BT tong hop ve phan thuc - on thi HSG Toan 8

Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 Chủ đề 14: bài tập tổng hợp về biểu thức hữu tỉ Bài 1: Cho A = ( 2 .4 +x x - 8 8 3 3 + x x . 4 16.8.4 2 2 + x xx ) : 2 16 +x . 1 2.3 2 2 ++ ++ xx xx B = 1 2 3 2 + x xx a. Rút gọn M = A.B -1 b. Tìm các giá trị nguyên của x để M nhận giá trị nguyên. c. Tìm giá trị của M biết : x 2 -2008.x = 2009 d. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A+ B. HD: A =- 1 1 2 ++ + xx x ; B = 1 2 2 ++ + xx x ; M = A.B 1 = - 2 1 + + x x Bài 2: Cho P = x x + 2 2 : 2 2 44 4 xx x + . ( x2 2 - 3 8 4 x+ . x xx + 2 24 2 ) a. Rút gọn P. b. Tìm giá trị của x để P = - 0,5. c. Tính giá trị của P với x là nghiệm của phơng trình 1x + 2 = 3. d. Tìm các giá trị nguyên của x để 4.P nhận giá trị nguyên. e. Tìm x để P = 2009 2008 ; để P 2 . HD: P = x.2 1 Bài 3: Cho M = 12 1 2 + aa - ( 1 2 a a - aa 3 1 ) : 3 2 12 aa aa + + a. Rút gọn M. b. Tính số trị của M với a =1. c. Với giá trị nào của a thì biểu thức M có giá trị bằng -1. d. Tìm a để M = - 4 2 HD: M = - 2 2 )1( a a Bài 4: Cho A = 2 22 1 )1( x xx + : + + + x x x x x x 1 1 . 1 1 33 a) Rút gọn A b) Tính giá trị của A khi x là nghiệm của phơng trình x 2 - 3x +2 = 0. c) Tính giá trị của biểu thức rút gọn A biết : ( x 2 -3 ).( x -1) = x 1. d) Tìm các giá trị của x để cho 5A = 2. e) Tìm x để A dơng. HD: A = 2 1 x x + Bài 5: Cho B = ( x x + 2 2 - 4 4 2 2 x x - x x + 2 2 ) : 32 2 2 3 xx xx a) Tìm x để B xác định và rút gọn B. b) Tính giá trị của B khi 5x = x+3 HD: B = 3 4 2 x x Bài 6: Cho C = + + + 1 1 1 421 )1(3 )1( 3 2 2 2 a a aa aa a : aa a + 3 2 GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 1 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 a) Rút gọn C. b) Tìm a để BTRG của C đạt giá trị nhỏ nhất, và tính giá trị nhỏ nhất đó. c) Tìm a Z để C 1 Z ; để C Z. HD: C = 2 1 2 +a Bài 7: Cho A = 2+x x - 8 8 3 3 + x x . 4 42 2 2 + x xx ; B = 2 )2( 84 + + x x a. Rút gọn M = A : B b. Tìm x Z để 97M Z. c. Tính giá trị của M khi x là nghiệm của phơng trình 4x 2 = 3x +1. HD: A = - 2 )2( 4 +x ; B = 2 4 +x ; M = 2 1 + x Bài 8: Cho A = x x1 1 : 2 2 21 1 xx xx + + ; B = 842 44 23 2 + + xxx xx a. Rút gọn M = A . B b. Tính giá trị của M khi x là nghiệm của phơng trình x 2 - 5x = 14 c. Tìm các giá trị nghuyên của x để M nhận giá trị nguyên. d. Tìm x để M = 2009 2008 ; để M 2 HD: A = 1 x ; B = 2 1 +x ; M = 2 1 + x x Bài 9: Cho A = + + )2 3 2 .( 2 2 3 2 x x x xx : 2 2 x x a. Rút gọn A. b. Tính giá trị của A với 1x = 4. c. Tìm x để A = 18. HD: A = 2 2 2 x x Bài 10: Cho A = ( 3 23 42 3 2 2 ++ + + + xx x x x ) : 1 42 + x x - x xx 3 31 2 ++ a. Rút gọn A. b. Tìm A với x = 6025. c. Tìm x để A dơng ; để A = 2009 2008 . d. Tìm x nguyên để A 1 nguyên. HD: A = 3 1x Bài 11: Cho A = ( xx x 4 3 2 + x36 6 + 2 1 +x ) : ( x-2 + 2 10 2 + x x ). a. Rút gọn A. b. Tìm x để A = 2008/2009. c. Tìm x để A dơng. d. Tìm các giá trị nguyên của x để A.x nguyên. HD: A = - 2 1 x Bài 12: Cho A = 1+ xx x 4 3 2 + x x 36 3 + 44 2 2 ++ + xx x ; B = x - 2 10 2 + x x - 2. a. Rút gọn 3A:B. b. Tìm x nguyên để 3A:B nguyên. c. Tìm giá trị của x để 3A:B lớn hơn nghiệm dơng của phơng trình: y 2 -5y = 14 GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 2 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 HD: A = )2)(2( 6 + xx ; B = 2 6 +x ; 3A:B = 2 3 x Bài 13: Cho A = )(:. 1 2 :) 11 ( 1 33 22 22 ba ba ba b ba ba a + + + + ++ a. Rút gọn A. b. Chứng minh A dơng. HD: A = 22 1 baba ++ Bài 14: Cho A = 1 12 2 2 ++ + xx xx + 1 1)2(2 3 x xx ; B = 2 2 2 + + xx x ; C = 1 20022002 4 2 x x . a. Rút gọn M = ( A + B ) : C. b. Khi x là nghiệm của phơng trình 9 52 +x = 2 + 6 3x . Hãy tìm M. c. Tìm giá trị của x khi M = 2002 6320 x . HD: A = 1 2 x x ; B = 1 1 x ; C = 1 2002 2 +x ; M = ( A + B ) : C = 2002 1 2 +x . Bài 15: Cho M = ( 3 1 2 3 2 + + + xx x ) : x xx x x 3 13 1 42 2 + + . a. Rút gọn M. b. Tính giá trị của M với x là nghiệm của phơng trình 1x = 6009. c. Tìm các giá trị nguyên của x để x.M 1 nhận giá trị nguyên. HD: A = 3 1x Bài 16: Cho P = ( 3223 2 yxyyxx xyx +++ + + 22 yx y + ) : ( yx 1 - 3223 2 yxyyxx xy + ) a. Rút gọn P. b. Tính giá trị của P biết: y x 0 và 3x 2 +3y 2 = 16xy. c. Tìm x biết P x = 5 và y = 5. HD: P = yx yx + . Lu ý: P 2 = )2.(3 )2.(3 22 22 xyyx xyyx + ++ = =11/5. vì P âm nên P = - 5 11 . Bài 17: Cho biểu thức A = ( 3 1 1 3 32 32 2 + + + + x x x x xx x ) : 1 123 3 + x x và B = 1 2 3 2 + x xx . a. Rút gọn biểu thức M = A ì B b. Tìm x nguyên để M nguyên. c. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức N =A 1 - B. HD: A = 3 1 2 + ++ x xx ; B = 1 2 2 ++ + xx x ; M = A.B = 3 2 + + x x ; N = A 1 - B = 1 1 2 ++ xx Bài 18: a. Rút gọn Biếu thức 62 9124 2 2 ++ = aa aa B Với a 2 3 b. Thực hiện phép tính: ( ) aaa a a aa + + + ++ 2 2 2 8 : 5,01 25,0 32 (a 2.) Giải: a. 62 9124 2 2 ++ = aa aa B ( ) ( )( ) 2 32 232 32 2 + = + + = a a aa a GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 3 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 b. ( ) ( ) aa a a a aa aaa a a aa + + + ++ = + + + ++ 2 2 8 2 2 42 2 2 2 8 : 5,01 25,0 3 232 ( ) ( ) ( ) ( ) aaa a aa aaa aa 1 2 2 2 2 422 42 2 2 = = ++ ++ = Bài 19: Thực hiện phép tính: xyyx yx yx xyyx A 2 : 22 33 22 22 + + + = .