Mỗi góc lượng giác gốc Ođược xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì khác nhau k2 hay k3600, với k là số nguyên GIÁ
Trang 1LƯỢNG GIÁC 10
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Mối liên hệ giữa độ và radian: 1800= (rad)
Công thức về độ dài cung: l = .R trong đó l là độ dài cung, là số đo cung tính bằng đơn vị radian, R là bán kính đường tròn
Mỗi góc lượng giác gốc Ođược xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó
Hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối thì khác nhau k2 ( hay k3600), với k
là số nguyên
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Đường tròn lượng giác là đường tròn đơn vị(bán kính bằng l), định hướng, trên đó có
1 điểm A gọi là điểm gốc
Điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM)= gọi là điểm xác định bởi
số ( hay bởi cung , hay bởi góc ) Điểm M còn được gọi là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo
Hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác: cho đường tròn lượng giác tâm
O, điểm gốc A Xét hệ toạ độ vuông góc Oxy sao cho tia Ox trùng với tia OA, góc lượng giác(Ox, Oy) là góc 2
2 k , k Z Hệ toạ độ đó được gọi là hệ toạ độ vuông góc gắn với đường tròn lượng giác đã cho Gọi M(x;y) là điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc
Hoành độ x của M được gọi là côsin của góc lượng giác (Ou,Ov) hay của và
kí hiệu cos(Ou,Ov)=cos = x
Tung độ y của M được gọi là sin của góc lượng giác( Ou,Ov)= sin = y
Nếu cos0( tức , )
2 k kZ
sin
cos được gọi là tang của góc ,
kí hiệu là tan
Nếu sin 0( tức k ,kZ)thì tỉ số
cos
sin được gọi là côtang của góc
kí hiệu là cot
Các hệ thức cơ bản
Cos( k2 ) cos , sin( k2 ) sin ,kZ
tan( k ) tan , cot( k ) cot ,kZ
1 cos 1 , 1 sin 1
cos 2 sin 2 1
Nếu sin cos 0 thì
tan
1 cot
1+
2
cos
1 tan
1+cot2 sin2
1
Trang 2 BÀI TẬP
Câu 1) Rút gọn biểu thức: A= sin 2 x( 1 cotx) cos 2 x( 1 tanx)
Câu 2) Tính các giá trị lượng giác khác của biết:
a) sin =
5
4 (00< <900) b) cos
13
5
(1800< <2700) c) cot
3
2
(00< <900)
d)cot 150=2+ 3
Câu 3) Cho sin +cos =m Tính giá trị của
a) sin cos
b) sin4 cos4
c) tan2 cot2
Câu 4) Cho tan = -2, tính giá trị biểu thức: A=
sin 3 cos
cos sin
2
Câu 5) Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin4x –cos4x = 1- 2cos2x
b) cot2 cos2 cot2 cos2
c) tan2 sin2 tan2 sin2
d)
1 cos sin
cos 2 cos
1
1 cos sin
x x
x x
x x
e)
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
sin sin
tan tan
tan
f) 1+sin a+cos a+tan a=(1+cos a)(1+tan a)
g) tan x.tan y=cottanx x cottany y
a
a a
2
tan 4 sin
1
sin 1 sin
1
sin
1
Câu 6) Rút gọn các biểu thức:
a) (tanx+cotx)2-(tanx-cotx)2
b) (1-sin2x)cot2x+1-cot2x
c) tanx+
x
x
sin 1
cos
x
x x
cos cot sin
tan
cos
2 e)
a
a a
a
sin 1
sin 1 sin
1
sin
1
Câu 7) Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x
x x x
x x
cot
cos sin cot
cos cot
2
2 2
b)
x x x
x
2 2 2
2 2
cos sin 4
1 tan
4
) tan
1
(
Trang 3c) 2(sin6x+cos6x)-3(sin4x+cos4x)
d) 2(sin4x+cos4x+sin2x.cos2x)-(sin8x+cos8x)
GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Cung đối ( tổng bằng 0) : cos(- )= cos ; sin(- )= -sin
tan(- )= - tan ; cot(- )= -cot
Cung bù ( tổng bằng ): sin( )= sin ; cos( )= -cos
Tan( )= - tan ; cot( ) cot
Cung phụ (tổng bằng ) :
2
2
2
2
2
Cung khác ( hiệu bằng ):
cos )
cos(
sin ) sin(
; tan ) tan(
BÀI TẬP
Câu 1) Thu gọn các biểu thức sau:
0 0
0 0
36 tan 126 cos 144
sin
216 cos ) 234 sin(
0
0 0
0
18 cot 72 tan 316
cos
406 cos ) 226 tan 44 (cot
c) C=sin( 4cot(,8 ).5sin(,2 )5,7 ) cos( 6tan(,7 )6cos(,2 )5,8 )
d) D=cos200 + cos400 + cos600 +……….+ cos1600 + cos1800
e) E= tan10 tan20 tan30 tan880 tan890
f) F= sin2100+ sin2200 + sin2300 + + sin21800
g) G= sin8250.cos(-150)+ cos750 sin(-5550)+ tan1550 tan2450
Câu 2) Đơn giản các biểu thức sau:
2
3 tan(
) 2 cot(
) 2
2
3 cot(
).
2
tan(
2
3 sin(
) cos( x x x x
c) C= cos(2700-x)-2sin(x- 4500)+ cos(x+9000)+2sin(7200-x)
Câu 3: Chứng minh rằng nếu A,B,C là 3 góc của một tam giác thì:
a) A B C cosC
2
3
b) cos(A+B-C)= -cos2C
c)
2
3 cot 2
2 tan AB C C
Câu 4)Chứng minh các đẳng thức sau:
x
x x
x x
x
cos sin
1 tan
cos sin
cos
sin
sin
2
2
Trang 4b)
x x
x x
x x
x
2 2
4
2
2
2
2
cot tan
tan 1 cot
cot 1 tan
1
tan
c)
x
x x
x
x x
x
x
2 2
cos 1
cot 1 sin cos
cos cos
sin
sin
d)
y x
y x
y x
y x
2 2
2 2
2 2
2 2
sin sin
sin sin
tan
.
tan
tan
Câu 5) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 3(sin8x-cos8x)+4(cos6x-2sin6x)+6sin4x
b) B =
) 212 tan(
) 1022 cos(
).
508 cos(
572 cot
958 sin ).
328 sin(
0
0 0
0
0 0
0 0
0 0
73 tan 197 tan ) 505 cot(
415 cot
408 cot 222 cot 475 cos 515 sin
d) D=
x x
x cot 2 cos 2
sin
1
với x 2. Câu 6) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=
x x
x x x x
3 3
2 3
cos sin
sin sin
cos cos
biết tanx=2
b) B=2sin4x+3cos4x biết 3sin4x+2cos4x=
81 98
2 sin(
1 ) 2 (x x d) D=
x x
x x
tan cot
tan cot
biết sinx=
5
3
và 0<x<
2
Câu 7) Chứng minh rằng:
a)
x
x x
x
sin 3
sin 2 2
1 2
sin
1
sin
b) Nếu0<x<
4
) sin (cos sin
cos
x x x
cot cos
tan
sin
x x
x x
Câu 8) Cho a,b,x,y là các số thực thoã mãn đồng thời các điều kiện: a sin2x+b cos2x=1;
a cos2y+b sin2x=1; a tanx=b tany Chứng minh rằng a+b=2ab
Câu 9) Giả sử p, q, x, y là các số thực thoã mãn các điều kiện: p cot2x+ q cot2y=1; pcos2x+qcos2y=1; p.sinx=q.siny Chứng minh rằng (p2-q2)2= -pq
Câu 10) Cho tam giác vuông ABC, gọi D, E là 2 điểm trên cạnh huyền BC sao cho BD=DE=EC Biết độ dài cạnh AD=sinx, AE= cosx Tính độ dài cạnh huyền BC
CÔNG THỨC CỘNG
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Công thức đối với sin và côsin:
cos(a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
cos(a-b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a+b) = sina.cosb + cosa.sinb
Trang 5sin(a-b) = sina.cosb - cosa.sinb
Công thức cộng đối với tang:
tan(a+b)= tan tan
1 tan tan
tan(a-b)= tan tan
1 tan tan
với mọi a, b làm cho các biểu thức có nghĩa
BÀI TẬP
Câu 1)Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
4
3 cos(
) 6 cos(
) 4 cos(
)
3
cos(x x x x
Câu 2) Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức sau:
a) A=cos800.cos400-sin800.sin400
b) B=cos(a-300) biết rằng: tana= 2 (0<a<900)
c) C=cos( )
3
, biết sin
3
1
và 0<
2
Câu 3) Không dùng máy tính hãy tính giá trị biểu thức sau:
a) A=cos( )
12
b) B=sin2850 c) C=sin(-1050) d) D=tan
12
5
Câu 4) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=sin4x.cot2x-cos4x
b) B=cos(400-x)cos(x+200)-sin(400-x)sin(x+200)
c) C=sin(x+100)cos(2x-800)+sin(x+1000)cos(2x+100)
d) D=sin(a+b)+sin( ) sin( )
2 a b
2
1 ) 4 cos(
).
