Đề thi HSG môn toán 7 huyện Vĩnh Tường 2010-2011

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN: TOÁN LỚP 7 (Thời gian làm bài: 120 phút) Câu 1. a/ Cho hai só tư nhiên a và b, với a > b và thỏa mãn: 3(a + b) = 5(a - b). Tìm thương của hai số a và b b/ Tìm các số nguyên dương a,b,c biết rằng: a 3 - b 3 -c 3 = 3abc và a 2 = 2(b + c) Câu 2. a/ Tính: A = 1 1 1 1 1 1 1 1 15 21 28 210       − − − −  ÷ ÷ ÷  ÷       b/ Chứng minh: Số B = 1 1 1 1 2 3 4 50 + + + + không phải là số tự nhiên. Câu 3. Trong một buổi lao động trồng cây, lớp 7A đã phân chia số cây cho các tổ lần lượt như sau: Tổ I tròng 20 cây và 0,04 số cây còn lại; Tổ II trồng 21 cay và 0,04 số cây còn lại: Tổ III tồng 22 cây và 0,04 số cây còn lại; … Cứ như vậy cho đến tổ cuối cùng thì vừa hết só cây và số cây mỗi tổ được chia đem trồng đều bằng nhau. Hỏi lớp 7A có mấy tổ và mỗi tổ được chia bao nhiêu cây. Câu 4. Tìm x biết: a/ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 5 7 0x x x x − − − − ≤ b/ 7 3 2 7 3 x − − = Câu 5.Cho tam giác nhọn ABC, có BC = a, CA = b, AB = c . Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Hạ MH,MK,MP lần lượt vuông góc với BC, CA, AB. a/ Chứng minh : AP 2 + BH 2 + CK 2 = BP 2 + CH 2 + AK 2 . b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của: AP 2 + BH 2 + CK 2 (tính theo a,b,c) Câu 6. Cho tam giác đều ABC,đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho AH = DH. Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho góc BDx có số đo bằng 15 0 . Dx cắt tia AB tại E. Chứng minh: EH = DH ĐỀ CHÍNH THỨC Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. HƯỚNG DẪN CHẤM GIAO LƯU HSG MÔN TOÁN LỚP 7 Câu Nội dung Điểm Câu1 (1,5 đ) a/ Ta có: 3(a + b) = 5(a - b) ⇒ 3a + 3b = 5a - 5b ⇒ 2a = 8b ⇒ a = 4b ⇒ a : b = 4 b/ a 3 - b 3 -c 3 = 3abc (1); a 2 = 2(b + c) (2) Từ (2) suy ra a 2 chẵn ⇒ a chẵn . Từ (1) suy ra a > b; a > c ⇒ 2a > b + c ⇒ 4a > 2(b + c) kết hợp với (2) ⇒ a 2 < 4a ⇒ a < 4 ⇒ a = 2 thay vào (2) được: b + c = 2 ⇒ b = c =1 (vì b,c nguyên dương). Thử lại thấy đúng vậy a = 2; b = c = 1 0,5 0,5 0,5 Câu2 (2đ) a/ A = 14 20 27 209 28 40 54 418 4.7 5.8 6.9 19.22 . . . . . 15 21 28 210 30 42 56 420 5.6 6.7 7.8 20.21 = = = = 4.5.6 19 7.8.9 22 4 22 11 . . 5.6.7 20 6.7.8 21 20 6 15 = = b/ Đặt T = 3.5.7…49 (tích các số lẻ từ 3 đến 49) Nhân hai vế của B với 2 4 .T ta được: B.2 4 .T = 4 4 4 4 2 . 2 . 2 . 2 . 2 3 4 50 T T T T + + + + (*) Dễ thấy tất cả các số hạng ở vế phải của (*), trừ số hạng 4 5 2 . 2 T đều là số tự nhiên, suy ra vế phải có tổng không phải là số tự nhiên. Do đó B không phải là số tự nhiên. 