Hinh hoc giai tich trong khong gian Full dap an ( Luyen thi dai hoc 2016 )

+ Giữa hai đường thẳng song song     1 2 , d d trong không gian có các dạng bài toán sau: (i). Viết phương trình mặt phẳng   P chứa hai đường thẳng song song     1 2 , d d (ii). Viết phương trình đường thẳng   d song song, cách đều     1 2 , d d và thuộc mặt phẳng chứa     1 2 , d d . (iii). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng     1 2 , d d . + Giữa hai đường thẳng cắt nhau     1 2 , d d trong không gian có các dạng bài toán sau: (i). Viết phương trình mặt phẳng   P chứa     1 2 , d d . (ii). Viết phương trình đường phân giác tạo bởi     1 2 , d d . + Giữa hai đường thẳng chéo nhau     1 2 , d d trong không gian có các dạng bài toán sau: (i). Viết phương trình đường vuông góc chung của     1 2 , d d .

Chuyên đề 12: Hình học giải tích không gian Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CHUYÊN ĐỀ 12: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 690 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Chuyên đề 12: Hình học giải tích không gian 691 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202 CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ   Tích vô hướng hai véc tơ v1  ( x1 , y1 , z1 ) véc tơ v2  ( x2 , y2 , z2 ) số  v1.v2  x1 x2  y1 y2  z1 z2 Tích có hướng hai véc tơ véc tơ xác định   y z z x x y  v1 ,v2    1 , 1 , 1     y2 z2 z2 x2 x2 y2         Có v1  v1 ,v2  ; v2  v1 ,v2  ; v1 ,v2   v1 v2 sin  Diện tích tam giác tạo ba điểm A, B, C không thẳng hang   S ABC   AB, AC  x1 y1 z1       Tích hỗn tạp ba véc tơ (v1 , v2 , v3 ) số ký hiệu D v1 , v2 , v3  x2 y2 z2     Ba véc tơ đồng phẳng D v1 , v2 , v3    x3 y3 z3  Thể tích tứ diện tạo đỉnh A, B, C , D tính công thức       VABCD  D( AB, AC , AD)   AB, AC  AD 6    Thể tích hình hộp dựng ba véc tơ v1 , v2 , v3 xác định công thức       V  D(v1 , v2 , v3 )  D(v1 , v2 ).v3  Cho đường thẳng  d  có véc tơ phương u  (a , b, c) mặt phẳng ( P) có véc tơ pháp  tuyến n  ( A, B, C ) , góc  tạo  d  ,  P  xác định  u.n Aa  Bb  Cc sin  =    u.n A  B2  C a2  b2  c2  Cho hai đường thẳng  d1  có véc tơ phương u   a, b, c  đường thẳng  d  có véc tơ  phương v  (a ', b ', c ') , góc   d1  ,  d2  xác định  u.v aa ' bb ' cc ' cos     u v a  b  c a '2  b '2  c '2  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  d  qua điểm M có véc tơ phương u xác định 692 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN    MM , u    d  M ; d   ( lưu ý tử thức độ dài véc tơ trị tuyệt đối)  u  Khoảng cách hai đường thẳng chéo  d1  qua điểm M , có véc tơ phương u  đường thẳng  d  qua điểm N , có véc tơ phương v xác định    u, v  MN   d   d1  ,  d    ( lưu ý mẫu độ dài véc tơ, tử thức giá trị tuyệt đối)   u, v    Tất công thức áp dụng tính trực tiếp thi VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG, GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN   Cho đường thẳng  d  có véc tơ phương a mặt phẳng  P  có véc tơ pháp tuyến n   cặp véc tơ phương a1 , a2 + Đường thẳng  d  mặt phẳng  P  điểm chung ta nói  d  / /  P  Vậy  d  / /  P  xảy thỏa mãn điều kiện: (i) Hệ phương trình tạo đường thẳng  d  mặt phẳng  P  vô nghiệm   (ii) a  n tồn điểm A   d  , A   P   (iii) a véc tơ phương  P  tồn điểm A   d  không thuộc  P + Đường thẳng  d  mặt phẳng  P  có hai điểm chung phân biệt ta nói  d    P  , xảy thỏa mãn điều kiện: (i) Hệ phương trình tạo đường thẳng  d  mặt phẳng  P  vô số nghiệm (ii) Mặt phẳng  P  qua hai điểm phân biệt A, B   d   (iii) Mặt phẳng  P  qua điểm A   d  nhận a làm véc tơ phương + Đường thẳng  d  có điểm chung với  P  ta nói  d  cắt  P  , xảy hệ phương trình tạo đường thẳng  d  mặt phẳng  P  có nghiệm   Đường thẳng  d    P   a / / n   Cho hai đường thẳng  d1  ,  d2  phân biệt theo thứ tự có véc tơ phương a1 , a2 Lấy hai điểm A   d1  , B   d  ; A  B   Khi xét tích hỗn tạp véc tơ D(a1 ,a2 , AB )   (i) Nếu D(a1 ,a2 , AB)   d1   d  đồng phẳng   (ii) Nếu D(a1 ,a2 , AB)   d1   d  chéo 693 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN + Giữa hai đường thẳng song song  d1  ,  d2  không gian có dạng toán sau: (i) Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa hai đường thẳng song song  d1  ,  d2  (ii) Viết phương trình đường thẳng  d  song song, cách  d1  ,  d2  thuộc mặt phẳng chứa  d1  ,  d2  (iii) Tính khoảng cách hai đường thẳng  d1  ,  d2  + Giữa hai đường thẳng cắt  d1  ,  d2  không gian có dạng toán sau: (i) Viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  d1  ,  d2  (ii) Viết phương trình đường phân giác tạo  d1  ,  d2  + Giữa hai đường thẳng chéo  d1  ,  d2  không gian có dạng toán sau: (i) Viết phương trình đường vuông góc chung  d1  ,  d2  (ii) Tính khoảng cách hai đường thẳng  d1  ,  d2  (iii) Viết phương trình mặt phẳng cách  d1  ,  d  (iv) Viết phương trình hai mặt phẳng  P  ,  Q  song song với chứa  d1  ,  d2  (v) Viết phương trình mặt phẳng  P  cách  d1  ,  d2  (vi) Viết phương trình đường thẳng  d  qua điểm M cho trước cắt  d1  ,  d2  BÀI TẬP MẪU Bài Cho mặt phẳng  P  đường thẳng  d  có phương trình 5 x  y  z   2 x  y  z    P  : x  y  z    d  :  Chứng minh  d    P  Lời giải: Cách 1: Xét hệ phương trình tạo  d   P  5 x  y  z   5 x  y  z   5 x  y  z      hệ vô số nghiệm,  x  y  z    9 x  y   9 x  y   4 x  y  z   18 x  10 y  14     d    P  đpcm    7  Cách 2: Lấy hai điểm phân biệt A  , 0,  ; B  0, ,    d  thay tọa độ A, B vào 9 9  5 phương trình  P  ta được:    3.0    thỏa mãn, dó  d    P    4.0          5 694 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài Biện luận theo tham số m vị trí tương đối mặt phẳng  P  đường thẳng  d  , biết:  P  : m2 x  y  z   3m  , x  t  d  :  y  1 t ,t    z   2t  Lời giải: Thay x, y, z từ phương trình  d  vào phương trình  P  ta phương trình: m   t  3m  6(*) + Nếu m    m  2 Với m   (*) vô số nghiệm,  d    P  Với m  2  (*) vô nghiệm,  d  / /  P  - m  3m   + Nếu m  2  (*) có nghiệm nhất,  d    P   A  , ,  m2 m2 m2  x  mz  m  Bài Cho đường thẳng  d m  :  , m tham số 1  m  x  my  Chứng minh  dm  qua điểm cố định nằm phẳng cố định Lời giải: Giả sử điểm M  x0 , y0 , z0  điểm cố định mà  dm  qua,  x0   x0   z0  1 m   x0  mz0  m   , m   , m   y0   1  m  x0  my0  z   x0  m  x0  y0    Vậy  dm  qua điểm cố định M  0, 0,1 Từ phương trình đường thẳng  dm  , ta suy mx  my  mz  m   x  y  z     P  : x  y  z   mặt phẳng mà  dm  thuộc  P  3x  y  z   Bài Cho mặt phẳng  P  : x  my  z   ,  d  :  x  y  z   Tìm giá trị m để: a  d  / /  P  b d    P Lời giải:   2 31  Đường thẳng  d  có véc tơ phương a   , ,    4, 4, 4   12 21 1   Mặt phẳng  P  có véc tơ pháp tuyến n   2, m,1    a  d  / /  P   a  n  a.n   4.2  4.m  4.1   m  695 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN   m   vô lý Vậy không tồn m để  d    P  4 4 3x  y  z  27  Bài Cho đường thẳng  d  :  mặt phẳng  P  : x  y  z  17  6 x  y  z   b d    P  a / /n  Xác định phương trình đường thẳng qua giao điểm A  d   P  vuông góc với  d  , nằm mặt phẳng  P  Lời giải: + Xét hệ phương trình tạo  d   P   x  y  z  27  x    6 x  y  z     y  5   d    P   A  2, 5, 4  x  y  z  17  z      + Gọi a véc tơ phương  d  , ta a   11, 27,15   Gọi  Q  mặt phẳng qua A vuông góc với  d  ,  Q  nhận a làm véc tơ pháp tuyến, nên  Q  : 11 x    27  y  5  15  z  4    Q : 11x  27 y  15 z  97  Khi đó, đường thẳng cần tìm giao hai mặt phẳng  P   Q   x  y  z  17  Vậy đường thẳng cần tìm    :   11z  27 y  15 z  97   x  2t  x  u    Bài Cho hai đường thẳng  d1  :  y  t   d  :  y  3  2u  z  3t   z  3u    Chứng minh  d1   d  chéo xác định phương trình mặt phẳng  P  song song  d1  ,  d2  Lời giải:   +  d1  có véc tơ phương a1   2,1,3   d  có véc tơ phương a2  1, 2,3  Lấy điểm A 1, 2, 3   d1  ; B  2, 3,1   d2  suy AB  1, 5,  21    Ta có D a1 , a2 , AB  12  24  Vậy  d1   d  chéo   1 3  + Gọi I trung điểm AB  I  ,  , 1 mặt phẳng cần tìm qua I có cặp 2    x   2t1  t2     véc tơ phương a1 , a2   P  :  y    t1  2t2  t1 , t2      z  1  3t1  3t2   696 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài Viết phương trình đường thẳng  d  song song, cách hai đường thẳng x  y 5 z 9 x y3 z7 ,  d2  :  thuộc mặt phẳng chứa  d1  ,  d2     1 1 Lời giải :  +  d1  / /  d  ,  d1  có véc tơ phương a   3, 1,   d1  : Lấy điểm A  2,5,9    d1  ; B  0; 3; 7   d2  suy trung điểm AB I  1,1,1 Khi  đường thẳng cần tìm qua I có véc tơ phương a x  y 1 z  Vậy  d  :   1 x   x  2u    Bài Cho hai đường thẳng  d1  :  y   d  :  y  z  1 t z    Chứng mỉnh  d1   d  cắt Xác định tọa độ giao điểm chúng Viết phương trình đường phân giác tạo  d1  ,  d2  Lời giải : + Xét hệ phương trình tạo  d1  ,  d2  , ta có 0  2u  u      d1    d   I  0,1, 0 1  t  1  t   + Lấy điểm A  0,1,    d1  , B  2u  2,1,    d  cho IA2  IB    2u    u   u   + Với u   B1  2,1,  , ta có tọa độ trung điểm AB1 I1  1,1,1  II1   1, 0,1 ,  đường phân giác cần tìm qua I có véc tơ phương II1 :  x  t   1  :  y  z  t  x  t  + Với u   B2  2,1,  tương tự ta có đường phân giác    :  y  z  t  x  y z 1 x7 y 2 z    d  :   6 8 6 12 Chứng minh  d1  song song với  d  , viết phương trình mặt phẳng  P  chứa  d1  ,  d  Bài Cho hai đường thẳng  d1  : tính khoảng cách  d1  ,  d2  Lời giải : 697 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  + Đường thẳng  d1  có véc tơ phương u   4, 6, 8  đường thẳng  d  có véc tơ    phương v   6,9,12  , suy u / / v Lấy điểm A  2, 0, 1   d1  thay vào phương trình   1   vô lý Từ suy  d1  / /  d  Ta có đpcm 6 12 + Lấy điểm B  7, 2,    d  Mặt phẳng  P  chứa  d1  ,  d2  nên  P  qua điểm A có   cặp véc tơ phương u , AB nên  x   2u  5v   P  :  y  3u  2v  z  1  4u  v     AB, v  854   + Do  d1  / /  d  nên d   d1  ,  d    d  A,  d      29 v  d2    x  1  t x 1 y  z   Bài 10 Cho hai đường thẳng  d1  :    d  :  y  t 2  z  2  3t  Chứng minh  d1   d  cắt xác định tọa độ giao điểm I chúng Viết phương trình mặt phẳng chứa  d1  ,  d2  Lời giải : + Thay x, y, z phương trình  d  vào phương trình  d1  ta 1  t  t  2  3t     t  , thay vào phương trình  d   I 1, 2,  2 Vậy  d1    d   I 1, 2,  Ta có đpcm  + Đường thẳng  d1  có véc tơ phương u   2,1,3  d  có véc tơ phương  v  1, 1,3  Khi mặt phẳng  P  chứa  d1  ,  d2  qua điểm I có véc tơ pháp tuyến     3 2 21  n  u, v    , ,    6,9,1  13 31 1  Vậy  P  :  x  1   y     z      P  : x  y  z   x  y  z   Bài 11 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng  d1  :   y  z 1  x  y  2z    d2  :  y  z 1  Viết phương trình đoạn vuông góc chung  d1  ,  d2  Lời giải :   11 11 11  Đường thẳng  d1  có véc tơ phương u   , ,    0, 1,1  11 10 01  698 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN   2 2 21 2  Đường thẳng  d  có véc tơ phương v   , ,    4,1,1  1 1 01   Gọi  d  đương vuông góc chung  d1  ,  d2   d  có véc tơ phương a thỏa     11 10 1   mãn a  u, v    , ,    2, 4, 4 , chọn a   1, 2,   1 14 41  + Gọi  P  mặt phẳng chứa  d  ,  d1  ,  P  có véc tơ pháp tuyến     11 0 1  n  u , a    , ,    4, 1, 1 , lấy điểm A  2,1,    d1  2   12   Khi  P  : 4  x     y  1  z    P  : 4 x  y  z   + Gọi  Q  mặt phẳng chứa  d  ,  d  ,  Q  có véc tơ pháp tuyến     1 4  n '  v, a    , ,    0, 9,9 , lấy điểm B  3, 2,1   d   2 1 12  Khi  Q  :   y     z  1    Q  :  y  z   Và  d  giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  Vậy phương trình đoạn vuông góc chung  d1  ,  d2   4 x  y  z    y  z   d  :   x  2t  x  u    Bài 12 Cho hai đường thẳng  d1  :  y  t   d  :  y  3  2u  z  3t   z  3u    Viết phương trình đường vuông góc chung  d1  ,  d2  Lời giải :  Đường thẳng  d1  có véc tơ phương u   2,1,3 đường thẳng  d  có véc tơ  phương v  1, 2,3  Lấy điểm A  2t  1, t  2, 3t  3   d1  ; B  u  2, 3  2u,3u  1   d2  suy   AB   u  2t  1, 2u  t  5,3u  3t   , AB đoạn vuông góc chung   AB.u   d1  ,  d      AB.v  25    u  2t  1  2u  t    3u  3t  4  u    u  2t    2u  t  5   3u  3t    t  29     67 47 20   43 23 84   24  24 24  24 Từ suy A  , ,  ; B  , ,  ; AB   , ,    1, 1,1 9   9   9   699 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 2   x     y  1   z       Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchyshart ta có:  44  2 2    x  2   y  1   z  2      4  x  2   y  1   z  2    2 Suy  x     y  1   z    88 Suy       MA.MB  MB.MC  MC.MA   88  5  249 Dấu xảy x  y 1 z     x  4; y  7; z  2  M  4,7, 2  điểm cần tìm 3 Bài Cho hai điểm A  0,1,  ; B  1,1, 0 Tìm điểm M thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z  cho tam giác MAB vuông cân B Lời giải: Giả sử điểm M  x, y, z    P  điểm cần tìm suy x  y  z  0(*)   Ta có: BA  1, 0,  ; BM   x  1, y  1, z  Tam giác MAB vuông cân B   5   x  12   y  1  z  BA.BM   kết hợp với (*) ta có hệ phương trình:  2  BA  BM  y  z    1  10  4  10 x  x  2 3 5   x  1   y  1  z      4  10  2  10  y   y   y  z 1  6 x  y  z      2  10  2  10 z  z  6    x  1  2t x  y 1 z   Bài 10 Cho hai đường thẳng  d1  :    d  :  y  1 1 z  t  Đường thẳng    qua điểm I  0,3, 1 cắt  d1  A cắt  d  B Tính IA IB Lời giải: Do A   d1   A  1  t ', 1  t ',3  t ' B   d   B  1  2t ,1, t    Ta có: IA   1  t ', t ' 4,  t ' ; IB   1  2t , 2, t  1 Do A, I , B thẳng hàng nên 1  t '  k  1  2t  t     IA  IA  k IB  t '  2k  t '  6   k  IB 4  t '  k t     k   x3  y   z  điểm A  2,3,  Gọi    đường thẳng nằm  P  qua giao điểm  d  ,  P  Bài 11 Cho mặt phẳng  P  : x  y  z   đường thẳng  d  : vuông góc với  d  Tìm điểm M     cho khoảng cách AM nhỏ Lời giải: 717 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Giả sử  d    P   B , tọa độ B nghiệm hệ  x  1 x3  y 1  z      y   B  1, 0,    x  y  z    z   Mặt phẳng  