Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 1 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP Nhóm GUG – Lớp CNTT_K12D – Trường ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên CÔNG THỨC ÁP DỤNG (C)’ = 0 (C: hằng số) Giả sử u =u(x) có đạo hàm theo biến x (u + v)’ = u’ + v’; (u - v)’ = u’ - v’ (x)’ = 1 ; (Cx)’ = C (k.u)’ = k.u’ (k là hằng số) ' '')' ( 2121 nn uuuuuu 1 .)'( xx ' )'( 1 uuu (u.v)’ = u’.v + v’.u (u.v. w)’ = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’ 2 1 )' 1 ( xx với (x )0 '. 1 )' 1 ( 2 u u u ; '.)'( 2 u u C u C 2 '.'. )'( v uvvu v u x x 2 1 )'( với ( x>0) '. 2 1 )'( u u u ; '. 2 )'( u u C uC 2 )( )'( dcx bcad dcx bax xx cos)'(sin '.cos)'(sin uuu 22 2 2 2 )( )(2)( )'( qpxmx cpbqxcmaqxbmap qpxmx cbxax xx sin)'(cos '.sin)'(cos uuu 2 2 2 )( 2 )'( qpx cpbqaqxapx qpx cbxax x x x 2 2 tan1 cos 1 )'(tan ( x ) 2 k ').tan1( cos ' )'(tan 2 2 ux u u u )0(;)' 1 ( 1 x x n x nn )cot1( sin 1 )'(cot 2 2 x x x ; (x ) k ').cot1( sin ' )'(cot 2 2 ux u u u )0(; '. )' 1 ( 1 u u un u nn xx ee )'( '.)'( uee uu xx 2sin)'(sin 2 ; xx 2sin)'(cos 2 aaa xx ln.)'( '.ln.)'( uaaa uu axaax cos)'(sin ; axaax sin)'(cos x x 1 )'(ln u u u ' )'(ln ax a ax 2 cos )'(tan ; ax a ax 2 sin )'(cot ax x a ln. 1 )'(log '. ln. 1 )'(log u au u a Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 2 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 x ey xn ey 2 bax ey baxnn eay . 3 baxy nnn baxnay )).(1) (2)(1(. 4 x y 1 1 1 1 ! .1 n n n x n y 5 x y 1 1 1 1 ! n n x n y 6 xy sin 2 sin n xy n 7 y = cosx 2 cos n xy n 8 )sin( baxy 2 sin. n baxay nn 9 )cos( baxy 2 cos. n baxay nn 10 y = lnx n n n x n y !1 1 1 11 )ln( baxy n n nn bax an y !1 .)1( 1 12 xy 12 1 .2 !)!32()1( nn n n x n y 13 x x y 1 1 1 1 !2 n n x n y 14 )( baxfy ).(. baxfay nnn 15 x x y 1 12 .2 )32.()1( 2 12 1 nx x n y n n n n Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 3 1. Công thức Lepnit. gfCgfCgfCgfCgf nn n n n n n knkk n n k n ' 110 0 )( 2. Công thức Taylor Giả sử hàm số f có các đạo hàm cấp n liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm cấp n + 1 tren khoảng a,b . Khi đó tồn tại một điểm bax , 0 sao cho: )()( ! )( )( !2 )('' )( !1 ' )()( 0 0 2 0 0 0 0 0 xRxx n xf xx xf xx xf xfxf n k n = 3. Công thức Maclaurin: Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n1 tên một lân cận điểm 0 (tức là trên một khoảng mở chứa điểm 0). Khi đó : n 2n n f ' 0 f " 0 f 0 f x f 0 x x x R x 1! 2! n! Với n1 n1 n fx R x x , 0 1 n 1 ! (phần dư dạng lagrange) Hoặc n1 n n1 n fx R x 1 x , 0 1 n! (phần dư dạng Cauchy). )()( ! )( 0 0 0 xRxx k xf n k k n k Biên soạn: Cao Văn Tú– Khoa: CNTT Website: www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 4 4. Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số: 2 n n 1 xx x x x x 1 e 1 e 1! 2! n! n 1 ! 2 3 n 1 n n1 x x x 1 2 ln 1 x x 1 23 n1 1x n n 1 1 n 1 3 1 x 1 x R x 1! 2! n! 3 5 2k 1 k1 2k x x x 4 sin x x 1 R (x) 3! 5! 2k 1 ! 2 4 6 2k k 2k 1 x x x x 5 cos x 1 1 R x 2! 4! 6! 2k ! Một số bài tập áp dụng Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1. dcx bax y 2. 54 32 x x y 3. nmx cbxax y 2 4. 1 1 2 x xx y 5. 2 1 x y x 6. xxy 2cos.3sin 32 7. 2y cos x 8. 1 1 x y x 9. 2 3 1 x y x 10. 2 4 3 x y x 11. 4 tanyx 12. 3 sin 1yx 13. 2 1 cos y x 14. sin cos sin cos xx y xx 15. 20 (1 )yx 16. 1 1 x y x 17. 2007 5 1 7y t t t 18. 2 22 x y xa 19. sin x y x cosx 20. 2 cot 1y x x 21. 1 3 3 y cosx cos x 22. tant y t 23. sin(2sin )yx Bài 2: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: 1. 1 35 y x 2. 252 1 2 xx y 3. 3 2 9 x y x 4. sin5yx 5. 2 sin 2yx 6. sin sin5y x x . www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 1 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CƠ BẢN ĐẠO HÀM HÀM SỐ CƠ BẢN Nhóm GUG. www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 2 BẢNG TÓM TẮT CÔNG THỨC ĐẠO HÀM CẤP CAO STT Hàm số Đạo hàm cấp n 1 x ey. www.caotu95.blogspot.com Bảng công thức đạo hàm cấp cao đầy đủ. Truờng: ĐH Công nghệ Thông tin và Truyền thông Thái Nguyên 4 4. Áp dụng công thức Taylor viết công thức triển khai của một số hàm số: 2 n n