Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu

Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu Một số đề hình học trong kì thi vào các trường THPT năng khiếu

Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN Một số đề hình học kỳ thi vào trường PTNK Trần Quang Hùng Tóm tắt nội dung Bài viết tập trung khai thác phát triển số đề hình học thi vào trường PTNK từ năm 1999 tới năm 2015 Đề thi vào trường PTNK năm 2000 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Đường tròn nội tiếp tiếp xúc CA, AB E, F Gọi K, L hình chiếu E, F lên BC Chứng minh AH = 2EK.F L A E F I L B H K C Hình Lời giải Từ tính chất đường tròn nội tiếp BF = BC + BA − AC CB + CA − AB , CE = 2 Từ theo định lý Thales BF CE BC − (AB − AC)2 BC − AB − AC + 2AB.AC EK.F L = = = =2 AH BA CA AB.AC AB.AC Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài tốn ứng dụng tính chất đường tròn nội tiếp định lý Thales định lý Pythagore Cuối đề đặt câu hỏi xét tốn với tam giác thường ? Đó vấn đề thú vị thay góc vng hiển nhiên tốn khơng thể giữ ngun giả thiết Tuy phát triển giả thiết gốc thêm chút ta thu toán thú vị sau Bài toán Cho tam giác ABC đường cao AH Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc CA, AB E, F IA EK.F L Gọi K, L hình chiếu E, F lên BC Gọi IA cắt EF J Chứng minh AH = IJ Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN A N M J E F I B L H K C Hình IA EK.F L IA2 BF CE IA2 BF.CE Lời giải Ta thấy = = (1) IJ AH IA.IJ BA CA AB.AC IF.IE Lấy điểm M, N thuộc CA, AB cho IM ⊥ IC, IN ⊥ IB ta dễ thấy IB IB IB.AC BF = = IA (2) = AMI ∼ AIB Từ IF IN IA.IC IC AC CE IC.AB Tương tự = (3) IE IA.IB IA EK.F L IA Từ (1),(2),(3) suy = hay AH = EK.F L IJ AH IJ ANI ∼ AIC, Nhận xét Ta thấy tam giác vng A IA = 2IJ ta thu toán ban đầu Thực chất tác giả đạt toán nhờ số biến đổi lượng giác tương tự cách làm toán gốc Tuy trình giải tìm lời giải thực thoát ly ý tưởng lượng giác làm toán trở nên ý nghĩa Thực chất tốn nhiều điều thú vị chờ bạn khám phá Bài tốn khai thác có tính ban đầu, bạn suy nghĩ thêm vấn đề Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2001 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài tốn Cho hai đường tròn (K) (L) có bán kính khác nhau, tiếp xúc ngồi A Các điểm P, Q thuộc (K), (L) cho ∠P AQ = 90◦ a) Gọi H hình chiếu A lên P, Q Chứng minh H ln thuộc đường tròn cố định P, Q di chuyển 1 b) Gọi M trung điểm P Q Chứng minh = + AM tiếp tuyễn AH KP LQ chung (K) (L) Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN P M N H Q J K A L I Hình Lời giải a) Ta thấy tam giác KAP LAQ cân K, L nên ∠KAP + ∠LAQ = 180◦ − 2∠P AK + 180◦ − 2∠QAL = 360◦ − 2.90◦ = 180◦ suy KP LQ Do (K) (L) bán kính khác KP IK = không đổi mà K, L cố định nên P Q cắt KL I Theo định lý Thales dễ thấy IL LQ nên I cố định Từ H thuộc đường tròn đường kính IA cố định Ta có điều phải chứng minh b) Lấy điểm N thuộc P Q cho AN KP LQ Gọi P L cắt AN J Theo định lý Thales AJ AL LQ 1 1 1 dễ thấy = = = + Tương tự = + = Vậy KP KL KP + LQ AJ KP LQ NJ KP LQ AJ 1 2 = + = Suy H ≡ N Từ KP LQ AH ⊥ P Q nên P Q tiếp tuyến AN KP LQ AH chung (K) (L) Dễ thấy tiếp tuyến chung A phải qua M trung điểm P Q Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Đề gốc có ý cuối phát biểu chứng minh hai đường tròn tiếp xúc trong, cách làm hoàn toàn tương tự Việc điểm cố định đóng vài trò quan trọng câu a) Câu b) ứng dụng quan trọng định lý Thales hình thang Bài tốn khai thác sau Bài tốn Cho hai đường tròn (K) (L) có bán kính khác nhau, tiếp xúc A Các điểm P, Q thuộc (K), (L) cho ∠P AQ = 90◦ a) Chứng minh đối xứng A qua P Q ln thuộc đường tròn cố định P, Q di chuyển b) Gọi M trung điểm P Q H hình chiếu A lên P Q Chứng minh phân giác ∠MAH tiếp tuyến chung (K) (L) HK ⊥ HL Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN P M N H Q J K A L I Hình Các bạn làm luyện tập Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2003 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán a) Cho đường tròn (O) điểm I cố định Một đường thẳng thay đổi qua I cắt (O) MN Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua điểm cố định đường thẳng quay quanh I b) Cho đường tròn (O) đường thẳng d ngồi (O) P di chuyển d Đường tròn đường kính P O cắt (O) M, N Chứng minh đường thẳng MN qua điểm cố định P di chuyển Cả hai toán thực chất vấn đề kinh điển xuất trước lâu nhiều tài liệu Tôi không sâu vào giải mà mở rộng khai thác hai tốn Bài tốn Cho đường tròn (O) điểm I khơng nằm (O) MN dây cung qua I P điểm cố định không thuộc (O) a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác P MN qua điểm cố định khác P b) Gọi P M, P N cắt (O) K, L khác M, N Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác P KL ln qua điểm cố định khác P Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN K M S T J P I N O L Hình Lời giải a) Gọi R bán kính (O) Khơng tổng quát giả sử I nằm (O), trường hợp ngồi tương tự Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác P MN cắt P I S khác P Áp dụng hệ thức lượng đường tròn IS.IP = IM.IN = R2 − OI không đổi nên S cố định b) Gọi KL cắt P I J Không tổng quát giả sử P nằm (O), trường hợp tương tự Ta thấy ∠MSP = ∠MNP = ∠MKJ suy tứ giác MKJS nội tiếp Vậy P S.P J = P K.P M = OP − R2 nên J cố định Dây KL qua J cố định tương tự câu a) đường tròn ngoại tiếp tam giác P KL qua T cố định khác P Nhận xét Đây toán tổng quát nhiều ý nghĩa Chúng ta thường hay gặp trường hợp đặc biệt toán nhiều toán kỳ thi THCS Việt Nam Các bạn lần thấy trường hợp riêng đề năm 2006 [1] Sau ứng dụng phần b) gốc Bài tốn Cho đường tròn (O) nằm hai dải đường thẳng song song a, b P thuộc a Tiếp tuyến (O) qua P cắt b A, B M trung điểm AB Chứng minh P M qua điểm cố định P di chuyển Phần b) tập kinh điển mà có nhiều ứng dụng, bạn tìm hiểu thêm Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2010 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định với dây BC cố định khơng đường kính A di chuyển cung lớn BC Gọi E, F đối xứng B, C qua CA, AB Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K khác A a) Chứng minh K thuộc đường tròn cố định A di chuyển b) Chứng minh AK qua O Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN A F E O H C B K Hình Lời giải a) Ta có ∠BKC = ∠BKA + ∠CKA = ∠AF C + ∠AEB = ∠ACH + ∠ABH = 90◦ − ∠BAC + 90◦ − ∠BAC = 180◦ − ∠BAC = 180◦ − ∠BOC Vậy tứ giác KBOC nội tiếp hay K thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC cố định b) Từ tứ giác BOCK nội tiếp mà OB = OC nên KO phân giác ∠BKC Từ dễ có ∠CKA = ∠CF A = ∠ACH = ∠ABH = ∠AEB = ∠AEB = ∠BKA KA phân giác ∠BKC nên K, O, A thẳng hàng Nhận xét Bài toán gốc phát biểu câu b) chứng minh AK qua điểm cố định rõ ràng điểm cố định O xuất đề nên phát biểu theo cách chứng minh thẳng hàng thuận tiện Nếu để ký kỹ ta dễ thấy tâm ngoại tiếp tam giác ABE ACF nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC Bài toán đơn giản xong có nhiều ý tưởng để phát triển, sau phát triển Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) cố định với dây BC cố định không đường kính A di chuyển cung lớn BC (K) đường tròn cố định qua B, C cắt CA, AB E, F khác B, C G, H đối xứng B, C theo thứ tự qua E, F Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH tam giác ABG cắt D khác A Chứng minh AD qua điểm cố định A di chuyển Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN G A H E O M F K B C L D Hình Lời giải Trước hết ta thấy AF C có góc khơng đổi (K) (O) cố định H lại đối xứng C qua F nên dễ thấy ∠CDA = ∠CHA không đổi Tương tự ∠BDA = ∠BGA không đổi Vậy nên ∠BDC không đổi, D nằm đường tròn (L) cố định Ta lại dễ thấy ∠AF H = ∠AEG, mặt AE BE EG khác = = Từ AF H ∼ AEG Vậy ∠BDA = ∠AHF = ∠AGE = ∠ADB Từ AF CF FH DA phân giác ∠BDC Nếu gọi DA cắt (L) M khác A dễ thấy M phải thuộc trung trực BC, M giao trung trực BC (L) cố định suy AD qua M cố định Ta có điều phải chứng minh Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2012 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 10 Cho tam giác ABC vuông A M điểm cạnh AB Đường thẳng qua M vuông góc MC cắt đường thẳng qua B song song AC D Đường thẳng qua A song song MD cắt đường thẳng qua B song song MC E Chứng minh D, E, C thẳng hàng Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN A M B H K D C E Hình Lời giải Gọi MC cắt AE H, MD cắt BE K Ta dễ thấy tam giác AMC, BDM vuông Mặt khác ∠BMD = ∠BAE = ∠ = ∠ACM Do tam giác AMC, BDM đồng dạng có đường KD HM = Từ dễ thấy tam giác DMC đường thẳng qua cao tương ứng AH, BK nên HC KM H song song với MD đường thẳng qua K song song MC cắt CD, E thuộc CD Nhận xét Cách giải toán túy kiến thức lớp tam giác đồng dạng định lý Thales Bổ đề hai đường thẳng cắt CD bổ đề quen thuộc dùng định lý Thales xin nhắc lại bổ đề sau Bổ đề 10.1 Cho tam giác ABC có E, F thuộc cạnh CA, AB Chứng minh đường thẳng qua E song song AB đường thẳng qua F song song AC đồng quy với BC EA FB = EC FA Bổ đề quen thuộc xin không nhắc lại cách chứng minh Bài toán phát biểu tam giác vng có cách nhìn tam giác sau Bài toán 11 Cho tam giác ABC với M điểm cạnh BC Tiếp tuyến M đường tròn ngoại tiếp tam giác AMC cắt đường thẳng qua B song song AC D Đường thẳng qua A song song MD cắt đường thẳng qua B song song MC E Chứng minh C, D, E thẳng hàng Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN A K M P B C Q D E Hình Lời giải Do MD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM nên ∠MAC = ∠BMD = ∠MAP MP MP MA AP Do MAP ∼ MCA suy = = (1) MC MA MC AC Ta lại có góc có cạnh tương ứng song song ∠DBE = ∠MCA = ∠MAP = ∠BMD, DQ DQ DB BQ2 DBQ ∼ DMB suy = = (2) DM DB DM BM MP BQ2 = = Ta lại dễ thấy BQM ∼ MP A chúng có cạnh tương ứng song song, từ BM MA2 AP (3) AC DQ PM QD MP = hay = Từ theo bổ đề đường thẳng qua A song song Từ (1),(2),(3) suy MC DM PC QM MD đường thẳng qua B song song MC đồng quy với DC Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Bài toán thực chất ứng dụng tính chất tam giác đồng dạng chung cạnh, kiến thức tam giác đồng dạng Ta loại bỏ yếu tố đường tròn phát biểu cách túy kiến thức lớp Bài tốn nhiều vấn đề để khai thác xin dành điều cho bạn đọc Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2014 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả phát biểu lại cho gọn hơn) Bài toán 12 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi I, J tâm nội tiếp tam giác AHB, AHC AI, AJ cắt BC M, N Chứng minh MJ, IN, AH đồng quy Bài toán thực chất ứng dụng hệ thức lượng tam giác vuông ta tìm lời giải dùng kiến thức lớp sau Ta có bổ đề sau Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN 10 Bổ đề 12.1 Cho tam giác ABC phân giác BE, CF cắt I Chứng minh tam giác ABC vuông A BE.CF = 2IB.IC Chứng minh Ta biết hệ thức phân giác IB BA + BC IF = = BE AB + BC + CA IC CA + CB ta có biến đổi tương đương AB + BC + CA BE.CF = 2IB.IC 2(BC + BA)(CB + CA) = (AB + BC + CA)2 2BC + 2BC.BA + 2BC.CA + 2AB.AC = AB + BC + CA2 + 2BC.BA + 2BC.CA + 2AB.AC BC = AB + AC Tương đương tam giác ABC vng A Trở lại tốn A L K J I B M H N C Hình 10 Lời giải Gọi BI cắt AH K Áp dụng bổ đề cho tam giác ABH ta có BK.AM = 2IB.IA hay BK AI = (1) AM 2BI Gọi L trung điểm AN Ta ý ABK CAN đồng dạng có phân giác tương ứng BK BK AN AL CJ Nên = = (2) 2BI 2AJ AJ Ta dễ thấy ∠BAN = ∠BAH + ∠HAN = ∠ACB + ∠NAC = ∠ANB tam giác ABN cân Vậy B, I, K, L thẳng hàng (3) Từ (1),(2),(3) theo định lý Thales đảo MJ IL ⊥ AN Tương tự NI ⊥ AN Vậy tam giác AMN đường cao MJ, IN, AH đồng quy Ta có điều phải chứng minh Lời giải sau sử dụng thêm kiến thức lớp có phần nhẹ nhàng Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN 11 A J I B H M C N Hình 11 ∠BAC = 45◦ = ∠JHC nên tứ giác AMHJ nội tiếp Từ ∠AJM = ∠AHM = 90◦ MJ ⊥ AN Tương tự NI ⊥ AN Vậy tam giác AMN đường cao MJ, IN, AH đồng quy Ta có điều phải chứng minh Lời giải Ta dễ thấy ∠MAN = Nhận xét Lời giải thứ xem ngắn gọn lời giải thứ lại dùng kiến thức cao Ý tốn tập trung chứng minh MJ ⊥ AN, từ ta dễ thấy tứ giác MIJN nội tiếp, ý hay từ đề tốn gốc Ta mở rộng tốn sau Bài tốn 13 Cho tam giác ABC có điểm E, F thuộc tia CB, BC cho tam giác ∠BAF = ∠BCA, ∠CAE = ∠ABC I, J tâm nội tiếp tam giác ABE, ACF AI, AJ cắt BC M, N Chứng minh bốn điểm M, N, I, J thuộc đường tròn A J I B M E F N C Hình 12 Lời giải Khơng tổng qt giả sử vị trí điểm hình vẽ, trường hợp khác ta làm tương tự Ta có ∠EAF = 180◦ − ∠AEF − ∠AF E = 180◦ − (∠ABC + ∠BAE) − (∠ACB + ∠CAF ) = 180◦ − (∠ABC + ∠ABC − ∠ABC) − (∠ACB + ∠ABC − ∠ACB) = 180◦ − 2∠BAC Từ ∠IAJ = 1 ∠IAF + ∠EAF + ∠F AJ = (∠BAC − ∠ABC) + (180◦ − 2∠BAC) + (∠BAC − ∠ACB) = 2 ◦ 90 − ∠BAC Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN 12 Từ 2∠JF N = ∠AF C = ∠ABC + ∠BAF = ∠ABC + ∠ACB = 180◦ − ∠BAC = 2∠IAJ Từ tứ giác AJF M nội tiếp Tương tự tứ giác AIEN nội tiếp Từ ta có ∠IMJ = ∠AF J = 1 ∠AF N = ∠AEM = ∠IEA = ∠INJ suy tứ giác IJNM nội tiếp Ta có điều phải chứng 2 minh Nhận xét Cách giải dùng tứ giác nội tiếp có hiệu lực trường hợp tổng quát Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2015 [3] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ số ý tưởng đề gốc tác giả chỉnh sửa lại chút cho đẹp hơn) Bài toán 14 Cho tam giác ABC có tâm nội tiếp I nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn qua O, I tiếp xúc IA cắt trung trực BC F khác O P điểm di chuyển đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC a) Chứng minh tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác P OF qua điểm E cố định P thay đổi b) Gọi K đối xứng I qua BC KE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OIE L khác E Chứng minh L nằm (O) N A O I F P B C M K E L Hình 13 Lời giải a) Gọi AI cắt (O) E khác A E tâm ngoại tiếp tam giác IBC Từ EP = EI = EO.EF Từ EP tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác P OF hay tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác P OF qua E cố định b) Gọi M trung điểm BC EN đường kính (O) Từ hệ thức lượng tam giác vuông ta thấy EF.EO = EI = EB = EM.EN = EM.2EO Từ EF = 2EM E F đối xứng qua BC Từ IF EK hình thang cân Ta có biến đổi góc ∠OLE = ∠IOA = Trần Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN 13 180◦ − ∠EIO = 180◦ − ∠IF E = ∠IF O = ∠IKE = ∠OEL Từ tam giác OL = OE nên L thuộc (O) Nhận xét Ý a) chủ yếu dùng để phát điểm E, yếu tố cố định khơng có mặt đề nên tốn có phần thú vị Ý b) sau hai điểm đối xứng bước đầu Bước sau dùng biến đổi góc để tam giác cân chứng minh điểm thuộc đường tròn định nghĩa ý thú vị, thường biến đổi góc để chứng minh điểm thuộc đường tròn ta hay suy nghĩ chứng minh góc nnội tiếp để đưa tứ giác nội tiếp Ý b) tác giả xây dựng lại từ hai ý toán gốc dựa kết có kỳ thi thử vào chuyên KHTN năm 2012 Ta ý có hệ thú vị ý b) chứng minh AL ⊥ OI, bạn thử luyện tập Lời kết Các đề thi toán chuyên trường PTNK từ năm 1999 tới 2015 có nhiều tốn hay có ý tưởng Trong viết khơng bao qt hết tất tốn hình học 15 năm tác giả chọn lọc toán mà theo ý chủ quan tác giả hay mang ý nghĩa Quan điểm hình học đẹp thể xuyên suốt viết số tốn có nội dung cực trị, bất đẳng thức tính tốn khơng đề cập tới Bài viết có mục đích mang lại nhìn khác lạ cho đề tốn thi Bài viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót, mong nhận góp ý bạn đọc Tài liệu [1] Đề thi toán chuyên PTNK 1999 - 2013 http://www.ptnk.edu.vn/kqts/dethi/De_thi_tuyen_sinh_lop_10_mon_Toan_chuyen.pdf [2] Đề thi toán chuyên PTNK 2014 http://diendantoanhoc.net/home [3] Đề thi toán chuyên PTNK 2015 http://diendantoanhoc.net/home Trần Quang Hùng, trường THPT chuyên KHTN, ĐHKHTN, ĐHQGHN E-mail: analgeomatica@gmail.com ... Quang Hùng - trường THPT chuyên KHTN P M N H Q J K A L I Hình Các bạn làm luyện tập Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2003 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc tác giả... 2 minh Nhận xét Cách giải dùng tứ giác nội tiếp có hiệu lực trường hợp tổng quát Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2015 [3] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ số ý tưởng đề gốc tác giả... phát biểu cách túy kiến thức lớp Bài tốn nhiều vấn đề để khai thác xin dành điều cho bạn đọc Tiếp tục đề thi vào trường PTNK năm 2014 [1] có tốn hình học có nội dung sau (đề giữ nguyên ý đề gốc