( ∞) + −∞ [ a ; b] F ĐẠO HÀM – −∞ đạt giá trị lớn m = f ( x ) , M = max f ( x ) Bảng tóm tắt cơng thức đạo hàm + +∞ y = f ( x) [ a;b] nghiệm thuộc g ( x) = L ≠ x → xo ( ∞ ) +∞ x → xo ( ∞ ) giá trị nhỏ y = f ( x) số lim liên tục [ a, b ] f ( x) = L ( L ≥ 0) f ( x) lim lim x → xo ( ∞ ) Định lý: Nếu hàm số L ( f ( x ) ≥ 0) Quy tắc giới hạn vô cực: lim f ( x ) = ∞; Quy tắc 1: Cho f ( x) = L lim x → xo ( ∞ ) o GV: Cô Lê Thùy Trang [ a, b ] y = f ( x) lim C f ( x ) = CL x → x ( ∞) ② ① u u ' v − uv ' ÷' = v2 v ( u.v.w ) ' = u ' vw + uv ' w+uvw' ③ ④ ad − cb ax + b ÷' = cx + d ( cx + d ) Cách tính nhanh đạo hàm ① x0 x0 ax + bx + c ÷ ÷' = dx + e Hàm số không liên tục điểm gọi gián đoạn Nhận xét: - Tổng, hiệu, tích, thương hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) - Hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác liên tục tập xác định adx + 2aex + ( dx + e ) b c d e ② ax + bx + c dx + ex + f a b a c b x +2 x+ d e d f e ÷ ÷' = dx + ex + f M ( x0 ; y0 ) y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 ( C) ) ③ Ứng dụng đạo hàm: Tiếp tuyến đồ thị hàm số ( điểm : c f GV: Cô Lê Thùy Trang M Tiếp tuyến đồ thị hàm số có phương cho trước: M ( x0 , y0 ) Cách 1: Gọi tiếp điểm Định nghĩa: Phép đối xứng trục d phép biến hình biến điểm (đường thẳng f ' ( x0 ) = k ⇒ x0 ⇒ y0 d tiếp xúc (C) : Gọi phép dời hình .( M ⇒ x ⇒ k ⇒(d) M' I ( MM ' trung điểm M Lưu ý: ① Nếu M ) đối xứng với điểm ĐI ( M ) = M M ≡I ) x ' = 2a − x ĐI ( M ) = M ' ⇔ y ' = 2b − y Phép quay cho r u , kí hiệu T0r ( M ) = M Lưu ý: ① Biểu thức tọa độ: Cho T−ur ( M ' ) = M M phép biến hình biến điểm thành V( I , k ) , kí hiệu : phép đồng ① Hai đường tròn khơng đồng tâm: : Tur Tính chất: Phép tịnh tiến : phép đối xứng tâm I V( I , −1) : phép đối xứng tâm I ② thành ② Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự ba điểm thẳng hàng Tâm vị tự hai đường tròn ( I , R ) ; ( I ', R ') x ' = x + a Tur ( M ) = M ' ⇔ y' = y + b r u = ( a; b ) , kí hiệu Tính chất: ① Nếu phép vị tự tỉ số biến hai điểm uuuuuur uuuu r M,N M ', N ' M ' N ' = k MN thành điểm : phép đồng ② Nếu thành k M' Tur ( M ) = M ' I khác Q( I ,α ) k ≠0 cho V( I ,1) Lưu ý: ① góc lượng giác Q( I ,( k +1) π ) Định nghĩa: Phép vị tự tâm I tỉ số uuuu r uuur IM ' = k.IM M' điểm phép biến hình biến điểm uuuuur r Tur MM ' = u cho Q( I , k 2π ) Phép vị tự ( IM , IM ' ) = α Lưu ý: ① : phép đồng ② Tính chất: Phép quay phép dời hình hai tam giác tồn phép dời hình Định nghĩa: Phép tịnh tiến theo vectơ M ) =H M phép biến hình biến điểm IM = IM ' M' điểm Hai hình gọi tồn phép dời hình biến hình thành hình ABC A' B 'C ' Phép tịnh tiến: α Định nghĩa: Phép quay tâm I góc Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính ∆A ' B ' C ' ĐI ( H H Tâm đối xứng hình: Điểm tâm đối xứng hình (Một đa giác có tâm đối xứng đỉnh biến thành đỉnh đa giác, cạnh phải biến thành thành cạnh song song cạnh đa giác) Biến tam giác thành tam giác nó, biến góc thành góc thành ĐI ( M ' ) = M I Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng ∆ABC , kí hiệu ĐI ( M ) = M ' Biểu thức tọa độ: Cho : Tính chất: Phép đối xứng tâm phép dời hình cách hai điểm ( ) Tính chất: Phép dời hình: Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo tồn thứ tự điểm, ba điểm khơng thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia biến qua thành điểm ĐI I ② Nếu I ( a; b ) Định nghĩa: Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi (bảo tồn) khoảng f ( M ) = M ' ⇒ MN = M ' N ' f ( N ) = N ' ) =H Định nghĩa: Phép đối xứng tâm I phép biến hình biến điểm Phép dời hình: Định lý: Nếu Đd ( H H Phép đối xứng tâm quy tắc, để với điểm M' M' mặt phẳng xác định điểm mặt phẳng Điểm gọi ảnh f (M) =M' f M x ' = −x ĐOy ( M ' ) = M ⇔ y' = y Trục đối xứng hình: trục đối xứng hình (Một đa giác có trục đối xứng đỉnh biến thành đỉnh đa giác, cạnh phải biến thành cạnh cạnh ấy) hệ số góc tiếp tuyến có nghiệm G PHÉP BIẾN HÌNH f qua phép biến hình d Phép biến hình: Phép biến hình ② Nếu x ' = x ĐOx ( M ') = M ⇔ y' = −y Tính chất: Phép đối xứng trục k (*) f ( x ) = k ( x − x0 ) + y0 ( 1) ⇔ ( 2) f ' ( x ) = k d tiếp xúc (C) Biểu thức tọa độ: ⇒ m ⇒( d) có nghiệm M ( x0 ; y0 ) ( C) trung trực ) đối xứng với qua , kí hiệu Đd ( M ) = M Đd ( M ) = M ' Đd ( M ') = M Đd Tiếp tuyến đồ thị qua điểm y = k ( x − x0 ) + y0 d qua M: Lưu ý: ① Nếu ⇒ d : y = kx + m Cách 2: Từ giả thiết, tìm hệ số góc k f ( x ) = kx + m ⇔ f ' ( x ) = k thành điểm Đd d MM ' M ∈d Từ giả thiết, tìm hệ số góc k Giải y = f ' ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Viết phương trình tiếp tuyến: d M' phép dời hình Phép đối xứng trục O R = R' : Phép vị tự tâm (trung điểm ) tỉ số ( I , R) ( I ', R ') xứng tâm O) phép vị tự biến thành (cũng phép đối uuuur R ' uuur O1 O1I ' = O1I ÷ R R ≠ R' GV: Cô Lê Thùy Trang k = −1 II ' : Có hai phép vị tự: Phép vị tự tâm r R ' uuuu uuuur R' O2 O2 I ' = − O2 I ÷ k2 = − R R phép vị tự tâm O1 tỉ số biến ( I ', R ') thành ③ gọi tâm vị tự gọi tâm vị tự ( I , R ) ; ( I ', R ' ) Có hai phép vị tự tâm I, tỉ số R' R ( I , R) biến ( I ', R ') thành Phép đồng dạng a, b ⊂ ( P ) ⇒ ( P) / / ( Q) a ∩ b = { M } a / / ( Q ) , b / / ( Q ) ( k > 0) F điểm ảnh chúng, ta ln ln có Nhận xét: Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số k Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số ( k > 0) F Tính chất: Mọi phép đồng dạng V k tỉ số k ① ③ hợp thành phép vị tự ( P ) , ( Q ) = 90 ⇒ ( P ) ⊥ ( Q ) ① Góc hai đường thẳng (· a; b ) = (·a '; b ') Bài toán chứng minh hai đường thẳng song song Góc đường thẳng mặt phẳng a / /b ⇒ b / /c a / / c , cặp cạnh tỉ lệ (Thales), … a / / ( P ) ⇒ a / /b a / / ( Q ) ( P ) ∩ ( Q ) = u ③ d ' = hc( P ) d ⇒ ∠ d , ( P ) = ∠ ( d , d ' ) a ⊥ ( P ) ⇒ a / /b a ⊥ ( Q ) Góc hai mặt phẳng ④ ( P) ∩ ( Q) = u a ⊂ ( P ) , a ⊥ u ⇒ ∠ ( P ) , ( Q ) = ∠ ( a, b ) b ⊂ ( Q) ,b ⊥ u Bài tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc a / /b ⇒ b/ ⊥ c a ⊥ c ① Hình học phẳng: a ⊥ ( P ) ⇒a⊥b b ⊂ ( P ) ③ r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = ,… ② a ⊂ ( P ) ⇒a⊥b a ⊥ b ' = hc( P ) b ④ ② a ⊥ ( P ) ⇒ ( P) ⊥ ( Q) a ⊂ ( Q ) Phép đồng dạng tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành đường tròn có bán kính Hình đồng dạng: Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng dạng biến hình thành hình H HÌNH HỌC KHÔNG GIAN ② a ⊥ ( P ) ⇒ ( P) / / ( Q) a ⊥ ( Q ) Bài toán chứng minh mặt phẳng vng góc mặt phẳng a / / ( P ) ⇒ a / /b a ⊂ ( Q ) ( P ) ∩ ( Q ) = b ② ( P ) ≠ ( Q ) ( P ) / / ( R ) ⇒ ( P ) / / ( Q ) ( Q ) / / ( R ) tỉ số phép dời hình Phép đồng dạng biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (không làm thay đổi thứ tự) Biến đường thẳng thành đường thẳng Phép đồng dạng tỉ số k biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho có tỉ số đồng dạng k; biến góc thành góc k R ① Hình học phẳng: a / / ( P ) ⇒a⊥b b ⊥ ( P ) 10 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng MH ⊥ d ⇒ d[ M , d ] = MH ⑤ Bài toán chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng ( P ) / / ( Q ) ⇒ a / / ( P) a ⊂ ( P ) a / /b ⇒ a / / ( P) a ⊄ ( P ) , b ⊂ ( P ) ① ③ 11 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng MH ⊥ ( P ) ⇒ d M , ( P ) = MH ② a ⊄ ( P ) ⇒ a / / ( P) b ⊥ a, b ⊥ ( P ) ⑤ Bài toán chứng minh mặt phẳng song song mặt phẳng Định nghĩa: Phép biến hình gọi phép đồng dạng với tỉ số k với hai M,N M ', N ' M ' N ' = k MN ④ ( P ) ⊥ ( R ) ⇒ a ⊥ ( R) ( Q ) ⊥ ( R ) P ∩ Q = a ( ) ( ) ② Hai đường tròn đồng tâm: − ( P ) / / ( Q ) ⇒ a ⊥ ( P) a ⊥ ( Q ) a / / b ⇒ a ⊥ ( P) b ⊥ ( P ) O2 R' R ② ( P ) ⊥ ( Q ) ( P ) ∩ ( Q ) = b ⇒ a ⊥ ( Q ) a ⊂ ( P ) , a ⊥ b ( I , R) tỉ số ① R' k1 = R a ⊥ b, a ⊥ c b ∩ c = M ⇒ a ⊥ ( P ) b, c ⊂ P ( ) a ⊄ ( P ) ⇒ a / / ( P) ( Q ) ⊥ a, ( Q ) ⊥ ( P ) ( Q) Bài giải: + Tìm/Dựng ④ Bài tốn chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng ( P) M qua vng góc GV: Cơ Lê Thùy Trang d = ( P) ∩ ( Q) + Tìm ( Q) + Trong MH ⊥ d , vẽ H 12 Khoảng cách đường thẳng song song mặt phẳng d / / ( P ) ⇒ d d ,( P ) = d M , ( P ) 13 Khoảng cách hai mặt phẳng song song ( P ) / / ( Q ) ⇒ d ( P ) ,( Q ) = d M ,( P ) 14 Khoảng cách hai đường thẳng chéo (đoạn vng góc chung) ( P) a ⊥b Bài giải: ① : Tìm ( P) ②- Tìm vẽ , cắt ( P) ⊥ a O //a H , vẽ , cắt - Từ dựng // b ' = hc( P ) b - Dựng b B - Từ Dựng MH ⊥ ( P ) , dựng a , cắt , vẽ , cắt H A H A a B tại OH ⊥ b ' - Dựng / / OH B AB ⊥ b A M ∈a a b ③ - Dựng - Từ vng góc với chứa song song với - Chọn a '/ / a b B B MH H - Từ a b chứa ... Nhị thức Newton b a (1) ( a + b2 ≥ c2 : Cn0 = Cnn = Phương trình bậc theo sinx, cosx (pt cổ điển) Dạng: ( k ∈ ¥, ≤ k ≤ n) Mỗi tập hợp gồm k phần tử tập hợp X gọi tổ hợp chập k n phần tử tập hợp. .. (2) t = cos x ( −1 ≤ t ≤ 1) : Mỗi cách thứ tự k phần tử tập hợp X gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập hợp X Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n n! Ank = n ( n − 1) ( n − ) ( n − k + 1) = Ank (... gián đoạn Nhận xét: - Tổng, hiệu, tích, thương hàm số liên tục điểm hàm số liên tục điểm (trong trường hợp thương, giá trị mẫu điểm phải khác 0) - Hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng