Quyền chọn và quyền chọn thực ứng dụng trên thị trường tài chính Việt Nam

Trang 1

© www.empirics.net

QUYỀN CHỌN VÀ QUYỀN CHỌN THỰC

ỨNG DỤNG TRÊN THỊ TRƯỜNG TÀI CHÍNH VIỆT NAM

Sản phẩm nghiên cứu Công ty TNHH Dan Houtte, Vương và Đối tác

© DHVP Empirics.net

Trang 2

Mục lục

1 Tổng quan 5

1.1 Quá trình hình thành thị trường quyền chọn 5

1.2 Mức độ phát triển hiện nay 5

1.3 Một số khái niệm 6

2 Các đặc trưng của quyền chọn trên cổ phiếu 7

2.1 Các yếu tố ảnh hưởng đến giá quyền chọn cổ phiếu 7

2.2 Các giả định và ký hiệu 9

3 Giao dịch quyền chọn 10

2 Các chiến lược kinh doanh hợp đồng quyền chọn 12 1 Trường hợp một quyền chọn của một cổ phiếu duy nhất 12

2 Mua bán song hành 14

2.1 Mua bán theo chiều lên 14

2.2 Mua bán theo chiều xuống 16

2.3 Mua bán quyền chọn liên hợp 18

2.4 Mua bán song hành theo lịch 20

2.5 Mua bán theo tỉ lệ 22

2.6 Chiến lược mua bán chênh lệch theo đường chéo 23

3 Chiến lược kinh doanh kết hợp 23

3.1 Chiến lược mua hàng hai 24

3.2 Chiến lược Strips và Straps 25

3.3 Chiến lược mua bán hỗn hợp 25

3 Định giá quyền chọn 27 1 Một số tính chất cơ bản của hợp đồng quyền chọn cổ phiếu 28

1.1 Các giới hạn trên 28

1.2 Giới hạn dưới của quyền chọn không trả cổ tức 28

1.3 Giới hạn dưới của quyền chọn trả cổ tức 30

1.4 Mối quan hệ giữa quyền chọn mua và quyền chọn bán 30

2 Định giá quyền chọn 31

2.1 Định giá quyền chọn cây nhị phân 31

2.2 Mô hình Black-Scholes 41

Trang 3

MỤC LỤC

4 Tổng quan về “quyền chọn thực”: một cách nhìn mới về đầu tư 56

1 Cách tiếp cận theo quan điểm quyền chọn 56

2 Tính không thể đảo ngược và Khả năng trì hoãn 57

3 Dao động giá hai thời kỳ 59

3.1 Tính chất tương tự như một quyền chọn tài chính 61

4 Cơ hội đầu tư khi chi phí thay đổi 63

5 Cơ hội đầu tư khi lãi suất thay đổi 64

5 Quyết định đầu tư của doanh nghiệp 67 1 Cơ hội và thời điểm đầu tư 67

1.1 Mô hình ban đầu 68

1.2 Tiếp cận mô hình bằng quy hoạch động 69

1.3 Tiếp cận mô hình bằng phương pháp phân tích “Nhu cầu tài chính ngẫu nhiên” 70

1.4 Các tính chất của nguyên tắc đầu tư tối ưu 72

2 Định giá dự án và ra quyết định đầu tư 77

2.1 Chi phí vận hành và sự trì hoãn tạm thời 77

2.2 Định giá dự án khi đầu ra thay đổi 77

3 Chiến lược ra nhập hoặc từ bỏ 78

3.1 Chiến lược ra nhập và từ bỏ hỗn hợp 79

3.2 Định giá hai quyền chọn 80

6 Ứng dụng phân tích và định giá 82 1 Định giá cơ hội đầu tư khi chi phí đầu tư thay đổi 82

1.1 Giới thiệu mô hình 82

1.2 Phương pháp 82

2 Định giá cơ hội đầu tư khi thời điểm thực hiện không xác định 86

2.1 Giới thiệu mô hình 86

2.2 Mô hình 87

http://www.emiscom.com © DHVP - Empirics.net3 ° EMISCOM, 4/2006c

Trang 4

Phần I

Quyền chọn

Trang 5

Chương 1

Tổng quan về quyền chọn

1.1 Quá trình hình thành thị trường quyền chọn

Vào đầu những năm 1900, hiệp hội những nhà môi giới và kinh doanh quyền chọn(1)rađời Nhà đầu tư muốn mua quyền chọn sẽ liên hệ với một công ty thành viên, công tynày sẽ tìm người bán quyền chọn từ khách hàng của công ty hoặc của các công ty thànhviên khác Nếu không có người bán, công ty đó sẽ tự phát hành quyền chọn với giá cảthích hợp Thị trường hoạt động theo cách này gọi là thị trường phi tập trung OTC(2),các nhà kinh doanh không gặp nhau trên sàn giao dịch

Việc mua bán quyền chọn trở nên phổ biến đầu tiên ở Chicago Board of OptionsExchange Vào thời kỳ đó chủ yếu trao đổi các cổ phiếu thương mại đơn lẻ

Năm 1982, quyền chọn bắt đầu giao dịch trên các hợp đồng tương lai với trái phiếuchính phủ, và loại giao dịch này phát triển rất nhanh Giao dịch trên thị trường đấu giá

mở, việc mua bán quyền chọn cung cấp rất nhiều công cụ để đầu cơ và phòng hộ giá chocộng đồng thương mại Sự thành công của hợp đồng quyền chọn đã mở lối cho việc rađời quyền chọn trên vô số các hàng hoá tiêu dùng, như ngô, đậu nành và các sản phẩmkhác

1.2 Mức độ phát triển hiện nay

Khi xã hội ngày càng phát triển, giao dịch quyền chọn ngày càng trở nên phổ biến hơn,lan rộng sang Anh, Brasil, Đức, Pháp, Nhật Bản, Singapore, Hồng Kông và Australia

Việc toàn cầu hoá thị trường thế giới đã tạo ra nhu cầu liên kết điện tử và thươngmại 24/24 trong ngày Thị trường Mỹ đã đáp ứng nhu cầu này bằng cách tạo ra nhữngsản phẩm giao dịch quốc tế, mở rộng giờ giao dịch và triển khai một sàn giao dịch điện tử

(1) Option

(2) Over-the-counter

5

Trang 6

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ QUYỀN CHỌN

Những hệ thống đáng chú ý nhất là GLOBEX (được CME phát triển) và Project A(được CBOT) phát triển Ở Đức, Deutsche Terminborse Exchange đã bỏ kiểu giao dịchđấu giá mở, thay vào đó vận hành sàn giao dịch điện tử

Trên hệ thống GLOBEX, các nhà đầu tư cá thể có thể giao dịch dựa trên chỉ số SP500,SP500 mini và NASDAQ 100 và các hợp đồng con Các nhà đầu tư cá thể cũng có thểmua bán ngoại hối trên GLOBEX

Trên hệ thống Project A (hiện tại là hệ thống Eurex(3)), các nhà đầu tư cá thể có thểmua bán trái phiếu T-bonds và tín phiếu, quyền chọn, và tất cả các sản phẩm ngũ cốctrên CBOT Giao dịch điện tử được thiết kế để hỗ trợ việc đấu giá mở ngoài giờ giao dịchchính thức

In-the-Money Nếu một quyền chọn có giá trị nội tại(8), nó được gọi là in-the-money

Quyền chọn mua Một quyền chọn mua được gọi là in-the-money khi giá tài

sản cơ sở cao hơn giá thực hiện

Quyền chọn bán Một quyền chọn bán được gọi là in-the-money khi giá tài sản

cơ sở thấp hơn giá thực hiện

(3) Tháng 8 năm 2000, CBOT xây dựng Eurex, tất cả các giao dịch trên Project A hiện tại đều thực hiện trên Eurex

Trang 7

2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA QUYỀN CHỌN TRÊN CỔ PHIẾU

Out-of-the-Money

Quyền chọn mua Một quyền chọn mua là out-of-the-money nếu giá tài sản cơ

sở hiện tại thấp hơn giá thực hiện

Quyền chọn bán Một quyền chọn mua là out-of-the-money nếu giá tài sản cơ

sở hiện tại cao hơn giá thực hiện

Quyền chọn kiểu Châu Âu Quyền chọn kiểu Châu Âu là quyền chọn được thựchiện vào cuối kỳ hạn

Quyền chọn kiểu Mỹ Quyền chọn kiểu Mỹ là quyền chọn có thể được thực hiện vàobất kỳ thời điểm nào trước khi đáo hạn Quyền chọn này có tính linh động hơn so vớiquyền chọn kiểu Châu Âu

Thế trường vị (9)Là vị thế khi nhà đầu tư mua tài sản, ở đây là mua một quyền chọntrên tài sản do dự báo rằng giá tài sản sẽ tăng phiếu tăng

Thế đoản vị (10) Nhìn chung vị thế của nhà đầu tư khi bán một tài sản mà người đókhông sở hữu Vị thế này trái ngược với thế trường vị

2.1 Các yếu tố ảnh hưởng đến giá quyền chọn cổ phiếu

Có 6 yếu tố tác động đến giá quyền chọn cổ phiếu:

1 Giá cổ phiếu ở thời điểm hiện tại;

2 Giá thực hiện;

3 Khoảng thời gian từ thời điểm hiện tại cho đến khi đáo hạn quyền;

4 Độ bất ổn của giá cổ phiếu;

5 Lãi suất phi rủi ro;

6 Cổ tức kỳ vọng sẽ thanh toán trong khoảng thời gian quyền có hiệu lực;

Báo cáo sẽ tiến hành phân tích tác động tới giá quyền chọn khi thay đổi mỗi yếu tố kểtrên trong điều kiện các yếu tố còn lại không đổi Kết quả chung được trình bày ở bảng 1.1

(9) Long position

(10) Short position

Trang 8

Bảng 1.1: Tóm tắt tác động của các yếu tố đến giá quyền chọn cổ phiếu

Giá cổ phiếu và giá thực hiện

Nếu một quyền chọn mua được thực hiện ở một thời điểm trong tương lai thì khoản lợinhuận thu được sẽ bằng khoảng lớn hơn của giá cổ phiếu so với giá thực hiện Do đónếu giá cổ phiếu tăng thì giá của quyền chọn mua sẽ tăng và nếu giá thực hiện tăng thìgiá của quyền chọn mua sẽ giảm Với một quyền chọn bán, lợi nhuận thu về nếu quyềnchọn được thực hiện sẽ bằng khoảng lớn hơn của giá thực hiện so với giá cổ phiếu Nhưthế giá quyền chọn bán sẽ tăng nếu như giá thực hiện tăng và giảm nếu như giá cổ phiếutăng

Thời gian đến lúc đáo hạn

Yếu tố này có tác động rõ ràng hơn đến quyền chọn kiểu Mỹ (cả mua và bán), nếu nhưthời gian còn lại cho đến lúc đáo hạn càng dài thì giá của quyền chọn sẽ càng cao Xétvới hai quyền chọn giống nhau về cá yếu tố khác ngoại trừ thời gian cho đến ngày đáohạn Người sở hữu quyền chọn có thời gian dài hơn rõ ràng có nhiều thời gian để lựachọn thực hiện quyền hơn người sở hữu quyền chọn ngắn hơn

Với quyền chọn kiểu Châu Âu, thời gian đến ngày đáo hạn không thực sự có ảnhhưởng đến giá quyền chọn do cả 2 quyền nói trên đều chỉ có thể thực hiện ở thời cùngmột thời điểm là ngày đáo hạn Thậm chí trong nhiều trường hợp quyền chọn ngắnhơn có thể có giá cao hơn, chẳng hạn như hai quyền chọn mua có chung mọi đặc tính,một quyền sẽ đáo hạn trong 1 tháng nữa, quyền còn lại đáo hạn trong 2 tháng Nếu cổphiếu có trả cổ tức và thời điểm thanh toán là 6 tuần nữa, thì do tác động của việc trả

cổ tức, quyền chọn đáo hạn trong 1 tháng hơn sẽ có giá cao hơn

Độ bất ổn

Định nghĩa chính xác về độ bất ổn sẽ được giới thiệu trong phần mô hình Black-Scholes,

ở đây có thể hiểu đơn giản nhất độ bất ổn là một thước đo mức độ không chắc chắn củabản thân nhà đầu tư vào biến động trong tương lai của giá cổ phiếu Độ bất ổn càng caothì khả năng giá cổ phiếu có thể lên rất cao hoặc xuống rất thấp cũng tăng cao Người sởhữu cổ phiếu có thể coi hai xu hướng này “triệt tiêu” lẫn nhau và không quá lo lắng Tuynhiên người sở hữu quyền mua hay quyền bán thì không như vậy Người sở hữu quyềnmua sẽ có lợi nếu như giá cổ phiếu tăng lên nhưng họ chỉ phải chịu rủi ro có giới hạn

Trang 9

2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA QUYỀN CHỌN TRÊN CỔ PHIẾU

nếu giá giảm, mức lỗ cao nhất họ phải chịu chính bằng giá của quyền mua Với người

sở hữu quyền bán, họ sẽ có lợi nếu như giá của cổ phiếu giảm mạnh và họ chỉ phải chịurủi ro có giới hạn nếu giá tăng, lỗ cao nhất phải chịu cũng chính là giá của quyền mua

Vì lý do này, giá của quyền chọn mua và quyền chọn bán sẽ tăng cao nếu như độ bất ổncủa cổ phiếu tăng

Lãi suất phi rủi ro

Tác động của lãi suất phi rủi ro đến giá của quyền chọn cổ phiếu không thực sự rõ ràngnhư những trường hợp trước Khi lãi suất phi rủi ro trong nền kinh tế tăng tỉ lệ tăngtrưởng kỳ vọng với giá cổ phiếu cũng sẽ có xu hướng tăng Đồng thời giá trị hiện tạicủa các dòng tiền mà nhà đầu tư kỳ vọng sẽ nhận được trong tương lai sẽ giảm Hai tácđộng này đều có xu hướng làm giảm giá của quyền chọn bán Do đó giá quyền chọnbán có xu thế giảm khi lãi suất phi rủi ro trên thị trường tăng Với quyền chọn mua,tác động đầu tiên có xu thế làm tăng giá quyền nhưng tác động thứ hai lại có xu thế làmgiảm giá quyền Tuy nhiên tác động thứ nhất luôn lấn át tác động thứ 2 do đó khi lãisuất phi rủi ro tăng thì giá quyền chọn bán cũng tăng

Cần nhấn mạnh lại những tác động kể trên chỉ được nghiên cứu trong tình huốngcác yếu tố khác không đổi, điều này là không có thực đặc biệt khi một nhân tố quantrọng trong nền kinh tế là lãi suất phi rủi ro thay đổi Thực tế cho thấy giá cổ phiếu có

xu thế biến động ngược chiều với biến động của lãi lãi suất phi rủi ro Tác động cộnggộp của lãi suất và giá có thể mang đến những kết quả rất khác

Cổ tức

Cổ tức làm cho giá cổ phiếu giảm xuống trong ngày giao dịch không hưởng quyền Đây

là thông tin “xấu” với giá của quyền chọn mua và là thông tin “tốt” với giá của quyềnchọn bán Như thế giá của quyền chọn mua có tương quan ngược chiều và giá quyềnchọn mua có tương quan cùng chiều với những dự báo về quy mô trả cổ tức

2.2 Các giả định và ký hiệu

Việc nghiên cứu về các đặc tính quyền chọn cần có một số giả định sau:

1 Không có chi phí giao dịch;

2 Tất cả các lợi nhuận thu về (lỗ thuần) từ hoạt động giao dịch đều chịu cùng mộtmức thuế;

3 Có thể vay và cho vay tại mức lãi suất phi rủi ro

Giả định mọi thành viên tham gia trên thị trường đều luôn sẵn sàng để giành lấynhững cơ hội kinh doanh chênh lệch giá nếu xuất hiện Do đó bất kỳ cơ hội nào cũng

sẽ biến mất rất nhanh Như vậy hoàn toàn có cơ sở để giả định không có cơ hội kinhdoanh chênh lệch giá nào phát sinh trên thị trường

