Rèn luyện tư duy hàm cho học sinh lớp 12 THPT thông qua bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)

Rèn luyện tư duy hàm cho học sinh lớp 12 THPT thông qua bài toán tìm giá trị lớn nhất GTLN, giá trị nhỏ nhất GTNN I Lý do chọn đề tài: Từ trước đến nay, các cuốn sách dành cho học sinh

Rèn luyện tư duy hàm cho học sinh lớp 12 THPT thông qua bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)

I) Lý do chọn đề tài:

Từ trước đến nay, các cuốn sách dành cho học sinh THPT đã đề cập được khá nhiều dạng loại bài tập để học sinh có thể tham khảo trong suốt quá trình học, qua đó được rèn luyện phản xạ với các dạng bài khác nhau Tuy nhiên, rất ít sách cho thấy được sự tập trung của người viết vào một loại hình tư duy nhất định, hoặc khiến cho người đọc thấy được cách suy nghĩ để đi đến lời giải một bài toán Bởi vậy, có nhiều học sinh còn rất khó khăn khi tự đọc một cuốn sách Toán Khi phải đối mặt với những câu hỏi: “Tại sao người

ta lại có cách giải quyết này? Nếu giả thiết khác đi một chút thì có làm như thế được không? ” thì họ lại thấy bế tắc, đôi khi lời giải như “ từ trên trời rơi xuống” khiến họ cảm thấy khó chấp nhận Vì thế, tôi muốn viết một chuyên đề nhỏ, chọn một trong những loại hình tư duy thường gặp nhất, xuyên suốt trong chương trình toán phổ thông làm trung tâm, cùng với mảng kiến thức được coi là khó đối với học sinh THPT làm minh họa, để cho người đọc thấy được cách suy nghĩ khi giải quyết các bài toán Đó là tư duy hàm và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đại số Sau khi đưa cho các học sinh khá (lớp 12) tự đọc chuyên đề này, tôi thấy các em đã có thể giải quyết được khá tốt các bài toán trong mảng này, kể cả những câu hỏi khó nhất trong các đề thi đại học những năm gần đây

II) Cơ sở lý luận

Tư duy hàm là cách suy nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề dựa vào mối liên hệ giữa một sự vật hiện tượng này với một sự vật hiên tượng khác (đặc biệt là mối liên hệ 1-1), qua đó nghiên cứu sự biến đổi và đưa ra những đánh giá cần thiết phù hợp với vấn đề đang được xem xét Đây là một loại hình tư duy xuyên suốt chương trình Toán phổ thông

và xuất hiện trong Đại số, Giải tích, Hình học và cả Số học, vì thế nó là một loại hình tư duy rất quan trọng Thậm chí trong thực tế cuộc sống, nếu vận dụng linh hoạt thì sẽ giải quyết được khá nhiều vấn đề có ý nghĩa

Tư duy hàm là một quá trình tư duy toán học có đồng thời cả 4 hoạt động sau:

+) Phát hiện, nhận biết tương ứng : Nhận biết những quy tắc tương ứng (bắt gặp) có phải

là một hàm hay một hàm số không, phát hiện ra sự tương ứng đơn trị giữa hai đại lượng biến thiên trong một hoàn cảnh có nhiều đại lượng biến thiên

+) Thiết lập hàm: Thiết lập được quy tắc tương ứng giữa hai đại lượng biến thiên

+) Nghiên cứu hàm số : Khảo sát để hiểu rõ về tính chất của tương ứng tìm được, tất

nhiên dừng lại ở mức độ cần thiết

+) Lợi dụng tính chất hàm vào vấn đề cần giải quyết: Sử dụng kết quả trong bước thứ 3,

kết hợp linh hoạt với một số kiến thức khác để đi đến kết quả cho bài toán

III) Biện pháp rèn luyện

1) Tập luyện cho học sinh phát hiện thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng tương ứng

Thường xuyên tạo ra các tình huống yêu cầu học sinh phải phát hiện thấy sự tương ứng, nhấn mạnh ý tưởng, cách suy nghĩ để phát hiện ra tương ứng ấy, tạo nhiều tình huống tương tự cho mỗi mạch suy nghĩ như vậy Từ đó dẫn đến việc thiết lập hàm và nghiên cứu nó Chú ý cố gắng tạo ra nhiều loại tương ứng từ đơn giản đến phức tạp để học sinh

có thể có một phản ứng nhanh nhạy khi khảo sát các tương ứng này Các tình huống vận

dụng cũng thay đổi linh hoạt để rèn luyện sự linh hoạt trong hoạt động này

2) Gợi động cơ khiến cho tư duy hàm trở nên quen thuộc, học sinh sẵn sàng nghĩ đến tư duy hàm khi giải quyết

Bằng một hệ thống các bài tập đa dạng hướng đến phương pháp giải bằng hàm số, trên nhiều mảng kiến thức ( như phương trình, bất đẳng thức và GTLN, GTNN, hình học,…) hoặc ngay một mảng kiến thức ( như riêng bất đẳng thức, GTLN, GTNN,…) thôi cũng có rất nhiều cách giải quyết chỉ bằng hàm số Chính vì vậy, tư duy hàm luôn thường trực trong đầu học sinh như một công cụ hữu ích và sẵn sàng nghĩ đến khi thoáng thấy tương ứng

3) Hệ thống hóa và tổng kết cho học sinh những tri thức phương pháp có liên quan đến

tư duy hàm

Đưa ra các phương hướng suy nghĩ và xử lý khác nhau, thậm chí suy nghĩ vòng đi vòng lại mới tìm được vấn đề, theo hướng tư duy hàm, tổng kết lại thành hệ thống để học sinh luôn có thể nghiên cứu một cách linh hoạt

4) Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến và mức độ trực quan của đối tượng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của học sinh

Có thể làm tăng dần mức độ phức tạp về tư duy theo hướng

Cấp 1 Những tình huống mà học sinh nhận biết được ngay tương ứng vì có sẵn

hàm số, và ngay cả việc nghiên cứu hàm số cũng rất dễ dàng

Cấp 2 Làm tăng sự phức tạp của hàm số mà giữ nguyên mức độ nhận biết tương

ứng

Cấp 3 Làm tăng sự phức tạp trong nhận biết tương ứng dựa vào việc tăng số đại

lượng biến thiên

Cấp 4 Tiếp tục tăng sự phức tạp bằng việc sử dụng các tính chất khác một cách

linh hoạt

trong đó sự phát triển luôn có những tình huống quen thuộc rồi tiếp tục được tái hiện cho tình huống mới

Làm việc với tư duy hàm đồng thời học sinh cũng được thực hiện các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái quát, suy đoán, tưởng tượng, suy diễn Tuy nhiên, trong chuyên đề này, chúng tôi chỉ chủ yếu nhấn mạnh vào tư duy hàm, các tư duy khác cũng sẽ được hòa trộn và đôi khi cũng được phát hiện ra khá rõ ràng Ngoài ra, tôi sẽ không đưa lời giải chi tiết cho tất cả các bài tập, mà chỉ làm chi tiết cho những bài tập điển hình, có ý nghĩa minh họa phương pháp

Rèn luyện tư duy hàm cho học sinh lớp 12 THPT thông qua bài toán tìm giá trị lớn

nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN)”

1.Một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm một biến

Khi đưa ra mục này, tôi muốn học sinh được rèn luyện lại khả năng khảo sát sự biến thiên của hàm số, lợi dụng bảng biến thiên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

Trong phần này, phát hiện tương ứng và thiết lập hàm thường là vấn đề khá dễ dàng, khó khăn sẽ được tăng dần chủ yếu là do mức độ phức tạp của hàm dẫn đến việc nghiên cứu

nó trở nên khó khăn hơn

Ví dụ 1 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 2

yx  x  x trên [0,4]

*****

Trong bài toán này, vấn đề chính là nghiên cứu hàm số và đưa ra kết luận, với hàm một biến, tương ứng được phát hiện một cách hiển nhiên

y  x  x , y'    0 x 3 hoặc x 1

Ta có bảng biến thiên trên [0,4] của hàm số như sau:

x 0 -1 3 4

y’ + 0 - 0 +

y 6

1 -23

-26

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số, ta có min[0,4]y  26 khi x3, max[0,4]y 6 khi x 1 Ở đây, hết sức lưu ý học sinh vẽ chính xác sự tương quan về giá trị ( 1 phải cao hơn -23) để có nhận xét chính xác về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, thậm chí về số nghiệm của phương trình y=m sau này Ví dụ 2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 2 5 1 x y x    ******* Trong bài toán này, tôi muốn học sinh thấy được sự cần thiết của các giới hạn ( x đến vô cực hoặc y đến vô cực) trong bảng biến thiên khi nói đến bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Ta có 2 2 2 5 ' 1( 1) x y x x     nên 2 ' 0 5 y   x Bảng biến thiên: x  2/5 

y’ + 0 -

y 29

2

-2

Ở đây, hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 29 khi 2

5

x

nhưng không có giá trị nhỏ nhất mặc dù ta thấy y=-2 có vẻ khả quan Nguyên nhân là nếu

có m là giá trị nhỏ nhất thì m>-2 vì y>-2 với mọi x, khi đó ta có thể tìm được m’<m mà m’=y(a) nào đó, m>m’>-2

Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số : 3

sin 2sin 1

y x x

******

Trong bài toán này, học sinh cần đặt một ẩn mới tsinx để việc nghiên cứu hàm số trở nên dễ hơn, trong khi giá trị của hàm số không bị ảnh hưởng (Tương ứng mỗi giá trị x một giá trị t  [ 1,1], mỗi giá trị t đó tương ứng một giá trị y)

Các ví dụ sau là dành cho học sinh tự rèn luyện

Ví dụ 4 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y x x(1 2 ) x

Ví dụ 5 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y cos3x 3cos 2x 3cosx 1 Khi đã thành thạo với việc nghiên cứu hàm một biến và vận dụng hiểu biết về nó, ta có thể rèn luyện cho học sinh theo hướng làm khó dần việc phát hiện tương ứng và thiết lập hàm Ta sẽ nghiên cứu dựa trên việc quy các bài toán tìm GTLN, GTNN nhiều biến về một biến

2 Một số phương pháp quy về một biến để tìm GTLN, GTNN

2.1 Phương pháp thế

Ví dụ 1 Cho x y 1, ,x y 0 Tìm GTLN, GTNN của

A

*******

1) Phát hiện tương ứng: Nhận thấy mỗi giá trị x tương ứng một và chỉ một giá trị y

và mỗi cặp giá trị (x, y) cho tương ứng với một giá trị A nên thực chất mỗi giá trị

x cho tương ứng một giá trị A, chính vì vậy ta có thể thấy A là một hàm của x Ngoài ra sự tương ứng còn thể hiện ở chỗ khi y 0 biến đổi thì x biến đổi theo nhưng chỉ nằm trong miền [0,1]

2) Thiết lập hàm:

Từ giả thiết được y  1 x Do x y,  0 nên 0 x 1 Khi đó

1 ( )

A f x



3) Nghiên cứu hàm số:

Khảo sát hàm số f(x) trên [0,1], ta có:

'( )

x

f x



1 '( ) 0

2

4) Lợi dụng việc nghiên cứu ở trên để tìm GTLN, GTNN

Theo bảng ta thấy min ( )1 2

A f  và Max A f(0)  f(1)  1

Chú ý: Trong bài toán trên, có hai vấn đề cần được nhấn mạnh

i) Cách sử dụng phép thế để quy về một biến, xem xét xem biến nào sẽ còn lại sau

phép thế

ii) Tìm hiểu các điều kiện cho biến còn lại nhờ vào các điều kiện của giả thiết

Tiếp theo là một số bài toán tương tự, có sự phân bậc dần dần

Ví dụ 2 [D2009] Cho x y,  0,x y 1 Tìm GTLN, GTNN

(4 3 )(4 3 ) 25

S x  y y  x  xy

*******

Việc phát hiện tương ứng và thực hiện phép thế rồi thiết lập hàm là tương tự, việc nghiên cứu hàm số là khó hơn vì hàm số này phức tạp hơn, cụ thể là tăng thêm về bậc

x

0 1

2 1 f’(x) - 0 +

f(x)

