Hàm hữu tỉ và các vấn đề liên quan

Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 139 BÀI 7. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ VẤN ĐỀ 1: HÀM NHẤT BIẾN DẠNG 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số hửu tỉ , ; 0 ax b d y x ad bc cx d c              Tập xác định:   \ / D d c   Đạo hàm:   2 ' . ad bc y cx d     Nếu 0 ad bc    hàm số đồng biến trên D  Nếu 0 ad bc    hàm số nghịch biến trên D Giới hạn, tiệm cận: lim là tiệm cận ngang của đồ thò ha øm số lim là tiệm cận ngang của đồ thò ha øm số x d x c a a y y c c d y x c           Bảng biến thiên: Đồ thị: 0 ad – bc > 0 x y 0 ad – bc < 0 x y       a c a c x ' y y  a c a c    x ' y y Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 140 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN KHẢO SÁT HÀM SỐ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: 2 1 2 ) ) ) 1 1 2 2 2 1 3 2 ) ) ) 2 2 1 x x x a y b y c y x x x x x x d y e y f y x x x                  Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 141 DẠNG 2: Một số bài tốn liên quan hàm số nhất biến (htb1/1) Một số chú ý 1. Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang. 2. Đồ thị hàm số nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng 3. Khơng có bất kì tiếp tuyến nào của đồ thị hàm số đi qua giao điểm hai đường tiệm cận 4. Gọi M là điểm tùy ý trên   ax ( ): 0 b C y ad bc cx d      và (T) là tiếp tuyến tại M với (C). 1 2 1 2 Hạ ( ): và MK (d ): theo thứ tự đó. Xác đònh giao điểm A=(T) (d ); =(T) (d ) (n ếu có) thì: d a MH d x y c c B         AB ln nhận M làm trung điểm  Diện tích tam giác AIB khơng đổi  Tích số MH.MK khơng đổi  Diện tích tứ giác IHMK khơng đổi  M,N nằm về ở hai nhánh phân biệt của đồ thị hàm số thì các hồnh độ của x M , x N nằm về hai phía tiệm cận đứng BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1. Cho hàm số 1 1 x y x    . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số b)   0 0 ; M x y là một điểm bất kỳ thuộc ( ) C . Tiếp tuyến của ( ) C tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M . Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 142 Hướng dẫn: b) Lấy   0 0 0 0 0 0 1 ; ( ) ( 1) 1 x M x y C y x x       PTTT tại M có dạng: 0 0 2 0 0 1 2 ( ) 1 ( 1) x y x x xx        () Giao điểm của 2 tiệm cận: (1;1) I . Gọi A = ()  TCĐ => A= 0 0 3 1; 1 x x         ; B = ()  TCN => B =   0 2 1;1 x  Ta có : IA = 0 4 1 x  ; IB = 0 2 1 x  S IAB = 1 2 .IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M Bài 2. Cho hàm số 2 1 2 x y x    có đồ thị là (C) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2. Chứng minh đường thẳng : d y x m    luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt , A B . Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. Hướng dẫn: 2. Hoành độ giao điểm của đồ thị (C ) và đường thẳng d là nghiệm của phương trình 2 2 2 1 2 (4 ) 1 2 0 (1) x x x m x x m x m                 Do (1) có 2 2 1 0 ( 2) (4 ).( 2) 1 2 3 0 m va m m m               nên đường thẳng d luôn luôn cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B Ta có A A y x m    ; B B y x m    nên   2 2 2 2 AB m   suy ra AB ngắn nhất 2 AB  nhỏ nhất 0 m   . Khi đó 24 AB  . Bài 3. Cho hàm số 2 2 1 x y x    (C) 1. Khảo sát hàm số. Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 143 2. Tìm m để đường thẳng 2 : d y x m   cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt , A B sao cho 5 AB  . Hướng dẫn: 2. Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2 0 x mx m     ,   1 x   (1) d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt  PT(1) có 2 nghiệm phân biệt khác -1  m 2 - 8m - 16 > 0 (2 Gọi A(x 1 ; 2x 1 + m) , B(x 2 ; 2x 2 + m. Ta có x 1 , x 2 là 2 nghiệm của PT(1). Theo ĐL Viét ta có 1 2 1 2 2 2 2 m x x m x x             . AB 2 = 5  2 2 1 2 1 2 ( ) 4( ) 5 x x x x      2 1 2 1 2 ( ) 4x 1 x x x     m 2 - 8m - 20 = 0  m = 10 , m = - 2 ( Thỏa mãn (2)) KL: m = 10, m = - 2. Bài 4. Cho hàm số: 2 1 x y x    (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số 2. Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành. Hướng dẫn: Gọi k là hệ số góc của đt đi qua A(0;a). PT đt d có dạng y= kx+a (d) d là tiếp tuyến với ( C ) khi và chỉ khi hệ PT   2 2 1 3 1 x kx a x k x               có nghiệm <=> Pt (1-a)x 2 +2(a+2)x-(a+2)=0 (1) có nghiệm x ≠ 1 Theo bài ra qua A có 2 tiếp tuyến thì pt (1) có 2 nghiệm x 1 ; x 2 phân biệt Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 144 1 2 1 (*) ' 3 6 a a a             . Theo định lý Viet:   1 2 1 2 2 2 1 2 1 a x x a a x x a               Suy ra: 1 2 1 2 3 3 1 ; 1 1 1 y y x x       . Để hai tiếp tuyến nằm về hai trục của Ox thì 1 2 2 . 0 3 y y a     . Kết hợp với điều kiện (*) ta được 2 1 3 a    Bài 5. Cho hàm số 2x 3 y x 2    có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) 2. Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất Hướng dẫn:         0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 1 1 Lấy điểm M ;2 . Ta có: '( ) 2 2 1 1 Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình là: 2 2 2 2 Giao điểm (d) với tiệm cận đứngA 2;2 2 Giao điểm (d) với tiệm c x C f x x x y x x x x x                                    0 0 2 2 2 0 0 2 2 0 0 2 ận ngang 2 2;2 2 1 1 4 2 8. Dấu"=" xảy ra khi 2 2 2 B x x AB x x x x                          LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số 2 1 1 x y x    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2.Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt trục Ox, Oy lần lượt tại A, B thoả mãn:OA=3OB. Hướng dẫn: Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 145 2. Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(x 0 ;y 0 ) cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao cho OA=3OB. Do tam giác OAB vuông tại O nên tanA=OB/OA=1/3. Vì vậy hệ số góc của đưòng thẳng d bằng 1/3 hoặc -1/3. Hệ số góc của d tại M(x 0 ;y 0 ) là:         0 0 2 2 0 0 0 0 3 3 1 ' 0 ' 3 1 1 2 (2) 1 4 ( 4) 3 y x y x x x x y x y                      Khi đó có 2 tiếp tuyến thoả : 1 1 1 1 1 13 ( 2) 1 ; ( 4) 3 3 3 3 3 3 3             y x y x y x y x Bài 2. Cho hàm số 2 3 2 x y x    1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn: Ta có: 0 0 0 0 2 3 ; , 2 2 x M x x x          ,   0 2 0 1 '( ) 2 y x x    Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:   0 0 2 0 0 2 3 1 : ( ) 2 2 x y x x x x         Toạ độ giao điểm A, B của    và hai tiệm cận là:   0 0 0 2 2 2; ; 2 2;2 2 x A B x x          Ta thấy 0 0 2 2 2 2 2 A B M xx x x x      , 0 0 2 3 2 2 A B M xy y y x     suy ra M là trung điểm của AB. Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 146 S = 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 2 3 1 ( 2) 2 ( 2) 2 2 ( 2) x IM x x x x                                     Dấu “=” xảy ra khi 02 0 2 0 0 1 1 ( 2) ( 2) 3 x x x x           Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Bài 3. Cho hàm số 1 12    x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số . 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ điểm )2;1(  I tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất . Hướng dẫn: Nếu )( 1 3 2; 0 0 C x xM            thì tiếp tuyến tại M có phương trình )( )1( 3 1 3 2 0 2 00 xx xx y      hay 0)1(3)2()1()(3 0 2 00  xyxxx Khoảng cách từ )2;1(  I tới tiếp tuyến là   2 0 2 0 4 0 0 4 0 00 )1( )1( 9 6 )1(9 16 19 )1(3)1(3          x x x x x xx d . Theo bất đẳng thức Côsi 692)1( )1( 9 2 0 2 0   x x , vây 6d . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi   3131)1( )1( 9 0 2 0 2 0 2 0   xxx x . Vậy có hai điểm M :   32;31 M hoặc   32;31 M Bài 4. Cho hàm số 2 1 1 x y x    (1). 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). 2) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. Hướng dẫn: Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 147 Ta có I(- 1; 2). Gọi 0 2 0 0 3 3 ( ) ( ;2 ) 1 ( 1) M I IM M I y y M C M x k x x x x            Hệ số góc của tiếp tuyến tại M:   0 2 0 3 '( ) 1 M k y x x    . 9 M IM ycbt k k    Giải được x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) Bài 5. Cho hàm số 12 2    x x y 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 2. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2) Hướng dẫn: Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của pt : x x x    12 2             2 51 2 51 01 2 x x xx Hai điểm trên đồ thị thỏa ycbt :                   2 51 , 2 51 ; 2 51 , 2 51 Bài 7. 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1 1 x y x    2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến bằng 2 . Hướng dẫn: *Tiếp tuyến của (C) tại điểm 0 0 ( ; ( )) ( ) M x f x C  có phương trình 0 0 0 '( )( ) ( ) y f x x x f x    Hay 2 2 0 0 0 ( 1) 2 2 1 0 x x y x x       (*) Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 148 *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) bằng 2 0 4 0 2 2 2 1 ( 1) x x      giải được nghiệm 0 0 x  và 0 2 x  *Các tiếp tuyến cần tìm : 1 0 x y    và 5 0 x y    Bài 8. Cho hàm số 2 4 1 x y x    . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1). Hướng dẫn: Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có 6 6 ;2 ; ; 2 ; , 1 1 1 A a B b a b a b                   Trung điểm I của AB: I 2 2 ; 2 1 1 a b a b a b             Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0 Có : . 0 AB MN I MN          => 0 (0; 4) 2 (2;0) a A b B           Bài 9. Cho hàm số : 1x2 1 x y     (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. 2. Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đường tiệm cận và trục Ox. Hướng dẫn: Giao điểm của tiệm cận đứng với trục Ox là        0, 2 1 A Phương trình tiếp tuyến () qua A có dạng        2 1 xky [...]... Gv Trường THPT Gia Hội Huế 151 Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ HÀM BẬC HAI TRÊN BẬC HAI Phương pháp: Với hàm số y  ax 2  bx  c , ad  0 , tử và mẫu khơng có nghiệm chung ta lần lượt có: dx  e Viết hàm số dưới dạng y  x     dx  e  e   d  a) TXĐ: D   \  b) Sự biến thiên của hàm số  Giới hạn: lim y   ; lim y   nên x   x   x...   (C ), x0  1 có khoảng cách tới  ngắn nhất, thế thì x0 là nghiệm của  x  2  y 0  5 phương trình y '( x0 )  3   0  x0  0 (loại)  xm  m  2 có ít nhất một điểm cách x 2 đều hai trục tọa độ, đồng thời hồnh độ và tung độ của điểm đó trái dấu nhau Bài 11 Tìm tất cả các giá trị m để đồ thị hàm số y  Hướng dẫn: Những điểm cách đều hai trục tọa độ có hồnh độ và tung độ trái dấu nhau sẽ... của đạo hàm là dấu của g( x )   dx  e  2  d Vậy phương trình y '  0 hoặc vơ, hoặc có nghiệm kép hoặc có hai nghiệm phân biệt Do đó hàm số khơng có cực trị hoặc có hai cực trị Lập bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên đưa ra kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số d) Đồ thị:  Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có)  Nhận xét: Đồ thị hàm số... điểm I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau a) y  x2 ; x 1 b) y  Ví dụ 2: Cho hàm số y   x2  x  2 ; x 1 1 1 c) y   x  2 2  2x x2  x  2 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội Huế 152 Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ b) Chứng minh rằng giao điểm I của hai đường tiệm cận của đồ...Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Bài 10 Giả sử  là tiếp tuyến tại điểm M  0;1 của đồ thị hàm số y  2x  1 (C) 1 x Hãy tìm trên (C) những điểm có hồnh độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến  là ngắn nhất Hướng dẫn: Khoảng cách từ một điểm trên (C) tới đường thẳng  là ngắn nhất khi và chỉ khi điểm đó là tiếp điểm của đồ thị (C) với tiếp tuyến... biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ   2a  2b  M  a;    C1  ; N  b;   C2   a2  b2    4 2b 2a  y'  , MN   b  a;   Tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình: 2 b2 a2  x  2  y= 4  a  2  x  a   a2a2  4 x   a  2 2 2 y  2a 2  0 Ta thấy MN là khoảng cách của hai nhánh C1  ; C2  khi và chỉ khi tiếp tuyến tại M,N với C1 ; C2  song song với nhau và chúng...  2  x 1 Dễ thấy A và B nằm cùng phía đối với đường phân giác  : x  y  0 Gọi A '  a; b  là điểm đối xứng của A qua  : x  y  0 Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội Huế 150 Bài 7 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ   1  a  2  1   b   1  0  1 3   1  a   3  A '  ;2   1 3  a  2 b  b  2  3 0    2 2  7 7 M là giao điểm của A'B và   M  ;   5 5... Giả sử M  x; y  là điểm thõa mãn đề bài thì ta có phương  x 2  x  m  0 * x m  trình:  x   Phương trình (*) có ít nhất một nghiệm khác 2 x 2 x  2   1   1  4m  0 m   khi và chỉ khi   4 2  m  0 x  2  Bài 12 Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số y  2x C  x2 Hướng dẫn: Giả sử C1  ; C2  là hai nhánh của đồ thị hàm số và Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia... đồ thị là tâm đối xứng của nó c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A  3; 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 2  2 mx  2 x 1 a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng  : x  y  2  0 bằng nhau Trần Đình Cư Gv Trường THPT Gia Hội Huế 153 ... 2  2  2b  2a   b  a  a  2   4  b  2  a  2   0    (1) (2) 4 Từ (1)  b=-4-a thay vào (2) ta được -2  a  2   32  0  a  0 (do a  2)    b  4 và MN   4; 4   MN  4 2 BTTT: Tính khoảng cách giữa hai nhánh của đồ thị hàm số y  2x 1 C  x2 1 x 1 x với đồ thị hàm số y  Tìm 6 x 1 điểm M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho MA  MB nhỏ nhất Bài . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 139 BÀI 7. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ VẤN ĐỀ 1: HÀM NHẤT BIẾN DẠNG 1:. và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 152 VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT HÀM SỐ HÀM BẬC HAI TRÊN BẬC HAI Phương pháp: Với hàm số 2 0 ax , bx c y ad dx e      , tử và. biến thiên và vẽ đồ thị hàm hữu tỉ Trần Đình Cư. Gv Trường THPT Gia Hội Huế 141 DẠNG 2: Một số bài tốn liên quan hàm số nhất biến (htb1/1) Một số chú ý 1. Hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận