BÀI TP GI I H N
D NG I: TÌM GI I H N DÃY S
Phương pháp gải: Dùng ñịnh nghĩa , tính chất và các ñịnh lý về giới hạn của dãy số
VÝ dô 1:
VÝ dô 1: T×m: lim38n2 3n
2 n
−
Gi¶i:
Gi¶i:
2
3
n 2
n
VÝ dô 2:
VÝ dô 2: T×m: lim2n2 3n 1
2
− −
− +
Gi¶i:
Gi¶i:
2
2 n
− −
VÝ dô 3:
VÝ dô 3: T×m: lim n 1 n2 1
− − +
Gi¶i:
Gi¶i:
2
Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh lý
• Cho hai dãy số
( )
| u | vn n
lim vn 0
≤
= (1)(1)(1)
•
vn un w , nn
lim un L lim vn lim wn L L
= = ∈ℝ (2)(2)(2)
Trang 2Ví dụ:
Ví dụ: Chứng minh: ( )n
1 cos n
n
Giải:
Giải:
Ta có: ( )n
1 cos n 1
và lim 1 0
n = nên ( )n
1 cos n
n
Phương phỏp giải: Sử dụng ủịnh lý
• Dóy (un) tăng và bị chặn trờn thỡ cú giới hạn ;
• Dóy (vn) giảm và bị chặn dưới thỡ cú giới hạn
Ví dụ:
Ví dụ: Chứng minh dãy số ( )u n cho bởi
( 1 )
un =n n 1
+ có giới hạn
Giải:
Giải:
Ta có
+
+ + Do đó dãy ( )u n giảm Ngoài ra,
( 1 )
*
n n 1
∀ ∈ℕ = + > nêu dãy ( )u n bị chặn dưới Vậy dãy ( )u n có giới hạn
D NG IV: TÍNH TNG CA C P S NHÂN LÙI Vễ H N
1
1 q
= ư <
Ví dụ:
Ví dụ: Tính tổng S 1 1 1 1n
Giải:
Giải:
Đây là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn, với q 1 1
2
= < và u 1
1= Vậy: S u1 1 2
1 q 1 1
2
ư
D NG V: TèM GI I H N Vễ C"C Phương phỏp giải: Sử dụng quy tắc tỡm giới hạn vụ cực
Ví dụ
Ví dụ 1 1 1:::: Tìm: lim 2n3 4n 3
2 3n 1
+
Giải:
Giải:
Cách 1:
Cách 1:
Ta có:
2
n n3
Lại có lim 2 4 3 2 0,lim 3 1 0
n
ư + ư = ư < + = và 3 1 0 n *
n n3
+ > ∀ ∈ℕ nên suy ra:
2
3n 1
n n3
Cách 2:
Cách 2:
Trang 3Ta có:
3
2
n
Lại có
+
Ví dụ
Ví dụ 2 2 2:::: Tính lim 4x2 1
Giải:
Giải:
Vì lim | x |
x→−∞ −x2 = > ⇒x→−∞ − = +∞
D NG VI: TèM GI I H N CA HÀM S
Phương phỏp giải: Sử dụng cỏc ủịnh lý và quy tắc
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tính: lim x.sin1
x
x 0
Giải:
Giải:
Xét dãy ( )xn mà xn ≠ ∀0, n và lim xn=0 Ta có: f x( ) x sin 1 | x |
Vì lim | x | 0n = ⇒limf x( )n =0 Do đó lim x.sin1 0
x
x 0
Ví dụ 2:
Ví dụ 2: Tính: lim x2 x 1 x
x
→+∞
Giải:
Giải:
Ta có:
1 1
x x2
+
Ví dụ 3:
Ví dụ 3: Tính: lim x2 3x 1 x
x
→−∞
Giải:
Giải:
Ta có:
+
−
(Chú ý: khi x→ −∞ là ta xét x < 0, nên x= − x2 )
0
=
Phương phỏp giải: Sử dụng ủịnh lý giới hạn kẹp
Trang 4Giả sử J là một khoảng chứa x0 và f, g, h là ba hàm số xác ñịnh trên tập hợp J \ x{ }
0 khi ñó:
x J \ x : g x f x h x
0
lim f x L
VÝ dô:
VÝ dô: Chøng minh: lim x sin x2 0
→+∞ +
Gi¶i:
Gi¶i:
Ta lu«n cã: | f x |( ) x sin x2 x2 x2 f x( ) x2
x
D NG VIII: GI I H N M,T BÊN Phương pháp giải: Sử dụng ñịnh nghĩa giới hạn một bên
• Giả sử hàm số f xác ñịnh trên khoảng (x ;b) 0
Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải là L khi x dần ñến x0 (hoặc tại ñiểm x0),nếu với mỗi dãy (x )n trong khoảng (x ;b) mà 0 limxn=x0,ta ñều có limf(x ) Ln =
ðịnh nghĩa tương tự cho
0
lim f(x) L
x x→ − =
Hàm số có giới hạn tại x0 và
0
lim f(x) L
x x→ = tồn tại lim f(x)
x x 0
+
lim f(x) L
x x→ − =
và lim f(x) lim L
x x
0
= → −= +
VÝ dô
VÝ dô 1: 1: 1: Cho hµm sè f x( ) x3 x 1
2
víi
víi
< −
=
− ≥ − T×m lim f x( )
x→−1 Gi¶i:
Gi¶i:
x 1 x 1
lim f x( ) lim x3 1
x 1 x 1
Tõ (1) vµ (2) suy ra lim f x( ) 1
→−
VÝ dô 2:
VÝ dô 2: Cho hµm sè ( )
x 1
f x
x 1
khi khi
>
+
= −
<
+
a) T×m lim f x( )
x→2
Trang 5b) T×m lim f x( )
x 1→
Gi¶i:
Gi¶i:
a) lim f x( ) lim 1 1
x 1 3
b) lim f x( )
x 1→
Ta cã: lim f x( ) lim 1 1; lim f x( ) lim 1 1 lim f x( ) lim f x( )
−
kh«ng tån t¹i lim f x( )
x 1→
(Chó ý: lim f x( )
x x
0
→ tån t¹i khi vµ chØ khi lim f x( ) lim f x( ) L
0
+
→ th× lim f x( ) L
x x 0
=
D NG IX: KH0 D NG VÔ 12NH Phương pháp giải:
1
1) ) ) Khi t×m giíi h¹n d¹ng ( )
( )
P x lim
x x Q x 0
→ , víi lim P x( ) lim Q x( ) 0
• Víi P(x), Q(x) lµ nh÷ng ®a thøc nguyªn theo x th× ta chia c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho x x
0
−
• NÕu P(x), Q(x) chøa dÊu c¨n thøc theo x th× ta nh©n c¶ tö P(x) vµ mÉu Q(x) cho l−îng liªn hiÖp
VÝ dô 1:
VÝ dô 1: T×m: lim x2 9x 14
x 2
x 2
− +
−
→
Gi¶i:
Gi¶i:
V
VÝ dô 2:Ý dô 2:Ý dô 2: T×m: lim 4 x 2
4x
x 0
+ −
→
Gi¶i:
Gi¶i:
VÝ dô 3:
VÝ dô 3: T×m: lim 3 x 7 2
x 1
x 1
+ −
−
→
Gi¶i:
Gi¶i:
( )
2 3
x 1
−
( )
lim
12
→
VÝ dô 4:
VÝ dô 4: T×m: lim 2x 5 3
+ −
Gi¶i:
Gi¶i:
( 2x 5 3)( 2x 5 3)( x 2 2) ( (2x 5 9) ( ) ( x 2 2) ) 2( x 2 2
Trang 6Ví dụ 5:í dụ 5:í dụ 5: Tìm: lim x3 3x 2
x 1
x 1
ư
→
Giải:
Giải:
3
2 2
ư ư
=
Ví dụ 6:
Ví dụ 6: Tìm: lim 4 x 2 1
3
+ ư
Giải:
Giải:
Đặt t=12x 2+ ⇒x 2+ =t12 ⇔ =x t12ư2, khi đó x→ ư1 thì t→1 Do đó:
( )
2
t 1 t t 1
Ví dụ 7:
Ví dụ 7: Tìm: lim 3 x 7 x 3
x 1
x 1
ư
→
Giải:
Giải:
( )
3
lim
2
lim
12
2
2)))) Khi tìm giới hạn dạng ( )
( )
P x lim
Q x
x→±∞ , ta lưu ý:
• Đặt mx (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x)
• Sử dụng kết quả: lim 1 0
x→∞xα = ( với α >0)
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tìm: lim 3x2 4x 1
ư +
Giải:
Giải:
3
x x2
ư +
Trang 7VÝ dô 2:
VÝ dô 2: T×m: lim x2 x 1 3x
+ + −
Gi¶i:
Gi¶i:
x
VÝ dô 3:
VÝ dô 3: T×m:
lim
2
Gi¶i:
Gi¶i:
x x2
3) Dạng ∞ −∞và dạng 0.∞
• Nhân và chia với biểu thức liên hợp
• Nếu có biểu thức chứa biến x dưới dấu căn hoặc quy ñồng mẫu ñể ñưa về cùng một phân thức
VÝ dô
VÝ dô :::: →+∞lim ( x2+ + −2x 3 x)
x
Gi¶i:
Gi¶i:
2
2
3 2
2
+ +
x x