( Với x y) Giải: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y xy x y x y xy x y A : x y x y 2xy x y x y x y x y xy x y + + + = = ì = + + + + + Bài 20: Cho biểu thức : 12 1 234 34 ++ +++ = xxxx xxx A . a. Rút gọn biểu thức A. b. Chứng minh rằng A không âm với mọi giá trị của x . Giải: a. 1 1 12 1 2234 34 234 34 +++ +++ = ++ +++ = xxxxx xxx xxxx xxx A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 11 11 11 11 11 11 2 2 22 2 2 22 3 222 3 + + = ++ ++ = ++ ++ = +++ +++ = x x xxx xxx xxx xx xxxxx xxx b. ( ) ( ) 001;01; 1 1 2 2 2 2 >++ + + = Axx x x A Bài 21: Tính giá trị biếu thức : 5 6 7 8 5 6 7 8 a a a a B a a a a + + + = + + + với a = 2007. Giải: ( ) ( ) 1313 23 3213 23 87658 8 123 8765 8765 8765 8765 8765 2007 1 1 11 1111 == +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = Ba aaa aaaa aaa aaaaa a aaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa B Bài 22: Tính giá trị biếu thức : 2 2 : 2510 25 223 2 + yy y xxx x Biết x 2 + 9y 2 - 4xy = 2xy - 3 x . Giải: x 2 + 9y 2 - 4xy = 2xy - 3 x ( ) 033 2 =+ xyx = = = = 1 3 3 3 y x x yx ( )( ) ( ) ( )( ) 2 12 5 55 2 2 : 2510 25 2223 2 + + = + = y yy xx xx yy y xxx x C GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 4 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 ( )( ) ( ) ( ) 3 8 2.3 2.8 5 15 = = ++ = xx yx Bài 23: Chứng minh rằng biếu thức P = ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 222 222 ++ ++++ xaaax xaaax không phụ thuộc vào x. HD: P = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 222 222 1 1 11 11 aa aa xaaax xaaax + ++ = ++ ++++ Bài 24: Cho biểu thức M = 82 63422 2 2345 + ++ xx xxxxx . a. Tìm tập xác định của M. b. Tính giá trị của x để M = 0. c. Rút gọn M. HD: M = 82 63422 2 2345 + ++ xx xxxxx ( ) ( ) 4 13 2 2 3 + + = x xx Bài 25: Cho a,b,c là 3 số đôi một khác nhau. Chứng minh rằng : ( )( ) ( )( ) ( )( ) accbbabcac ba cbab ac caba cb + + = + + 222 HD: ( )( ) acbacaba cb + = 11 = ( )( ) bacbcbab ac + = 11 = ( )( ) accbbcac ba + = 11 Bài 26: Cho biểu thức : B = 10999 10 234 ++ + xxxx x a. Rút gọn B b. Chứng minh rằng : n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 + n 4 16 với n Z HD: a.Rút gọn B = ( )( ) ( ) 1101 10 10999 10 2234 ++ + = ++ + xxx x xxxx x ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) < ++ + > + = 10; 1101 10 110; 11 1 2 2 x xxx x lxx xx b. n 8 + 4n 7 + 6n 6 + 4n 5 + n 4 ( ) [ ] 4 1 += nn Bài 27: Rút gọn biểu thức : 9 9 632 6 632 32 2 2 + +++ + + = x x yxxy xy yxxy yx A với x -3; x 3; y -2 HD: 9 9 632 6 632 32 2 2 + +++ + + = x x yxxy xy yxxy yx A ( )( )( ) 233 0 9 9 632 6 632 32 2 2 ++ = + +++ + + = yxx x x yxxy xy yxxy yx Bài 28: Cho Biếu thức : A = 32 2 2 2 2 3 : 2 2 4 4 2 2 xx xx x x x x x x + + . a. Tìm điều kiện có nghĩa và Rút gọn biểu thức A. GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 5 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 b. Tìm giá trị của x để A > 0. c. Tìm giá trị của A trong trờng hợp 47 = x HD: a. A = 3 4 2 3 : 2 2 4 4 2 2 2 32 2 2 2 = + + x x xx xx x x x x x x . b. A > 0 30 3 4 2 >> x x x c. = = = 3 11 47 x x x x = 11 2 121 = A x = 3 A không xác định Bài 29: Thực hiện phép tính: a. A = 16842 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxx xx + + + + + + + + + + b. Rút gọn C = 2 2 22 22 9 9 1 9 1 9 1 9 1 a a aa aa + + + + HD: a. A = 3216842 1 32 1 16 1 8 1 4 1 2 1 1 1 1 xxxxx xx = + + + + + + + + + + . b. Rút gọn C = 1 9 9 1 9 1 9 1 9 1 2 2 22 22 = + + + + a a aa aa . Bài 30: Cho a,b,c là 3 số nhau đôi một. Tính S = ( )( ) ( )( ) ( )( ) bacb ac acba bc accb ab + + HD: S = ( )( ) ( )( ) ( )( ) bacb ac acba bc accb ab + + ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) 1= = ++ = accbba accbba accbba acaccbbcbaab Bài 31: Tính giá trị của biểu thức : 2a b 5b a A 3 3a b 3a b = + + biết: 09&05310 2222 = baabba HD: Từ: 222222 103509&05310 ababbaabba == (1) Biến đổi A = 22 22 9 6153 3 3 5 3 2 ba baba ba ab ba ba = + + (2) Thế (1) vào (2) ; A = - 3 Bài 32: Cho a + b + c = 1 và 1 222 =++ cba . a. Nếu c z b y a x == . Chứng minh rằng xy + yz + zx = 0. b. Nếu a 3 + b 3 + c 3 = 1. Tính giá trị của a,b,c HD: Từ a + b + c = 1 và 1 222 =++ cba suy ra: ab + bc + ca = 0 (1) GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 6 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 a. Nếu c z b y a x == suy ra : zyx cba zyx c z b y a x ++= ++ ++ === ( ) 222 2 zyxzyx ++=++ Suy ra xy + yz + zx = 0. b. áp dụng ( ) ( ) ( )( )( ) accbbacbacba +++=++++ 3 333 3 Từ a 3 + b 3 + c 3 = 1. Suy ra: ( )( )( ) 03 =+++ accbba Từ đó tính đợc a , b , c Bài 33: Cho Biếu thức : 13 5 13 12 + + = a a a a A . a. Tính giá trị của A khi a = -0,5. b. Tính giá trị của A khi : 10a 2 + 5a = 3 HD:Xem bài trên. Bài 34: Chứng minh nếu xyz = 1 thì: 1 1 1 1 1 1 1 = ++ + ++ + ++ zxzyzyxyx HD: Từ xyz = 1 Biến đổi 1 1 1 1 y yz 1 1 x xy 1 y yz 1 z zx 1 y yz 1 y yz 1 y yz + + = + + = + + + + + + + + + + + + . Bài 35: Chứng minh đẳng thức sau: abanabn abbnana baab baba ba aba 3396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 + ++ = + + HD: Chứng minh : ab ba abanabn abbnana baab baba ba aba + = + ++ = + + 3 3396 352 9 3 2 2 22 22 22 2 Bài 36: Thực hiện phép tính: 2222 2008 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 HD: 2222 2008 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1 1 3996 1999 2 1999 . 1998 1 1998 4.3.2 1999 5.4.3 . 