Hình học giải tích full

CHUYÊN ĐỀ 3 ĐƯỜNG THẲNG I. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, muốn viết phương trình một đường thẳng ta cần phải biết: () Δ 1) ( qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có vectơ chỉ phương a ) Δ G = (a 1 , a 2 ) sẽ có: . Phương trình tham số : (t 0 02 xx ta yy ta =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ 1 ∈ R) . Phương trình chính tắc : 0 1 xx a − = 0 2 yy a − (a 1 , a 2 ≠ 0) Từ phương trình chính tắc ta có thể đổi thành dạng phương trình tổng quát : Ax + By + C = 0 (A 2 + B 2 > 0) 2) ( qua điểm M 0 (x 0 , y 0 ) và có 1 pháp véctơ là (a,b) có phương trình : a(x – x 0 ) + b(y – y 0 ) = 0 ) Δ 3) i) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng Ax + By + C = 0 với A 2 + B 2 > 0 (1) ii) Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng có dạng x = x 0 hoặc y = kx + m (2). Ta dễ dàng thấy (1) và (2) là tương đương. + (2) ⇔ kx –y + m = 0 ⇒ (2 ) thỏa (1) với A = k, B = - 1 , C = m. + Nếu B = 0 ⇒ =− C x A , có dạng x = x 0 với x 0 = − C A . Nếu B ≠ 0 ⇒ =− − A C yx BB , có dạng y = kx + m. 3) ( qua hai điểm A(x A , y A ), B(x B , y B ) có phương trình : ) Δ A BA xx xx − − = A BA yy yy − − nếu 0 − −≠ BABA (x x )(y y ) 1 Nếu ( qua A(a, 0) ∈ Ox và B(0, b) ) Δ ∈ Oy với a.b ≠ 0; ta nói ( ) Δ có đoạn chắn a, b với phương trình: x a + y b = 1 * Ghi chú: Nếu đề bài toán yêu cầu ta viết phương trình của đường thẳng, thông thường ta nên viết phương trình ở dạng tổng quát và lưu ý : () Δ : Ax + By + C = 0 thì ( ) Δ có : . một pháp vectơ = (A, B) n G G . một vectơ chỉ phương a = (–B, A) . hệ số góc k = tg( , ) = Ox JJJG Δ A B − . () ( ′ Δ // () Δ ⇒ ) ′ Δ : Ax + By + C 0 = 0 . () ( ′ Δ ⊥ () Δ ⇒ ) ′ Δ : Bx – Ay + C 0 = 0 Ta tìm được C 0 nếu biết thêm một điểm nằm trên ( ) ′ Δ . Ngoài ra khi viết phương trình của một đường thẳng ( ) Δ theo hệ số góc k, bài toán có thể bò thiếu nghiệm do trường hợp ( ) Δ ⊥ x ′ x (hệ số góc k không tồn tại), do đó ta phải xét thêm trường hợp có phương trình x = C để xem đường thẳng () Δ ( ) Δ này có thỏa mãn điều kiện của đầu bài không. Ghi chú - Nếu n = (A, B) là 1 pháp véc tơ của đường thẳng G ( ) Δ thì k. n = (kA, kB) cũng là pháp véc tơ của G ( ) Δ với mọi số thực k ≠ 0. - Nếu là 1 véc tơ chỉ phương của đường thẳng 12 =a(a,a) JG ( ) Δ thì k. cũng là véc tơ chỉ phương của 12 =a(ka,ka) JG ( ) Δ với mọi số thực k khác 0. II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để xét vò trí tương đối của hai đường thẳng ta cần nhớ Cho (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 Đặt : 2 D = 11 22 A B A B ; D x = 11 22 BC BC ; D y = 1 22 CA CA 1 thì : D ≠ 0 ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) tại I 1 x I y D x D D y D ⎧ = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ D = 0 và D x 0 hoặc D y ≠ ≠ 0 ⇔ (d 1 ) / / (d 2 ) D = D x = D y = 0 ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) hoặc với A 2 , B 2 , C 2 0 ta có : ≠ 1 2 A A ≠ 1 2 B B ⇔ (d 1 ) cắt (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B ≠ 1 2 C C ⇔ (d 1 ) / / (d 2 ) 1 2 A A = 1 2 B B = 1 2 C C ⇔ (d 1 ) ≡ (d 2 ) Ghi chú 11 22 BC BC = 11 22 − CB CB ; 11 22 CA CA = 11 22 − A C A C III. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Để tìm góc giữa hai đường thẳng, ta gọi α là góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 thì cos α = 12 12 222 1122 2 A ABB A B.A B + ++ IV. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG Để tìm khoảng cách từ điểm M(x M , y M ) đến đường thẳng () Δ : Ax + By + C = 0 ta áp dụng công thức : 3 d(M, Δ ) = 22 MM A xByC AB + + + Khoảng cách đại số từ đường thẳng ( ) Δ đến điểm M(x M , y M ) là : t = 22 MM A xBy AB ++ + C G Đặt pháp vectơ = (A, B) có gốc lên n ( ) Δ thì : . t > 0 nếu điểm M và n nằm cùng một bên đối với G ( ) Δ . t < 0 nếu điểm M và n nằm khác bên đối với G ( ) Δ Phương trình đường phân giác của góc hợp bởi 2 đường thẳng (d 1 ) : A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 và (d 2 ) : A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 là : 11 22 11 1 A xByC AB ++ + = ± 222 22 22 A xByC AB + + + Ví dụ 1: Cho tam giác ABC với A(–2, 1), B(4, 3), C(2,–3) a) Tìm phương trình tham số và tổng quát cạnh BC. b) Tìm phương trình đường cao AH. c) Tìm phương trình đường thẳng qua A(–2, 1) và song song với BC. Giải a) Đường thẳng qua cạnh BC nhận BC J JJG = (–2, –6) hay (1,3) làm vectơ chỉ phương và qua B(4, 3) nên có phương trình tham số : (t 4 33 =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ xt yt ∈ R) ⇔ 4 1 −x = 3 3 −y (phương trình chính tắc) ⇔ 3x – y – 9 = 0 là phương trình tổng quát của BC. b) Δ ABC có đường cao AH ⊥ BC : 3x – y – 9 = 0 ⇒ pt AH : x + 3y + C 1 = 0 4 A(–2, 1) ∈ AH –2 + 3(1) + C 1 = 0 ⇔ ⇔ C 1 = –1 Vậy pt AH : x + 3y – 1 = 0 c) Đường thẳng Au // BC ⇒pt Au : 3x – y + C 2 = 0 A(–2, 1) ∈ Au ⇔ 3(–2) – 1 + C 2 = 0 ⇔ C 2 = 7 Vậy pt Au : 3x – y + 7 = 0 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1, –1), B(–2, 1), C(3, 5). a) Viết phương trình đường vuông góc AH kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC. b) Tính diện tích tam giác ABK. Giải a) K là trung điểm của AC ⇔ 2 2 2 2 AC K AC K xx x yy y + ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎨ + ⎪ = = ⎪ ⎩ hay K(2, 2) Phương trình cạnh BK : 2 22 x − −− = 2 12 y − − ⇔ x – 4y + 6 = 0 AH ⊥ BK pt AH : 4x + y + C 0 = 0 ⇒ A(1, - 1) ∈ AH 4(1) + (–1) + C 0 = 0 ⇔ ⇔ C 0 = –3 hay AH : 4x + y – 3 = 0 b) Diện tích tam giác ABK là S = 1 2 AH.BK với AH = A(BK) d = 146 17 + + S = ⇒ 1 2 . 11 17 . 