P  có véc tơ pháp tuyến n  1, 2, 1 đường thẳng  d  có véc tơ phương  u   2,1,1    1 11  Ta có:  n, u    , ,    3, 3, 3  1 21      Do      P  vuông góc với  d  nên có véc tơ phương u / /  n, u   u  1, 1, 1  Vậy    có véc tơ phương u qua điểm B  x  1  t  Vậy    :  y  t z   t  Giả sử điểm cần tìm M  1  t , t ,  t      , 26   26 MA   t     t     t  1   t     3  3  1 11  Dấu xảy t   M   , ,  điểm cần tìm  3 3 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ x 1 y 1 z Bài Cho hai điểm A 1,5,  , B  3,3,  đường thẳng  d  :   Tìm tọa độ 1 điểm M thuộc đường thẳng  d  để tam giác MAB có diện tích nhỏ 2 Bài Cho điểm A 1, 4,  ; B  1, 2,  Tìm điểm M thuộc đường thẳng x 1 y  z   cho MA2  MB  28 1 Bài Cho ba điểm A  0,1,  ; B  2, 2,1 ; C  2, 0,1 Viết phương trình mặt phẳng  ABC  d  : tìm điểm M thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z   cho MA  MB  MC x  t  Bài Cho điểm A 1, 0, 1 đường thẳng  d  :  y  2t Tìm tọa độ hai điểm M , N thuộc z    d  cho tam giác AMN Bài Cho mặt phẳng ( P) : 2 x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua A(1;1;0) B(1; 2;7) vuông góc với mặt phẳng ( P) y2 Bài Trong không gian Oxyz , xác định mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d : x  z 1 x2 z 5 tạo với đường thẳng d ' :  y 3  góc 300 1 718 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x  y   cho giao tuyến mặt phẳng ( P) mặt cầu d : 2 x  z   ( S ) : x  y  z  x  y  z   đường tròn có bán kính Bài Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 0), B(0; 4;0), C (0; 0;3) Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa OA cho khoảng cách từ B đến ( P) khoảng cách từ C đến ( P) BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Dưới dây xin đề cập số toán cực trị lien quan đến phương trình tổng quát mặt phẳng Phương pháp: Giả sử phương trình mặt phẳng cần tìm có dạng: Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  Khi dựa vào điều kiện toán để tìm mối lien hệ A, B, C , D Thường thỉ biểu diễn A, D theo B, C BÀI TẬP MẪU Bài Trong không gian Oxyz cho hai điểm M  0; 1;  ; N  1;1;3 Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua M , N cho khoảng cách từ K (0; 0; 2) đến mặt phẳng ( P) lớn Lời giải: Giả sử mặt phẳng ( P) có dạng: Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  Do ( P) qua M , N nên ta có:   B  2C  D   A  2B  C   ( P) : (2 B  C ) x  By  Cz  B  2C     A  B  3C  D   D  B  2C B Khi khoảng cách từ K đến mặt phẳng ( P) d  K , ( P)   B  2C  BC  Nếu B   d  K ,( P)    Nếu B   d  K , ( P)    C    1  B  Dấu xảy C   B , chọn C  1; B  1; A  1; D  3 Vậy mặt phẳng cần tìm ( P) : x  y  z   Bài Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) mặt phẳng ( P) có phương x 1 trình: d :  y   z  ( P) : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng ( d ) tạo với mặt phẳng ( P ) góc nhỏ Lời giải: Giả sử mặt phẳng (Q ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  Chọn hai điểm M (1; 1;3); N (1; 0; 4)  ( d )  A  B  3C  D  C  2 A  B Mặt phẳng (Q) chứa (d ) nên M , N  (Q )     A  4C  D  D  A  4B 719 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  Suy mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến nQ  ( A; B; 2 A  B ) mặt phẳng ( P) có véc tơ  pháp tuyến nP  (1; 2; 1) Khi góc  hai mặt phẳng ( P),(Q) cos     A B A2  B  AB  Nếu A   cos     6 Nếu A   cos   1 B A , đặt x  B B  2   A A   B xét hàm số A x2  x  f ( x)  , dễ thấy cos   f ( x ) Góc  lớn ứng với cos  nhỏ  2x2  x Khảo sát tính đơn điệu hàm số suy f ( x )  f (1)  Suy x   cos       Vậy   A  chọn B   C  1; D  Vậy mặt phẳng cần tìm (Q) : y  z   x  1 t  Bài Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  y  2  t  z  2t  Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d tạo với trục Oy góc lớn Lời giải: Giả sử mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  Chọn hai điểm M (1; 2; 0); N (0; 1; 2)  d A B   A  2B  D  C  Mặt phẳng ( P) chứa d nên M , N  ( P)      B  2C  D   D   A  B  AB Suy mặt phẳng ( P) có véc tơ pháp tuyến nP  ( A; B; ) Gọi  góc mặt phẳng ( P) trục Oy , ta có B 2B sin    2 A  B  AB  AB 2 A  B       Góc    0;  lớn ứng với sin  lớn  2  Nếu B     720 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  Nếu B   sin   2  2  A  A  A  24 5    5    B B  B 5 A Dấu xảy  , chọn B A  1; B   C  2; D   ( P) : x  y  z   mặt phẳng cần tìm x 1 y z  Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;5;3) đường thẳng d :   Viết 2 phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d cho khoảng