Trường hợp H nằm trên cạnh BC : Kẽ đường kính AD.. Trường hợp H nằm ngoài cạnh BC : Kẽ đường kính AD.. Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC... Đường thẳng đi qua
Trang 1Ví dụ 32 – 38 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R), có AB = 8cm,
AC = 15 cm, đường cao AH = 5 cm.Tính bán kính của đường tròn
Giải
Trường hợp H nằm trên cạnh BC : Kẽ đường kính AD
Ta có ·ABC= ·ADC(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
ACD= (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)
15 2
AH AB
R cm
Trường hợp H nằm ngoài cạnh BC : Kẽ đường kính AD
Ta có ABCD là tứ giác nội tiếp nên · · 0
180
ADC ABC+ =
Ta lại có : ·ABH ABC+ · = 180 0
Do đó : ·ABH = ·ADC
15 2
AH AB
R cm
Bài 235 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, các điểm M,N, P là điểm
chính giữa của các cungAB, BC, CA Gọi D là giao điểm của MN và AB, E là giao điểm của PN và AC Chứng minh rằng DE // BC
Giải
NE là tia phân giác của ∆ANC ⇒ EC AE = AN NC (1)
ND là tia phân giác của ∆ANB ⇒ AD DB = AN NB (2)
Do »NB NC= » ⇒NB NC= (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ EC AE = DB AD, do đó DE // BC
Bài 242 : Cho tam giác ABC, đường cao AH, đường trung tuyến AM (H, M phân
biệt và thuộc cạnh BC) thỏa mãn BAH· =MAC· Chứng minh rằng : · 0
90
BAC=
Giải Gọi E là trung điểm AB
Do tam giác AEH cân tại E : ·AHE BAH= ·
Do tam giác AMC cân tại M : MAC MCA· = ·
Do BAH· =MAC· nên ·AHE MCA= · (1)
Mà ·AHE BHE+ · = 90 0 (2)
Mặt khác do tam giác BEH cân ở E : EBH· = ·EHB (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ ·ABH+ ·ACM = 90 0 hay ABC ACB · + · = 90 0
BAC
8
R
5 H O
A
D
8
R
5 H
O
A
D
E D
P
M
N
A
H
A
M E
Trang 2Bài 256 : Từ một điểm A bên ngoài đường tròn tâm O, vẽ các tiếp tuyến AB, AC
(B, C là các tiếp điểm) và cát tuyến ADE Đường thẳng đi qua D và vuông góc với
OB cắt BC, BE theo thứ tự ở H, K Chứng minh : DH = HK
Giải Kẻ OM ⊥DE, ta có ·ABO ACO AMO= · = · = 90 0
Nên B, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính AO
MCB MAB
⇒ = (cùng chắn cung MB) (1)
Do AB // DK (cùng vuông với OB) ⇒MAB MDK· = · (2)
Từ (1) và (2) ⇒MCB MDK· = ·
Nên tứ giác MCDH là tứ giác nội tiếp
HMD HCD
⇒ = (cùng chắn cungHD) (3)
Mặt khác ·DCH =DEB· (cùng chắn cung BD) (4)
Từ (3) và (4) ⇒ ·HMD DEB= ·
Do 2 góc trên bằng ở vị trí đồng vị nên MH // EB
Xét tam giác DKE, do M là trung điểm DE, nên H là trung điểm DK ⇒ DH = HK
Bài 276 : Cho đường tròn tâm O đường kính BC, A là 1 điểm thuộc đường tròn H
là hình chiếu của A trên BC Vẽ đường tròn (I) có đường kính AH, cắt AB và AC
theo thứ tự ở M và N
1 Chứng minh rằng OA vuông góc với MN
2 Vẽ đường kính AOK của đường tròn (O) Gọi E là trung điểm của HK
Chứng minh rằng E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC
3 Cho BC cố định xác định vị trí của điểm A để bán kính của đường tròn
ngoại tiếp tứ giác BMNC lớn nhất
Giải
1 Xét tam giác AIM cân ở I, ta có ·AMN = ·MAI
Xét tam giác AOC cân tại O, ta có OAC OCA· = ·
Mặt khác, ta có : MAH· =OCA· (cùng phụ với ·HAC)
Vậy, ta có ·AMN OAC= ·
Mà ·AMN ANM+ · = 90 0 ⇒·ANM OAC+· = 90 0
Vậy OA MN⊥
2 Theo trên, ta có : ·AMN OCA= ·
Mặt khác do : ·AMN BMN+ · = 180 0 ⇒OCA BMN· + · = 180 0
Nên BMNC là tứ giác nội tiếp
Do EI là đường trung bình của ∆ AHK nên EI // OA
Theo câu a, OA⊥MN nên EI⊥MN ⇒ EI là đường trung trực của MN (1)
Mà OE cũng là đường trung bình của ∆AHK nên OE // AH
Mà AH⊥BC nên OE⊥BC ⇒ OE là đường trung trực của BC (2)
K
H
M D
C
O
B
A
E
N
M I
E
H O B
C A
K
Trang 3Từ (1) và (2) ⇒ E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BMNC
3 Ta có EB lớn nhất ⇔ EO lớn nhất ⇔ AH lớn nhất ⇔ H≡O
Khi đó OA⊥BC
Bài 284 : Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, đường phân giác AD Đường
tròn ngoại tiếp tam giác ADM cắt AB, AC theo thứ tự ở E, F Chứng minh rằng :
BE = CF
Giải Xét ∆ BEM và ∆ BDA, ta có :·ABM là góc chung
EMB BAD= (2 góc nội tiếp cùng chắn cung »ED)
.
Xét ∆ CFD và ∆ CMA, ta có :·ACM là góc chung
MAF =FDC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung ME¼ )
.
Ta có : BM = CM (AM là trung tuyến) và DB DA=CD CA (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ BE = BF
Ví dụ 45 : Cho tam giác đều có tâm O, cạnh 3cm Vẽ đường tròn tâm O bán kính
1 cm Tính diện tích phần tam giác nằm ngoài hình tròn
(Đề thi Học sinh giỏi Tỉnh năm 2006)
Giải Gọi AH là đường cao của tam giác đều ABC : 3 3, 3 3: 3 3
AH
Xét ∆OHDvuông tại H, ta có :
2
HD OD OH
1 2
HD
Vậy CD = 1 cm tương tự CE = 1 cm
Tứ giác ODCE là hình thoi cạnh 1 cm, DEC= 60 0
ODCE
CD
S = = (cm2)
Diện tích hình quạt ODE bằng .12
π =π (cm2) Diện tích phần “tam giác cong” CED ( phần gạch sọc
giới hạn bởi các đoạn thẳng CD, CE và cung DE) bằng :
3 3
− = − (cm2)
Diện tích phải tìm bằng : 1( ) (1 )
6 − π = 2 − π (cm2)
E
F
M D
B
A
C
E
C O
A
B
D H