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu3 (2đ) Ta có: 0,04 = 4 1 100 25 = Tổ I được 20 cây và 1 25 số cây còn lại lần thứ nhất Tổ II được 20 cây và 1 25 số cây còn lại lần thứ hai Vì số cây của hai tổ bằng nhau nên 1 25 số cây còn lại lần một nhiều hơn 1 25 số cây còn lại lần hai là: 21 - 20 = 1 (cây) Do đó số cây còn lại lần một hơn số cây còn lại lần hai là: 1 : 25 = 25 (cây). Theo sơ đồ ta thấy 1 25 số cây còn lại lần một là: 25 - 21 = 4 (cây) Vậy số cây của tổ I cũng là số cây của mỗi tổ là: 20 + 4 = 24 (cây) Tổng số cây của lớp 7A là: 20 + 4.25 = 120 (cây) Số tổ của lớp 7A là: 120 : 24 = 5 (tổ) Đáp số: 5 tổ, mỗi tổ 24 cây. 0,5 0,5 0,5 0,5 Câu4 (2đ) a/ Nhận xét: x 2 -7 < x 2 - 5 < x 2 - 3 < x 2 - 1 và tích của 4 thừa số âm khi có một hoặc ba thừa số âm. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 3 5 7 0x x x x − − − − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 7 0 1 3 5 7 0 x x x x x x x x  − − − − =  ⇔  − − − − <  2 2 2 2 1; 3; 5; 7 5 5 0 5 7 7 0 7 1 1 0 1 3 3 0 3 x x x x x x x x x x x    = ± ± ± ±    >  − >   ⇔ ⇔ ⇔ < <    − <  <       >   − >   ⇔ ⇔ < <    − < <       b/ 7 3 2 7 3 x − − = ( ) 7 7 34 3 2 7 3 9 3 3 9 20 7 7 3 2 7 3 5 9 3 3 x x x x x x vn    − − = − = =      ⇔ ⇔ ⇔  −    = − − = − − = −       0,5 0,5 1,0 Câu5 (1,5đ) A B C M H K P a/Ta có: AP 2 +BH 2 +CK 2 = AM 2 -MP 2 +MB 2 - MH 2 + MC 2 - MK 2 = AM 2 - MK 2 + MC 2 - MH 2 + MB 2 - MP 2 = AK 2 +CH 2 +BP 2 (đpcm) b/ Tờ câu a suy ra: 2( AP 2 +BH 2 +CK 2 ) = (AP 2 +BP 2 ) +(KA 2 +KC 2 )+(CH 2 + BH 2 ) ≥ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 AP BP AK CK CH BH+ + + + + = 2 2 2 2 a b c+ + Vậy GTNN của AP 2 +BH 2 +CK 2 là 2 2 2 4 a b c+ + ⇔ M là giao điểm ba đường trung trực của tam giác. 0,5 0,5 0,5 Câu6 (1đ) B C A D H E Ta có · 0 30BAH = ; · 0 45AED = Giả sử · 0 30AEH > ⇒ · 0 15HED < = · HDE HD HE ⇒ < AH EH ⇒ < (vô lý) Giả sử · 0 30AEH < ⇒ · 0 15HED > = · HDE HD HE ⇒ > AH EH ⇒ > (vô lý) Vậy · 0 30AEH = nên tam giác AHE cân suy ra: EH = HE = HD (đpcm). 1,0 . 14 20 27 209 28 40 54 418 4 .7 5.8 6.9 19.22 . . . . . 15 21 28 210 30 42 56 420 5.6 6 .7 7.8 20.21 = = = = 4.5.6 19 7. 8.9 22 4 22 11 . . 5.6 .7 20 6 .7. 8 21 20 6 15 = = b/ Đặt T = 3.5 .7 49 (tích. >   − >   ⇔ ⇔ < <    − < <       b/ 7 3 2 7 3 x − − = ( ) 7 7 34 3 2 7 3 9 3 3 9 20 7 7 3 2 7 3 5 9 3 3 x x x x x x vn    − − = − = =      ⇔ ⇔ ⇔  − . 2 2 1 3 5 7 0x x x x − − − − ≤ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 3 5 7 0 1 3 5 7 0 x x x x x x x x  − − − − =  ⇔  − − − − <  2 2 2 2 1; 3; 5; 7 5 5 0 5 7 7 0 7 1 1 0 1