Những ký hiệu sau được sử dụng trong báo cáo:

• clà giá hợp đồng quyền chọn mua kiểu Châu Âu;

Trang 10

• Clà giá hợp đồng quyền chọn mua kiểu Mỹ;

• plà giá hợp đồng quyền chọn bán kiểu Châu Âu;

• P là giá hợp đồng quyền chọn bán kiểu Mỹ;

• Xlà giá thực hiện quyền chọn (cả mua và bán); và

• Slà giá cổ phiếu ở thời điểm hiện tại;

• S T là giá cổ phiếu ở thời điểm T ;

• rlà lãi suất phi rủi ro trên thị trường;

• T là thời điểm đáo hạn;

• tlà thời điểm hiện tại;

• σlà độ bất ổn của giá cổ phiếu

Lưu ý: r là lãi suất danh nghĩa, không phải lãi suất thực Ta, do đó, có thể giả định

r > 0

Định nghĩa 1 Giả sử S là giá trị của một tài sản và S dao động bất định phụ thuộc vào tác động của thị trường T là thời gian đáo hạn Một quyền chọn là một hợp đồng giữa người nắm giữ và người viết, bắt đầu có hiệu lực từ thời điểm t = 0, trong đó người nắm giữ quyền chọn có quyền đòi một lợi nhuận X ngẫu nhiên nào đó X phụ thuộc vào sự tiến triển của S tại một thời điểm trong tương lai, bao gồm cả thời điểm T.

Như vậy, quyền chọn bản chất là một vụ cá cược tinh vi Ta có thể có ngay một sốkết luận : Thứ nhất, hợp đồng quyền chọn phải có một giá trị nhất định đối với nắmgiữ nó Người viết hợp đồng có thể đánh phí rất cao để phòng vệ nhằm chống lại rủi

ro chi trả nhiều một cách thường xuyên Nhưng nếu như vậy thì người viết hợp đồngdường như có lợi hơn và thị trường sẽ đổ xô bán quyền chọn chứ không mua Ngượclại, nếu người bán quyền chọn không đưa ra một mức giá đủ cao Những khách hàngtham vọng sẽ tìm cơ hội mua quyền chọn đó với số lượng lớn Cả hai trường hợp trên

đề chứa những ví dụ về đầu cơ, trong khi những nhà đầu tư khác trên thị trường thì đều

mong muốn một cơ chế xác lập giá công bằng

Bản chất là một công cụ tài chính, ưu điểm của quyền chọn thể hiện trong 3 hìnhthức giao dịch của 3 nhóm người trên thị trường quyền chọn:

Trang 11

3 GIAO DỊCH QUYỀN CHỌN

Người phòng hộ. Những người này mua quyền chọn như một dạng hợp đồng bảohiểm trước những thay đổi bất thường của thị trường Nếu một công ty có quan hệngoại thương thì nó sẽ mua hợp đồng quyền chọn tiền tệ để được chi trả một khoảnchắc chắn khi tỷ giá hối đoái trở nên bất lợi Theo cách này, bạn có thể phòng vệ nhiềuhay ít tùy thuộc vào việc bạn mua quyền chọn trị giá bao nhiêu Ví dụ, nếu ta muốnnhập khẩu 1 tỷ yên hàng điện tử của Nhật trong thời hạn 1 năm kể từ bây giờ với tỷ giá

200 yên/bảng, có thể thực hiện một quyền chọn cam kết chi trả cho bạn 1 tỷ yên saumột năm nếu tỷ giá hối đoái chỉ còn 181.23 yên/bảng tại bất kỳ thời điểm nào trong 1năm đó Điều này có nghĩa là, khi giá đồng yên tăng tương đối với đồng bảng thì tan cóthể thực thi quyền chọn và mua hàng hóa Còn nếu tỷ giá tiếp tục duy trì ở mức thấpthì ta sẽ mất số tiền bỏ ra để mua quyền chọn và sẽ mua hàng tại tỷ giá mà ta sẵn sàngchi trả Chi phí của chiến lược phòng hộ này chỉ là mua một quyền chọn với giá tươngđối rẻ so với những biến động lớn của thị trường tiền tệ

Nhà đầu cơ. Là những người đánh cược vào sự biến động của giá các loại tài sản

Họ tham gia vào một vị thế nhất định thị trường tùy thuộc vào niềm tin của mình, lỗ

hoặc lãi hoàn toàn ngẫu nhiên Họ coi chứng khoán phái sinh như một công cụ tăng ga

cho hoạt động đầu tư của họ Bởi vì các sản phẩm phái sinh từ các tài sản cơ sở có khảnăng mang lại lợi nhuận nhiều hơn chính các tài sản cơ sở đó Ví dụ, bạn đầu tư 10.000bảng vào một cổ phiếu trị giá 10 bảng để mua 1.000 cổ phiếu đó Nếu giá cổ phiếu tănglên 11 bảng trong vòng một năm, bạn lãi được 1.000 bảng Còn nếu bạn mua một hợpđồng quyền chọn để được quyền mua cổ phiếu trên với giá 10 bảng trong một năm, vàbạn phải mất chi phí, giả sử, 0.5 bảng một cổ phiếu, bạn có thể mua được 20.000 nghìn

cổ phiếu Nếu giá cổ phiếu tăng lên 11 bảng, bạn thực thi quyền chọn, mua 20.000 cổphiếu với giá 10 bảng và bán lại chúng trên thị trường với giá 11 bảng, bạn sẽ lãi 10.000bảng Đương nhiên, nếu giá cổ phiếu tụt xuống chỉ 9.99 bảng, bạn sẽ mất toàn bộ sốtiền bỏ ra mua quyền chọn

Những nhà cơ lợi phi rủi ro. (11) Là những người quan sát thị trường và cố gắngtìm ra những tình huống thu lời phi rủi ro Họ kết hợp việc mua hàng hóa tại một thịtrường này và bán lại tại một thị trường khác sao cho độ chênh lệch giá đảm bảo mộtkhoản lãi Một ví dụ đơn giản là khi một cổ phiếu được giao dịch tại hai mức giá khácnhau trên hai thị trường Nếu một cổ phiếu được giao dịch tại London với giá 100 bảng

và 285 mác Đức tại Frankfurt, trong khi tỷ giá hối đoái là 2.82 mác/bảng, thì cổ phiếu

đó rẻ hơn tương đối ở London Bạn có thể mua 1.000 cổ phiếu tại London và bán lạichúng tại Frankfurt rồi đổi mác Đức sang bảng và thu được một khoản 1063.3 bảng màkhông phải chịu bất kỳ rủi ro nào Những cơ hội như vậy là vô cùng hiếm và ngay lậptức nó bị chộp mất bởi những người săn cơ hội kiếm lời Khi mọi người mua cổ phiếuthì giá sẽ tăng trên thị trường London và khi mọi người bán cổ phiếu đó tại Frankfurtthì giá ở đây cũng sẽ giảm đi cho đến khi nào giá ở hai nơi được xác lập cân bằng

(11) Arbitraguer

Trang 12

Có rất nhiều danh mục đầu tư chỉ gồm một quyền chọn trên một cổ phiếu(1) và chính

cổ phiếu đó Lợi nhuận của những chiến lược kinh doanh như vậy được minh họa trênhình 2.1 Nét đứt biểu diễn mối quan hệ giữa lợi nhuận và giá cổ phiếu trong danh mục,nét liền biểu diễn mối quan hệ giữa lợi nhuận và giá của chính danh mục đó Hình 2.1a

mô tả một danh mục đầu tư gồm một thế trường vị (long position(2)) trên cổ phiếu và

một thế đoản vị (short position(3)) trên quyền chọn mua chính cổ phiếu đó Nghĩa là,bạn đang nắm giữ cổ phiếu và bán đi một hợp đồng quyền chọn mua chính cổ phiếu