cách từ A đến ( P) lớn Lời giải: Giả sử mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  có véc tơ pháp tuyến  nP  ( A; B; C )  Đường thẳng d qua điểm M (1; 0; 2) có véc tơ phương ud  (2;1; 2) Do ( P) chứa d nên ta có  2A  B   nP ud   A  B  2C  C         M  ( P)  A  2C  D   D  A  B Suy mặt phẳng ( P) : Ax  By  (2 A  B) z  A  2B  Nếu B   ( P) : x  z    d  A, ( P)   Nếu B  , chọn B  , ( P) : Ax  y  (2 A  1) z  A   9 Khi d  A, ( P)    3 2 8A  4A  1  2 2A    2  1 Dấu xảy A    C   ; D  4 Vậy mặt phẳng cần tìm ( P) : x  y  z      x   2t  Bài Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  y  t Viết phương trình mặt phẳng  z   3t  ( P) chứa điểm A(10; 2; 1) song song với d cách d khoảng lớn Lời giải: Giả sử mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B  C  có véc tơ pháp tuyến  nP  ( A; B; C )  Đường thẳng d qua điểm M (1; 0;1) có véc tơ phương ud  (2;1;3) Do ( P) song song với d chứa A nên ta có 721 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 2A  B  C   10 A  B  C  D     A  B  3C   D  32 A  B  Khi mặt phẳng ( P) : Ax  3By  (2 A  B) z  32 A  B  ta có 33 A  6B d  d , ( P)   d  M , ( P)   13 A2  10 B  AB 33 13  Nếu B   d  d , ( P)   13 A 33  A B  Nếu B   d  d , ( P)   , đặt x  xét hàm số B A  A 13    10  B B (33 x  6) suy m ax f ( x )  f (7) Từ chọn A  7, B   C  5; D  77 f ( x)  x 13 x  x  10 Vậy mặt phẳng cần tìm ( P) : x  y  z  77  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Trong mặt phẳng qua hai điểm A(1; 2; 1) B(1;1; 2) Tìm mặt phẳng tạo với mặt phẳng ( xOy ) góc nhỏ Bài Trong mặt phẳng qua A(1;1; 1) vuông góc với mặt phẳng ( P) : x  y  z   Tìm mặt phẳng tạo với Oy góc lớn Bài Trong mặt phẳng qua điểm A(2; 1;0) song song với đường thẳng x 1 y  z  d:   Xác định mặt phẳng tạo với mặt phẳng ( xOy ) góc nhỏ 1 1 x 1 y  z  Bài Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d :   cho khoảng cách từ A(5;1; 6) đến ( ) lớn TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN BÀI TẬP MẪU Bài Cho tam giác ABC , đỉnh A 1, 2,5 phương trình hai đường trung tuyến: x  y  z 1 x4 y2 z2     2 1 4 (i) Viết phương trình tắc cạnh tam giác ABC (ii) Viết phương trình tắc đường phân giác góc A Lời giải: (i) Nhận thấy A không thuộc hai đường trung tuyến, nên ta giả sử là: x  y  z 1 x4 y 2 z 2    CP  :    BN  : 2 1 4 722 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Từ suy B  2t  3, 2t  6, t  1 ; C  u  4, 4u  2, u  2 Tọa độ trọng tâm G   BN    CP  nghiệm hệ:  x  y  z 1 x   2      y   G  3, 6,1  x4  y2  z2  z   4    Ta có GA   2, 4,  ; GB   2t , 2t , t  ; GC   u  1, 4u  4, u  1 2  2t  u        t  2 Do GA  GB  GC   4  2t  4u     u  3 4  t  u      AB   6, 0, 6   B  7, 2, 1     C 1,14, 1  AC   0,12, 6   x 1 y  z  Cạnh AB qua A có véc tơ phương AB   AB  :   1 Một cách tương tự, ta có: x 1 y  z  x  y  z 1   ;  BC  :    AC  : 1 1    (ii) Lấy điểm C1 1, 2v  2, v  5   AC   AC1   0, 2v ,  v  cho AC1  k AC , k  Và AB  AC1 Điều tương đương với  2v  12 k   v  6 k  10  12 10 25  10  10  v  C1 1, ,  k  5     5v   Tọa độ trung điểm M BC1 M  4,  Đường phân giác góc A đường thẳng AM Bài Cho hai điểm A  0, 0, 3 , B  2, 0, 1 mặt phẳng  P  : x  y  z   (i) Tìm tọa độ giao điểm I đường thẳng qua hai điểm A, B với mặt phẳng  P  (ii) Tìm tọa độ điểm C nằm mặt phẳng  P  cho tam giác ABC Lời giải:  (i) Đường thẳng  AB  qua A có véc tơ phương AB   2, 0,  , nên  x  2t   AB  :  y   z  3  2t  Thay x, y, z từ phương trình  AB  vào phương trình  P  , ta được: 3.2t  8.0   3  2t     t  11 4  11   AB    P   I  , 0,   10 5 5 723 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (ii) Gọi C  x, y, z    P  cho tam giác ABC đều, 3 x  y  z   3 x  y  z    2  2   x  y   z     x    y   z  1  AC  BC  AC  AB  2 2   x  y   z     2  x   x       y  2   y    z  3    z     2 1 Vậy có hai điểm C1  2, 2, 3 ; C2   ,  ,   thỏa mãn yêu cầu toán  3 3 Bài Cho tam giác ABC có đỉnh C  3, 2,3 phương trình đường cao x  y 3 z 3 x 1 y  z    đường phân giác BM :   1 2 2 Tính độ dài cạnh tam giác ABC Lời giải:  A   t ,  t ,  2t    AH  Ta có    B 1  u ,  2u ,3  u    BM   BC   u  2, 2u  2, u    Do AH  BC  BC AH    2  u     2u   2u   u   B 1, 4,3    Ta có BA  1  t , 1  t , 2t  ; BM  1, 2,1 ; BC   2, 2,0 Vì BM đường phân giác góc B ,     1  t    1  t   2t 1.2  2. 