tích phân và ứng dụng

Trường THPT Nguyễn Huệ Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2010 – 2011 Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG 1 Trường THPT Nguyễn Huệ (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản: Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 kdx kx C= + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] • ( ) 0 a a f x dx = ∫ ; ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ • . ( ) b a k f x dx = ∫ ( ) b a k f x dx ∫ ( k là hằng số) • [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f c dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a b) Công thức hạ bậc: 2 Trường THPT Nguyễn Huệ * sin 2 a = 1 cos2 2 a− * cos 2 a = 1 cos 2 2 a+ c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + − − 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * 1 n n a a = và m n m n a a = * . . n n n a b a b= ; n n n a a b b = * a 0 = 1; a 1 = a ; a -n = 1 n a * .a a a α β α β + = ; a a a α α β β − = * ( ) . .a b a b α α α = ; a a b b α α α   =  ÷   * ( ) . a a β α α β = 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a 2 – b 2 = (a+b)(a – b) * ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + * 3 3 2 2 ( )( . )a b a b a a b b± = ± +m * ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ b)I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ Giải: a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ = ( ) 1 4 4 4 0 1 (3 1) 1 5 . 3 1 ( 1) 3 4 12 4 x −   = − − − =   3 Trường THPT Nguyễn Huệ b) I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ = 2 2 0 1 1 x e − + − = – ( e – 2+2 – e 2 ) = e 2 –1 c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ = 0 1 1 3. ln 2 1 2 x − − + − = 3 (ln1 ln 3) 2 − − = 3 ln3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ b) J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ c) J 3 = 8 6 6 1 2x x dx x + ∫ Giải: a) Ta có: (x 2 + 1) 2 = (x 2 ) 2 +2.x 2 .1 + 1 2 = x 4 + 2x 2 + 1 suy ra J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ = 2 4 2 0 ( 2 1)x x dx+ + ∫ = 2 5 3 0 2 5 3 x x x   + +  ÷   = 206 15 b) Ta có : 2 3 1 2 7. 2 2 x x x + = − + − − suy ra J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ = ( ) 1 1 0 0 1 ( 2 7. ) 2 7ln 2 2 dx x x x − + = − − − − ∫ = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 c) 1/2 1/6 6 1/2 1/6 1/3 1/6 6 2 2 2 2 x x x x x x x x − + + = = + = + suy ra J 3 = ( ) 8 8 1/3 4/3 1 1 3 2 2 4 x dx x x   + = +  ÷   ∫ = 4/3 3 3 8 2 8 ( 2) 4 4   + × − +  ÷   = 101 4 = 25,25 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K 1 = 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = ( ) 1 sin4 sin2 2 x x+ suy ra K 1 = 1 2 4 0 (sin4 sin2 )x x dx π + = ∫ 4 0 1 1 1 cos 4 cos 2 2 4 2 x x π   − −     = 1 2 4 Trường THPT Nguyễn Huệ b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ Ta có: cos 2 2x = 1 cos4 2 x+ suy ra K 2 = 1 2 8 0 (1 cos 4 )x dx π + = ∫ 8 0 1 1 sin 4 2 4 x x π   +     = 1 2 ( ) 1 4 sin 0 8 4 8 π π     + −  ÷       = 1 1 2 8 4 π   +  ÷   c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ Ta có : e 2x–1 – 1 = 0 ⇔ e 2x–1 = 1 = e 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = 1 2 [ ] 0;1∈ Suy ra K 3 = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 ( 1) ( 1) x x e dx e dx − − − + − ∫ ∫ = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 1 1 2 2 x x e x e x − −     − + −  ÷  ÷     = 0 1 1 1 1 0 2 2 2 e e −     − − −  ÷  ÷     + 0 1 1 1 1 