4
2 sin(
).
2 cos( a b a b
g) G=
x x
x x
tan ) 2 90 cot(
1
) 90 cot(
2 tan
0 0
Câu 5) Không dùng máy tính hãy tính các giá trị biểu thức sau:
a) A=cos680.cos780+cos220cos120-sin1000
0 0
0
251 tan 259 cot
71 cot 79 cot 225 cot
c) C=sin2200+sin21000+sin21400
d) D=cos(-530).sin(-3370)+sin(3070).sin(1130)
e) E=(cos700+cos500)(cos3100+cos2900)+(cos400+cos1600).(cos3200-cos3800) Câu 6) Không dùng máy tính hãy tính trị các biểu thức sau:
a) A=sin( )
3 a
biết rằng:
cosa=-13
12
và
2 2
a
4
3
Trang 6b) B=tan(a+ )
4
biết rằng: cot( ) 2
2
5
a
Câu 7) Cho a, b là các góc nhọn và: sina=
4
3 ) 2
5 tan(
, 3
2
b
Tính sin(a+b); cos(a-b) và tan(a-b)
Câu 8) Cho 0<a<
4
; 2 0
, 2
b a b và tân.tanb=3-2 2
a) Tính tana+tanb
b) Tnhs tana, tanb, từ đó suy ra a, b
Câu 9) Rút gọn biểu thức:
a) A=sin2a sin2b-cos2a cos2b
28 cos 42 cos 62 cos 132 cos
17 cos 87 sin 3 cos 73 sin
b a b
a
b a
tan ) cos(
) cos(
) sin(
2
d) D=
a c
a c c
b
c b b
a
b a
cos cos
) sin(
cos cos
) sin(
cos cos
)
e) E=
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan 1
tan 2
tan
Câu 10) Chứng minh các đẳng thức sau:
a) a a) sina
3 sin(
) 3
sin(
b) cos(cos( )) cotcot ..cotcot 11
b a
b a b
a
b a
4 sin(
2 ) 4 cos(
4 sin(
2 )
4 cos(
Câu 11) Cho tam giác ABC có 3 góc A, B, C Chứng minh:
a) cosA=sinB.sinC-cosB.cosC
b)
2
sin 2
sin 2
cos 2
cos 2
Câu 12) Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin(a+b)sin(a-b)=sin2a-sin2b
2
; 2 ( tan tan 1 cos
cos
) cos(
)
2
b a
b a b a
c) Sin2(a-b)+sin2b+2sin(a-b)sinb.cosa=sin2a
Câu 13) Cho a, b thoã mãn
a) cos(a+b)=0 Chứng minh rằng: sin(a+2b)=sina
b) 3sinb=sin(2a+b) Chứng minh rằng: tan(a+b)=2tana (a k b l
2
; 2 c) Cos(a+b)=k.cos(a-b) Chứng minh rằng: tana.tanb= a k b l
k
k
2
; 2
( 1
1
) Câu 14) Cho tam giác ABC Chứng minh:
a) tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC (tam giác ABC không vuông)
Trang 7b) 1
2 tan 2
tan 2 tan 2
tan 2 tan
2
Câu 15) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
3 cos(
) 3 ( x x
b) B=sin2x+sin2(600+x)+sin2(x-600)
Câu 16) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a) A=cos2x+cos2(1200+x)+cos2(1200-x)
3
2 tan(
) 3
2 tan(
).