đó Nếu giả định thị trường cho phép bán khống, danh mục đầu tư có thể được xác lậpbằng cách bán khống một quyền chọn mua cổ phiếu và dùng luôn số tiền ấy để mua

cổ phiếu Khi ấy chiến lược kinh doanh là bán quyền chọn khống(4) Trong trườnghợp không cho phép bán khống, danh mục đầu tư này tương tự với chiến lược kinh

doanh bán quyền chọn mua có bảo đảm(5) Bởi vì trong trường hợp này, thế trường

vị trên cổ phiếu đồng nghĩa với việc sở hữu những cổ phiếu đó và điều này là ít rủi rohơn rất nhiều so với việc buôn bán khống Nó bảo vệ nhà đầu tư không thiệt hại quánhiều khi giá trị trường của cổ phiếu trở nên không như mong đợi Nếu giá cổ phiếutăng cao, người sở hữu quyền chọn mua sẽ thực hiện mua cổ phiếu với giá hời Nếutrước đây bạn bán khống quyền chọn, không có cổ phiếu trong tay bạn sẽ phải chịu lỗlớn Nếu giá cổ phiếu giảm rất thấp, người sở hữu quyền chọn không thực hiện quyềnchọn nữa và bạn có một khoản bù lỗ bằng giá quyền chọn đã bán Hình 2.1b mô tảdanh mục đầu tư gồm một thế đoản vị trên cổ phiếu và một thế trường vị trên một

(1) Single option on a stock

(2)Long position, gọi tắt là long, tương đương với việc mua cổ phiếu hoặc quyền chọn

(3)Short position, gọi tắt là short, tương đương với việc bán khống cổ phiếu hoặc bán/viết quyền chọn

(4) writing a naked option - mô tả một giao dịch mà người bán quyền không sở hữu tài sản cơ sở của quyền chọn.

(5) Writing a covered call - nhà đầu tư có danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị của với một tài sản kết hợp với thế đoản vị với quyền chọn mua trên chính tài sản đó

Trang 13

1 TRƯỜNG HỢP MỘT QUYỀN CHỌN CỦA MỘT CỔ PHIẾU DUY NHẤT

quyền chọn mua Trong trường hợp này, danh mục đầu tư tương đương với một chiếnlược kinh doanh ngược với chiến lược ký kết quyền chọn bảo đảm ở trên Hình 2.1c và2.1d mô tả các danh mục gồm một trường vị trên cổ phiếu kết hợp với trường vị trênquyền chọn bán; và một đoản vị trên cổ phiếu kết hợp với đoản vị trên quyền chọn bán

Những danh mục này tương đương với chiến lược kinh doanh quyền chọn bán an toàn(6)

Hình 2.1: Lợi nhuận từ chiến lược mua bán liên quan đến quyền chọn đơn một cổ phiếu

(6) Protective put option - Nhà đầu tư hiện đang nắm giữ cổ phiếu đồng thời mua thêm một quyền chọn bán với chính loại cổ phiếu đó.

Trang 14

CHƯƠNG 2 CÁC CHIẾN LƯỢC KINH DOANH HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN

Hệ thức cặp đôi mua bán(7) cho biết mối quan hệ tương quan giữa quyền chọn bán vàmua trên cùng một cổ phiếu giải thích hình dạng của các đồ thị trên Công thức nhưsau:

Trong đó:

• p là giá quyền chọn bán kiểu Châu Âu;

• c là giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu;

• S là giá cổ phiếu;

• X là giá thực thi của cả quyền chọn bán và mua;

• r là lãi suất phi rủi ro;

• T là thời điểm đáo hạn; và

• D là giá trị hiện tại của cổ tức(8)

Phương trình 1.1 cho biết giá trị một danh mục gồm trường vị trên quyền chọn bán

và trường vị trên cổ phiếu tương đương với một trường vị trên quyền chọn mua cổ phiếu

đó và một lượng tiền mặt là Xe −r(T −t) + D Điều này giải thích vì sao hình 2.1c có dạng

giống với đồ thị biểu diễn lợi nhuận của việc mua quyền chọn mua và hình 2.1a giốngvới đồ thị lợi nhuận của việc bán quyền chọn bán Hình 2.1d và 2.1b được giải thíchngược lại

Chiến lược mua bán song hành là chiến lược sở hữu cùng một vị thế trên hai quyềnchọn cùng loại hoặc nhiều hơn của cùng một loại tài sản cơ sở Nghĩa là cùng mua hoặccùng bán các quyền chọn mua hoặc quyền chọn bán trên cùng một loại tài sản

2.1 Mua bán theo chiều lên

(9) Một trong những chiến lược mua bán phổ biến nhất là chiến lược mua bán theo

chiều lên Chiến lược này được thực hiện bằng cách mua quyền chọn mua một cổ phiếu

tại một mức giá thực hiện nhất định và bán quyền chọn mua chính loại cổ phiếu đó tạimức thực hiện cao hơn Cả hai quyền chọn mua này đều có cùng ngày đáo hạn Chiếnlược này được minh họa trong hình 2.2 Lợi nhuận thu được từ hai quyền chọn muađược biểu diễn bởi đường nét đứt

Lợi nhuận tổng hợp khi thực hiện chiến lược được biểu diễn bằng đường nét liền

Vì giá một quyền chọn luôn giảm khi giá thực hiện tăng, nên giá trị của quyền chọn đãbán đi luôn nhỏ hơn giá của quyền chọn được mua vào Như vậy chiến lược mua bán

(7) Put - Call parity

(8) D là giá trị chiếu khấu về hiện tại của tất cả các dòng cổ tức trên cổ phiếu xuất hiện trong tương lai.

(9) Bull Spreads

Trang 15

2 MUA BÁN SONG HÀNH

Hình 2.2: Mua bán chiều lên với quyền chọn mua

Bảng 2.1: Lợi nhuận từ chiến lược mua bán theo chiều lên

S T ≥ X2 S T − X1 X2− S T X2− X1

X1 < S T < X2 S T − X1 0 S T − X1

theo chiều lên cần phải có đầu tư ban đầu

Giả sử rằng X1 là giá thực hiện của quyền chọn mua được mua vào, X2 là giá thực

hiện của quyền chọn mua đã bán ra, và S T là giá cổ phiếu vào ngày đáo hạn của quyềnchọn Bảng 2.5 cho thấy tổng toàn bộ lợi nhuận thu được từ chiến lược mua bán theochiều lên trong các tình huống khác nhau

Chiến lược mua bán theo chiều lên hạn chế cả khả năng thắng lớn cũng như thua trắngcủa nhà đầu tư Có thể mô tả chiến lược này giống như nhà đầu tư có được một quyền

chọn mua với giá thực hiện là X1 và quyết định từ bỏ tiềm năng thắng lớn bằng cách

bán quyền chọn mua có giá thực hiện là X2 (X2 > X1) Để đổi lại, nhà đầu tư đã giảmbớt được số tiền thua lỗ ban đầu bằng với mức giá của quyền chọn mua có giá thực hiện

là X2 Có 3 loại chiến lược mua bán theo chiều lên khác nhau:

1 Cả hai quyền chọn ban đầu ở trạng thái lỗ - out of the money(10)

2 Một quyền chọn lúc đầu ở trạng thái lỗ - out of the money), quyền chọn kia lúc đầu ở trạng thái lãi - in the money(11)

(10)out of the money là trường hợp: với quyền chọn bán là giá thực hiện thấp hơn giá thị trường của cổ

phiếu; với quyền chọn mua là giá thực hiện cao hơn giá thị trường của cổ phiếu.

(11)in the money là trường hợp: với quyền chọn bán là giá thực hiện cao hơn giá thị trường của cổ phiếu;

với quyền chọn mua là giá thực hiện thấp hơn giá thị trường của cổ phiếu.