2 2 2 e e     − − −  ÷  ÷     = 1 1 2 e − − + 1 1 2 e   −  ÷   Vậy K 3 = 1 1 1 1 2 2 e e − + − • Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1) L = ∫ +− 1 0 24 )23( dxxx KQ: L = 5 6 2) I = ∫ − 4 6 2 3 sin sin1 π π dx x x KQ: I = 2 223 −+ 3) J = dx x x ∫ − + 1 0 34 2 KQ: J = 9 4ln103 +− 4) K = dx x xx ∫ − 2 1 2 23 52 KQ: K = – 2 5) M = ∫ 12 0 5sin.7sin π xdxx KQ: M = 8 1 6) N = 4 1 2x dx− ∫ KQ: N = 5 2 7) P = 3 2 0 sin 3xdx π ∫ KQ: P = 6 π 5 Trường THPT Nguyễn Huệ 8) Q = 4 2 0 tan xdx π ∫ KQ: 1 4 π − 9) R = /4 2 2 /6 sin .cos dx x x π π ∫ KQ: 2 3 3 II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( ) b a f x dx ∫ 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm Đổi cận: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai Đổi cận. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ 4: Tính tích phân a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ Giải: a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ + Đặt x = 2sint , t ; 2 2 π π   ∈ −     (u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt + Đổi cận: x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0 x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒ sint = 1 ⇒ t = 2 π + I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ = 2 2 0 4 4sin .2cott dt π − ∫ = 4 2 2 0 1 sin .cott dt π − ∫ = 4 2 2 0 cos .costt dt π ∫ =4 2 2 0 cos tdt π ∫ I 1 = 2 2 0 (1 cos 2 )t dt π + ∫ = 2 2 0 1 sin2 2 t t π   +  ÷   = π Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số π là 3,141592654. + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2 0 a a x dx− ∫ , đặt x = asint , t ; 2 2 π π   ∈ −     (u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt rồi thực hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ. b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ 6 Trường THPT Nguyễn Huệ + Đặt x = 3tant, t ; 2 2 π π   ∈ −  ÷   ⇒ dx = 3(1 +tan 2 t)dt + Đổi cận: x = 0 ⇒ 3tant = 0 ⇒ tant = 0 ⇒ t = 0 x = 3 ⇒ 3tant = 3 ⇒ tant = 1 ⇒ t = 4 π + I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ = 2 4 2 0 3(1 tan ) 9 9tan t dt t π + + ∫ = 2 4 2 0 3(1 tan ) 9(1 tan ) t dt t π + + ∫ = 1 3 4 0 dt π ∫ = 1 3 4 0 t π = 1 3 . 4 π = 12 π Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2 0 1 a dx a x+ ∫ , đặt x = atant , t ; 2 2 π π   ∈ −  ÷   ⇒ dx = a(1 + tan 2 t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự. 2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm Đổi cận: Nếu hai Đổi cận là α và β thì α =u(a) β = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ c) J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ Giải: a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ + Đặt u = x 2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 1 2 du + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 2 = 1; x = 2 ⇒ u = 2 2 = 4 ( α = 1, β = 4) + J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ = 4 1 1 2 u e du ∫ = 1 2 4 1 u e = 1 2 ( e 4 – e 1 ) = 1 2 ( e 4 – e) 7 Trường THPT Nguyễn Huệ + Vậy J 1 = 1 2 ( e 4 – e) b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ + Đặt u = 1 ln x+ ⇒ u 2 = 1 + lnx ⇒ 2udu = 1 x dx + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2 + J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ = 2 1 u.2udu ∫ = 2 3 2 3 1 u = 2 3 3 3 ( 2) 1− ) = 2 (2 2 1) 3 − + Vậy J 2 = 2 (2 2 1) 3 − Ghi nhớ: • Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx ⇒ du = 1 x dx • ln1 = 0 và lne = 1 