1998 4.3.2 1997 3.2.1 === Bài37: Tính tổng : S(n) = ( )( ) 2313 1 8.5 1 5.2 1 + +++ nn HD: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n 2.5 5.8 3n 1 3n 2 3 2 5 5 8 3n 1 3n 2 2 3n 2 + + + = + + = ữ + + + Bài 38: Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức : A = 2 217122 23 + a aaa Biết a là nghiệm của Phơng trình : 113 2 =+ aa HD: 182 2 217122 2 23 += + = aa a aaa A === ==== =+ 52;1 5;13;0 113 2 Aaa AAaa aa GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 7 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 Bài 39: Gọi a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác biết rằng: 8111 = + + + c a b c a b Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều. HD: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b b c c a b c a 1 1 1 8 0 a b c a b c ab bc ca + + + = + + = = = ữ ữ ữ Bài 40: Chứng minh rằng nếu a,b là 2 số dơng thỏa điều kiện: a + b = 1 thì : ( ) 3 2 11 2233 + = ba ab a b b a HD: Rút gọn ( ) ( ) ( ) ( )( ) 11 1 3 2 11 22 22 2233 ++++ + = + = aabbab baba ba ab a b b a Bài 41: Thực hiện phép tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 x yz y xz z xy A x y x z x y y z y z x z = + + + + + + + + HD: ( )( ) yx y zx x zxyx yzx + + = ++ 2 ( )( ) zy z yx y zyyx xzy + + = ++ 2 ( )( ) zx x zy z zyzx xyz + + = ++ 2 Cộng từng vế đợc A = 0 Bài 42: Rút gọn biểu thức : A = cba abccb ++ ++ 3a 333 HD: ( ) ( ) cabcabcbacbaabccb ++++=++ 222333 3a Bài 43: Chứng minh rằng biểu thức sau luôn dơng trong TXĐ: B = ( ) + + + + x x x x x x x x 1 1 1 1 : 1 1 33 2 2 2 HD: TXĐ: 1 x ; B = 2 1 1 x + Bài 44: Rút gọn rồi tính giá trị biếu thức với x + y = 2007 A = xyyyxx xyyyxx 2)6()6( )3(2)5()5( ++++ ++++ HD: A = ( )( ) ( )( ) yxyx yxyx xyyyxx xyyyxx +++ +++ = ++++ ++++ 6 16 2)6()6( )3(2)5()5( Bài 45: Cho 3 số a,b,c 0 thỏa mãn đẳng thức: a acb b bca c cba + = + = + Tính giá trị biểu thức P = ( )( )( ) abc accbba +++ GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 8 Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 HD: Từ: a acb b bca c cba + = + = + Suy ra: 222 + + =+ + =+ + a acb b bca c cba Suy ra: a acb b bca c cba ++ = ++ = ++ Suy ra: hoặc a + b + c = 0 hoặc a = b = c P = -1 hoặc P = 8 Bài 46: Cho biểu thức : 2 2 2 2 2 2 2 4 . 2 4 . 2 4 yxz yzx xyz xyz zxy zxy A + + + = Chứng minh rằng nếu : x + y + z = 0 thì A = 1. HD: Từ: x + y + z = 0 suy ra: xyzzyx 3 333 =++ GV: Bùi Xuân Trờng Trờng THCS Bình Sơn 9 . 21: Tính giá trị biếu thức : 5 6 7 8 5 6 7 8 a a a a B a a a a + + + = + + + với a = 2007. Giải: ( ) ( ) 1313 23 3213 23 87 6 58 8 123 87 65 87 65 87 65 87 65 87 65 2007 1 1 11 1111 == +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = +++ +++ = Ba aaa aaaa aaa aaaaa a aaa aaaa aaaa aaaa aaaa aaaa B Bài. môn Toán 8 a) Rút gọn C. b) Tìm a để BTRG của C đạt giá trị nhỏ nhất, và tính giá trị nhỏ nhất đó. c) Tìm a Z để C 1 Z ; để C Z. HD: C = 2 1 2 +a Bài 7: Cho A = 2+x x - 8 8 3 3 + x x . Giáo án bồi dỡng Học Sinh Giỏi môn Toán 8 Chủ đề 14: bài tập tổng hợp về biểu thức hữu tỉ Bài 1: Cho A = ( 2 .4 +x x - 8 8 3 3 + x x . 4 16 .8. 4 2 2 + x xx ) : 2 16 +x . 1 2.3 2 2 ++ ++ xx xx