Trang 16

3 Cả hai quyền chọn lúc đầu ở trạng thái lãi - in the money)

Chiến lược mạo hiểm nhất là chiến lược đầu tiên Chi phí để thực hiện chiến lược

này rất thấp, xác suất để có được lợi nhuận (= X2− X1) khá thấp Chiến lược loại 2 vàloại 3 là những chiến lược thận trọng hơn

Chiến lược mua bán theo chiều lên cũng có thể được thực hiện bằng cách mua quyềnchọn bán với giá thực hiện thấp và bán quyền chọn bán với giá thực hiện cao (xem hình2.3) Khác với chiến lược mua bán sử dụng quyền chọn mua, chiến lược mua bán sửdụng quyền chọn bán có lãi ngay từ đầu Lợi nhuận có được từ chiến lược sử dụngquyền chọn bán cũng ít hơn so với sử dụng quyền chọn mua

Hình 2.3: Mua bán chiều lên với quyền chọn bán

2.2 Mua bán theo chiều xuống

Ngược với mua bán theo chiều lên, nhà đầu tư thực hiện mua bán theo chiều xuống(12)

với hy vọng rằng giá cổ phiếu sẽ giảm Chiến lược mua bán theo chiều xuống cũngđược thực hiện bằng cách mua và bán hai quyền chọn mua với giá thực hiện khác nhau.Trong trường hợp mua bán theo chiều xuống, giá thực hiện của quyền chọn mua vàocao hơn giá thực hiện của quyền chọn bán ra Điều này được minh họa trong hình 2.4,trong đó lợi nhuận được biểu diễn bởi đường nét liền Chiến lược mua bán theo chiềuxuống sử dụng quyền chọn mua sẽ có lãi ngay từ đầu vì giá của quyền chọn được bán racao hơn giá của quyền chọn được mua vào

Giả sử rằng giá thực hiện là X1 và X2với X1 < X2 Bảng 2.2 cho thấy lợi nhuận thuđược từ chiến lược mua bán theo chiều xuống trong các tình huống khác nhau Lưu ý

(12) Bear Spreads

Trang 17

Hình 2.4: Mua bán chiều xuống với quyền chọn bán

Bảng 2.2: Lợi nhuận từ chiến lược mua bán theo chiều xuống

Trang 18

trong trường hợp này, phần lãi ban đầu được tính gộp vào lợi nhuận

Giống như chiến lược mua bán theo chiều lên, chiến lược mua bán theo chiều xuốnghạn chế cả cơ hội có lãi lớn cũng như rủi ro chịu thiệt hại lớn Chiến lược mua bán theochiều xuống có thể được thực hiện bằng cách mua bán quyền chọn bán Nhà đầu tưmua quyền chọn bán có giá thực hiện cao và bán quyền chọn bán có giá thực hiện thấp(xem hình 2.5) Chiến lược mua bán theo chiều xuống sử dụng các quyền chọn bán sẽ

có chi phí đầu tư ban đầu Thực chất là nhà đầu tư mua một quyền chọn bán với giáthực hiện xác định và từ bỏ lợi nhuận tiềm năng khi bán quyền chọn bán khác với giáthực hiện thấp hơn Để đổi lại, nhà đầu tư phải bỏ tiền ra bù vào giá chênh lệch giữahai quyền chọn

Hình 2.5: Mua bán chiều xuống với quyền chọn mua

2.3 Mua bán quyền chọn liên hợp

Chiến lược mua bán quyền chọn liên hợp(13)là khi thực hiện mua bán các quyền chọnvới ba mức giá thực hiện khác nhau Có thể thực hiện chiến lược này bằng cách mua

một quyền chọn mua với giá thực hiện X1thấp; đồng thời mua một quyền chọn mua với

giá thực hiện X3 cao; và bán hai quyền chọn mua với giá thực hiện X2 trong khoảng từ

X1đến X3 Nhìn chung, có thể chọn X2 gần bằng giá cổ phiếu hiện tại Dạng lợi nhuận

có được từ chiến lược này được biểu diễn trong hình 2.6 Chiến lược mua bán quyền

chọn liên hợp có thể sinh ra lợi nhuận nếu giá cổ phiếu đứng ở mức gần X2, nhưng sẽgây thiệt hại nếu giá cổ phiếu tăng hay giảm đáng kể Do đó đây là một chiến lược thíchhợp cho nhà đầu tư nếu giá cổ phiếu không có xu hướng thay đổi đáng kể Chiến lượcnày cũng đòi hỏi đầu tư ban đầu Lợi nhuận có được từ chiến lược này được mô tả trongbảng 2.3

Chiến lược mua bán quyền chọn liên hợp cũng có thể thực hiện với quyền chọn bán.Nhà đầu tư mua quyền chọn bán với giá thực hiện thấp, mua thêm một quyền chọn bán

(13) Butterfly Spreads

Trang 19

Hình 2.6: Mua bán liên hợp với quyền chọn mua

Bảng 2.3: Lợi nhuận từ chiến lược mua bán liên hợp

Trang 20

với giá thực hiện cao, và bán hai quyền chọn bán với giá thực hiện trung bình Điều nàyđược mô tả trong hình 2.7

Hình 2.7: Mua bán liên hợp với quyền chọn bán

Chiến lược mua bán liên hợp cũng có thể được thực hiện theo kiểu ngược lại Nhà

đầu tư bán quyền chọn mua với giá thực hiện X1 và X3, và mua hai quyền chọn với

giá thực hiện X2 nằm trong khoảng X1, X3 Chiến lược này sẽ mang lại một khoản lợinhuận khiêm tốn nếu giá cổ phiếu thay đổi đáng kể

2.4 Mua bán song hành theo lịch

Trong các chiến lược mua bán trước, tất cả các quyền chọn đều có cùng thời điểm đáohạn Trong chiến lược mua bán song hành theo lịch(15), các quyền chọn có cùng mứcgiá thực hiện nhưng đáo hạn ở những thời điểm khác nhau

Chiến lược mua bán song hành theo lịch có thể được thực hiện bằng cách bán mộtquyền chọn mua với một giá thực hiện nhất định và mua một quyền chọn mua khác vớicùng giá thực hiện đó nhưng có thời điểm đáo hạn lâu hơn Thời điểm đáo hạn càng lâuthì giá của quyền chọn càng cao Do đó chiến lược này cần phải đầu tư ban đầu Giả sửrằng quyền chọn đáo hạn muộn hơn được bán vào thời điểm đáo hạn quyền chọn đáohạn sớm hơn, lợi nhuận có được từ chiến lược này được minh họa trong hình 2.8 Hìnhnày trông gần giống như hình 2.6 biểu diễn lợi nhuận của chiến lược mua bán quyềnchọn liên hợp Nhà đầu tư có lợi nhuận nếu giá cổ phiếu ở thời điểm đáo hạn của quyềnchọn đáo hạn sớm hơn gần bằng giá thực hiện của quyền chọn này Ngược lại nhà đầu

tư sẽ bị lỗ nếu giá cổ phiếu cao hay thấp hơn giá thực hiện

Để có thể hiểu được cơ cấu lợi nhuận từ chiến lược mua bán song hành theo lịch,đầu tiên xem xét trường hợp giá cổ phiếu thấp vào thời điểm đáo hạn của quyền chọn

(15) Calendar Spreads

Trang 21

Hình 2.8: Mua bán theo lịch với hai quyền chọn mua

đáo hạn sớm hơn Lúc này quyền chọn này vô giá trị và quyền chọn đáo hạn lâu hơn cógiá trị gần bằng 0 Do đó, nhà đầu tư chịu lỗ một khoản ít hơn khoản đầu tư ban đầu

một chút Tiếp tục xem xét trường hợp nếu giá cổ phiếu S T cao vào thời điểm đáo hạncủa quyền chọn đáo hạn sớm hơn Chi phí của quyền chọn đáo hạn sớm mà nhà đầu

tư phải chịu là S T − X và giá trị của quyền chọn đáo hạn muộn cao hơn S T − X một

chút (X là giá thực hiện của quyền chọn) Như vậy nhà đầu tư lại phải chịu một tổn thất

ròng thấp hơn chi phí đầu tư ban đầu một chút Nếu S T gần bằng X, chi phí của quyềnchọn đáo hạn sớm đối với nhà đầu tư hoặc là rất ít, hoặc bằng không Trong khi đó giátrị của quyền chọn đáo hạn muộn lại khá cao Trong trường hợp này nhà đầu tư có lợinhuận ròng đáng kể

