dccthd@gmail.com Chuyên đề Tích phân Trang 1 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x − Đặt x = |a| sint; với ; 2 2 t π π ∈ − hoặc x = |a| cost; với [ ] 0; t π ∈ 2 2 x a − Đặt x = a sint ; với { } ; \ 0 2 2 t π π ∈ − hoặc x = a cost ; với [ ] 0; \ 2 t π π ∈ 2 2 a x + Đặt x = |a|tant; với ; 2 2 t π π ∈ − hoặc x = |a|cost; với ( ) 0; t π ∈ a x a x + − hoặc a x a x − + Đặt x = acos2t ( )( ) x a b x − − Đặt x = a + (b – a)sin 2 t 2 2 1 a x + Đặt x = atant; với ; 2 2 t π π ∈ − Bài 1: Tính 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ Giải: Đặt x = cost, ; 2 2 t π π ∈ − . ⇒ dx = - sint dt Đổi cận: x 2 2 4 π t 1 0 Khi đó: 1 2 2 2 2 1 x I dx x − = ∫ = 0 2 2 4 1 os . c t sint dt cos t π − − ∫ = 4 2 0 sin .sin t t dt cos t π ∫ = 2 4 2 0 sin t dt cos t π ∫ = 4 2 0 1 1 dt cos t π − ∫ = = ( ) tan 4 0 t t π − = 1 4 π − . (vì 0; 4 t π ∈ nên sint 0 sin sin t t ≥ ⇒ = ) Bài 2: Tính 2 2 2 0 a I x a x dx = − ∫ ĐS: 4 16 a π Bài 3: Tính 1 2 2 0 1 I x x dx = − ∫ ĐS: 16 π Bài 4: Tính 1 3 2 0 1 I x x dx = − ∫ ĐS: 2 . 15 Bài 5: Tính 2 5 ln e e dx I x x = ∫ ĐS: 15 64 dccthd@gmail.com Chuyên đề Tích phân Trang 2 Bài 6: Tính ( ) 1 4 3 4 0 1 I x x dx = + ∫ ĐS: 31 20 Bài 7: Tính 2 5 0 sin I xcoxdx π = ∫ ĐS: 1 6 Bài 8: Tính 12 4 0 tan I xdx π = ∫ ĐS: 1 ln 2 2 Bài 9: Tính 2 5 0 I cos xdx π = ∫ ĐS: 5 18 Bài 10: Tính 4 4 0 1 I dx cos x π = ∫ ĐS: 4 3 Bài 11: Tính 3 2 2 6 s cos x I dx in x π π = ∫ ĐS: 1 2 Bài 12: Tính 2 3 3 0 sin I xcos xdx π = ∫ ĐS: 1 12 Bài 13: Tính 2 2 sin 0 sin 2 x I e xdx π = ∫ ĐS: 1 e − Bài 14: Tính 2 2 0 sin 2 1 x I dx cos x π = + ∫ ĐS: ln 2 Bài 15: Tính 4 3 0 tan I xdx π = ∫ ĐS: 1 (1 ln 2) 2 − Bài 16: Tính 1 0 1 1 I dx x = + ∫ ĐS: 2(1 ln 2) − Bài 17: Tính 1 33 4 0 1 I x x dx = − ∫ ĐS: 3 16 Bài 18: Tính 0 2 1 1 2 4 I dx x x − = + + ∫ ĐS: 3 . 18 π Bài 19: Tính 1 3 8 0 1 x I dx x = + ∫ ĐS: . 16 π Bài 20: Tính 1 1 ln e x I dx x + = ∫ ĐS: ( ) 2 2 2 1 . 3 − Bài 21: Tính ( ) 1 0 ln 2 2 x I dx x − = − ∫ ĐS: 2 ln 2 . 2 Bài 22: Tính 2 2 0 1 sin cosx I dx x π = + ∫ ĐS: 4 π Bài 23: Tính 2 3 1 sin I dx x π π = ∫ ĐS: 1 ln3 2 Bài 24: Tính ( ) 1 1 1 ln e I dx x x = + ∫ ĐS: ln 2 Bài 25: Tính 3 1 5 0 x I x e dx = ∫ ĐS: 1 3 Bài 26: Tính 1 5 2 2 4 2 1 1 1 x I dx x x + + = − + ∫ ĐS: 4 π Bài 27: Tính 4 2 0 sin 4 1 x I dx cos x π = + ∫ ĐS: 4 2 6ln 3 − Bài 28: Tính 2 4 1 sin 2 dx I x π π = + ∫ ĐS: 1 2 Bài 29: Tính ( ) 4 3 0 s 2 sin 2 co x I dx x cosx π = + + ∫ ĐS: ( ) 4 2 5 18 2 1 − + Bài 30: Tính 4 0 s 2 sin 2 co x I dx x cosx π = + + ∫ ĐS: 3 2 1 2ln 2 2 − + + Bài 31: Tính ( ) 2 3 2 0 sin 2 1 sin I x x dx π = + ∫ ĐS: 15 4 Bài 32: Tính ( ) 2 2 0 sin 1 I xcosx cosx dx π = + ∫ ĐS: 17 12 Bài 33: Tính 2 2 2 2 2 0 sin sin xcosx I dx a cos x b x π = + ∫ ĐS: 1 a b + dccthd@gmail.com Chuyên đề Tích phân Trang 3 Bài 34: Tính 2 3 0 1 3 2 x I dx x + = + ∫ ĐS: 37 4 2 15 − Bài 35: Tính 4 2 7 9 dx I x x = + ∫ ĐS: 1 7 ln 6 4 Bài 36: Tính 4 0 1 tan dx I x π = + ∫ ĐS: ln 2 8 4 π + Bài 37: Tính 2 3 sin dx I x π π = ∫ ĐS: 1 ln 3 2 Bài 38: Tính 1 2 0 sin x x I dx cos x + = ∫ ĐS: 3 ln 2 1 3 π − + Bài 39: Tính 1 3 2 0 1 x I dx x x = + + ∫ ĐS: 1 2 2 15 15 − + Bài 40: Tính 1 1 5 4 x I dx x − = − ∫ ĐS: 1 6 Bài 41: Tính 9 3 1 1 I x xdx = − ∫ ĐS: 468 7 − Bài 42: Tính 3 6 sin sin 6 dx I x x π π π = + ∫ ĐS: 3 ln 2 Bài 43: Tính 1 2 0 3 x dx I e = + ∫ ĐS: 2 1 3 2 ln 6 4 e + − Bài 44: Tính ( ) 1 2 2 11 5 dx I x − = + ∫ ĐS: 1 6 Bài 45: Tính ( ) 1 sin ln e x I dx x = ∫ ĐS: 1 1 cos − Bài 46: Tính 5 2 3 9 I x dx = − ∫ ĐS: 31 9 ln3 3 2 − Bài 47: Tính ( ) 4 2 12 1 sin I dx x cosx π π − = + ∫ ĐS: 3 2 Bài 48: Tính 1 0 sin I xdx = ∫ ĐS: ( ) 2 sin1 1 cos − PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e ax trong đó P(x) là một đa thức Đặt ( ) u P x dv = = Tích phân các hàm số dạng P(x)lnx trong đó P(x) là một đa thức Đặt ln u x dv = = Bài 1: Tính 1 2 0 x I xe dx = ∫ Đặt 2 2 1 2 x x du dx u x v e dv e dx = = ⇒ = = Áp dụng công thức tính tích phân từng phần: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 0 0 2 2 2 4 2 4 2 4 4 x x x x x e I xe dx xe e dx e e d x e e e e + = = − = − = − = − − = ∫ ∫ ∫ Bài 2: Tính 3 2 0 x I dx cos x π = ∫ ĐS: 3 ln 2 3 π − Bài 3: Tính 1 2 0 x I x e dx = ∫ ĐS: e - 2 dccthd@gmail.com Chuyên đề Tích phân Trang 4 Bài 4: Tính ( ) 1 3 0 3 1 x I x e dx − = + ∫ ĐS: 3 2 5 3 e − Bài 5: Tính 2 2 0 sin I x xdx π = ∫ ĐS: 2 4 16 π + Bài 6: Tính 2 sin 0 sin 2 x I e xdx π = ∫ ĐS: 2 Bài 7: Tính ( ) 1 4 1 ln e I x xdx = + ∫ ĐS: 2 2 e + Bài 8: Tính ( ) 1 2 0 ln 1 I x x dx = + ∫ ĐS: 1 ln 2 2 − Bài 9: Tính ( ) 2 6 ln sin I cosx x dx π π = ∫ ĐS: ( ) 1 ln 2 1 2 − Bài 10: Tính 3 2 4 sin xdx I x π π = ∫ ĐS: ( ) 9 4 3 1 3 ln 36 2 2 π − + Bài 11: Tính 2 0 cos x I e xdx π = ∫ ĐS: 2 1 2 e π − Bài 12: Tính 2 0 1 sin . 1 osx x x I e dx c π + = + ∫ ĐS: 2 e π TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH GIÁN TIẾP Dùng đối với hàm số đối xứng với sinx, cosx sin sin( ) cos 2 2 x t x t t π π = − ⇔ = − = Bài 1: Tính 2 0 sin sin x I dx x cosx π = + ∫ ĐS: 4 I π = Bài 2: Tính 3 2 3 3 0 sin sin x I dx x cos x π = + ∫ ĐS: 4 I π = Bài 3: Tính các tích phân: 1 0 x x x e I dx e e − = + ∫ và 1 0 x x x e I dx e e − − = + ∫ Ta có: 1 0 1 I J dx + = = ∫ ( ) ( ) 1 1 2 1 0 0 1 1 ln ln ln 2 ln 0 2 x x x x x x x x x x d e e e e e I J dx e e e e e e e e e − − − − − − + − + − = = = + = + − = + + ∫ ∫ Từ đó suy ra: 2 1 1 1 ln 2 2 e I e + = + và 2 1 2 1 ln 2 1 e J e = + + Bài 4: Tính 2 0 1 sinx ln 1+cosx I dx π + = ∫ ĐS: 0 I = Bài 5: Tính 6 2 6 6 0 sin sin x I dx x cos x π = + ∫ ĐS: 4 I π = Bài 6: Tính ( ) 2 0 sin sin I x nx dx π = + ∫ ĐS: 0 I = Bài 7: Tính ( ) 2 3 0 4sin sin x I dx x cosx π = + ∫ ĐS: 2 I = . 1 cos − PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Tích phân các hàm số dạng P(x)sinax; P(x)cosax; P(x)e ax trong đó P(x) là một đa thức Đặt ( ) u P x dv = = Tích phân các hàm số dạng. ĐS: 2 . 15 Bài 5: Tính 2 5 ln e e dx I x x = ∫ ĐS: 15 64 dccthd@gmail.com Chuyên đề Tích phân Trang 2 Bài 6: Tính ( ) 1 4 3 4 0 1 I x x dx = + ∫ ĐS: 31 20 Bài 7: Tính 2 5 0 sin I. 2 2 2 2 2 0 sin sin xcosx I dx a cos x b x π = + ∫ ĐS: 1 a b + dccthd@gmail.com Chuyên đề Tích phân Trang 3 Bài 34: Tính 2 3 0 1 3 2 x I dx x + = + ∫ ĐS: 37 4 2 15 − Bài 35: Tính