c) J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ + Đặt u = x 4 – 1 ⇒ du = 4x 3 dx ⇒ x 3 dx = 1 4 du + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 – 1 = –1; x = 1 ⇒ u = 1 4 – 1 = 0 + J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ = 0 5 1 1 4 u du − ∫ = 1 4 0 6 1 6 u − = 1 24 − + Vậy J 3 = 1 24 − d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ + Đặt u = 2 4 x− ⇒ u 2 = 4 – x 2 ⇒ 2udu = – 2xdx ⇒ xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2 4 0− = 2; x = 2 ⇒ u = 2 4 2− = 0 + J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ = 0 2 u.( )u du− ∫ = 0 2 2 u du− ∫ = 1 3 2 3 0 u = 8 3 + Vậy J 4 = 8 3 e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ + Đặt u = 1 + sinx ⇒ du = cosxdx + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 +sin0 = 1; x = 2 π ⇒ u = 1 + sin 2 π = 2 8 Trường THPT Nguyễn Huệ + J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ = 2 4 1 du u ∫ = 2 4 1 u du − ∫ = 1 3− 2 3 1 u − = 7 24 + Vậy J 5 = 7 24 • Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I = dxxx ∫ + 6 0 cos.sin41 π KQ: I = 6 133 − b) J = dxxx ∫ − 2 0 2 3 3 .8 KQ: J = –4 c) K = dxxe x ∫ − 1 0 2 KQ: K = e e 2 1− d) L = ∫ + e x dxx 1 )ln3( KQ: L = 8 13 e) M = ∫ + 21 0 2 7 x dx KQ: M = 73 π g) N = ∫ + 1 0 2 x x e dxe KQ: N = ln 3 2 e+ h) P = 1 2010 0 ( 1)x x dx− ∫ KQ: P = 1 4046132 (Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10 -7 ) 2) Tính các tích phân: a) I 1 = 2 0 (2sin 3)cosx xdx π + ∫ KQ: 4 b) J 1 = 2 2 1 3x x dx+ ∫ KQ: 7 7 8 3 − c) P = 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ KQ: 2ln3 d) Q= 2 4 2 0 5 tan cos x dx x π + ∫ KQ: 16/3 e) L 1 = 2 1 1 3ln ln e x xdx x + ∫ KQ: 116/135 g) N 1 = 2 1 1 x x e dx e − ∫ KQ: ln(e+1) 9 Trường THPT Nguyễn Huệ III) Phương pháp tích phân từng phần: • Công thức: b b b a a a udv uv vdu = − ∫ ∫ • Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ). ( ) b a I P x Q x dx= ∫ Dạng hàm P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx P(x): Đa thức Q(x):e kx P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) P(x): Đa thức Q(x): 2 1 sin x hay 2 1 cos x Cách đặt * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân * u = ln(ax + b) * dv = P(x)dx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân Ví dụ 6: Tính các tích phân a) I 1 = /4 0 2 cos2x xdx π ∫ b) I 2 = 1 2 0 ( 1) x x e dx+ ∫ c) I 3 = 3 2 2 ln( 1)x x dx − ∫ Giải: a) I 1 = /4 0 2 cos2x xdx π ∫ • Đặt: u = 2x ⇒ du = 2dx; dv = cos2xdx ⇒ v = 1 2 sin2x • I 1 = /4 0 2 cos2x xdx π ∫ = /4 0 .sin2x x π – /4 0 sin 2xdx π ∫ = /4 0 1 sin 0 cos2 4 2 2 x π π π − + = 1 (cos cos0) 4 2 2 π π + − = 1 4 2 π − Vậy: I 1 = 1 4 2 π − b) I 2 = 1 2 0 ( 1) x x e dx+ ∫ • Đặt: u = x +1 ⇒ du = dx; dv = e 2x dx ⇒ v = 1 2 e 2x 10 [...]... các hàm số : y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1 π /2 b Tính tích phân: I = ∫ 0 sin 2 x dx 4 − cos 2 x (TNTHPT năm 2006) e ln 2 x dx Bài 6: Tính tích phân J = ∫ x 1 (TNTHPT năm 2007) 1 2 3 4 Bài 7: Tính tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx (TNTHPT năm 2008) −1 π Bài 8: Tính tích phân I = ∫ x(1 + cos x)dx (TNTHPT năm 2009) 0 1 2 2 Bài 9: Tính tích phân I = ∫ x (x − 1) dx ( TNTHPT năm 2010 0 14 ... – x2 và y = x Giải: • Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 và x = -2 b • Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ∫ f ( x) − g ( x) dx thì S = • Vậy S = ∫ 1 x 2 + x − 2 dx = −2 ∫ (x 2 + x − 2)dx = −2 3 ∫ x 2 + x − 2 