BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT - LTĐH

Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 1 DẠNG 1. PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ A – BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ. ● 0 1 a < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ < ≥ ⇔ ≤ (ngh ị ch bi ế n) ● 1 a > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g x f x f x g x a a f x g x a a f x g x > ⇔ > ≥ ⇔ ≥ (đồng biến) Ví dụ 1. Giải bất phương trình : 2 x x 1 x 2x 1 3 3 − − −   ≥     . - ðiều kiện : 2 x 0 x 2x 0 x 2 ≤  − ≥ ⇔  ≥  . - Bất phương trình 2 x x 1 x 2x 2 3 3 x 2x x x 1 − − − ⇔ ≥ ⇔ − ≥ − − (1) + Nếu x 0 ≤ thì x 1 1 x − = − , khi đó ( ) 2 1 x 2x 2x 1 ⇔ − ≥ − (lng đúng vì x 0 ≤ ) + Nếu x 2 ≥ thì x 1 x 1 − = − , khi đó ( ) 2 2 1 x 2x 1 x 2x 1 0 ⇔ − ≥ ⇔ − − ≥ ( ) ( ) x 1 2 loai x 1 2 chon  ≤ − ⇔  ≥ +   - Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ] ) S ;0 1 2;  = −∞ ∪ + +∞  . Ví dụ 2. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình : ( ) 2 3 3 log x log x 3 x 6 + ≤ . - ðiều kiện : x 0 > . - Ta có : ( ) ( ) 2 3 3 3 3 log x log x log x log x 3 3 x= = . - Khi đó bất phương trình ( ) 3 3 3 3 log x log x log x log x 3 3 x x 6 x 3 log x log 3 ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ( ) 2 3 3 3 3 1 log x.log x 1 log x 1 1 log x 1 x 3. 3 ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ - Vậy nghiệm của bất phương trình là : 1 S ;3 3   =     . CHUYÊN ĐỀ 2. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 2 BÀI TẬP. 1) 3 x 2 log x 5 1 − < 2) ( ) 2 log x 1 2 3 1 2 3 x log log 2 3 2 1 1 3 −       + +             ≥     3) 1 1 2 2 2 2 log x log x log x 5 x .2 6.x+ > 4) 2 2 1 3 log x log x 2 2 2.x 2≥ . B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. ● 0 1 a < < ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log 0 log log 0 a a a a f x g x f x g x f x g x f x g x > ⇔ < < ≥ ⇔ < ≤ (ngh ị ch bi ế n) ● 1 a > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) log log 0 log log 0 a a a a f x g x f x g x f x g x f x g x > ⇔ < > ≥ ⇔ < ≥ ( ñồ ng bi ế n) Ví dụ . Giải bất phương trình : 1 2 3 1 2x log log 0 1 x +   >   +   - Bpt 2 2 1 2x 1 2x 0 0 1 2x x 1 x 1 x 1 0 1 2x 1 2x 1 x 1 x log 0 1 1 2x 1 1 x 1 x 2 0 1 2x 1 2x 1 x 1 x log 1 2 1 x 1 x + +   > >   + + +   > >        + + + + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ > >     + − + +     > <     + + + +  < <   + +   x 1 x 0 x 0 x 1 < − ∨ >  ⇔ ⇔ >  > −  . - Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ) S 0; = +∞ . BÀI TẬP. 1) 2 0,7 6 x x log log 0 x 4   + <   +   2) ( ) 2 π 2 4 log log x 2x x 0   + − <     3) ( ) 2 3 1 1 3 3 1 log x 5x 6 log x 2 log x 3 2 − + + − > − 4) 3 2x 3 log 1 1 x −   <   −   5) ( ) ( ) x x 2 5 5 5 log 4 144 4log 2 1 log 2 1 − + − < + + 6) ( ) x x 2 log 7.10 5.25 2x 1 − > + 7) ( ) ( ) 25 5 1 5 1 2log x 1 log .log x 1 2x 1 1   − ≥ −   − −   8) 2 2x x log 64 log 16 3. + ≥ Biờn son : GV HUNH C KHNH trang 3 Bt phng trỡnh dng : ( ) ( ) log x f g x a > , ta xột hai tr ng h p c a c s : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 log 1 a a x f g x g x f x g x g x f x f x g x a f x < < < > > < < > Vớ d . Gii bt phng trỡnh : ( ) 2 x log 5x 8x 3 2 + > . - Bpt 2 2 2 2 2 2 2 0 x 1 0 x 1 0 x 1 1 3 x 1 3 5x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x 2 5 3 3 5x 8x 3 0 x x 1 x x 1 3 5 5 x x 1 x 1 x 1 5x 8x 3 x 1 3 4x 8x 3 0 x x 2 2 < < < < < < < < + < + < < < + > < > < > > > > > + > + > < > 2 . - V y nghi m c a b t ph ng trỡnh l : 1 3 3 S ; ; 2 5 2 = + . BI TP. 1) ( ) 2 3x x log 3 x 1 > 2) ( ) x 1 log 2x 2 + > 3) x 1 log x 2 4 4) ( ) x x 3 log log 9 72 1 5) ( ) 2 x 3 log 5x 18x 16 2 + > 6) ( ) ( ) 2 2 2 log x 9x 8 2 log 3 x + < 7) ( ) 2 log x 3x 2 2 log x log2 + > + 8) ( ) ( ) 3 a 2 log 35 x 3. log 5 x > DAẽNG 2. PHệễNG PHAP ẹAậT AN PHUẽ A BT PHNG TRèNH M. Vớ d 1. Gi i b t ph ng trỡnh : x x 2 x x 2.3 2 1 3 2 + . - iu kin : x x 3 2 0 x 0. Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 4 - Chia cả tử và mẫu cho x 2 , ta ñược : x x x 2 x x x 3 2. 4 2.3 2 2 1 1 3 2 3 1 2 +   −   −   ≤ ⇔ ≤ −   −     (*) - ðặ t : ( ) x 3 t , 0 t 1 2   = < ≠     . - Khi ñ ó (*) tr ở thành 2t 4 t 3 1 0 0 1 t 3 t 1 t 1 − − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ < ≤ − − . - Với x 3 2 3 1 t 3 1 3 0 x log 3 2   < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤     . - Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3 2 S 0;log 3   =     . Ví dụ 2. Giải bất phương trình : 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2 5 4.5 5 − − − − + − − < . - ðặt : x 5 3 x 2 X 5 0, Y 5 0 − − = > = > . - Khi ñó bpt trở thành : ( ) 2 2 2 X 4X 5Y X 4XY 5Y vi Y 0 Y − < ⇔ − < > 2 2 X 4XY 5Y 0 ⇔ − − < ( ) ( ) X Y X 5Y 0 X 5Y 0 X 5Y ⇔ + − < ⇔ − < ⇔ < x 5 1 3 x 2 5 5 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2 − + − ⇔ < ⇔ − < + − ⇔ − < − (*) - Bpt (*) ( ) ( ) 2 2 x 2 0 2 x 6 x 6 0 x 6 0 x 6 x 6 6 x 18 3 x 18 x 21x 54 0 9 x 2 x 6  − ≥  ⇔ ≤ <   − <   ⇔  − ≥  ≥ ≥     ⇔ ⇔ ⇔ ≤ <     < < − + < − > −      . - V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là : [ ) S 2;18 = . Ví dụ 3. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình : 2 2 2x 4x 2 2x x 1 2 16.2 2 0 − − − − − − ≤ . - Ta có : 2 2 2 2 2x 4x 2 2x x 1 2x 4x 2 2x x 1 2 2 16.2 2 0 2 16.2 2 0 − − − − − − − + − − − ≤ ⇔ − − ≤ ( ) ( ) 2 2 2 x 2x 1 x 2x 1 2 4.2 2 0. − − − − − ⇔ − − ≤ - ðặ t : 2 x 2x 1 t 2 , t 0. − − = > - Bpt tr ở thành : ( ) ( ) 2 3 2 1 t 4 2 0 t 2t 4 0 t 2 t 2t 2 0 t − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − + + ≤ ( ) ( ) ( ) 2 t 2 t 1 1 0 t 2 0 t 2.   ⇔ − + + ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≤   - V ớ i 2 2 2 x 2x 1 t 2 2 2 x 2x 1 1 x 2x 2 0 1 3 x 1 3 − − ≤ ⇔ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ + . - V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là : S 1 3;1 3   = − +   . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 5 Ví dụ 4. Giải bất phương trình : 2x 1 2x 1 x 3 2 5.6 0 + + − − ≤ . - Ta có : x x 2x 1 2x 1 x 2x 2x x 2 3 2 5.6 0 3.3 2.2 5.6 0 3. 2. 5 0 3 2 3 + + − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − − ≤             . - ðặt : x 3 t , t 0 2   = >     . - Bpt trở thành : 2 1 1 3t 2. 