VẤN ĐỀ 1 : CỰC TRỊ . LÝ THUYẾT : A QUY TẮC I : ( Dùng bảng biến thiên ) f’( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x 0 thì x 0 gọi là điểm cực đại của hàm số . f’( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x 0 thì x 0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số . Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x 0 gọi là đạt cực trò tại x 0 , khi đó f(x 0 ) gọi là giá trò cực trò của hàm số , điểm (x 0 , f(x 0 ) ) gọi là điểm cực trò của đồ thò hàm số . CHÚ Ý : Thông thường cực trò là nghiệm đơn của đạo hàm . A QUY TẮC II : ( Dùng đạo hàm cấp hai ) x 0 là điểm cực đại của hàm số ⇔ ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x = < x 0 là điểm cực tiểu của hàm số ⇔ ( ) ( ) 0 0 ' 0 '' 0 f x f x = > AQUY TẮC TÍNH GIÁ TRỊ CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC : Cho hàm số y = f( x ) = ( ) ( ) u x v x . Với ( ) u x và ( ) v x có đạo hàm tại x 0 , ( ) 0 ' 0v x ≠ . Ta có x 0 là cực trò thì giá trò cực trò y 0 = f(x 0 ) = ( ) ( ) 0 0 u x v x = ( ) ( ) 0 0 ' ' u x v x A CÁC CÔNG THỨC KHÁC : 1. Hàm số đạt cực đại bằng y 0 khi x = x 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0 '' 0 f x f x y f x = < = 2. Hàm số đạt cực tiểu bằng y 0 khi x = x 0 ⇔ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 ' 0 '' 0 f x f x y f x = > = 3. Hàm số đạt cực trò bằng y 0 khi x = x 0 ⇔ ( ) ( ) = = 0 0 0 0 0 ' 0 và f'(x ) đổi dấu khi qua x f x y f x Tìm m để hàm số có cực trò thỏa điều kiện cho trước . VẤN ĐỀ 2 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f( x ) trên tập D A Phương pháp chung : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D A Đặc biệt : Nếu D = [a;b] ta thực hiện : + Tính y’ và tìm các điểm x 1 ; x 2 … của hàm số thuộc [ a ; b ]mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác đònh . + Tính f(x 1 ) , f(x 2 ) . . . .và f(a) , f(b) . + So sánh các giá trò trên và đưa ra kết luận . Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 1 VẤN ĐỀ 3 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG Phương pháp :Cho hai đường (C 1 ) : y = f( x ) (C 2 ) : y = g( x ) Để xét vò trí tương đối của (C 1 ) và (C 2 ) ta thực hiện : B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) f( x ) = g( x ) (1) B2 : Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của (C 1 ) và (C 2 ) A CHÚ Ý : i. Phương trình bậc hai : f(x) = ax 2 + bx + c = 0 • Phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 0 0 a ≠ ∆ > • Dấu của nghiệm số 1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ P = c a < 0 . 2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt dương ⇔ 0 0 0 P S ∆ > > > 3. Phương trình có hai nghiệm phân biệt âm ⇔ 0 0 0 P S ∆ > > < 4. Phương trình có hai nghiệm cùng dấu ⇔ 0 0P ∆ ≥ > ii. Phương trình bậc ba đặc biệt : ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (a ≠ 0 ) Đoán một nghiệm x 0 và biến đổi phương trình về dạng ; (x – x 0 ) . (a’x 2 + b’x + c’) = 0 (I) ⇔ ( ) 0 2 ' ' ' 0* x x g x a x b x c = = + + = Điều kiện phương trình bậc ba trên có 3 nghiệm phân biệt là : ( ) ∆ > ≠ 0 0 0g x A LƯU Ý : Có những bài ta nên dựa vào BBT hoặc đồ thò thì giải quyết dễ dàng hơn VẤN ĐỀ 4 :TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) . I) Điều kiện tiếp xúc của hai đường Cho ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 : : C y f x C y g x = = Ta có ( ) 1 C tiếp xúc ( ) 2 C ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' f x g x f x g x = ⇔ = có nghiệm II) Các dạng tiếp tuyến DẠNG 1 : TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ( x 0 ; y 0 ) ∈ ( C ) Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 2 Phương pháp : Tìm x 0 , y 0 và f’( x 0 ) Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x 0 ). (x – x 0 ) + y 0 DẠNG 2 : TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM A(x A ; y A ) Phương pháp : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến B1: Chỉ dạng : phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k ( x – x A ) + y A B2 : Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C ) ( ) ( ) ( ) ' f x g x f x k = = nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm Giải hệ phương trình này ta tìm được x ⇒ k ⇒ phương trình tiếp tuyến DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC ( Hoặc song song , vuông góc đường thẳng cho trước ) Phương pháp : Gọi ( x 0 ; y 0 ) là tiếp điểm Dùng ý nghóa hình học của đạo hàm ⇒ f’( x 0 ) = k . Giải phương trình này ta tìm x 0 ⇒ y 0 Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x 0 ). (x – x 0 ) + y 0 Chú ý : i. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x ii. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x iii. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau . iv. Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 . Tức là nếu đường thẳng ∆ có hệ số góc a thì : + Đường thẳng d song song với ∆ ⇒ d có hệ số góc k = a + Đường thẳng d vuông góc với ∆ ⇒ d có hệ số góc k = 1 a − Vấn đề 5 : MŨ - LƠGARIT 1. a n = a.a…a ( tích của n số a) với n>1. 2. a 0 = 1 3. 1 n n a a − = ( với a ≠ 0 và n ngun dương ) 3. m n m n a a = 4. α α = ⇔ = < ≠ > log (0 1, 0) a a b b a b 5) Luỹ thừa : Với các số a> 0 , b> 0 , ;m n tuỳ ý ta có: 5.1) . m n m n a a a + = ; Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 3 5.2) m m n n a a a − = ; 5.3) ( ) . n m m n a a = 5.4) ( . ) . m m m a b a b = ; 5.5) ( : ) : m m m a b a b = 6) Lôgarit: Với giả thiết rằng mỗi biểu thức được xét đều có nghĩa , ta có ; 6.1) 01log = a ; 6.2) log 1 a a = 6.3) = log b a a b ; 6.4) ba b a = log 6.5) cbcb aaa loglog).(log += 6.6) cb c b aaa logloglog −= ; 6.7) c c aa log) 1 (log −= 6.8) bb aa log.log α α = ( với α tuỳ ý ) 6.9) b n b a n a log 1 log = ; * Nn ∈ 6.10) b x x a a b log log log = , tức là 1log.log = ab ba 6.11) α α = 1 log log ; a a b b 6.12) β α β α =log log a a b b Lí thuyết Ôn tập Toán 12 4 . a ; b ]mà tại đó đạo hàm bằng không hoặc không xác đònh . + Tính f(x 1 ) , f(x 2 ) . . . .và f(a) , f(b) . + So sánh các giá trò trên và đưa ra kết luận . Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 1 VẤN ĐỀ 3. n a a a + = ; Lí thuyết Ơn tập Tốn 12 3 5.2) m m n n a a a − = ; 5.3) ( ) . n m m n a a = 5.4) ( . ) . m m m a b a b = ; 5.5) ( : ) : m m m a b a b = 6) Lôgarit: Với giả thi t rằng mỗi. tức là 1log.log = ab ba 6.11) α α = 1 log log ; a a b b 6.12) β α β α =log log a a b b Lí thuyết Ôn tập Toán 12 4