Tom tat va bai tap Chuong I giai tich 11

Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi I/ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A/ Đường tròn lượng giác, giá trị lượng giác: sin cos tan cot cos sin x x x x x x ∗ = ∗ = Bảng giá trị của các góc đặc biệt: Góc GTLG 0 0 (0) 30 0 ( 6 π ) 45 0 ( 4 π ) 60 0 ( 3 π ) 90 0 ( 2 π ) Sin 0 1 2 2 2 3 2 1 Cos 1 3 2 2 2 1 2 0 B/ Các hệ thức Lượng Giác Cơ Bản: ( ) ( ) + α + α = ∀α∈ π   + α α = ∀α ≠ ∈  ÷   π   + = + α ∀α ≠ + π ∈  ÷ α   + = + α ∀α ≠ π ∈ α 2 2 2 2 2 2 sin cos 1 R tan .cot 1 k ,k Z 2 1 1 tan k ,k Z cos 2 1 1 cotg k ,k Z sin Hệ quả: • sin 2 x = 1-cos 2 x ; cos 2 x = 1- sin 2 x • tanx= 1 cot x ; 1 cot tan x x = • Sin 4 x + cos 4 x = 1 - 2sin 2 x.cos 2 x • Sin 6 x + cos 6 x = 1 - 3sin 2 x.cos 2 x C/ Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt: a. Cung đối: α và −α cos( ) cos ; sin( ) sin tan( ) tan ; cot( ) cot −α = α −α = − α −α = − α −α = − α b. Cung bù: α và π −α sin( ) sin ; cos( ) cos tan( ) tan ; cot( ) cot π −α = α π −α = − α π −α = − α π− α = − α c. Cung sai kém nhau π : α và π + α tan( ) tan ; cot( ) cot sin( ) sin ; cos( ) cos π + α = α π+ α = α π + α = − α π + α = − α d. Cung phụ: α và 2 π − α sin cos ; cos sin 2 2 tan cot ; cot tan 2 2 π π     −α = α −α = α  ÷  ÷     π π     −α = α − α = α  ÷  ÷     e. Cung hơn kém nhau 2 π : α và 2 π + α sin cos ; cos sin 2 2 tan cot ; cot tan 2 2 π π     + α = α + α = − α  ÷  ÷     π π     + α = − α + α = − α  ÷  ÷     D/. Công thức lượng giác 1. Công thức cộng:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb  tan(a – b) = tan tan 1 tan .tan − + a b a b  tan(a + b) = tan tan 1 tan .tan + − a b a b CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 1 sinα 2 π 0 π 3 2 π cosα 0 α Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi 2. Công thức nhân đôi:  sin2a = 2sina.cosa ⇒ 1 sina.cosa= sin2 2 a  cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a  tan2a = 2 2tan 1 tan− a a 3. Công thức nhân ba:  sin3a = 3sina – 4sin 3 a cos3a = 4cos 3 a – 3cosa 4.Công thức hạ bậc:  cos 2 a = 1 cos 2 2 a+ sin 2 a = 1 cos 2 2 a− tan2a = 1 cos 2 1 cos 2 a a − + 5. Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t=tan 2 x :  sinx = 2 2 1 t t+  cosx = 2 2 1 1 t t − +  tanx = 2 2 1 t t−  cotx = 2 1 2 t t − 6. Công thức biến đổi tổng thành tích  a b a b cosa cosb 2cos cos 2 2 + −     + =  ÷  ÷      a b a b cosa cosb 2sin sin 2 2 + −     − = −  ÷  ÷      a b a b sina sinb 2sin c os 2 2 + −     + =  ÷  ÷      a b a b sina sin b 2cos sin 2 2 + −     − =  ÷  ÷      sin( ) tan tan ( , , ) cos .cos 2 ± ± = ≠ + ∈ a b a b a b k k Z a b π π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin + + = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin( ) cot cot ( , , ) sin .sin − + − = ≠ ∈ a b a b a b k k Z a b π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 + = + = − a a a cos a π π  sin cos 2 sin( ) 2 ( ) 4 4 − = − = − + a a a cos a π π  cos sin 2 ( ) 2 sin( ) 4 4 − = + = − − a a cos a a π π 7. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b• = − + + [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b• = − − + [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b • = + + − [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 b a a b a b• = + − − II/PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC : 1/ Phương trình lượng giác cơ bản: 2 ) cosu = cosv u = v + k2 ) sinu = sinv ,k 2 c) tanu = tanv u = v + k ,k d) cotu = cotv u = v + k ,k u v k a b u v k = + π  ⇔ ± π , κ∈ ⇔ ∈  = π− + π  ⇔ π ∈ ⇔ π ∈ ¢ ¢ ¢ ¢ CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 2 Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi Chú ý: a/ Nếu cung α thoả sin 2 2 a α π π α =   − < <   thì α gọi là arcsina cung có sin bằng a. Khi đó phương trình sinx = a ⇔ sin 2 sin 2 x arc a k k Z x arc a k π π π = +  ∈  = − +  b/ Nếu cung α thoả cos 0 a α α π =   < <  thì α gọi là arccosa cung có cos bằng a. Khi đó phương trình cos x = a ⇔ arccos 2 arccos 2 x a k k Z x a k π π = +  ∈  = − +  c/ Nếu cung α thoả tan 2 2 a α π π α =    − < <   thì α gọi là arctana cung có tan bằng a. Khi đó phương trình tanx = a ⇔ arctan ,x a k k Z π = + ∈ d/ Nếu cung α thoả cot 0 a α α π =   < <  thì α gọi là arccota cung có cot bằng a. Khi đó phương trình cotx = a ⇔ arccot ,x a k k Z π = + ∈ Một số phương trình đặc biệt: sin 0 sin 1 2 sin 1 2 2 2 cos 0 1 2 1 2 2 x x k x x k x x k x x k cosx x k cosx x k π π π π π π π π π π ⊕ = ⇔ = ⊕ = ⇔ = + ⊕ = − ⇔ = − + ⊕ = ⇔ = + ⊕ = ⇔ = ⊕ = − ⇔ = + 2/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: sin cosa x b x c+ = Phương pháp giải: 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos a b c a x b x c x x a b a b a b + = ⇔ + = + + + Đặt 2 2 2 2 sin cos a a b b a b α α  =  +    =  +  đưa phương trình về dạng: 2 2 cos( ) c x a b −β = + rồi tiếp tục giải. Điều kiện có nghiệm 2 2 2 a b c+ ≥ 3/Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác. Dạng: a. t 2 + b.t + c = 0 trong đó t có thể là một trong các hàm sinx, cosx, tanx, cotx. Cách giải: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 rồi giải tiếp. Chú ý: với t = sinx hoặc t = cosx thì có điều kiện 1t ≤ . 4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và cosx: * Dạng: 2 2 sin sin .cos cosa x b x x c x d+ + = (1) * Cách giải: TH1: Xét xem cosx = 0 ⇔ 2 x k π π = + có là nghiệm của (1) hay không ? TH2: cosx ≠ 0 thay ( ) 2 2 sin cosd d x x= + , chia cả 2 vế phương trình cho 2 cos x , sau đó đặt tant x= rồi đưa về phương trình bậc 2 theo biến tanx. 5/Phương trình bậc 2 đối xứng dạng: ( ) ( ) sin cos sin .cos 0A x x B x x C± + + = CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 3 Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi Cách giải: Đặt ( ) 2 1 sin cos ; 2 2 sin .cos 2 t t x x t x x − = ± − ≤ ≤ ⇒ = ± . Đưa phương trình về phương trình đại số theo t: 2 1 0 2 t At B C   − + ± + =  ÷   BÀI TẬP: I – Phương trình lựơng giác cơ bản : Giải các phương trình sau 1. sin 2 cos 2 0x x− = 2. sin 3 2 cos3 0x x+ = 3. 2 4sin 1x = 4 . 2 2 sin sin 2 1x x+ = 5. sin 4 1 cos 6 x x = 6. sin 2x = 2cos x 7. = sin .cot 5 1 cos 9 x x x 8. tan3 tan 5x x= 9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 10. sin 2 2 cos 1 sin x x x = − + II - Phương trình bậc hai đối với một hàm số lương giác Giải các phương trình sau 1. cos 2 3sin 2x x+ = 2. 4 2 4sin 12 cos 7x x+ = 3. 2 25sin 100 cos 89x x+ = 4. 4 4 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2x x x x+ = 5. + = − 6 6 2 2 sin cos 1 tan 2 cos sin 4 x x x x x 6. + = 2 3 tan 9 cos x x III – Phương trình bậc nhất với sin x và cos x Giải các phương trình sau 1. sin 3 3 cos3 2x x+ = 2. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 3. 2sin17 3 cos 5 sin 5 0x x x+ + = 4. 2sin (cos 1) 3 cos2x x x− = 5. 3 sin 4 cos 4 sin 3 cosx x x x− = − 6. 3cos sin 2 3(cos 2 sin )x x x x− = + 7. sin 3 cos sin 3 cos 2x x x x+ + + = IV – Phương trình thuần nhất bậc hai ( Đẳng cấp bậc hai ) đối với sin x và cos x Giải các phương trình 1) 2 2sin 2 2 3 sin 2 cos2 3x x x− = 2) 1 4sin 6 cos cos x x x + = 3) 3 sin 3 2 cosx x= 4) 2 2 4sin 3 3 sin 2 2 cos 4x x x+ − = 5) 3 3 cos sin sin cosx x x x+ = − 6) 3 8cos ( ) cos3 3 x x π + = 7) 3 1 8cos sin cos x x x = + 8) 3 2 sin ( ) 2 sin 4 x x π + = 9) sin 3 cos3 2 cos 0x x x+ + = V – Phương trình đối xứng với sin x và cos x Giải các phương trình 1 . 12(sin cos ) 4 sin cos 12 0x x x x+ − − = 2 . sin 2 5(sin cos ) 1 0x x x+ + + = 3 . 5(1 sin 2 ) 11(sin cos ) 7 0x x x− − + + = 4 . 1 sin 2 (sin cos ) 0 2 x x x+ − + = 5 . 5(1 sin 2 ) 16(sin cos ) 3 0x x x− − − + = 6 . 3 3 2(sin cos ) (sin cos ) sin 2 0x x x x x+ − + + = CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 4 Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi 7 . 1 1 (sin cos 1)(sin 2 ) 2 2 x x x − − + + = 8 . sin cos 4sin 2 1x x x− + = 9 . sin cos sin 2 0x x x+ − = 10 . 2(sin cos ) tan cotx x x x+ = + 11 . cot tan sin cosx x x x− = + 12 . 2sin 2 1 sin cos 2sin 2 1 sin cos 1 x x x x x x + + = − + − VI – Phương trình lượng giác khác A- phương trình giải bằng cách dặt ẩn phụ Bài 1 : Giải các phương trình 1. + + = 2 1 cot 1 0 sin x x 2. − + = 2 1 2 5 tan 0 2 cos 2 x x B- Sử dụng công thức hạ bậc Bài 2 : Giải các phương trình 1. 2 2 2 2 sin sin 3 cos 2 cos 4x x x x+ = + 3. 2 2 2 sin sin 2 sin 3 0x x x+ − = 2. 2 2 2 3 sin sin 2 sin 3 2 x x x+ + = 4 . 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x+ = C – Phương trình biến đổi về tích Bài 3 : Giải phương trình 1 . cos cos 2 cos3 cos 4 0x x x x+ + + = 2. 1 sin cos3 cos sin 2 cos2x x x x x+ + = + + 3. 3 2cos cos2 sin 0x x x+ + = 4 . cos cos3 2cos5 0x x x+ + = 5 . 3 3 cos sin sin 2 sin cosx x x x x+ = + + 6 . 2 3 sin cos sin 0x x x+ + = 7. 2 1 sin tan 1 cos + = + x x x 8 . 3 3 sin cos sin cosx x x x− = + 9 . cos cos5 8sin sin 3 cos3 cos x x x x x x − = 10. sin x( 1+ cos x) = 1 + cos x + cos 2 x D- Phương trình lượng giác có điều kiện Bài 1 : Giải các phương trình sau 1. 3 1 8cos sin sin x x x = + 2. 2 1 cos2 1 cot 2 sin 2 x g x x − + = 3. 4 4 4 sin 2 cos 2 cos 4 tan( )tan( ) 4 4 x x x x x π π + = − + 4. 2 cos (1 cot ) 3 3cos 2 sin( ) 4 x x x x π + − = − 5. 2 cos 2sin cos 3 2cos sin 1 x x x x x − = − − 6. tan 3x= tan 5x 7. tan2xtan7x=1 8. sin 4x 1 co s 6x = 9. sin cot 5 1 cos9 = x x x 10. 3 sin( ) cos2 4 sin( 2 ) cos( ) 2 4 x x x x π π π + = − + 11. cos3 .tan5 sin 7=x x x 12. 2 1 2sin 3 2 sin sin 2 1 2sin cos 1 x x x x x + − + = − 13. 3 3 sin cos cos2 2cos sin x x x x x + = − CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 5 Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi 14. 1 1 2 2 sin( ) 4 sin cos x x x π + = + 15. 1 2(cos sin ) tan cot 2 cot 1 − = + − x x x x x 16. 2 3tan3 cot 2 2tan sin 4 + = +x x x x 17. 1 1 cos sin cos sin x x x x + = + 18. 2 2 2 2 1 1 cos sin cos sin x x x x − = − PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. (Tổng hợp) 1/ cos 2 3x.cos2x – cos 2 x = 0 2/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 3/ cos 4 x + sin 4 x + cos . 4       − π x sin       − 4 3 π x - 2 3 = 0 4/ 5sinx – 2 = 3(1 – sinx)tan 2 x 5/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx. 6/ cotx – 1 = 2 1 sin tan1 2cos 2 −+ + x x x sin2x. 7/ cotx – tanx + 4sin2x = x2sin 2 8/ 0 2 costan. 