3 tan(
) 3
CÔNG THỨC NHÂN
”
TÓM TẮT GIÁO KHOA
Công thức góc nhân đôi:
Công thức nhân đôi:
Sin2a=2sina.cosa Cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a Tan2a=
a
a
2 tan 1
tan 2
Công thức hạ bậc:
Sin2a= 1 cos 2
2
a
cos2a= 1 cos 2
2
a
Tan2a= 1 cos 2 ( )
a
a
Lưu ý: các công thức này cho phép biến đổicác biểu thức cos2 , sin2 , tan2 thành biểu thức của cos2
Công thức tính theo t=tan ( 2
a
2 1
2 sin
t
t a
, cosa= 22
1
1
t
t
, tana= 2
1
2
t
t
Công thức góc nhân ba:
Sin3a=3sina-4sin3a Cos3a=4cos3a-3cosa
a
a a
2 3 ( tan 3 1
tan tan 3
2
3
)
Công thức hạ bậc ba Sin3a= ( 3 sin sin 3 )
4
1
a
a
Cos3a= ( 3 cos cos 3 )
4
1
a
a
BÀI TẬP
Câu 1) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=cos2(x+450)-sin2(x+450)
b) B=cos42x-sin42x
Trang 8c) C=(sinx+cosx)2
d) D=1-8sin2x.cos2x
2 2 sin(
).
2 sin(
sin
f) F=
) cot 1 )(
tan 1
(
2
a
g) G=(1-tan2a)cota
Câu 2) Tính theo cos2x các biểu thức sau:
a) A=1+cos2x
b) B=
x
x
2
2
cot 1
cot 1
Câu 3) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a) A=
24
cos 24 cos 2 4
b) B=tan2150+tan2750
Câu 4) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
A=
7
4 cos 7
2 cos
7
B=
6
cos 12
cos 24
cos 48
cos 48 sin
3
C=8tan180.cos180.cos360.cos720
D=sin60.sin420.sin660.sin780
E=
33
16 cos 33
8 cos 33
4 cos 33
2 cos 33
10 cos
3 10
sin
1
G=
8 tan
1
8
7
tan
2
Câu 5) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) A=1+sin2x
b) B=1-sinx
Câu 6)
a) Tính: sina, cosa, tana biết a=112030’
b) Cho sina+cosa=
2
7 và 0<a<
6
Tính tan
2
a
c) Cho 0<a< ; 3 sin 2 sin 1
2 0
; 2
2 2
và 3 sin 2a 2 sin 2b 0 Tính cos(a+2b) Suy ra số đocủa góc(a+2b)
Câu 7) Chứng minh rằng:
a) sin4a=4sinacosa(1-2sin2a)
b) cos4a=8cos4a-8cos2a+1
c) tanx+cotx=
x
2 sin 2
Trang 9d) x
x
x
tan 2
sin
2 cos
1
x x
x x
cot sin
2
sin
2 cos cos
1
f) Cos4x+sin4x-6cos2x.sin2x=cos4x
g) 4cosx.cos(600+x).cos(600-x)=cos3x Từ đó tính C=4cos100cos700cos500
Câu 8) Chứng minh rằng:
2
tan 2
sin sin
2
2 sin sin
k a
a a
a
a a
x x
x
4 sin 2
1 tan cot
4 cos
1
c)
2 tan 2 cos cos
1
2 sin
x x
x x
d)
a
a a
a
tan 1
tan 1 sin
2
1
sin
2
e)
2
cos )
cos 1 (
2
cos cos
a
a a
a
x
x x
x
2 cos 8 cos
3 cos sin
3
sin
2
2
2
2
a a
a
2 2
2 2
tan 4 sin 4 2
sin
sin 4 2
sin
x
x
8 sin 4
cot 8 cos 2
cot
2
1 2
cot 2
Câu 9) Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc x:
a) A=
sin
3 sin sin
cos
3 cos
x
x
b) B=sin4x+sin4(x+ 4)
sin4
2
x
+ sin4
4
3
x
Câu 10) Chứng minh rằng nếu tan
b
a x
2 thì biểu thức A=asinx+bcosy không phụ thuộc vào a và x
Câu 11) Cho , , thoả: cos co
c a
b c
b
a
, cos
,
a b
c s
Chứng minh biểu thức: E=
2
tan 2
tan 2
tan 2 2 2
không phụ thuộc vào a, b, c
CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI
Công thức biến đổi tổng thành tích
Trang 10Cosa.cosb= 1 cos( ) cos( )
Sina.sinb= 1 cos( ) cos( )
Sina.cosb= 1 sin( ) sin( )
2 a b a b Cosa.sinb= 1 sin( ) sin( )
2 a b a b Đặc biệt cos2a= 1 (1 cos2 )
Sin2a= 1 (1 cos2 )
Sina.cosa= 1 sin 2
Công thức biến đổi tổng thành tích:
Cosx+cosy=2.cos cos
Cosx-cosy=-2.sin sin
Sinx+siny=2.sin cos
Sinx-siny= 2cos sin
tanx tan sin( ) ( ,
x y
cotx cot sin( ) ( , )
sin sin
y x
Ghi chú: Các công thức:
1+cosx=2cos22
x
; 1-cosx=2sin2x 2
x
Cosx+sinx= 2 cos ( ) 2 sin( )
Cosx-sinx= 2 cos( ) 2 sin( )
Cũng thường dùng để biến tổng thành tích.