2  1.0 t  + cos BA, BM  cos BM , BC    2   t  1  t    t  t     AH :     với t   A  2,3,3  A, B, C thẳng hang, nên loại + Với t  1  A 1, 2,5 , AB  AC  BC  2 Bài Cho ba điểm A 1, 4,5 ; B  0,3,1 ; C  2, 1, 0 mặt phẳng  P  : x  y  z  15  Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh điều kiện cần đủ để điểm M thuộc mặt phẳng  P  có tổng bình phương khoảng cách đến điểm A, B, C nhỏ điểm M phải hình chiếu vuông góc G mặt phẳng  P  Xác định tọa độ điểm Lời giải:       Ta có MA2  MB  MC  MG  GA  MG  GB  MG  GC      3MG   GA2  GB  GC   2MG GA  GB  GC  3MG   GA2  GB  GC  Từ         suy MA2  MB  MC nhỏ nhất, MG nhỏ nhất, điều tương đương với M hình chiếu vuông góc G  P  Ta có đpcm 724 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Dễ thấy G 1, 2,  Đường thẳng  d  qua G vuông góc với mặt phẳng  P  nhận véc tơ pháp tuyến  n   3, 3, 2   P  làm véc tơ phương, nên  x   3t   d  :  y   3t  z   2t  Khi điểm M cần tìm giao điểm  d  ,  P   M  4, 1,  BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài MẶT CẦU Phương trình tắc mặt cầu  S  có tâm I  a, b, c  bán kính R 2  S  :  x  a    y  b   z  c   R2 Phương trình tổng quát mặt cầu  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Các dạng toán Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp khối đa diện có tâm thỏa mãn điều kiện (i) Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Phương pháp: Giả sử mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Từ điều kiện A, B, C , D thuộc  S  , ta thay tọa độ A, B, C , D vào phương trình  S  , giải hệ ẩn a, b, c, d (ii) Mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD (iii) Mặt cầu có đường kính đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo  d1  ,  d2  Phương pháp: Tìm tọa độ trung điểm đoạn vuông góc chung  d1  ,  d2  độ dài đoạn vuông góc chung BÀI TẬP MẪU Bài Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A  0,1,  , B 1, 0, 0 , C  0, 0,1 có tâm I nằm mặt phẳng  P  : x  y  z   Lời giải: Giả sử mặt cầu  S  có phương trình:  S  : x  y  z  2ax  2by  2cz  d  Điểm A  0,1,    S    2b  d  0(1) 1  2a  d  0(2)  Tương tự có : 1  2c  d  0(3)  a  b  c   0(4)  Giải hệ phương trình tạo (1),(2),(3),(4) ta được: a  b  c  d  725 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Vậy  S  : x  y  z  x  y  z    x  2t  x  u    Bài Cho hai đường thẳng  d1  :  y  t   d  :  y  3  2u  z  3t   z  3u    Viết phương trình đường vuông góc chung  d1  ,  d2  Và viết phương trình mặt cầu  S  có đường kính đoạn vuông góc chung  d1  ,  d2  Lời giải :  (i) Đường thẳng  d1  có véc tơ phương u   2,1,3 đường thẳng  d  có véc tơ  phương v  1, 2,3  Lấy điểm A  2t  1, t  2, 3t  3   d1  ; B  u  2, 3  2u,3u  1   d2  suy   AB   u  2t  1, 2u  t  5,3u  3t   , AB đoạn vuông góc chung   AB.u   d1  ,  d      AB.v  25    u  2t  1  2u  t    3u  3t  4  u    u  2t    2u  t  5   3u  3t    t  29     67 47 20   43 23 84    24  24 24  24 , ,    1, 1,1 Từ suy A  , ,  ; B  , ,  ; AB   9   9   9   Vậy phương trình đoạn vuông góc chung  d1  ,  d2  qua A có véc tơ phương  1, 1,1 67  x   t  47  Vậy AB :  y  t  20  z   t   55 35  (ii) Tọa độ trung điểm I AB I  , ,8  AB   9  2 55   35  48  Khi mặt cầu cần tìm  S  :  x     y     z        Dạng 2: Vị trí tương đối điểm, đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu với mặt cầu toán liên quan (i) Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (ii) Mặt cầu cắt mặt phẳng (iii) Mặt cầu cắt, tiếp xúc với đường thẳng BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 726 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 2 x  y  z   Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng  d  :  tiếp 4 x  y  z  14  xúc với hai mặt phẳng  P  : x  y  z    Q  : x  y  z   x 1 y  z   mặt phẳng  P  : x  y  z   1 Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm nằm  d  , tiếp xúc với  P  có bán kính Bài Cho đường thẳng  d  : x  y  2z   Bài Cho đường thẳng  d  :  hai mặt phẳng  P  : x  y  z    x  y  z  Q : x  y  z   Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm giao điểm  d  ,  P  , biết  Q  cắt  S  theo thiết diện hình tròn có diện tích 20 Bài Viết phương trình mặt cầu  S  có tâm I  3, 2,  tiếp xúc với đường thẳng d  : x y z 3   x  y  z   Bài Viết phương trình mặt cầu tâm I 1,1,1 cắt đường thẳng  d  :  hai 2 y  z   điểm phân biệt A, B cho độ dài AB  16 Bài Cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  z   mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm điểm M   S  cho khoảng cách từ M đến  P  đạt giá trị nhỏ Bài Chứng minh mặt cầu x  y  z  x  y  z  17  cắt mặt phẳng x  y  z   theo giao tuyến đường tròn  C  Viết phương trình mặt cầu  S  chứa  C  có tâm thuộc mặt phẳng  P  : x  y  z   Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  tiếp xúc với mặt cầu  S  : x2  y  z  10 x  y  26 z  113  , đồng thời song song với hai đường thẳng  d1  : x  y  z  13 x  y 1 z     d  :   3 2 8 x  11y  8z  30  Bài Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng  d  :  tiếp  x  y  2z  xúc với mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  15  BÀI TẬP TỔNG HỢP 3x  y  11  Bài Cho hai điểm A  2,1,1 ; B  0, 1,3 đường thẳng  d  :   y  3z   (i) Viết phương trình mặt phẳng  P  qua trung điểm I AB vuông góc với AB Gọi K giao điểm  d  ,  P  Chứng minh IK vuông góc với  d  (ii) Viết phương trình hình chiếu vuông góc  d  mặt phẳng  Q  : x  y  z   727 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN  x  1  2t x y z  Bài Cho hai đường thẳng  d1  :    d  :  y  t 2 z  1 t  (i) Chứng minh  d1  ,  d2  chéo (ii) Tìm điểm M   d1  , N   d2  cho MN song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  độ dài MN  Bài Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 có A  0, 0,  ; B  2, 0,  ; D1  0, 2, 2 Gọi M trung điểm BC Chứng minh tỷ số khoảng cách từ điểm N  AC1 , N  A tới hai mặt phẳng  AB1D1  ,  AMB1  không phụ thuộc vào vị trí điểm N Bài Cho hai điểm A  4, 0,  ; B  0, 4,  mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi I trung điểm AB Tìm điểm K cách gốc tọa độ mặt phẳng  P  cho IK   P  x  1 t x  y 1 z  Bài Cho hai đường thẳng  d1  :  y  1  t  d  :   1 z   Tìm điểm A   d1  , B   d2  cho độ dài AB nhỏ x  y  z 1   mặt phẳng  P  : x  y  z   1 Xác định giao điểm M  d  ,  P  Viết phương trình đường thẳng    nằm mặt Bài Cho đường thẳng  d  : phẳng  P  , vuông góc với  d  cho khoảng cách từ M đến    42 x 1 y  z x 5 y z 5 Bài Cho hai đường thẳng  d1  :    d  :   mặt phẳng 3 5  P  : x  y  z   Tìm tọa độ điểm M   d1  , N   d2  cho MN song song với  P  cách  P  khoảng Bài Viết phương trình mặt phẳng  P  qua điểm M  4, 9,12  cắt trục tọa độ OC  OA  OB  Ox, Oy , Oz A, B, C cho  1  OC  OA  OB x 3 y 3 z 3 Bài Cho điểm I  0,1,3 hai đường thẳng  d1  :   2 5 x  y  z  13   d2  :  x  y  6z   (i) Chứng minh  d1  ,  d2  chéo (ii) Tìm điểm A   d1  , B   d2  cho tam giác IAB có diện tích 728 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam 41 42 HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN x  1 t x y 1 z   Bài 10 Cho điểm A  0,1,  hai đường thẳng  d1  :    d  :  y  1  2t 1 z   t  Tìm tọa độ điểm M   d1  , N   d2  cho A, M , N thẳng hàng Bài 11 Cho điểm A  0,1,  ; B  2, 2,  ; C  2, 3,1 đường thẳng  d  : x 1 y  z    1 (i) Tìm điểm M   d  để thể tích tứ diện MABC (ii) Tìm điểm N   d  diện tích tam giác NAB nhỏ Bài 12 Cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Viết phương trình mặt phẳng  Q  qua giao tuyến  P  mặt phẳng  xOy   Q  tạo với ba mặt phẳng tọa độ tứ diện tích 125 36 Bài 13 Tìm đường thẳng Ox điểm A cách đường thẳng  d  : x 1 y z    2 mặt phẳng  P  : x  y  z  Bài 14 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu  S  : x2  y2  z  x  y   mặt phẳng ( P) : x  y  z   Viết phương trình đường thẳng  tiếp xúc với mặt cầu  S  , nằm ( P) cắt trục hoành Bài 15 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A(3; 2;1) , điểm B, D nằm x 1 y  z  đường thẳng  :   , điểm C nằm mặt phẳng ( P) : x  y  z   1 Tìm tọa độ điểm B biết tứ giác ABCD hình chữ nhật Bài 16 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng  P1  ,  P2  có phương trình tuuowng ứng x  y  z   x  y  z   điểm A  1;1;1 nằm khoảng hai mặt phẳng Gọi  S  mặt cầu qua A tiếp xúc với hai mặt phẳng  P1  ,  P2  Gọi I tâm mặt cầu  S  Chứng tỏ I thuộc đường tròn cố định Xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Bài Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 cạnh a (i) Tính theo a khoảng cách A1 B B1 D (ii) Gọi M , N , P theo thứ tự trung điểm cạnh BB1 , CD, A1 D1 Tính góc MP C1 N Bài Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 cạnh a Gọi M , N theo thứ tự trung điểm cạnh AD, CD Lấy điểm P  BB1 , BP  3PB1 Tính diện tích thiết diện mặt phẳng  MNP  cắt hình lập phương 729 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1 B1C1 D1 có AB  a , AD  2a, AA1  a (i) Tính theo a khoảng cách AD1 , B1C AM (ii) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỷ số  Tính khoảng cách từ M đến mặt MD phẳng  AB1C  (iii) Tính thể tích tứ diện AB1 D1C Bài Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  Và có AC  AD  4, AB  3, BC  Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD  Bài Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 cạnh a Gọi M , N trung điểm BC , DD1 (i) Chứng minh MN / /  A1 BD  (ii) Tính khoảng cách BD MN theo a Bài Cho hình lập phương ABCD A1 B1C1 D1 cạnh Lấy M , N , P theo thứ tự thuộc BB1 , CD , A1 D1 cho B1M  CN  D1 P  a (0  a  1)      Chứng minh MN  a AB  AD   a  1 AA1 AC1 vuông góc với mặt phẳng  MNP  Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCD A1 B1C1 D1 Gọi H , K theo thứ tự hình chiếu vuông góc   A, C1 xuống mặt phẳng  CB1 D1  Chứng minh AH  KC1 730 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN 731 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam [...]... Bài 7 Trong không gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x  y  2  0 sao cho giao tuyến của mặt phẳng ( P) và mặt cầu d : 2 x  z  6  0 ( S ) : x 2  y 2  z 2  2 x  2 y  2 z  1  0 là đường tròn có bán kính bằng 1 Bài 8 Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C (0 ; 0; 3) Viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa OA sao cho khoảng cách từ B đến ( P) bằng... z  5  0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) 2 chứa đường thẳng ( d ) và tạo với mặt phẳng ( P ) một góc nhỏ nhất Lời giải: Giả sử mặt phẳng (Q ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0 Chọn hai điểm M ( 1; 1; 3); N (1 ; 0; 4)  ( d )  A  B  3C  D  0 C  2 A  B Mặt phẳng (Q) chứa (d ) nên M , N  (Q )     A  4C  D  0 D  7 A  4B 719 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics... phẳng ( P) : 2 x  3 y  z  7  0 Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A(1;1; 0) và B(1; 2; 7) và vuông góc với mặt phẳng ( P) y2 Bài 6 Trong không gian Oxyz , xác định mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d : x  z 1 x2 z 5 và tạo với đường thẳng d ' :  y 3  một góc 300 2 1 718 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN. ..  d  d , ( P)   , đặt x  và xét hàm số 2 B A  A 13    10  4 B B (3 3 x  6) 2 suy ra m ax f ( x )  f (7 ) Từ đó chọn A  7, B  1  C  5; D  77 f ( x)  x 13 x 2  4 x  10 Vậy mặt phẳng cần tìm ( P) : 7 x  y  5 z  77  0 BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Trong các mặt phẳng đi qua hai điểm A(1; 2;  1) và B(1;1; 2) Tìm mặt phẳng tạo với mặt phẳng ( xOy ) một góc nhỏ nhất Bài 2 Trong các... phẳng ( P) là d  K , ( P)   4 B 2  2C 2  4 BC  Nếu B  0  d  K ,( P)   0  Nếu B  0  d  K , ( P)   1 2  1 2 C  2   1  2 B  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi C   B , chọn C  1; B  1; A  1; D  3 Vậy mặt phẳng cần tìm là ( P) : x  y  z  3  0 Bài 2 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d ) và mặt phẳng ( P) lần lượt có phương x 1 trình: d :  y  1  z  3 và ( P) :... TRONG KHÔNG GIAN  Suy ra mặt phẳng (Q) có véc tơ pháp tuyến nQ  ( A; B; 2 A  B ) và mặt phẳng ( P) có véc tơ  pháp tuyến nP  (1 ; 2;  1) Khi đó góc  giữa hai mặt phẳng ( P),(Q) là cos     3 A B 5 A2  2 B 2  4 AB 3  Nếu A  0  cos     2 6 6 Nếu A  0  cos   3 6 1 B A , đặt x  2 B B 5  2   4 A A   B xét hàm số A 9 x2  2 x  1 f ( x)  , dễ thấy cos 2   f (. ..  S  có phương trình:  S  : x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0 Điểm A  0,1, 0    S   1  2b  d  0(1 ) 1  2a  d  0(2 )  Tương tự có : 1  2c  d  0(3 )  a  b  c  3  0(4 )  Giải hệ phương trình tạo bởi (1 ) ,(2 ) ,(3 ) ,(4 ) ta được: a  b  c  d  1 725 Dang Thanh Nam Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam ... phẳng ( P) : 2 Ax  2 By  (2 A  B) z  2 A  2B  0 Nếu B  0  ( P) : x  z  1  0  d  A, ( P)   0 Nếu B  0 , chọn B  1 , khi đó ( P) : 2 Ax  2 y  (2 A  1) z  2 A  2  0 9 9 Khi đó d  A, ( P)    3 6 2 2 8A  4A  5 1 3  2 2A    2 2  1 1 3 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A    C   ; D  4 4 4 Vậy mặt phẳng cần tìm ( P) : x  4 y  z  3  0    x  1  2t  Bài 5 Trong. ..  Bài 5 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  y  t Viết phương trình mặt phẳng  z  1  3t  ( P) chứa điểm A(10; 2;  1) song song với d và cách d một khoảng lớn nhất Lời giải: Giả sử mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0 có véc tơ pháp tuyến  nP  ( A; B; C )  Đường thẳng d đi qua điểm M (1 ; 0; 1) và có véc tơ chỉ phương ud  (2 ;1; 3) Do ( P) song song với d và... trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ A đến ( P) lớn nhất Lời giải: Giả sử mặt phẳng ( P ) : Ax  By  Cz  D  0, A2  B 2  C 2  0 có véc tơ pháp tuyến  nP  ( A; B; C )  Đường thẳng d đi qua điểm M (1 ; 0; 2) và có véc tơ chỉ phương ud  (2 ;1; 2) Do ( P) chứa d nên ta có  2A  B   nP ud  0  2 A  B  2C  0 C     2     M  ( P)  A  2C  D 