Gợi ý: Đưa về biến x, ta được hàm số: 4 3 2

f x  x  x  x  x với x [0,1],

4

2

.Từ đó được max 25

2

S  khi

1

2

x y ; 191

16

minS  khi ( , ) (2 3 2, 3)

x y   

hoặc hoán vị

Ví dụ 3 Cho x 2y 1, ,x y 0 Tìm GTLN A2 xy2y

*******

Việc thực hiện phép thế phức tạp hơn một chút và hàm số thu được sau phép thế cũng phức tạp hơn vì có chứa căn

Chú ý: Nên thế x theo y để:

+) Tránh phân thức trong biểu thức

+) Ít phải thế hơn vì trong A, x chỉ xuất hiện một lần

Ví dụ 4 Cho x, y>0 thỏa mãn: 1 1 5

4

x y Tìm GTNN của 4 1

4

S x y

*******

Tăng độ phức tạp trong việc phát hiện tương ứng vì ta không thế x theo y mà nên đặt 1

a

x

y

 để đưa về bài toán cũ rồi thực hiện phép thế Khi đó hàm số cần nghiên cứu không phức tạp

Ví dụ 6 Cho x, y thỏa mãn: y 0 và 2

12

2 17

Axy x y

*******

Phép thế ở đây không còn là tương ứng bậc nhất mà thay vào đó y là một biểu thức bậc 2 của x, miền giá trị của x khi ấy được tìm nhờ điều kiện y 0

2.2 Sử dụng tính đối xứng

Trong mục này, trước hết ta nên để ý đến kết quả sau:

i) Mọi biểu thức đối xứng với hai biến đều có thể quy được về x+y và x.y

ii) Với mọi x,y Ta có 2

(xy) 4xy, 2 2

2

x y  xy , 2 2 2

2(x y )  (xy)

Ví dụ 1 Cho x, y thỏa mãn: 2 2

2

x y  Tìm GTLN, GTNN của

3 3

A x y  xy

*******

1) Phát hiện tương ứng:

Trong bài toán này, ta có thể nhận thấy các biểu thức ở cả giả thiết và kết luận đều đối xứng với x, y Mặt khác, ta biết rằng mọi biểu thức đối xứng như vậy đều có thể viết về S=x+y và P=xy, nói riêng 2 2

x y và A đều viết được theo S, P

Ta có: 2 2

x y  2

(xy)  2xy 2 hay 2

S  P và 3

A xy  xy xy  xy 3

2(P 3SP) 3P

Đến đây, lại thấy tương ứng của P theo S ( nên biểu diễn P theo S vì tương ứng ấy đơn giản hơn) và của A theo S, P Suy ra mỗi giá trị của S lại cho tương ứng một giá trị của

A, tức là A là hàm của S Còn lại là xem xét xem S chạy trong miền nào để nghiên cứu giá trị của A Ta có bất đẳng thức 2 2 2

(xy)  2(x y ) nên   2 S 2

2) Thiết lập hàm

Đặt x y t thì

2 2 2

t

xy 

Do 2 2 2

t  x y  nên   2 t 2

2

Vấn đề còn lại là tìm GTLN, GTNN của hàm f(t) với t  [ 2, 2]

3) Nghiên cứu hàm f(t): Tìm đạo hàm và lập bảng biến thiên

4) Lợi dụng tính chất để giải bài toán đề ra: Vận dụng bảng biến thiên để suy ra

GTLN, GTNN

Một số bài toán tương tự, có sự phân bậc dần dần

Ví dụ 2 Cho x, y >0 và xy=1 Tìm GTLN, GTNN của

3 3

S

*******

Bài toán được quy về ẩn xy vì xy 1 đã là hằng số và S đối xứng với x và y Từ

2

(xy)  4xy 4 suy ra x y 2

Ví dụ 3 [A2006] Cho x y,  0 thỏa mãn 2 2

(xy xy) x y xy Tìm GTLN của

3 3

A

x y

 

*******

Tăng sự phức tạp ở mối liên hệ x+y và xy trong giả thiết, khiến cho biến t khó nhận thấy hơn, đồng thời miền giá trị của biến cũng khó tìm hơn

