đề thi hsg toán 9 tỉnh Daklak

T T h h i i h h o o ï ï c c s s i i n n h h g g i i o o û û i i c c a a á á p p t t ỉ ỉ n n h h m m o o â â n n t t o o a a ù ù n n 9 9 – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k G G V V : : N N g g u u y y e e ã ã n n D D ư ư ơ ơ n n g g H H a a û û i i – – T T H H C C S S P P h h a a n n C C h h u u T T r r i i n n h h – – B B u u o o â â n n M M a a T T h h u u o o ä ä t t – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k trang 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2008-2009 MÔN THI: TOÁN 9-THCS ĐỀ CHÍNH THỨC (150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức 4 4 4 4 x x x x P x       1/ Thu gọn biểu thức P 2/ Tìm x để biểu thức P đạt giá trò lớn nhất Bài giải: 1/ ĐK: 4 x          2 2 4 2 4 2 4 4 4 4 2 4 8 4 2 4 2 4 4 8 x x x x x x P x x x x x x x x x x                              2/ P đạt GTLN khi x = 4, maxP = 1 Bài 2: (4 điểm) Phân tích đa thức A = x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz thành nhân tử. Khi x, y, z là các số thực dương thỏa mãn A = 0. Tính giá trò của biểu thức 3 2008 2009 2010 x y z P xyz    Bài giải: A = x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y) 3 + z 3 – 3xy(x + y) – 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + 2xy – xz – yz + z 2 ) – 3xy(x + y + z) = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 – xy – xz – yz) A = 0  x 2 + y 2 + z 2 – xy – xz – yz = 0  2x 2 + 2y 2 + 2z 2 – 2xy – 2xz – 2yz = 0  (x – y) 2 + (y – z) 2 + (z – x) 2 = 0  x – y = y – z = z – x = 0  x = y = z Khi đó 2009 2009 x P x   Bài 3: (4 điểm) 1/ Chứng minh với bất kì ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 20 thì có 2 2 2 20 2 2 2 3 a b c b c c a a b       2/ Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: 6x 2 – (11 + 2y)x – 2 + 3y = 0 T T h h i i h h o o ï ï c c s s i i n n h h g g i i o o û û i i c c a a á á p p t t ỉ ỉ n n h h m m o o â â n n t t o o a a ù ù n n 9 9 – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k G G V V : : N N g g u u y y e e ã ã n n D D ư ư ơ ơ n n g g H H a a û û i i – – T T H H C C S S P P h h a a n n C C h h u u T T r r i i n n h h – – B B u u o o â â n n M M a a T T h h u u o o ä ä t t – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k trang 2 Bài giải: 1/ Với a, b, x, y là các số thực dương ta chứng minh     2 2 2 1 a b a b x y x y               2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 0 2 0 0 , , , a y b x x y xy a b a xy a y b x b xy a xy b xy abxy a y b x abxy ay bx Luon dung voi moi a b x y                     Dấu “=” xảy ra khi 0 a b ay bx x y     Dựa vào (1) ta chứng minh được     2 2 2 2 2 a b c a b c x y z x y z        với a, b, c, x, y, z là các số thực dương. Thật vậy     2 2 2 2 2 2 a b a b c a b c c x y z x y z x y z            Dấu “=” xảy ra khi a b c x y z   Theo (2) ta có     2 2 2 2 20 2 2 2 3 3 3 a b c a b c a b c b c c a a b a b c               Dấu “=” xảy ra khi   1 2 2 2 3 3 a b c a b c b c c a a b a b c            Kết hợp 20 a b c    ta có 20 3 a b c   2/ 6x 2 – (11 + 2y)x – 2 + 3y = 0  (2x – 3)y = 6x 2 – 11x – 2 2 6 11 2 5 3 1 2 3 2 3 x x y x x x          Do đó y Z  với x Z  khi     2 3 5 1; 5 x U      Từ đó tìm được các cặp số nguyên (x, y) = (2 ; 0), (1 ; 7), (4 ; 10), (–1 ; –3) Bài 4: (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính BC. Một điểm A di động sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn và trọng tâm G của tam giác nằm trên nửa đường tròn đó. 1/ Tìm quỹ tích điểm A. 2/ Chứng minh:   2 cot cot 3 g ABC gACB   Bài giải: 1/ Thuận: Trên đường thẳng BC lấy hai điểm E, F sao cho B là trung điểm CE, C là trung điểm BF. Ta có EF = 3BC cố đònh (a) T T h h i i h h o o ï ï c c s s i i n n h h g g i i o o û û i i c c a a á á p p t t ỉ ỉ n n h h m m o o â â n n t t o o a a ù ù n n 9 9 – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k G G V V : : N N g g u u y y e e ã ã n n D D ư ư ơ ơ n n g g H H a a û û i i – – T T H H C C S S P P h h a a n n C C h h u u T T r r i i n n h h – – B B u u o o â â n n M M a a T T h h u u o o ä ä t t – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k trang 3 Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của BG và AC; CG và AB CQ là đường trung bình ABF  CQ // AF BP là đường trung bình ACE  BP // AE Mà CQ  BP (gt)  AF  AE hay  0 90 EAF  (b) Từ a), b) suy ra A di động trên đường tròn đường kính EF Giới hạn: Do ABC nhọn nên A di động trên cung  MN như hình vẽ (trừ hai điểm M, N) Đảo: (tự làm) 2/ Kẻ AH  BC (H  BC) Ta có   cot cot BH CH BC g ABC gACB AH AH AH     Mà 3 2 2 3 BC AH OE BC AH     . Vậy   2 cot cot 3 g ABC gACB   Dấu “=” xảy ra khi H  O  G là điểm chính giữa nửa đường tròn đường kính BC. Bài 5: (4 điểm) Cho nửa đường tròn đường kính AB, gọi K là điểm chính giữa của cung AB, M là một điểm bất kỳ trên cung phần tư AK. Trên tia BM lấy điểm N sao cho BN = AM. Chứng minh khi M chuyển động trên cung phần tư AK thì các đường thẳng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua một điểm cố đònh. Bài giải: Gọi C là giao điểm của tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn và đường thẳng vuông góc với BM tại N, ta có ABM = BCN (g-c-g)  AB = BC Lại có  0 90 ABC  (do BC là tiếp tuyến) Nên ABC vuông cân tại B, mà AB cố đònh  C cố đònh. Vậy khi M di động trên cung phần tư AK thì các đường thẳng vuông góc với BM kẻ từ N luôn đi qua điểm C cố đònh. Khi M  A thì N  B, M  K thì N  K. Giáo viên: Nguyễn Dương Hải Trường THCS Phan Chu Trinh Buôn Ma Thuột – Đăk Lăk (Sưu tầm) . GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2008-20 09 MÔN THI: TOÁN 9- THCS ĐỀ CHÍNH THỨC (150 phút, không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức. g g i i o o û û i i c c a a á á p p t t ỉ ỉ n n h h m m o o â â n n t t o o a a ù ù n n 9 9 – – Đ Đ a a ê ê k k L L a a ê ê k k G G V V : : N N g g u u y y e e ã ã n n . – y) 2 + (y – z) 2 + (z – x) 2 = 0  x – y = y – z = z – x = 0  x = y = z Khi đó 20 09 20 09 x P x   Bài 3: (4 điểm) 1/ Chứng minh với bất kì ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a +