22 41 + = 11 2 ( đvdt ). Ví dụ 3 : ( Đề dự trữ khối A năm 2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại đỉnh A có trọng tâm G 41 (;) 33 , phương trình đường thẳng BC là và phương trình đường thẳng BG là 24xy−−=0 0 748xy − −= .Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C. 5 Bài giải Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt () −−= ⎧ ⇒− ⎨ −−= ⎩ x2y40 B0, 2 7x 4y 8 0 Vì cân tại A nên AG là đường cao của ABCΔ ABC Δ Vì ⇒ pt GA: GA BC⊥ −+ −=⇔+−= 41 2(x ) 1( y )0 2x y 30 33 2x y 3 0 ⇔ +−= ⇒ = H GA BC∩ () +−= ⎧ ⇒− ⎨ −−= ⎩ 2x y 3 0 H2, 1 x2y40 Ta có H là trung điểm BC ⇒ += = −= −= ⎧⎧ ⇒ ⎨⎨ += = −=−−−= ⎩⎩ BC H C HB BC H C HB xx2x x2xx2(2)04 yy2y y2yy2(1)(2) 0 ) ⇒ . Ta có : ( C4,0 ++ ++ == ABC ABC GG xxx yyy xvày 33 ⇒ ( ) A0,3 Vậy ()()( A0,3,C4,0,B0,2− ) Ví dụ 4 ( ĐH KHỐI A -2002) 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 1 ;0 2 ⎞ ⎟ ⎝⎠ ⎛ ⎜ ,phương trình đường thẳng AB là x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD .Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C,D biết rằng đỉnh A có hoành độ âm . BÀI GIẢI: A ∈ đường thẳng x – 2y + 2 = 0 ⇒ A (2a – 2, a) (a < 1) I là trung điểm AC ⇒ C (3 – 2a, −a) BC qua C và BC ⊥ AB ⇒ pt BC : 2x + y + 5a – 6 = 0 AB ∩ BC = B ⇒ B (2 – 2a, 2 – a) Ta có : AB = 2AD ⇔ (1 – a) 2 = 1 ⇔ a = 0 hay a = 2 (loại) Vậy A (−2, 0). B (2, 2), C (3, 0), D (−1, −2) Ví dụ 5 ( ĐH KHỐI D -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có các đỉnh A (−1; 0); B (4; 0); C (0; m) với m ≠ 0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác đònh m để tam giác GAB vuông tại G. BÀI GIẢI: G m 1; 3 ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝⎠ ; m GA ( 2; ) 3 =− − JJJG ; m GB (3; ) 3 =− J JJG Tam giác GAB vuông tại G ⇔ GA.GB 0 = J JJG JJJG ⇔ 2 m 6 9 −+ = 0 ⇔ m = 36± . Ví dụ6 ( ĐH KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3). Tìm điểm C thuộc đường thẳng 210xy − −= sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6. BÀI GIẢI: A (1; 1); B (4; −3) ⇒ phương trình AB: x1 y 1 34 − − = − ⇔ 4x + 3y – 7 = 0 C ∈ đt : x – 2y – 1 = 0 ⇒ C (2t + 1; t) 6 Ta có: d (C, AB) = 6 ⇔ 8t 4 3t 7 6 5 ++ − = ⇔ 11t 3 30−= ⇔ ⇔ 11t 3 30 11t 3 30 −= ⎡ ⎢ −=− ⎣ t3 27 t 11 = ⎡ ⎢ ⎢ = − ⎢ ⎣ Vậy C (7; 3) hay C 43 27 ; 11 11 ⎛⎞ −− ⎜⎟ ⎝⎠ Ví dụ7 ( Đề DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1; 0) và hai đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là : x – 2y + 1 = 0 và 3x + y – 1 = 0.Tính diện tích của tam giác ABC. BÀI GIẢI: Vì AC ⊥ BB' ⇒ phương trình AC : 2x + y + m = 0 A(1; 0) ∈ AC ⇒ 2 + m = 0 ⇒ m = −2 Phương trình AC : 2x + y – 2 = 0 Vậy t đ C là nghiệm của + −= ⎧ ⎨ + −= ⎩ 2x y 2 0 3x y 1 0 ⇒ C(−1; 4) Vì AB ⊥ CC' ⇒ phương trình AB : x – 3y + n = 0 A(1; 0) ∈ AB ⇒ 1 + n = 0 ⇒ n = −1 Phương trình AB : x – 3y – 1 = 0 Vậy ⇒ B(−5; −2).