42 sin 222 =−       − x x x π 9/ 32cos 2sin21 3sin3cos sin5 +=       + + + x x xx x với 0 < x < 2 π 10/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 11/ cos3x – 4cos2x + 3cosx – 4 = 0 với 0 ≤≤ x 14 12/ cosx + cos2x + cos3x = sinx + sin2x + sin3x 13/ 26sin.222sin.3 2 −=− xx . 14/ cos3x + sin7x = 2. 2 9 cos2 2 5 4 sin 22 xx −       + π 15/ sin 3 x + sinx.cosx = 1 – cos 3 x 16/ 2 + cos2x = 2tanx 17/ sinx.cosx + cos 2 x = 2 12 + 18/       −=       + 24 sin.3 42 3 sin xx ππ 19/ sin3x + cos2x =2 ( sin2x.cosx – 1) 20/ 4cosx – 2cos 2 x – cos2x – cos4x = 0 21/ 1 2cos1 2sin = + + x x 22/ cosx + sin2x = 0 23/ 2(cos 4 x – sin 4 x) + cos4x – cos2x = 0 24/ (5sinx – 2)cos 2 x = 3(1 – sinx)sin 2 x 25/ (2sinx – 1)(2cosx + sinx) = sin2x – cosx 26/ cos3x + 2cos2x = 1 – 2sinxsin2x 27/       +=       ++       + 4 cos 6 cos 3 cos πππ xxx 28/ sin 3 x + cos 3 x = sinx – cosx 29/ xxx tansin.2 4 sin.2 22 −=       − π 30/ 4cos 2 x – 2cos 2 2x = 1 + cos4x 31/ cos3x.sin2x – cos4x.sinx = xx cos13sin 2 1 ++ . 32/ (2sinx – 1)(2cos2x + 2sinx + 3) = 4sin 2 x – 1 33/ cosx.cos7x = cos3x.cos5x 34/ 3 2coscos 2sinsin = − − xx xx 35/ sinx + sin2x + sin3x = 0 36/ x xx xx 2tan 8 13 sincos sincos 22 66 = − + 37/ cos 2 x.sin 4 x + cos 2x = 2cosx(sinx + cosx) – 1 38/ 3 – tanx(tanx + 2sinx) + 6cosx = 0 39/ cos2x + cosx(2tan 2 x – 1) = 2 40/ 3cos4x – 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 41/ 1cos2 42 sin2cos)32( 2 −       −−− x x x π = 1 42/ )sin1(2 cossin )1(coscos 2 x xx xx += + − 43/ cotx = tanx + x x 2sin 4cos2 CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 6 Trường THPT Lê Hồng Phong GV: Nguyễn Văn Khỏi 44/ x x x xx 2sin.8 1 2cot 2 1 2sin.5 cossin 44 −= + 45/ x xx x 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1tan − =+ 46/ tanx + cosx – cos 2 x = sinx(1 + tanx.tan ) 2 x 47/ sin( 1)cos. =x π 48/ cos3x – sìnx = 3 (cos2x - sin3x) 49/ 2cos 2 x - sin2x + sinx – cosx = 0 50/ sin3x + cos2x = 1 + sinx.cos2x 51/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 52/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 53/ cos 2 x.sin 2 x + cos2x = 2(sinx + cosx)cosx – 1 54/ 8.sin 2 x + cosx = 3 .sinx + cosx 55/ 3cos2x + 4cos 3 x – cos3x = 0 56/ 1 + cosx – cos2x = sinx + sin2x 57/ sin4x.sin2x + sin9x.sin3x = cos 2 x 58/ 0cossin1 =++ xx 59/ ( ) 1sin.sin22cossin1cos3 2 −=−− xxxxx 60/ 2cos.3 2 cos 2 sin 2 =+       + x xx 61/       −=       − + x x x 4 7 sin4 2 3 sin 1 sin 1 π π 62/ 2sin 2 2x + sin7x – 1 = sinx 63/ 0 sin22 cossin)sin(cos2 66 = − −+ x xxxx 64/ cotx + sinx 4 2 tan.tan1 =       + x x 65/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 CHƯƠNG I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC & PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trang 7 . 9 cos x x III – Phương trình bậc nhất v i sin x và cos x Gi i các phương trình sau 1. sin 3 3 cos3 2x x+ = 2. 2 1 sin 2 sin 2 x x+ = 3. 2sin17 3 cos 5 sin 5 0x x x+ + = 4. 2sin (cos 1). 7. = sin .cot 5 1 cos 9 x x x 8. tan3 tan 5x x= 9. ( 2cos x -1 )( sin x + cos x) =1 10. sin 2 2 cos 1 sin x x x = − + II - Phương trình bậc hai đ i v i một hàm số lương giác Gi i các phương. Cách gi i: Đặt t bằng hàm số lượng giác đã cho đưa về phương trình bậc 2 r i gi i tiếp. Chú ý: v i t = sinx hoặc t = cosx thì có i u kiện 1t ≤ . 4/.Phương trình đẳng cấp bậc 2 theo sinx và