Trong một chiến lược mua bán song hành trung lập(16), nhà đầu tư chọn giá thực

hiện gần bằng giá cổ phiếu Chiến lược mua bán song hành theo chiều lên(17) có giá

thực hiện cao hơn và chiến lược mua bán song hành theo chiều xuống(18) có giá thựchiện thấp hơn

Chiến lược mua bán song hành theo lịch cũng có thể được thực hiện với quyền chọnbán Nhà đầu tư mua quyền chọn bán đáo hạn lâu hơn và bán quyền chọn bán đáo hạnsớm hơn Hình 2.9 cho thấy dạng lợi nhuận của chiến lược này gần giống chiến lược sửdụng quyền chọn mua

(16) neutral calendar spread

(17) bullish calendar spread

(18) bearish calendar spread

Trang 22

Hình 2.9: Mua bán theo lịch với hai quyền chọn bán

Chiến lược mua bán theo lịch ngược(19) được mô tả ngược lại với hình 2.8 và hình2.9 Nhà đầu tư mua một quyền chọn đáo hạn sớm và bán một quyền chọn đáo hạnmuộn Điều này sẽ mang lại cho nhà đầu tư một khoản lợi nhuận nhỏ vào ngày đáo hạncủa quyền chọn đáo hạn sớm nếu giá cổ phiếu khá cao hoặc khá thấp hơn giá thực hiệncủa quyền chọn Ngược lại, nhà đầu tư sẽ thiệt hại nếu giá cổ phiếu gần với giá thựchiện

2.5 Mua bán theo tỉ lệ

Chiến lược mua bán theo tỉ lệ(20)gần tương tự như mua bán có bảo đảm(21) Chiến lượcmua bán theo tỉ lệ này thường được coi là chiến lược trung hoà, nhưng việc thay đổi sốlượng những quyền chọn ở thế đoản vị sẽ làm thay đổi bản chất của chiến lược Chiếnlược mua bán theo tỉ lệ chung nhất có hiệu số(22)giữa hai vị thế bằng 0 Khi thay đổi sốlượng quyền chọn ở thế đoản vị sẽ làm thay đổi hiệu số này Giả sử nhà đầu tư muốnmua bán theo tỉ lệ Chỉ cần giảm đi 1 quyền chọn ở thế đoản vị, chiến lược này chuyểnthành chiến lược mua bán theo chiều lên Ngược lại, nếu bán nhiều quyền chọn hơn,làm cho hiệu số chuyển từ 0 sang âm, thì chiến lược chuyển thành chiến lược mua bántheo chiều xuống

Nhìn chung, để thực hiện chiến lược này có nghĩa nhà đầu tư phải tạo lập một vị thếtrung hoà hiệu số Khi nhà đầu tư muốn thực hiện mua bán theo tỉ lệ, tìm hiệu số giữa

(19) reverse calendar spread

(20) ratio spread

(21) covered write

(22) delta

Trang 23

3 CHIẾN LƯỢC KINH DOANH KẾT HỢP

hai vị thế để xem liệu vị thế cuối cùng là trường vị hay đoản vị, và liệu vị thế đó có phùhợp với quan điểm hay chiến lược thị trường của nhà đầu tư hay không

Chiến lược mua bán theo tỉ lệ được coi là một chiến lược trung hoà, vì trường hợpmang lại lợi nhuận tối đa nằm trong khoảng giá thực hiện(23) đã chọn Trên thực tế,nhà đầu tư mong muốn giá chứng khoán ổn định khi thực hiện chiến lược mua bán theo

tỉ lệ Tuy nhiên, lưu ý rằng khi giá tài sản cơ sở vẫn nằm trong khoảng giá thực hiện,nhà đầu tư được lãi nhiều từ quyền chọn đoản vị hơn lỗ từ quyền chọn trường vị

Một trong những đặc điểm quan trọng của chiến lược mua bán theo tỉ lệ là chiếnlược này chỉ lỗ khi giá thay đổi một chiều Nhà đầu tư chỉ mất tiền khi giá thay đổi theochiều hướng giá thực hiện quyền chọn thế đoản vị

Lợi nhuận tối đa bằng số quyền chọn mua hoặc bán ở thế trường vị nhân với khoảnggiá điểm, trừ đi (cộng vào) phần có (nợ) ban đầu

Với chiến lược mua bán quyền chọn mua theo tỉ lệ, giá trị tại điểm hoà vốn(24) theochiều lên bằng giá thực hiện cao nhất cộng với thương số của phép chia lợi nhuận tối

đa cho số lượng quyền chọn khống

Với chiến lược mua bán quyền chọn bán theo tỉ lệ, giá trị tại điểm hoà vốn theo chiềuxuống bằng giá thực hiện thấp nhất trừ đi thương số của phép chia lợi nhuận tối đa cho

số lượng quyền chọn khống

2.6 Chiến lược mua bán chênh lệch theo đường chéo

Trong chiến lược mua bán theo chiều lên, theo chiều xuống hay theo lịch đều sử dụng

sự chênh lệch về các tham số giữa các quyền chọn được mua và bán Trong trường hợpmua bán theo chiều lên và xuống, các quyền chọn có cùng một ngày đáo hạn và chênhlệch về giá thực hiện Trong trường hợp mua bán theo lịch, các quyền chọn có cùng mộtgiá thực hiện và khác ngày đáo hạn Với chiến lược mua bán chênh lệch theo đườngchéo(25), tất cả các tham số như giá thực hiện và ngày đáo hạn của các quyền chọn đềukhác nhau Có một số cách khác nhau để thực hiện chiến lược này Lợi nhuận thu đượcthường thay đổi tùy theo dạng chiến lược áp dụng tương tự kiểu mua bán theo chiềulên hay theo chiều xuống

Chiến lược kinh doanh kết hợp là chiến lược mua bán cả quyền chọn mua và bán cùngmột loại chứng khoán cơ sở

Trang 24

Hình 2.10: Mua bán chênh lệch theo đường chéo

Bảng 2.4: Lợi nhuận từ chiến lược mua hàng hai

S T ≤ X 0 X − S T X − S T

S T > X S T − X 0 S T − X

3.1 Chiến lược mua hàng hai

Một trong những cách kết hợp phổ biến là chiến lược mua hàng hai(26) Chiến lược nàythực hiện bằng cách mua cả quyền chọn mua và bán với cùng một giá thực hiện và ngàyđáo hạn Lợi nhuận được biểu diễn trên hình 2.10, với giá thực hiện là X Nếu giá chứngkhoán càng gần với giá thực hiện tại thời điểm đáo hạn thì chiến lược này sẽ dẫn tớithiệt hại Song nếu giá chứng khoán tăng giảm đáng kể thì sẽ có lợi nhuận Lợi nhuận

từ chiến lược được liệt kê trong bảng 2.4

Chiến lược mua hàng hai phù hợp khi nhà đầu tư nhận thấy giá cổ phiếu sẽ biến độngmạnh song không chắc chắn sẽ biến động theo hướng nào

Chiến lược mua hàng hai thích hợp với cổ phiếu của công ty chuẩn bị được tiếp quản.Nếu quá trình tiếp quản thành công, giá cổ phiếu có thể tăng đột biến Ngược lại nếukhông thành công, giá cổ phiếu có thể giảm nhanh chóng Trong thực tế khó mà kiếmtiền dễ dàng như vậy Giá của quyền chọn với các cổ phiếu có giá dao động mạnh nhưvậy thường là cao so với các cổ phiếu có giá dự đoán không biến động

Chiến lược mua hàng hai trong hình 2.10 đôi khi còn được gọi là bottom straddle hay straddle purchase Ngược lại là chiến lược top straddle hay straddle write Chiến

(26) Straddle

Trang 25

3 CHIẾN LƯỢC KINH DOANH KẾT HỢP

lược này thực hiện bằng cách bán quyền chọn mua và bán với cùng một giá thực hiện vàngày đáo hạn Đây là một chiến lược có độ rủi ro cao Nếu giá cổ phiếu vào thời điểmđáo hạn gần với giá thực hiện thì sẽ có lợi nhuận đáng kể Song nếu giá cổ phiếu chênhlệch đáng kể về cả 2 phía thì thiệt hại sẽ khá lớn

3.2 Chiến lược Strips và Straps

Chiến lược strip bao gồm một thế trường vị trong một quyền chọn mua và hai quyền chọn bán với cùng một giá thực hiện và ngày đáo hạn Chiến lược strap bao gồm một

thế trường vị trong hai quyền chọn mua và một quyền chọn bán với cùng một giá thựchiện và ngày đáo hạn Mô hình lợi nhuận của hai chiến lược này được mô tả trong hình

2.11 Trong chiến lược strip, nhà đầu tư đặt cược vào sự tăng giá đáng kể của cổ phiếu, trong khi khả năng giảm giá lớn hơn khả năng tăng giá Trong chiến lược strap, nhà

đầu tư cũng đặt cược vào sự tăng giá đáng kể của cổ phiếu Song trong trường hợp này,khả năng tăng giá cổ phiếu lớn hơn khả năng giảm giá

Hình 2.11: Lợi nhuận từ chiến lược Strips và Straps

3.3 Chiến lược mua bán hỗn hợp

Trong chiến lược mua bán hỗn hợp(27), đôi khi còn gọi chiến lược mua bán kết hợp

mua với cùng một ngày đáo hạn nhưng giá thực hiện khác nhau Mô hình lợi nhuận

được mô tả trong hình 2.12 Giá thực hiện quyền chọn mua X2 cao hơn giá thực hiện

quyền chọn bán X1 Hàm lợi nhuận của chiến lược mua bán hỗn hợp này được cho

trong bảng ??.

(27) Strangles

(28) bottom vertical combination

Trang 26

Hình 2.12: Lợi nhuận từ chiến lược mua bán hỗn hợp

Bảng 2.5: Lợi nhuận từ chiến lược mua bán theo hỗn hợp

S T ≤ X 0 X1− S T X1− S T

X1 < S T < X2 0 0 0

S T ≥ X2 S T − X2 0 S T − X2

Chiến lược mua bán hỗn hợp gần tương tự như chiến lược mua hàng hai Nhà đầu

tư đặt cược vào sự tăng giá đáng kể nhưng không chắc chắn được cổ phiếu sẽ tăng haygiảm giá So sánh hình 2.12 và hình 2.10, có thể thấy để cho nhà đầu tư có lợi nhuậnthì giá cổ phiếu trong chiến lược mua bán hỗn hợp phải tăng mạnh hơn trong chiếnlược mua hàng hai Tuy nhiên trong trường hợp giá cổ phiếu không tăng đáng kể thìvới cùng một giá cổ phiếu, nhà đầu tư thực hiện chiến lược mua bán hỗn hợp sẽ chịu lỗ

ít hơn chiến lược mua hàng hai

Mô hình lợi nhuận của chiến lược mua bán hỗn hợp phụ thuộc vào khoảng cách giữahai giá thực hiện Khoảng cách này càng lớn thì rủi ro càng ít và để có lợi nhuận thì giá

cổ phiếu cũng phải tăng nhiều hơn

Việc kinh doanh chiến lược mua bán hỗn hợp đôi khi còn được gọi là chiến lược

phán đoán giá cổ phiếu sẽ giảm Dẫu sao, giống như kinh doanh mua hàng hai, đây làmột chiến lược mạo hiểm vì khả năng lỗ của nhà đầu tư là không giới hạn

(29) top vertical combination

Trang 27

Chương 3

Định giá quyền chọn

Việc ứng dụng toán học vào trong tài chính đã bắt đầu được tiếp cận từ thế kỷ 19 Mởđầu bằng phát hiện của Bachelier rằng giá chứng khoán có dao động gần giống vớichuyển động Brown trong vật lý Ông cũng gợi ý rằng với một chút chỉnh sửa, chuyểnđộng Brown có thể mô hình hóa khá chính xác dao động giá chứng khoán Tuy nhiên,đây không phải là một mô hình phù hợp hoàn chỉnh vì nó cho phép giá chứng khoánnhận giá trị âm Đến những cuối những năm 1965, khi Samuelson đưa ra ý kiến rằng cóthể dùng chuyển động Brown lũy thừa hoặc hình học thì mô hình sẽ phù hợp hơn Kể từđây, lịch sử ngành toán học tài chính chính thức bắt đầu Cũng vào năm này, McKean,nhà xác suất học nổi tiếng, đã đưa ra phương án định giá quyền chọn mua kiểu Mỹ dựatrên lý thuyết toán học Ông xem xét vấn đề định giá như một kiểu vấn đề Dirichlet,một lớp vấn đề nổi tiếng trong lý thuyết vật lý thống kê Những quan sát này vẫn cònảnh hưởng lớn cho đến nay Đây cũng là điểm khởi đầu cho các công trình nghiên cứucủa Black - Scholes và những nhà khoa học khác sau này

Bài báo đầu tiên về công trình nghiên cứu của Black - Scholes đã bị từ chối đăng tạirất nhiều tạp chí Người ta đã không nhận ra giá trị thực của nó chỉ vì một lý do rất

cổ điển: nó đi trước thời đại Phải đến năm 1973, người ta mới lý giải được công thứctrong bài báo đó, khi áp dụng để định giá quyền chọn kiểu châu Âu trong môi trườngtoán học đơn giản Công thức này bây giờ được biết đến như công thức định giá củaBlack - Scholes Không lâu sau đó, Merton đã có công trình nghiên cứu mở rộng kếtquả trên Công trình nghiên cứu của cả ba nhà khoa học này đã xây dựng đầy đủ một

cơ chế ngẫu nhiên để định giá quyền chọn Giải Nobel Kinh tế năm 1997 đã được traocho Scholes và Merton vì thành tựu này Tiếc rằng, Black đã chết trước đó và đã khôngthể được tôn vinh như vậy

27

Trang 28

CHƯƠNG 3 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

Chứng minh: Giả sử c > S, khi đó chúng ta có thể tận dụng cơ hội kinh doanh

chênh lêch giá bằng cách mua khống một cổ phiếu và bán quyền chọn mua trên chính

cổ phiếu đó Vì thông tin trên thị trường sẽ nhanh chóng được tận dụng, và cơ hội kinhdoanh cơ lợi như trên sẽ không tồn tại được lâu

Ngoài ra, đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu, tại thời điểm đáo hạn T không thể

có giá trị lớn X nên giá quyền chọn này cũng không thể có giá trị lớn hơn giá trị hiện tạicủa X, PV(X) Theo đó:

P ≤ Xe −r(T −t)

Chứng minh: Nếu giả thiết trên không được thỏa mãn, ta có thể tận dụng để cơ lợi

bằng cách bán khống một quyền chọn kiểu Châu Âu lấy P và cho vay P với lãi suất phirủi ro trên thị trường Đến thời điểm đáo hạn, thực thi quyền chọn với giá X và nhậnđược phần lợi vốn cộng với lãi suất thu được trên khoản cho vay

1.2 Giới hạn dưới của quyền chọn không trả cổ tức

1 Đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu

Chứng minh: Lập hai danh mục đầu tư A và B như sau:

• A gồm 1 quyền chọn mua và một khoản tiền trị giá Xe −r(T −t)

Trang 29

1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HỢP ĐỒNG QUYỀN CHỌN CỔ PHIẾU

2 Đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu

Giới hạn dưới của quyền chọn bán kiểu Châu Âu không chi trả cổ tức là:

Bằng cách lập hai danh mục tương tự như trên với quyền chọn bán, ta có thể dễdàng chứng minh được điều này

3 Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ

Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ không nên thực hiện sớm, vì thực hiện sớmkhông tối ưu