dx −2 a 1 1 1 2 x x 9 + − 2x = (đvdt) 3 2 2 −2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngồi tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân. .. các tích phân: 1 x ∫ ( x + 3)e dx a) I 1= KQ: I = −1 e b) I2 = ∫ (1 − 2 x) ln xdx c) I3 = KQ: 1 π 4 xdx ∫ cos 2 x 0 e 1 1− e2 2 KQ: M = 2 ln x dx x2 ∫ d) I4 = 3e 2 − 1 e π – ln 2 4 KQ: N = 2(1 – 2 ) e 2) Tính các tích phân: π 2 KQ: π 8 KQ: a) K1= ∫ x.cos x.sin xdx 3 1 − ln 2 16 8 0 2 b) K2 = ln x dx x3 1 ∫ 1 x c) K3 = ∫ e dx KQ: J = 2 0 e 2 d) K4 = ∫ x ln xdx KQ: 1 2e3 + 1 9 IV) Ứng dụng tích phân. .. trục Ox: a) (P): y 2 = 8x và x = 2 KQ: 16 π đvtt 162π b) y = x2 và y = 3x KQ: đvtt 5 KQ: S = V) Đề thi tốt nghiệp THPT các năm trước có liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2002 ) 1 x 3 + 3x 2 + 3x − 1 Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = , biết F(1) = 3 x 2 + 2x + 1 2 2x − 10x − 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn... thò hàm số y= và trục hoành Ox x+2 (TNTHPT năm 2003 ) 1 Bài 3: Cho hàm số y = x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và 3 các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox (TNTHPT năm 2004 ) π /2 ∫ ( x + sin Bài 4: Tính tích phân: I = 2 (TNTHPT năm 2005 ) x) cos x.dx 0 Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số : y = ex, y = 2 và đường thẳng... e dx KQ: J = 2 0 e 2 d) K4 = ∫ x ln xdx KQ: 1 2e3 + 1 9 IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và b y = 0 (trục hồnh) được tính bởi: S = ∫ f ( x) dx (1) a • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục); x = b a; x=... đổi dấu trên [a; b] tức là biểu thức dưới dấu tích phân khơng có nghiệm trên ( a; b) 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi các đường y = f(x); x = a; x = b; y = 0 khi xoay b 2 quanh trục Ox được tính bởi: V = π ∫ f ( x) dx (3) a Ví dụ 10: a) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x – x 2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình... = 0 và x = 2 b 2 • Gọi V là thể tích cần tính.Áp dụng cơng thức: V = π ∫ f ( x) dx a 2 0 0 0 5 4 x 2 2 2 2 3 4 Ta có V = π ∫ (2 x − x ) dx = π ∫ (4 x − 4 x + x )dx = π ( x3 − x 4 + ) 0 = 3 2 5 16π (đvtt) 15 3 b) Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = – x và y = x Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bởi hình phẳng đó khi nó quay quanh trục Ox Giải: • Phương trình – x2 = x3 ⇔ x = 0 và x... = • Các bài tập tự luyện: 2 (đvtt) 35 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x 2 + 4x và trục hoành 32 đvdt 3 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x 2 và y = – x – 2 9 KQ: S = đvdt 2 3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y = 5x 4 – 3x2 – 8, trục Ox trên [1; 3] KQs: S = 200 đvdt 4) Tính thể tích các hình tròn xoay sinh bởi các hình phẳng giới... • Gọi V1 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 2 2 y = – x , x = 0, x = –1 và trục Ox khi hình phẳng đó quay quanh Ox: V1 = π ∫ (− x ) dx = 2 −1 1 5 • Gọi V2 là thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi các đường 0 3 2 y = x , x = 0, x = -1 và trục Ox…: V2 = π ∫ ( x ) dx = 3 −1 13 1 7 Trường THPT Nguyễn Huệ Vậy thể tích V cần tính . ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và y =. ngoài tích phân nếu biểu thức dưới dấu tích phân không đổi dấu trên [a; b] tức là biểu thức dưới dấu tích phân không có nghiệm trên ( a; b) 2) Thể tích vật thể tròn xoay: Cơ sở lí thuyết: Thể tích