BÀI TẬP
Trang 11Câu 1) Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:
a) A=cos5x.sin3x
b) B=cos(x+y).cos(x-y)
c) C=sin150.sin750
d) D=2sinx.sin2x.sin3x
e) E=sinx.cos(x+600).cos(x-600)
Câu 2) Biến đổi thành tổng các biểu thức sau:
a) A=sin(a+300)cos(a-300)
b) B=8cosx.sin2x.sin3x
c) C=sin(x+ x ) cos 2x
6 sin(
).
6
d) D=4cos(a-b).cos(b-c).cos(c-a)
Câu 3) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) A=1+2cosx
b) B=1-2sinx
Câu 4) Biến đổi thành tích các biểu thức sau:
a) A=cos(x-300)-cos(x-600)
b) B=1+sinx+cos2x
c) C=sin5a+sin6a+sin7a+sin8a
d) D=sin2x-2sin22x+sin23x
e) E=4cos2x-1
f) F=cos(600+x)+cos(600-x)+cos3x
g) G=sin700-sin200+sin500
Câu 5) Không sử dụng máy tính hãy chứng minh:
a) sin700+cos700=
2 6
b) sin650+sin550= 3cos50
c) cos120-cos480=sin180
d) tan2670+tan930=0
Câu 6) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau: a) A=4(cos240+cos480-cos840-cos120)
b) B=
7
6 cos 7
4 cos 7
2
c) C=
4
5 sin 4 sin x x biết x=600
d) D=sin200.sin600.sin8
Câu 7) Rút gọn biểu thức:
a) A=
a
a a
4 cos 2
3 sin 5
sin
b) B=
x x
x
x x
x
3 sin 2 sin sin
3 cos 2
cos cos
c) C=
a a
a a
4 sin 4 cos 1
4 cos 4
sin 1
d) D=
5
8 cos 5
4 cos 5
2 cos 5
Trang 12e) E=
7
5 sin 7
3 sin 7 sinx x x
f) F=sin4x.sin10x-sin11x.sin3x-sin7x.sinx
Câu 8) Không sử dụng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức:
a) A=cos100.cos300.cos500.cos700
0 4sin70 10
sin
1
5
4 cos 5
2 cos
5
8 cos 5
15 tan 3 3
15 tan 3 3 ( 6 50 cos 45 cos 40 cos
50 sin 45 sin 40 sin
Câu 9) Rút gọn các biểu thức sau:
a) A=
a a
a a
2 sin 4 sin
2 cos 4
cos
b) B=
x x
x x
2 cos cos
2 sin 4 sin
2 2
2 2
c) C=
x x
x
x x
x
6 cos 4
sin 2 cos
6 cos 4
sin 2 cos
d) D=
1 cos cos
2
3 cos 2 cos cos
1
2
a a
a a
a
e) E=sin(a bsin).sin(a a c) sin(b asin).sin(b b c) sin(c asin).sin(c c b)
f) F=
a b
a
a b
a a
b a
a b
a
cos ) cos(
cos ) cos(
sin ) sin(
sin ) sin(
Câu 10) Rút gọn các biểu thức:
a) A=cos2a+cos22ª+ +cos2na
3 sin 3
3 sin 3 3 sin 3 3
3 3 2 3 3
) 1 cos(
cos
1
3 cos 2 cos
1 2
cos cos
N n a n na a
a a
Câu 11) Chứng minh các đẳng thức:
a) sina.sin(b-c)+sinb.sin(c-a)+sinc.sin(a-b)=0
b) sina+sinb+sinc=
2 sin 2 cos 2 cos
4 a b c với a+b=c Câu 12) Chứng minh các đẳng thức sau:
a a
a
a
2 sin sin 2 5 cos 3 cos cos
2
4 sin 2
b) 8sin2x.sin(x+600).sin(x-600)=cos4x-cos2x
c) (sinx+cosx)2-cos4x=4sin2x.sin(x+150).cos(x-150
Câu 13)