5 0 3t 5t 2 0 t 2 t 3 − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤ . - ðối chiếu ñiều kiện ta chọn : 0 t 2 < ≤ . - Với x 3 2 t 2 3 2 x log 2 2 ≤ ⇔   ≤ ⇔ ≤     . - V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là : 3 2 S ;log 2   = −∞     . BÀI TẬP. 1) 1 x x 1 x 8 2 4 2 5 + + + − + > 2) 2 1 1 x x 1 1 3. 12 3 3 +     + >         3) x x x 2.14 3.49 4 0 + − ≥ 4) 2x x x 4 x 4 3 8.3 9.9 0 + + + − − ≥ . B – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT. Ví dụ 1. Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình : ( ) 2 x 4 2 log 8 log x log 2x 0 + ≥ . - ðiều kiện : 0 x 1 < ≠ . - Bpt ( ) ( ) 1 2 2 4 2 2 2 8 2 1 3 1 log x log 2x 0 log x . 1 log x 0 log x log x 2     ⇔ + ≥ ⇔ + + ≥         - ðặt : 2 t log x = . - Bpt trở thành : ( ) ( ) 2 t 1 3 1 1 3 t 1 t t . 1 t 0 1 t 0 0 t 0. t 2 2 t t ≤ −    + +   + + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ ⇔      >      - Với 2 2 1 log x 1 t 1 x 2 t 0 log x 0 x 1.  ≤ − ≤ − ≤    ⇔ ⇔    > >   >  - ðối chiếu ñiều kiện ta chọn : 1 0 x 2 x 1.  < ≤   >  - V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là : ( ) 1 S 0; 1; 2   = ∪ +∞     . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 6 Ví dụ 2. Giải bất phương trình : ( ) ( ) 3 4 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x 32 log x log 9log 4log x 8 x     − + <         . - ðiều kiện : x 0 > . - Bpt ( ) ( ) 1 1 3 4 2 2 2 2 2 2 2 x 32 log x log 9log 4log x 8 x − −     ⇔ − + <         ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) 2 4 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 log x log x log 8 9 log 32 log x 4log x log x 3log x 3 9 5 2log x 4log x .     ⇔ − − + − <     ⇔ − − + − < - ðặ t : 2 t log x = . - Bpt tr ở thành : 2 4 2 2 2 3 log x 2 3 t 2 t 13t 36 0 4 t 9 2 t 3 2 log x 3 − < < − − < < −   − + < ⇔ < < ⇔ ⇔   < < < <   1 1 x 8 4 4 x 8.  < <  ⇔  < <  - Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ) 1 1 S , 4,8 8 4   = ∪     . BÀI TẬP. 1) ( ) ( ) 2 2 4 2 1 log 2x 3x 2 log 2x 3x 2 + + + > + + 2) ( ) x x 2 3 2 log 3 2 2.log 2 3 0 + + + − > . DAÏNG 3. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC. Dạng : log log a b u v < , ta thường giải như sau : ðặt log a t u = ( hoặc log b t v = ) ñể ñưa về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số. Ví dụ : Giải bất phương trình : ( ) 5 4 log 3 x log x + > . - ðiều kiện : x 0 > . - ðặt : t 4 t log x x 4 = ⇔ = . - Bpt trở thành : ( ) t t t t t 5 1 2 log 3 2 t 3 2 5 3. 1 5 5     + > ⇔ + > ⇔ + >         . (*) - Hàm số ( ) t t 1 2 x 3. 5 5 f     = +         nghịch biến trên ℝ và ( ) 1 1. f = - Bpt (*) ( ) ( ) t 1 t 1 f f ⇔ > ⇔ < . - Với 4 t 1 log x 1 0 x 4. < ⇔ < ⇔ < < - Vậy nghiệm của bất phương trình là : ( ) S 0;4 = . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 7 Dạng : 1 1 log log a b u v > , ta thường giải như sau : ● Lập bảng xét dấu của log a u và log b v trong tập xác ñịnh của phương trình. ● Trong TXð, nếu log a u và log b v cùng dấu thì : 1 1 og og . log log a b a b l u l v u v ⇔ > < Ví dụ : Giải bất phương trình : ( ) ( ) 2 2 1 1 log x 1 log 3 2x > + − . - ð i ề u ki ệ n : 1 x 0 3 0 x 1 1 1 x 2 3 0 3 2x 1 1 x x 0;1 2 − < ≠   < + ≠ − < <    ⇔ ⇔    < − ≠ ≠ <    ≠   ● ( ) 2 log x 1 0 x 1 1 x 0. + > ⇔ + > ⇔ > ● ( ) 2 log 3 2x 0 3 2x 1 x 1. − > ⇔ − > ⇔ < - Ta có b ả ng xét d ấ u : - T ừ ñ ó ta có các tr ườ ng h ợ p sau : 1) V ớ i 1 x 0 − < < thì VT 0, VP 0 < > , suy ra bpt vô nghi ệ m. 2) V ớ i 0 x 1 < < thì VT 0, VP 0. > > Khi ñ ó bpt ( ) ( ) 2 2 log x 1 log 3 2x ⇔ + < − 2 3 2x x 1 x . 