TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian 120 phút) Bài 1 a. Tính giá trị biểu thức 7 5 5 2 5 18 13 9 9 13 9 13 × − × − − × ÷ b. Cho 1 1 1 1 2011 2011 2011 2011 & 1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100 A B= + + + + = + + + + Chứng minh rằng : B A là một số nguyên . Bài 2 Cho biểu thức 2 x 3 A x 2 + = − . a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được. b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ? c. Tính A khi /x - 3 /= 5 Bài 3 a. Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6 − − − = = và 3x 2y 5z 96− + = . Tìm x; y; z. b. Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c . Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c Bài 4: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên BC. Vẽ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng BC. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: a. AM = AD b. A là trung điểm MN c. BC = BM + CN d. Tam giác DMN vuông cân. Bài 1: A = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 − + − + − + + − 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 99 100 2 4 6 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 99 100 1 2 3 4 5 6 49 50 1 1 1 1 1 51 52 53 99 100 = + + + + + + + + − + + + + ÷ ÷ = + + + + + + + + − + + + + + + + + ÷ = + + + + + B = 2011 1 1 1 1 1 1 51 52 53 54 99 100 + + + + + + ÷ = 2011A. Suy ra B 2011 Z A = ∈ Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6 − − − = = và 3x 2y 5z 96− + = . Tìm x; y; z. Từ 5z 6y 6x 4z 4y 5x 4 5 6 − − − = = ⇒ 20z 24y 30x 20z 24y 30x 16 25 36 − − − = = 20 24 30 20 24 30 0 10 25 36 z y x z y x− + − + − = = + + ⇒ 20z – 24y = 30x -20z = 24y -30x = 0 ⇒ 20z = 24y = 30x ⇒ 10z = 12y = 15x ⇒ 3 2 5 3 2 5 96 3 4 5 6 12 10 30 12 10 30 32 x y z x y z x y z− + = = ⇒ = = = = = − + Giải ra và kết luận : x = 12 ; y = 15 và z = 18 Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f(-1) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025 và tính được a 4025 2 = ; b 1 2 = Kết luận : a 4025 2 = ; b 1 2 = và c = 0 Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho AD = AC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và BD. A C M E B D N a. Tam giác BDC là tam giác gì ? Vì sao ? So sánh DM và CN * Chứng minh được: ∆ BAD = ∆ BAC (c.g.c) suy ra BD = BC và · · · DBC DBA ABC= + = 45 0 + 45 0 = 90 0 Kết luận ∆ BDC vuông cân tại B. * Chứng minh được ∆ BDM = ∆ BCN ⇒ DM = CN b. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với CN cắt tia BA tại K. Chứng minh BMK CMD∆ = ∆ . Vì ∆ BDM = ∆ BCN suy ra · · BNC BMD= ∆ BNC vuông tại B nên · · 0 BNC BCN 90+ = ∆ CME vuông tại E nên · · 0 MCE CME 90+ = Từ đó suy ra · · CME BMD= Vì · · · · CME BMD BMK CMD= ⇒ = Chứng minh ∆ BMK = ∆ CMD (g.c.g) c. Biết AB = a , tính chu vi tam giác DMK * AB = a, tính được BC = a 2 do áp dụng định lý Pitago với tam giác ABC Và cũng tính được BD = BC = a 2 ; BM = 1 2 BC = 2 2 a * Vì ∆ BMK = ∆ CMD suy ra MD = MK. Vậy chu vi ∆ DMK bằng 2MD + DK Tính được a 5 DM 2 = do áp dụng định lý Pitago với tam giác vuông BDM K Chứng ming được DB K∆ = BCK ∆ ⇒ DK BC a 2= = Chu vi tam giác DMK bằng ( ) 5 2DM DK 2a a 2 a 10 a 2 a 10 2 2 + = + = + = + . c a. Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f (-1 ) = 2012. Tính a; b ; c Tính được 0 = f(0) = c ; 2013 = f(1) = a+b+c và 2012 = f (-1 ) = a-b+c Tính được: a + b = 2013 và a - b = 2012 Tính được: 2a = 4025. TRƯỜNG THCS MỸ THÀNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 – 1013 MÔN: TOÁN 7 (Thời gian 120 phút) Bài 1 a. Tính giá trị biểu thức 7 5 5 2 5 18 13 9 9 13 9 13 × − × −. 5z 96− + = . Tìm x; y; z. b. Cho đa thức f(x) = ax 2 + bx + c . Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f (-1 ) = 2012. Tính a; b ; c Bài 4: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên