Giải tích 11

Trường THPT Ba Chúc Giáo viên: Trần Văn Trọng CHUYÊN ĐỀ 1: LƯỢNG GIÁC I. CÔNG THỨC 1. Công thức lượng giác cơ bản ( ) 2 2 2 2 2 2 1 sin os 1 1 tan , ( ) os 2 1 tan .cot 1, ( ) 1 cot , 2 sin a c a a a k k c a a a a k k a a k k a π π π π π + = + = ≠ + ∈ = ≠ + ∈ + = ≠ ∈ ¢ ¢ ¢ 2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt a. Cung đối: àv α α − ( ) ( ) ( ) ( ) os os tan tan sin sin cot cot c c α α α α α α α α − = − = − − = − − = − b. Cung bù: àv α π α − ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin tan tan os os cot cotc c π α α π α α π α α π α α − = − = − − = − − = − c. Cung phụ: à 2 v π α α − sin os tan cot 2 2 os sin cot tan 2 2 c c π π α α α α π π α α α α     − = − =  ÷  ÷         − = − =  ÷  ÷     d. Cung hơn kém ( ) : àv π α α π + ( ) ( ) ( ) ( ) sin sin tan tan os os cot cotc c α π α α π α α π α α π α + = − + = + = − + = Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém π tan và cot 3. Công thức cộng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) os cos .cos sin .sin os cos .cos sin .sin sin sin .cos cos .sin sin sin .cos cos .sin tan tan tan 1 tan .tan tan tan tan 1 tan .tan c a b a b a b c a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b − = + + = − − = − + = + − − = − + + = + Chú ý: sin bằng sin.cos , cos.sin ; cos bằng cos.cos , sin.sin giữa trừ ; tan bằng tan tổng chia 1 trừ tích tan. 4. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 2 2 tan sin 2 2sin .cos os2 os sin 2cos 1 1 2sin tan 2 1 tan a a a a c a c a a a a a a = = − = − = − = − 5. Công thức hạ bậc 2 2 2 1 os2 1 os2 1 os2 sin os tan 2 2 1 os2 c a c a c a a c a a c a − + − = = = + Trang 1 Trường THPT Ba Chúc Giáo viên: Trần Văn Trọng 6. Công thức nhân ba 3 3 3 2 3tan tan sin 3 3sin 4sin os3 4cos 3cos tan 3 1 3tan a a a a a c a a a a a − = − = − = − 7. Công thức biến đổi tổng thành tích ( ) ( ) cos cos 2cos os cos cos 2sin sin 2 2 2 2 sin sin 2sin os sin sin 2 os sin 2 2 2 2 sin sin tan tan , , tan tan , , cos .cos 2 cos .cos 2 a b a b a b a b a b c a b a b a b a b a b a b c a b c a b a b a b a b k k a b a b k k a b a b π π π π + − + − + = − = − + − + − + = − = + −     + = ≠ + ∈ − = ≠ + ∈  ÷  ÷     ¢ ¢ 8. Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos .cos os os 2 1 sin .sin os os 2 1 sin .cos sin sin 2 a b c a b c a b a b c a b c a b a b a b a b = + + −    = − + − −    = + + −     9. Công thức tính theo tan 2 t α = 2 2 2 2 2 1 2 sin cos tan , 1 1 1 2 2 t t t a a a a k k t t t π π −   = = = ≠ + ∈  ÷ + + −   ¢ 11. Bảng giá trị lượng giác của các cung đặc biệt Cung ( ) 0 0 0 0 30 6 π    ÷   0 45 4 π    ÷   0 60 3 π    ÷   0 90 2 π    ÷   0 2 120 3 π    ÷   0 3 135 4 π    ÷   0 5 150 6 π    ÷   ( ) 0 180 π sin 0 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 cos 1 3 2 2 2 1 2 0 1 2 − 2 2 − 3 2 − 1− tan 0 1 3 1 3 ║ 3− 1− 1 3 − 0 cot ║ 3 1 1 3 0 1 3 − 1− 3− ║ Chú ý: • sin 2 n α = với 0 0 0 0 0 0 ; 30 ; 45 ; 60 ; 90 α = ứng với n =0; 1; 2; 3; 4 . • Công thức đổi từ độ sang radian và ngược lại: 0 0 a 180 α π = Trang 2 Trường THPT Ba Chúc Giáo viên: Trần Văn Trọng 11. Đường tròn lượng giác II. CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP 1. Phương trình sin x a= 1a⊕ > : Phương trình vô nghiệm 1a⊕ ≤ • ( ) 2 sin sin 2 x k x k x k α π α π α π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ • ( ) 0 0 0 0 0 0 360 sin sin 180 360 x k x k x k β β β  = + = ⇔ ∈  = − +  ¢ • ( ) sin 2 sin sin 2 x arc a k x a k x arc a k π π π = +  = ⇔ ∈  = − +  ¢ Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 sin sin 2 f x g x k f x g x k f x g x k π π π = + = ⇔ ∈  = − +   ¢ * Các trường hợp đặc biệt Trang 3 Trường THPT Ba Chúc Giáo viên: Trần Văn Trọng ( ) ( ) ( ) sin 1 2 2 sin 1 2 2 sin 0 x x k k x x k k x x k k π π π π π ⊕ = ⇔ = + ∈ ⊕ = − ⇔ = − + ∈ ⊕ = ⇔ = ∈ ¢ ¢ ¢ 2. Phương trình cos x a= 1a⊕ > : Phương trình vô nghiệm 1a⊕ ≤ • ( ) os os 2c x c x k k α α π = ⇔ = ± + ∈¢ • ( ) 0 0 0 os os 360c x c x k k β β = ⇔ = ± + ∈¢ • ( ) os os 2c x a x arcc a k k π = ⇔ = ± + ∈¢ Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) os os 2c f x c g x f x g x k k π = ⇔ = ± + ∈¢ * Các trường hợp đặc biệt ( ) ( ) ( ) os 1 2 os 1 2 os 0 2 c x x k k c x x k k c x x k k π π π π π ⊕ = ⇔ = ∈ ⊕ = − ⇔ = + ∈ ⊕ = ⇔ = + ∈ ¢ ¢ ¢ 3. Phương trình tan x a= ( ) ( ) ( ) 0 0 0 tan t an x = + k tan t an x = + k180 tan x = arctan +k x k x k x a a k α α π β β π ⊕ = ⇔ ∈ ⊕ = ⇔ ∈ ⊕ = ⇔ ∈ ¢ ¢ ¢ Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) tan tanf x g x f x g x k k π = ⇔ = + ∈¢ 4. Phương trình cot x a= ( ) ( ) ( ) 0 0 0 cot cot x = +k cot cot x = + k180 cot x =arccot + k x k x k x a a k α α π β β π ⊕ = ⇔ ∈ ⊕ = ⇔ ∈ ⊕ = ⇔ ∈ ¢ ¢ ¢ Tổng quát: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ot otc f x c g x f x g x k k π = ⇔ = + ∈¢ 5. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: là phương trình có dạng at+b = 0 trong đó a,b là các hằng số ( ) 0a ≠ và t là một trong các hàm số lượng giác. Ví dụ: 1 2sin 1 0; os2 0; 3tan 1 0; 3 cot 1 0 2 x c x x x− = + = − = + = Phương pháp: Đưa về phương trình lượng giác cơ bản. 6. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là phương trình có dạng 2 0at bt c+ + = , trong đó a, b, c là các hằng số ( ) 0a ≠ và t là một trong các hàm số lượng giác. Ví dụ: 2 2sin sin 3 0x x+ − = là phương trình bậc hai đối với sin x . 2 os 2 3cos 2 1 0c x s x+ − = là phương trình bậc hai đối với os2c x . 2 2 tan tan 3 0x x− − = là phương trình bậc hai đối với tan x . 2 3cot 3 2 3 cot 3 3 0x x− + = là phương trình bậc hai đối với cot 3x . Phương pháp: Đặt ẩn phụ t là một trong các hàm số lượng giác đưa về phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa về phương trình lượng giác cơ bản (chú ý điều kiện 1 1t− ≤ ≤ nếu đặt t bằng sin hoặc cos). Trang 4 Trường THPT Ba Chúc Giáo viên: Trần Văn Trọng 7. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx: là phương trình có dạng ( ) 2 2 .sin .sin cos . os , , 0a x b x x c c x d a b c+ + = ≠ Phương pháp: ⊕ Kiểm tra cos 0x = có là nghiệm không, nếu có thì nhận nghiệm này. ⊕ cos 0x ≠ chia cả hai vế cho 2 cos x đưa về phương trình bậc hai theo tan x ( ) 2 tan tan 0a d x b x c d− + + − = 8. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x : là phương trình có dạng sin cosa x b x c + = trong đó , ,a b c ∈¡ và 2 2 0a b+ ≠ Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho 2 2 a b+ ta được: 2 2 2 2 2 2 sin cos a b c x x a b a b a b + = + + + • Nếu 2 2 1 c a b > + : Phương trình vô nghiệm. • Nếu 2 2 1 c a b ≤ + thì đặt 2 2 2 2 os sin a b c a b a b α α = ⇒ = + + (hoặc 2 2 2 2 sin os a b c a b a b α α = ⇒ = + + ) Đưa phương trình về dạng: ( ) 2 2 sin c x a b α + = + (hoặc ( ) 2 2 os c c x a b α − = + ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản. Chú ý: Phương trình sin cosa x b x c + = trong đó , ,a b c ∈¡ và 2 2 0a b+ ≠ có nghiệm khi 2 2 2 c a b≤ + . III. BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau: a. 1 sin 3 2 x = b. 3 os2 2 c x = − c. ( ) 0 1 tan 30 3 x + = − d. 1 cot 5 8 5 x π   − =  ÷   e. sin 2 sin 4 x x π   = −  ÷   f. cot 2 cot 5 3 4 x x π π     + = −  ÷  ÷     g. ( ) ( ) 0 0 os 2 20 sin 60c x x+ = − h. tan cot 2 6 3 x x π π     + = − −  ÷  ÷     i. 2 1 tan 5 3 x = 2. Giải các phương trình sau: a. 2sin 3 3 0 6 x π   + − =  ÷   b. 2 cos 2 os2x=0x c− c. ( ) tan 1 cos 0x x+ = d. 2 2sin sin 3 0x x+ − = e. 2 4sin 4cos 1 0x x+ − = f. tan 2cot 3 0x x + − = g. 4 2 2cot 6cot 4 0x x− + = h. 4 4 sin os cos 2x c x x− = − i. ( ) 2 1 os4 sin 4 2 sin 2c x x x− = j. 2 2 3sin 2sin cos os 0x x x c x− + = k. 2 2 cos sin 3 sin 2 1x x x− − = l. 2 2 1 sin 2 sin 4 2cos 2 2 x x x+ − = 3. Giải các phương trình sau: a. 3sin 4cos 5x x+ = b. 2sin 2 2cos 2 2x x− = c. 2sincos3 =− xx d. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = e. cos2 9cos 5 0x x + + = f. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− Trang 5 . = + ) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản. Chú ý: Phương trình sin cosa x b x c + = trong đó , ,a b c ∈¡ và 2 2 0a b+ ≠ có nghiệm khi 2 2 2 c a b≤ + . III. BÀI TẬP 1. Giải các phương. os3 4cos 3cos tan 3 1 3tan a a a a a c a a a a a − = − = − = − 7. Công thức biến đổi tổng thành tích ( ) ( ) cos cos 2cos os cos cos 2sin sin 2 2 2 2 sin sin 2sin os sin sin 2 os sin 2 2 2 2 sin. = − + − + − + = − = + −     + = ≠ + ∈ − = ≠ + ∈  ÷  ÷     ¢ ¢ 8. Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos .cos os os 2 1 sin .sin os os 2 1 sin .cos sin sin 2 a