3 ⇔ − > + ⇔ < 3) Với 3 1 x 2 < < thì VT 0, VP 0, > < suy ra bpt vô nghiệm. - Vậy nghiệm của bất phương trình là : 2 S 0 x 3   = < <     . BÀI TẬP. 1) ( ) 2 1 1 3 3 1 1 log x 1 log 2x 3x 1 > + − + 2) ( ) ( ) 3x 5 6x 2 log 4 log 16 0 − − − − − ≥ . Dạng : log log log a a a u v u u u v v v < − ⇔ + < + , ta th ườ ng gi ả i nh ư sau : Xét hàm s ố ( ) log a f t t t = + ñồ ng bi ế n khi 0 t > , suy ra ( ) ( ) . f u f v u v < ⇔ < Ví dụ : Giải bất phương trình : 2 2 3 2 x x 1 log x 3x 2 2x 2x 3 + + > − + − + . - ðặt : ( ) 2 2 u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0 = + + = − + > > . Suy ra : 2 v u x 3x 2 − = − + . Biên soạn : GV HUỲNH ðỨC KHÁNH trang 8 - Bpt trở thành : 3 3 3 3 3 u log v u log u log v v u log u u log v v v = − ⇔ − = − ⇔ + > + . (*) - Xét hàm số : ( ) 3 t log t t f = + , ta có : ( ) 1 ' t 1 0, t 0 tln3 f = + > ∀ > nên hàm số ñồng biến khi t 0 > . Do ñó (*) ( ) ( ) u v u v f f ⇔ > ⇔ > . - V ớ i 2 2 2 u v x x 1 2x 2x 3 x 3x 2 0 1 x 2. > ⇔ + + > − + ⇔ − + < ⇔ < < - V ậ y nghi ệ m c ủ a b ấ t ph ươ ng trình là : ( ) S 1;2 = . Dùng phương pháp ñánh giá : Dùng bất ñẳng thức, trị tuyệt ñối, biểu thức chứa căn,… Ví dụ : Gi ả i b ấ t ph ươ ng trình : ( ) 2 3 1 log x 2 4 log 8 x 1   − + ≤ +   −   . - ð i ề u ki ệ n : x 2. ≥ . - Ta có : ● ( ) 2 x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2. − + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ ● 1 x 2 x 1 1 x 1 1 1 x 1 ≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ − 3 1 1 8 9 log 8 2 VP 2 1 1x x   ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤   − −   . - Vậy bpt có nghiệm khi và chỉ khi VT 2 x 2 0 x 2 VP 2 x 2   = − =   ⇔ ⇔ =   = =     . - Vậy nghiệm của bất phương trình là : { } S 2 = . BÀI TẬP RÈN LUYỆN. 1) 2 2 2x x x 2x 1 9 2 3 3 − −   − ≤     1) 2 3 2 3 log x log x 1 log x.log x + < + 2) ( ) 2 2 2 2 x 3 1 1 1 log x 6 2 log 2 12 64 + − < + 3) 1 1 x x 6 6 1 log 3.4 2.9 log 5 x − −   + + =     4) 2 2 3 2 2 x x 1 x x 1 x 1 2x 1 log log 2x 1 x 1 − − + −   + +   >     + +     5) ( ) 2 2 2 2 1 4 2 log x log x 3 5 log x 3 + − > − 6) ( ) ( ) 25 5 1 5 1 2log x 1 log .log x 1 2x 1 1   − ≥ −   − −   HẾT . về bất phương trình mũ và sử dụng chiều biến thiên của hàm số. Ví dụ : Giải bất phương trình : ( ) 5 4 log 3 x log x + > . - ðiều kiện : x 0 > . - ðặt : t 4 t log x x 4 = ⇔ = . -. < ≤     . - Vậy nghiệm của bất phương trình là : 3 2 S 0;log 3   =     . Ví dụ 2. Giải bất phương trình : 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 2 5 4.5 5 − − − − + − − < . - ðặt : x 5 3 x. ≥ (đồng biến) Ví dụ 1. Giải bất phương trình : 2 x x 1 x 2x 1 3 3 − − −   ≥     . - ðiều kiện : 2 x 0 x 2x 0 x 2 ≤  − ≥ ⇔  ≥  . - Bất phương trình 2 x x 1 x 2x 2 3 3 x 2x