Gợi ý: Nếu đặt t x y , ta sẽ được biểu thức rất phức tạp và khó tìm giá trị

Bởi vậy, ta cần quan sát lại giả thiết

Giả thiết tương đương với: 2

(xy xy)   (x y)  3xy ,

3

3 ( )

x y x y A

xy x y

Nên ta có thể nghĩ đến biến t x y 1 1

xy x y



   và chú ý điều kiện 2 1 1

4

t

x y

 để suy ra khoảng giá trị của t

Ví dụ 4 Cho x,y thỏa mãn: 2 2

3

x y xy Tìm GTLN, GTNN của

4

S x y  xyx y

Ví dụ 5.[B2009] Cho x,y thỏa mãn: 3

(xy)  4xy 2 Tìm GTNN

A x y x y  x y 

*******

Điều kiện ràng buộc trong giả thiết không còn là đẳng thức mà ở dạng bất đẳng thức nên tìm khó khăn hơn

Gợi ý: Nếu đưa về biến t x y thì do điều kiện liên hệ giữa xy và 3

t trong giả thiết, xy

sẽ là hàm bậc 3 của t, A là hàm bậc hai của xy nên ta sẽ thu được hàm bậc 6, việc khảo sát hàm bậc 6 là điều khá khó khăn Bởi vậy, ta chọn 2 2

tx y vì trong A, các biến xy chỉ toàn mũ chẵn Mặt khác, chú ý là ta cần đánh giá Ac - hằng số để đưa ra kết luận

về giá trị nhỏ nhất và A đối xứng với x và y nên ta có thể đánh giá theo hướng

AB với B là hàm của x,y nhưng chỉ còn một ẩn t, A=B khi x=y Vậy, ta có thể biến đổi

A x y  x y  x y  và dùng đánh giá 2 2 2 2 2

(x y )  4x y Tiếp đó là xem xét điều kiện của 2 2

tx y nhờ điều kiện của u x y , 2

4

u  xy và giả thiết 3

u  xy

Ví dụ 6 Cho 2 2 2

1

x y z  Tìm GTLN, GTNN của Sxyyzzx  x y z

******

Tăng số biến, cần có một cách nhìn tương tự cho các biểu thức đối xứng 3 biến Bài toán này quy về ẩn t  x y z Điều kiện 2 2 2 2

(x y z)  3(x y z ) nên  3  t 3

Ví dụ 1 [Dự bị A2006]

Cho x, y thỏa mãn: 2 2

3

x xyy  Chứng minh rằng

4 3 3 x xy 3y 4 3 3

*******

1) Phát hiện tương ứng:

Trước hết, nhận thấy giả thiết và kết luận đều là các biểu thức đẳng bậc nên có thể

sẽ có một sự tương ứng về tỉ lệ, vì thế thay vì chỉ xét biểu thức 2 2

3

Bx xy y , ta gắn nó với biểu thức 2 2

Ax xyy bằng cách xét tỉ số B

A Đến đây, nhận thấy nếu nhân cả x,y với cùng 1 số k thì B

A không đổi nên B

A chỉ phụ thuộc vào giá trị

y Vì thế, ta đã thấy được tương ứng trong đó B

A là hàm còn x

y là biến Vậy nếu chia cả A và B cho 2

y để đưa về x

y ( khi y 0) thì ta sẽ quy được về 1 ẩn

2) Thiết lập hàm

Ax xyy Bx xy y thì 0 A 3

+) Nếu A=0 thì x=y=0 nên B=0

+) Nếu A0 thì

3 x xy y

B A

x xy y

 



 

Khi y 0 thì 2

3

x  , 2

Bx , bất dẳng thức luôn đúng Khi y 0 thì

2 2

3

1

t t A

t t

 



  với

x t y



3) Nghiên cứu hàm số:

2 2

3 1

t t u

t t

 



 

Dùng đạo hàm hoặc tam thức bậc 2 suy ra

2 2

3

1

t t u

t t

 

      

 

4) Lợi dụng tính chất hàm, kết hợp vài thao tác khác về bất đẳng thức, sẽ thu được

điều cần chứng minh

Ví dụ 2 [B2008]

Cho x, y thỏa mãn: 2 2

1

x y  Tìm GTLN, GTNN của

2

2

x xy P

xy y





 

*******

Chú ý 2 2

1 x y nên

2

x xy P

x xy y





  Tử và mẫu đều ở dạng bậc 2 thuần nhất nên có

thể quy về một ẩn t x

y

 Xét riêng trường hợp y 0

Đáp số: minP 3, maxP 6