Tìm giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số

CHUY£N §ÒBåi d ìng häc sinh giái m«n to¸n thcs... CHñ §ÒT×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT GI¸ TRÞ NHá NHÊT CñA BIÓU THøC §¹I Sè PhÇn i Lý thuyÕt... Bất đẳng thức Cauchy Cosi 2... Bất đẳng thức Cauch

CHUY£N §Ò

Båi d ìng häc sinh giái m«n to¸n thcs

CHñ §Ò

T×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT

GI¸ TRÞ NHá NHÊT

CñA BIÓU THøC §¹I Sè

CHñ §Ò

T×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT GI¸ TRÞ NHá

NHÊT CñA BIÓU THøC §¹I Sè

PhÇn i

Lý thuyÕt

LÝ THUYẾT

1 Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

A  B  A B

A  B  A B

A  B  A B

1.1

1.2

1.3

LÝ THUYẾT

2 Bất đẳng thức Cauchy (Cosi)

2

a b   a b

2.1 Áp dụng cho 2 số dương:

Cho a > 0; b > 0 ta có:

2.2 Áp dụng cho n số dương:

Cho a1; a2; a3; …; an > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a = b

Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ….= an

LÝ THUYẾT

3 Bất đẳng thức Bunyakovsky (Bunhiacôpski)

 ax by  2   a b2  2  x2  y2 

3.1 Áp dụng cho 2 cặp số a, x; b,y Ta có:

1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n

a b  a b   a b  a  a   a b b  b

3.2 Áp dụng cho n cặp số

Cho a1; a2; a3; …; an và b1; b2; b3; …; bn Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a b

Dấu “=” xảy ra khi 1 2

n

n

a

LÝ THUYẾT

4 Đa thức bậc hai một biến

P = ax2 + bx + c

P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0

P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0

Chứng minh:

2

2

               

 

Ta có:

+ Nếu a > 0 =>

P c MinP c Khi x



+ Nếu a < 0 =>

P c MaxP c Khi x



Tæng hîp

1.3

1 Các bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

A  B  A B

1.1

A  B  A B

1.2

A  B  A B

1.3

2 Bất đẳng thức Cauchy (Cosi)

2

a b  a b

2.1 Áp dụng cho 2 số dương:

Cho a > 0; b > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a = b

1 2 3 n 1 2 3

a a a  a n a a a a

2.2 Áp dụng cho n số dương:

Cho a1; a2; a3; …; an > 0 ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a1 = a2 = a3 = ….= an

 ax by 2 a b2  2 . x2  y2

3 Bất đẳng thức Bunhiacôpski

3.1 Áp dụng cho 2 cặp số a, x; b,y Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi a b

x y

 2  2 2  2 2

a b  a b  a  a b  b

3.2 Áp dụng cho n cặp số Cho a1;…; an và b1; …; bn Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi 1 2

n

n

a

b b  b

4 Đa thức bậc hai một biến

P = ax 2 + bx + c

P đạt giá trị lớn nhất khi a < 0

P đạt giá trị nhỏ nhất khi a > 0

Đáp án: MinC = 11 khi 9

3

2

x

 

Bài 1: a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

C x      x x 

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 3 2 1

D  x   x  Đáp án: MaxD = 4 khi 1

2

x 

Bài tập vận dụng

Đáp án: MinA = 1 2





Bài 2: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2

1

6 17

B



  Đáp án: MaxB = 1

3

Bài tập vận dụng

PhÇn ii

Bµi tËp vËn dông

CHñ §Ò

T×M GI¸ TRÞ LíN NHÊT GI¸ TRÞ NHá

NHÊT CñA BIÓU THøC §¹I Sè

Bài 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

Đáp án: MinA = 2007 khi x = 1; y = 1

1

a 

Đáp án: MinB = 2002 khi

Bài tập vận dụng

Bài tập vận dụng

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

2 4 2 2

)

1

)

1

x

a D

x x

b E

x











1

khi 1

2 x 

Đáp án: MinD = 0 khi x = 0 MaxD =

Đáp án: MinE = 2 khi MaxE = 3 khi x = 0

x