⇒ x3y10 B x2y10 −−= ⎧ ⎨ −+= ⎩ A B ⎯ → = (−6; −2); A C ⎯ → = (−2; 4) S ΔABC = −− ⎡ ⎢ − ⎣⎦ 62 1 24 2 ⎤ ⎥ = 14 (đvdt). Ví dụ8 ( ĐỀDỰ TRỮ KHỐI B -2004) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I (–2; 0) và hai đường thẳng d 1 : 2x – y + 5 = 0, d 2 : x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại A, B sao cho : 2 →→ = IA IB BÀI GIẢI: P.trình đường thẳng d qua I (–2, 0), hệ số góc k : y = k(x + 2) ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − ⇒ =+− =+− k k , k k A kykx yx A 22 52 02 052 ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ − ⇒ =+− =−+ k k , k k B kykx yx B 1 5 1 23 02 03 1k IA ; 2k2k −− ⎛⎞ = ⎜⎟ −− ⎝⎠ JJG ; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = k k ; k IB 1 5 1 5 ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ = k k ; k IB 1 10 1 10 2 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ==⇒ + = − − =⇒ + = − − ⇔= 3 7 0 1 10 2 3 7 1 10 2 1 2 k,k k k k k k kk IBIA Do đó phương trình đường thẳng d là y = 3 7 (x + 2) 7 ⇔ 7x – 3y + 14 = 0 * * * 8 CHUYÊN ĐỀ 4 ĐƯỜNG TRÒN 1. Để tìm phương trình của một đường tròn ta cần lưu ý: . Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a, b) bán kính R là : () + ( = R 2 2 xa− ) 2 yb− . Phương trình của (C) ở dạng khai triển : x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 ( hay x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0) với c = a 2 + b 2 – R 2 R 2 = ⇔ 22 abc + − Do đó ta phải có điều kiện a 2 + b 2 – c 0 ≥ . Phương trình tham số của đường tròn tâm I(a, b) bán kính R là: (t xaRcost y b R sin t =+ ⎧ ⎨ =+ ⎩ ∈ R) 2. Để viết phương trình tiếp tuyến với một đường tròn ta cần phân biệt : a) Trường hợp biết tiếp điểm : ta dùng công thức phân đôi tọa độ : Tiếp tuyến ( tại tiếp điểm M 0 (x 0 , y 0 ) với : ) Δ - đường tròn (C) : () + = R 2 là 2 xa− ( 2 yb− ) ) (x 0 – a) (x – a) + (y 0 – b) (y – b) = R 2 - đường tròn (C) : x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 là x 0 x + y 0 y – a(x 0 + x) – b(y 0 + y) + c = 0 b) Trường hợp không biết tiếp điểm, ta áp dụng tính chất : Đường thẳng ( tiếp xúc với đường tròn tâm I bán kính R ) Δ ⇔ = R. Δd(I, ) c) đường tròn (C) : () + = R 2 có 2 tiếp tuyến cùng phương với Oy là x = a R. Ngoài 2 tiếp tuyến x = a 2 xa− ( 2 yb− ± ± R, mọi tiếp tuyến khác với đường tròn ( C) đều có dạng y = kx + m hoặc dạng y = k ( x –x 0 ) + y 0 nếu tiếp tuyến đi qua ( x 0 , y 0 ) là điểm nằm ngoài đường tròn. Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho A(–2, 0), B(0, 4). a) Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B. b) Viết phương trình các tiếp tuyến với đường tròn (C) tại A, B. c) Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) phát xuất từ điểm M(4, 7) Giải a) Phương trình đường tròn (C) có dạng : x 2 + y 2 – 2ax – 2by + c = 0 Đường tròn (C) qua 3 điểm O, A, B nên : 0 44 0 16 8 0 c ac bc = ⎧ ⎪ ++= ⎨ ⎪ −+= ⎩ ⇔ 0 1 2 c a b = ⎧ ⎪ = − ⎨ ⎪ = ⎩ Vậy (C) : x 2 + y 2 + 2x – 4y = 0. Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên có tâm là trung điểm của AB và đường kính là AB nên pt dường tròn (C) là: 222 11 12 416 44 ++− = = + =(x ) (y ) AB ( ) 5 Cách khác: Tam giác ABC vuông tại O nên với (, ) ( ) M xy C ∈ ta có 0=AM.BM JJJJG JJJJG . Vậy pt đường tròn ( C ) là 0 − −+− −= AB AB (x x )(x x ) (y y )(y y ) . b) Phương trình tiếp tuyến với (C) tại : . Tiếp điểm A(–2, 0) là : –2x + 0.y + (–2 + x) – 2(0 + y) = 0 ⇔ x + 2y + 2 = 0 . Tiếp điểm B(0, 4) là : 0.x + 4.y + (0 + x) – 2(4 + y) = 0 ⇔ x + 2y – 8 = 0 c) Đường tròn (C) : x 2 + y 2 + 2x – 4y = 0 có tâm I(–1, 2) và bán kính R = 2 12 0+− = 5 .Hai tiếp tuyến cùng phương với Oy là 1=± =−±xa R 5. Hai tiếp tuyến này không qua M(4, 7) Vậy phương trình tiếp tuyến qua M(4, 7) có dạng: () Δ : y – 7 = k(x – 4) ⇔ kx – y + 7 – 4k = 0 () Δ tiếp xúc với đường tròn (C) ⇔ Δ d(I, ) = R 2 [...]... lưu ý thêm 2 bài toán thường gặp : Bài 1 : Cho (C1) và (C2) ở ngoài nhau Tìm quỹ tích những điểm M từ đó vẽ được đến (C1) và (C2) những đoạn tiếp tuyến bằng nhau Cách giải : • M Gọi MA và MB (như hình vẽ) là 2 tiếp tuyến từ M đến (C1) và (C2) Ta có : MA = MB ⇔ MA2 = MB2 ⇔ PM /( C1 ) = PM /(C2 ) A• •B (C1) (C2) Do đó quỹ tích M là trục đẳng phương của (C1) và (C2) 7 Bài 2 : Tìm tiếp điểm M của hai đường... trình tham số của đường (L) Từ phương trình tham số, ta khử t thì có thể trở về dạng F(x, y) = 0 Lưu ý việc giới hạn của quỹ tích tuỳ theo các điều kiện đã cho trong đầu bài Ví du1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(2, 1), B(–3, 2) Tìm quỹ tích điểm M để ( MA + MB ) AB = 1 Giải Gọi (L) là quỹ tích phải tìm M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ ( MA + MB ) AB = 1 ⇔ [ (2 – x M ) + (–3 – x M ) ] (–3 – 2) + (1 – y M + 2 – y M ) (2... ⇔ 10 x M – 2 y M + 7 = 0 ⇔ M( x M , y M ) có tọa độ thỏa phương trình F(x, y) = 10x – 2y + 7 = 0 Vậy quỹ tích phải tìm là đường thẳng (L) có phương trình 10x – 2y + 7 = 0 1 Ví dụ 2: Lập phương trình quỹ tích tâm của những đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2) Giải Gọi (L) là quỹ tích những tâm đường tròn tiếp xúc với trục Ox và đi qua điểm A(1, 2) I( x I , y I ) ∈ (L) ⇔ I là tâm đường... tọa độ thì cách giải được thu gọn hơn vì biết trước được 1 đường phân giác trong kẻ từ gốc tọa độ Đường phân giác còn lại được tìm thông qua tìm chân đường phân giác trong như đã trình bày ở trên 6 2/ Nếu đề bài cho biết phương trình 3 cạnh của tam giác ABC thì từ phương trình 3 cạnh đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và sử dụng cách giải như phần... A-2005) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1 : x – y = 0 và d2 : 2x + y – 1 = 0.Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành Giải A ∈ d1 ⇔ A (m; m) C ∈ d2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông nên : ⎧m = n ⎩ m = 2n − 1 A và C đối xứng nhau qua Ox ⇔ ⎨ ⎧m = 1 ⎩n = 1 ⇔ ⎨ Suy ra A(1; 1), C(1; -1) Gọi (C)... Ax + B ⎣ ⎦ 4 thì phương trình đường thẳng qua 2 điểm uốn là: y = Ax + B ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2002 KHỐI B: (ĐH: 2,0đ; CĐ: 2,5đ): Cho hàm số : y = mx4 + (m2 – 9)x2 + 10 (1) (m là tham số) 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m=1 2 Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trò BÀI GIẢI 4 2 1) m = 1, y = x – 8x + 10 (C) MXĐ : D = R 3 y’ = 4x – 16x; y’ = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±2 y”... = 16 > 0 Vậy IK 2 > OK 2 ⇔ IK > OK(đpcm) *** 8 CHUYÊN ĐỀ 2 ĐƯỜNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG Các bài toán về phần đường và phương trình đường thường yêu cầu xác đònh quỹ tích các điểm trong mặt phẳng tọa độ theo những điều kiện cho trước, quỹ tích này là một đường mà ta phải tìm phương trình của nó dựa vào đònh nghóa: F(x, y) = 0 là phương trình của đường (L) nếu ta có : M( x M , y M ) ∈ (L) ⇔ F( x M , y... như phần 1 Ngoài ra còn có thể giải bằng kiến thức miền tạo bởi 1 đường thẳng và khoảng cách đại số từ một điểm đến đường thẳng B/ Trục đẳng phương của hai đường tròn không đồng tâm : 1/ Cho hai đường tròn không đồng tâm : (C1) : x2 + y2 + 2a1x + 2b1y + c1 = 0 (1) (C2) : x2 + y2 + 2a2x + 2b2y + c2 = 0 (2) Trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với (C1) và (C2) và... 0 (2) Trục đẳng phương của (C1) và (C2) là tập hợp các điểm có cùng phương tích đối với (C1) và (C2) và có phương trình là : 2(a1 – a2)x + 2(b1 – b2)y + c1 – c2 = 0 2/ Ứng dụng : Trong chương trình Hình học lớp 10 ta đã biết cách dựng trục đẳng phương của (C1) và (C2) • Nếu (C1) và (C2) cắt nhau tại 2 điểm A và B thì trục đẳng phương của (C1) và (C2) là đường thẳng AB • Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau... và (C’) Giải (C1) có tâm I (1, 2), R = 2 Gọi I’ là đối xứng I qua (d) Gọi (Δ) là đường thẳng qua I và (Δ) ⊥ (d) (Δ) : x + y – 3 = 0 (Δ) ∩ (d) = H(2, 1) H là trung điểm của II’ x +1 ⎧ ⎪2 = 2 ⎧x = 3 ⎪ Giả sử I’ (x, y) thì ⇒ ⎨ ⇒ ⎨ ⎩y = 0 ⎪1 = y + 2 ⎪ ⎩ 2 ⇒ I’ (3, 0); R’ = R = 2 (C’) : (x – 3)2 + y2 = 4 3 ⎧(x − 1)2 + (y − 2)2 = 4 ⎧(x − 3)2 + y 2 = 4 ⎪ ⇔ ⎨ 2 2 ⎪(x − 3) + y = 4 ⎩x − y − 1 = 0 ⎩ Giải hệ ⎨ . các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d 1 , đỉnh C thuộc d 2 và các đỉnh B, D thuộc trục hoành. Giải A ∈ d 1 ⇔ A (m; m). C ∈ d 2 ⇔ C (n; 1 – 2n) Vì B, D ∈ Ox và ABCD là hình vuông. đó, ta tìm được tọa độ các điểm A, B, C bằng cách giải hệ phương trình tọa độ giao điểm và sử dụng cách giải như phần 1. Ngoài ra còn có thể giải bằng kiến thức miền tạo bởi 1 đường thẳng và. điểm có cùng phương tích đối với (C 1 ) và (C 2 ) và có phương trình là : 2(a 1 – a 2 )x + 2(b 1 – b 2 )y + c 1 – c 2 = 0 2/ Ứng dụng : Trong chương trình Hình học lớp 10 ta đã biết