De thi HSG mon toan 7 năm 2012 - 2013

Đề thi chọn đội tuyển dự thi OlYmpic cấp huyện Năm học 2012- 2013 Môn : TO N LP 7 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao, nhn ) Câu 1: (5 im) a. Cho 1 1 1 1 2013 2013 2013 2013 & 1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100 A B= + + + + = + + + + Chng minh rng : B A l mt s nguyờn . b, Cho bốn số a, b, c, d sao cho a + b + c + d 0. Biết b c d c d a d a b a b c k a b c d + + + + + + + + = = = = tính giá trị của k. Câu 2 : (4 im) Tỡm x, y ,z bit: a. 5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6 = = v 3x 2y 5z 96 + = . b. , 10 15 2 x y z x= = v x + 2y - 3z = -24 Câu 3: ( 4 điểm) a) Cho M = 42 15 x x . Tìm số nguyên x để M t giỏ tr nh nht. b) Tỡm x sao cho: 4 1 1 17 2 2 x x + + = ữ ữ Cõu 4. (5 im) Cho ABC cõn ti A, à 45A = o . T trung im I ca AC k ng vuụng gúc AC ct ng thng BC ti M. Trờn tia i ca AM ly im N sao cho AN = BM. Chng minh: a. ã ã AMC BAC= b. ABM = CAN c. MNC vuụng cõn ti C Cõu 5. ( 2 im) Chng minh: ( ) 7 9 13 81 27 9 45P = M ? Trờng THCS sơn Tây Hớng dẫn chấm : đề thi chọn đội tuyển học sinh dự thi ô lympic cấp huyệnNăm học 2012-2013 Môn toán 7 Câu1 : ( 5đ) a, ( 2,5 đ ) A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 + + + + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50 1 1 1 1 1 51 52 53 99 100 = + + + + + + + + + + + + ữ ữ = + + + + + + + + + + + + + + + + ữ = + + + + + B = 2013 1 1 1 1 1 1 51 52 53 54 99 100 + + + + + + ữ = 2013A. Suy ra B 2013 Z A = b,(2,5 đ ) Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số ta có: 1 1 1 1 b c d c d a d a b a b c a b c d b c d a c d a b d a b c a b c d a b c d + + + + + + + + + = + = + = + + + + + + + + + + + + + = = = Vì a + b + c + d 0 nên a = b = c = d. Suy ra 4 4 a k a = = . Câu 2 : (4 điểm) a, ( 3 đ ) Cho 3 s x; y; z tha món cỏc iu kin sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6 = = v 3x 2y 5z 96 + = . Tỡm x; y; z. T 5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6 = = 20z 24y 30x 20z 24y 30x 16 25 36 = = 20 24 30 20 24 30 0 10 25 36 z y x z y x + + = = + + 20z 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 20z = 24y = 30x 10z = 12y = 15x 3 2 5 3 2 5 96 3 4 5 6 12 10 30 12 10 30 32 x y z x y z x y z + = = = = = = = + Gii ra v kt lun : x = 12 ; y = 15 v z = 18 b)( 1 đ ) đa về dãy tỷ số bằng nhau: 2 3 4 x y z = = ; 5 2 3 4 x y z = = = N C M B A I T×m ®îc x = 10; y= 15; z = 20 C©u 3 : (4 ®iÓm) a) Cho F = 42 15 x x − − . T×m sè nguyªn x ®Ó F ®¹t GTNN Ta thÊy F = 42 15 x x − − = -1 + 27 15x − ®¹t GTNN  27 15x − nhá nhÊt XÐt x-15 > 0 th× 27 15x − > 0 XÐt x-15 < 0 th× 27 15x − < 0. VËy 27 15x − nhá nhÊt khi x-15 <0 Ph©n sè 27 15x − cã tö d¬ng mÉu ©m Khi ®ã 27 15x − nhá nhÊt khi x-15 lµ sè nguyªn ©m lín nhÊt hay x-15 = -1 => x = 14. VËy x= 14 th× F nhá nhÊt vµ F = -28 b. 4 1 1 1 2 2 17 x x+     + =  ÷  ÷     4 4 1 1 1 1 1 17 . 17 2 2 2 2 2 x x x x+           + = ⇔ + =  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷           1 1 1 17 2 16 x     ⇔ + =  ÷  ÷     17 1 . 17 16 2 x   ⇔ =  ÷   4 1 16 2 2 4 2 x x x −   ⇔ = ⇔ = ⇔ = −  ÷   Câu 4: ( 5 ® ) a) ∆AIM = ∆CIM (c.g.c) MA MC AMC ⇒ = ⇒ ∆ cân tại M ∆AMC và ∆ABC cân có góc đáy · ACM chung. Nên hai góc ở đỉnh bằng nhau. Vậy · · AMC BAC= b) Xét ∆ABM và ∆CAN có AB = AC (∆ABC cân), BM = AN (gt) · · · · · · · · · 180 180 ( ) ABM ABC CAN CAM ABM CAN ABC CAM ACB  + = °   + = ° ⇒ =   = =   ∆ABM = ∆CAN (c.g.c) suy ra AM = CN c) Ta có AM = CN (cmt) mà AM = MC (∆AMC cân) CM CN MCN⇒ = ⇒ ∆ cân (1) Mà ∆MCN có · · µ ( 45 ) 45AMC BAC N= = ° ⇒ = ° (2) Từ (1) và (2) ⇒ ∆MCN vuông cân tại C. (Hình vẽ 0.5 điểm, mỗi câu 1.5 điểm) Câu 5: ( 2 ®) 7 9 13 2 7 3 9 13 14 27 13 14 26 13 14 2 13 13 13 13 81 27 9 (9 ) (3 ) 9 9 3 9 9 3.3 9 9 3.(3 ) 9 9 (9 3 1) (9 .5) (9.5) 45 P = − − = − − = − − = − − = − − = − − = =M . Đề thi chọn đội tuyển dự thi OlYmpic cấp huyện Năm học 201 2- 2013 Môn : TO N LP 7 Thời gian : 120 phút (không kể thời gian giao, nhn ) Câu 1: (5 im) a. Cho 1 1 1 1 2013 2013 2013 2013 . 42 15 x x − − = -1 + 27 15x − ®¹t GTNN  27 15x − nhá nhÊt XÐt x-15 > 0 th× 27 15x − > 0 XÐt x-15 < 0 th× 27 15x − < 0. VËy 27 15x − nhá nhÊt khi x-15 <0 Ph©n sè 27 15x − cã. 2 im) Chng minh: ( ) 7 9 13 81 27 9 45P = M ? Trờng THCS sơn Tây Hớng dẫn chấm : đề thi chọn đội tuyển học sinh dự thi ô lympic cấp huyệnNăm học 201 2- 2013 Môn toán 7 Câu1 : ( 5đ) a, (