Đề Thị HSG Toán 9

PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI ®Ò xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) Câu 1 : 3,5điểm 1/ Tính : A = 5210452104 +−+++ 2/ Cho a, b, c thoả mãn: a b c b c a c a b c a b + − + − + − = = Tính giá trị biểu thức: P = 1 1 1 b c a a b c     + + +  ÷ ÷ ÷     Câu 2: 3,5điểm 1/ Cho ba số x, y, z tuỳ ý. Chứng minh rằng 2 2 2 2 3 3 x y z x y z+ + + +   ≥  ÷   2/ Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2 a b c + + = và a + b + c = abc thì ta có 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = Câu 3: 4điểm 1/ / Giải phương trình : 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx 2/ Tìm giá trị cuả m để hệ phương trình 2 3 5 mx y x my − =   + =  có nghiệm thoả mãn hệ thức : 2 2 1 3 m x y m + = − + Câu 4: 5điểm 1/ Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD a) Chứng minh hệ thức: 2 1 1 AD AB AC = + b) Hệ thức trên thay đổi như thế nào nếu đường phân giác trong AD bằng đường phân giác ngoài AE 2/ Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là giao điểm của các đường phân giác.Biết IA =2 5 cm, và IB = 3cm. Tính độ dài AB. Câu 5: 2điểm Cho a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC. Chứng minh rằng: sin 2 2 A a bc ≤ Câu 6: 2điểm Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: ( y + 2 ). x 2 + 1 = y 2 Hết PHÒNG GIÁO DỤC HÀ TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2009-2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang) Câu Đáp án Điểm Câu 1 3,5điểm 1. (2điểm) Vì 52104 ++ > 0; 52104 +− > 0 ⇒ A > 0 (1) 0,25đ A 2 = 52104)52104)(52104(252104 +−++−+++++ 0,25đ = 52101628 −−+ = 152528 +−+ = 2 )15(28 −+ = 1528 −+ = 8 + 2 25 − = 2 )15( + (2) Từ (1) và (2) suy ra: A = 15 + 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 2. (1,5điểm) Từ gt ta có 2 2 2 a b c b c a c a b c a b + − + − + − + = + = + 0,25đ suy ra a b c b c a c a b c a b + + + + + + = = 0,25đ Xét hai trường hợp * Nếu a + b + c = 0 ⇒ a + b = -c b + c = - a c + a = -b P = 1 1 1 b c a a b c     + + +  ÷ ÷ ÷     = a b b c c a a b c + + +      ÷ ÷ ÷     = ( )c a − . ( )a b − . ( )b c − = abc abc − = -1 0,25đ 0,25đ * Nếu a + b + c ≠ 0 ⇒ a = b = c ⇒ P = 2.2.2 = 8 0,25đ 0,25đ Câu 2 3,5điểm 1. (1,5điểm) Áp dụng BĐT Côsi ta có: x 2 + y 2 ≥ 2xy (1) y 2 + z 2 ≥ 2yz (2) z 2 + x 2 ≥ 2zx (3) 0,25đ Cộng từng vế ba BĐT trên ta được 2( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2( xy + yz + zx ) 0,25đ ⇒ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) + ( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) + 2( xy + yz + zx ) ⇒ 3( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 0,25đ 0,25đ chia hai vế cho 9 ta được 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 9 x y z x y z+ + + +   =  ÷   0,25đ 0,25đ 2. (2điểm) Từ 1 1 1 2 a b c + + = ⇒ 2 1 1 1 4 a b c   + + =  ÷   ⇒ 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 a b c ab bc ca   + + + + + =  ÷   0,25đ 0,50đ ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c a b c abc + +   + + + =  ÷   0,25đ mà a + b + c = abc ⇒ 1 a b c abc + + = 0,25đ 0,25đ ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 4 a b c + + + = ⇒ 2 2 2 1 1 1 2 a b c + + = 0,25đ 0,25đ Câu 3 4,0điểm 1. (2,5điểm) Phương trình 12428 1 4 2 36 −−−−= − + − yx yx (1) có ĐKXĐ là : x > 2, y > 1 * Với điều kiện : x > 2, y > 1 ta có : + Phương trình (1) ⇔ 028 1 )1(4 2 )2(436 2 2 =− − −+ + − −+ y y x x ⇔ 0 1 )12( 2 )226( 2 2 = − −− + − −− y y x x (2) + Với x > 2, y > 1 ⇒        >− >− ≥−− ≥−− 01 02 0)12( 0)226( 2 2 y x y x (3) Từ (2) và (3) ⇒      =−− =−− 0)12( 0)226( 2 2 y x ⇔      =−− =−− 012 0226 y x ⇔      −= −= 12 226 y x ⇔    = = 5 11 y x Thử lại ta thấy x = 11và y = 5 là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (11, 5) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 2. (1,5điểm) Hệ phương trình 2 3 5 mx y x my − =   + =  Rút y từ phương trình thứ nhất , rồi thế vào phương trình thứ hai ta có: (m 2 + 3)x = 2m + 5. Do m 2 + 3 > 0 với mọi m nên ta có 2 2 5 3 m x m + = + , 2 5 6 3 m y m − = + Theo đề bài ta lại có : 2 2 2 2 2 5 5 6 1 3 3 3 m m m m m m + − + = − + + + (*) Giải phương trình này ta được m = 4 7 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ Câu 4 5,0điểm 1. (3,0điểm) a. (2,0điểm) a. Đặt AC = b; AB = c Ta có S ABC = 1 2 bc ⇒ bc = 2 S ABC = 2 S ABD + 2S ADC = AD.AB.sin45 0 + AC.AD.sin45 0 = ( AB + AC )AD.sin45 0 = ( b + c )AD.sin45 0 Suy ra bc = ( b + c )AD. 2 2 = ( b + c ). 2 AD ⇒ 2 AD = bc b c+ ⇒ 2 AD = 1 1b c bc c b + = + Vậy 2 1 1 AD AB AC = + (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ b. (1,0điểm) Ta có bc = 2 S ABC = 2 S ACE - 2S ABE = AE.AC.sin135 0 – AE.AB.sin45 0 = ( b – c )AE. 2 2 ⇒ bc = ( b – c )AE. 2 2 = ( b – c ) AE. 2 2 ⇒ 2 AE = 1 1b c bc c b − = − Vậy 2 1 1 AE AC AB = − hay ABACAD 112 −= 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ E D C B A 2. (2,0điểm) Kẻ AM ⊥ AC, M thuộc tia CI Chứng minh được ∆ AMI cân tại M ⇒ MI = AI = 2 5 Kẻ AH ⊥ MI ⇒ HM = HI Đặt HM = HI = x ( x > 0 ) Xét ∆ AMC vuông tại A ta có AM 2 = MH.MC ⇒ (2 5 ) 2 = x.(2x + 3) ⇒ 2x 2 + 3x – 30 = 0 ⇔ ( 2x – 5)(x + 4) = 0 ⇒ x = 2,5 hoặc x = -4 ( loại vì x > 0) Vậy MC = 8cm Ta có AC 2 = MC 2 – AM 2 = 8 2 – (2 5 ) 2 = 64 – 20 = 44 ⇒ AC = 44 = 2 11 cm ⇒ AB = 2 11 cm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Câu 5 2,0điểm Hình vẽ Kẻ Ax là tia phân giác của góc BAC, kẻ BM ⊥ Ax và CN ⊥ Ax Từ hai tam giác vuông AMB và ANC, ta có sinMAB = sin 2 A = BM AB ⇒ BM = c.sin 2 A sinNAC = sin 2 A = CN AC ⇒ CN = b. sin 2 A Do đó BM + CN = sin 2 A ( b + c) Mặt khác ta luôn có BM + CN ≤ BD + CD = BC = a Vì thế sin 2 A ( b + c ) ≤ a ( vì sin 2 A < 1) Do b + c ≥ bc2 nên 1 1 2 b c bc ≤ + hay sin 2 A ≤ bc a 2 (đpcm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ I H M C B A C D N M x C B A B Câu 6 2,0điểm Từ ( y + 2 ).x 2 + 1 = y 2 ⇔ x 2 = 2 1 3 2 2 2 y y y y − = − + + + vì x, y nguyên nên y + 2 là Ư(3) suy ra y + 2 = 1 ; 3; -1; -3 Nên y = -1 ; 1; -3 ; 5 do x 2 0≥ nên (y 2 -1)(y+2) 0≥ , 2≠y ⇒ 2 1y− ≤ ≤ − hoặc y 1≥ do đó y = -1 hoặc y = 1 suy ra x = 0 Vậy giá trị nguyên của x, y thỏa mãn là : (x,y) = { } 0 1 0 1( , );( , )− 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ CHÚ Ý : - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó. - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo ý đó. HẾT XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU NGƯỜI RA ĐỀ Vũ Ngọc Quyền . TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI ®Ò xuÊt ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 20 09- 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Đề này gồm 06 câu trên 01 trang) Câu. TRUNG TRƯỜNG THCS HÀ THÁI HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 20 09- 2010 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn chấm này gồm 5 trang) Câu. y 2 + z 2 ) ≥ ( x + y + z ) 2 0,25đ 0,25đ chia hai vế cho 9 ta được 2 2 2 2 ( ) 3 9 x y z x y z+ + + + = hay 2 2 2 2 3 9 x y z x y z+ + + +   =  ÷   0,25đ 0,25đ 2. (2điểm) Từ