Chứng minh: Thiết lập 2 danh mục đầu tư

• A gồm 1 quyền chọn mua kiểu Mỹ và 1 khoản tiền Xe −r(T −t);

• B gồm 1 cổ phiếu

Giả sử tại thời điểm t 0 < T nào đó người nắm giữa quyền chọn mua thực thi quyền

chọn với điều kiện giá cổ phiếu lớn hơn giá thực thi, S t 0 > X Ta có:

Danh mục Giá trị tại t Giá trị tại t 0 Giá trị tại T

So sánh Giá trị B > giá trị A Giá trị A≥ giá trị B

Cho dù tại t 0 giá cổ phiếu có vượt quá giá thực hiện quyền chọn mua, cũng khôngnên thực hiện sớm Vì giá trị của danh mục B vẫn lớn hơn danh mục A Nếu cóthực hiện, nên thực hiện tại thời điểm đáo hạn Như vậy, giá của quyền chọn mua

kiểu Châu Âu và quyền chọn mua kiểu Mỹ là như nhau Hay C = c Theo đó, giới

hạn dưới của quyền chọn mua kiểu Mỹ không trả cổ tức sẽ là:

4 Đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ

Giới hạn dưới là:

Chứng minh: Bằng cách lập 2 danh mục đầu tư A và B

• A gồm 1 quyền chọn bán kiểu Mỹ và 1 cổ phiếu;

Trang 30

1.3 Giới hạn dưới của quyền chọn trả cổ tức

1 Đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu

Gọi D là giá trị hiện tại của khoản cổ tức phải trả Dễ thấy giới hạn dưới của giá

quyền chọn chỉ thay đổi: c > S − D − Xe −r(T −t)

2 Đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu

p > D + Xe −r(T −t) − S.

3 Đối với quyền chọn mua kiểu Mỹ: trong trường hợp có trả cổ tức thì quyền chọnbán kiểu Mỹ có thể được thực hiện trước thời hạn và khi trả cổ tức, giá sẽ giảm

4 Đối với quyền chọn bán kiểu Mỹ: các bất đẳng thức trên không còn đúng nữa

1.4 Mối quan hệ giữa quyền chọn mua và quyền chọn bán

Đối với những cặp quyền chọn mua và quyền chọn bán trên cùng một loại cổ phiếu và

có cùng thời gian đáo hạn sẽ có những hệ thức liên hệ giá của chúng Các quyền chọnkiểu Châu Âu do thời điểm thực hiện là xác định nên tồn tại các đẳng thức để cho phép

ta tính toán giá của quyền chọn mua thông qua giá quyền chọn bán hoặc ngược lại Cònđối với những cặp quyền chọn kiểu Mỹ, chỉ tồn tại những bất đẳng thức cho phép xácđịnh mối quan hệ mà thôi

Hệ thức cặp đôi mua bán với quyền chọn kiểu Châu Âu

Trong trường hợp không có cổ tức

Như vậy, hệ thức trên cho phép tính toán giá một quyền chọn mua nếu biết giá quyềnchọn bán trên cùng một loại cổ phiếu (hay có thể mở rộng cho cùng một loại tài sản cơsở) với cùng một thời gian đáo hạn

Để chứng minh hệ thức này, ta tính toán tương tự như trên với giá trị của 2 danhmục đầu tư tương đương A và B:

• A gồm 1 quyền chọn bán và 1 khoản tiền Xe −r(T −t);

• B gồm 1 quyền chọn mua và 1 cổ phiếu

Trang 31

2 ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

2.1 Định giá quyền chọn cây nhị phân

Một kỹ thuật định giá chứng khoán hay các công cụ phái sinh rất hữu hiệu và phổ biến

là cây nhị phân.

Mô hình quyền chọn cây nhị phân một bước

Giả sử giá cổ phiếu hiện tại là $20 và sau 3 tháng có thể là $22 và $18 Giả thiết rằng cổphiếu không trả cổ tức và định giá một quyền chọn châu Âu mua cổ phiếu này với giá

$21 với thời gian đáo hạn là 3 tháng Quyền chọn này sẽ có một trong hai giá trị sau 3tháng nữa Nếu giá cổ phiếu tăng lên $22 thì giá của quyền chọn sẽ là $1; ngược lại nếugiá cổ phiếu giảm xuống $18 thì giá của quyền chọn bằng không Điều này được minhhọa trong hình 3.1

Hình 3.1: Minh hoạ bằng số thay đổi giá cổ phiếu

Luận cứ để định giá quyền chọn này không phức tạp, giả định rằng nhà đầu tư không

có cơ hội kinh doanh dựa vào chênh lệch giá Chúng ta lập một danh mục đầu tư của

cổ phiếu và quyền chọn sao cho giá danh mục đầu tư sau 3 tháng nữa được xác định cụthể Vì danh mục đầu tư không có rủi ro, cho nên lợi nhuận thu được phải bằng tỉ lệ lãisuất phi rủi ro Điều này giúp giảm chi phí lập danh mục đầu tư và do đó giảm được giácủa quyền chọn Vì chỉ có hai loại chứng khoán (là cổ phiếu và quyền chọn) và chỉ cóhai hệ quả, nên có thể đưa ra một danh mục đầu tư phi rủi ro

Hãy xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị trong ∆ cổ phiếu vàmột thế đoản vị trong một quyền chọn mua Tính được giá của ∆ để cho danh mục đầu

tư này là phi rủi ro Nếu giá cổ phiếu tăng từ 20 đến 22, thì giá toàn bộ cổ phiếu là 22∆

và giá của quyền chọn là 1, do vậy tổng giá trị của danh mục đầu tư là 22∆− 1 Nếu giá

của cổ phiếu giảm từ 20 xuống 18 thì giá của toàn bộ cổ phiếu là 18∆ và giá của quyềnchọn là 0, do đó tổng giá trị của danh mục đầu tư là 18∆ Danh mục đầu tư là phi rủi

ro nếu giá trị của ∆ được chọn sao cho tổng giá trị của danh mục đầu tư không đổi bất

kể giá cổ phiếu thay đổi thế nào, có nghĩa là:

Trang 32

Trang 33

Tổng quát hóa Có thể tổng quát hóa quan điểm trên bằng cách xem xét một cổ phiếukhông trả cổ tức, giá cổ phiếu là S và một công cụ phái sinh với cổ phiếu có giá hiệnthời là f Thời điểm hiện tại là mốc thời gian Giả thiết rằng công cụ phái sinh cho lợinhuận vào thời điểm T , và rằng trong thời gian tồn tại công cụ phái sinh, giá cổ phiếu

có thể tăng từ S lên Su hoặc giảm từ S xuống Sd (u > 1; d < 1) Giá cổ phiếu tăng tỉ lệ

thuận khi xu hướng đi lên là u - 1; giá giảm tỉ lệ thuận khi đi xuống là 1 - d Nếu giá cổ

phiếu tăng lên Su , giả thiết rằng lợi nhuận thu được từ công cụ phái sinh là f u; nếu giá

cổ phiếu giảm xuống Sd , giả thiết rằng lợi nhuận thu được từ công cụ phái sinh là f d.Tình huống này được mô tả trong hình 3.2

Hình 3.2: Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân một bước

Vẫn như trên, xem xét một danh mục đầu tư bao gồm một thế trường vị với ∆ cổphiếu và một thế đoản vị với một công cụ phái sinh Tính toán giá trị của ∆ sao chodanh mục đầu tư là phi rủi ro Nếu giá cổ phiếu tăng thì giá trị của danh mục đầu tưvào thời điểm đáo hạn của công cụ phái sinh là:

Trang 34

Trong trường hợp này danh mục đầu tư là phi rủi ro và phải có lãi suất phi rủi ro.Công thức 2.10 cho thấy ∆ là tỉ lệ thay đổi trong giá công cụ phái sinh so với giá củachứng khoán khi thay đổi từ nút này sang nút kia tại thời điểm T

Đặt r biểu diễn tỉ lệ lãi suất phi rủi ro, giá trị hiện tại của danh mục đầu tư là:

Kết quả này cũng trùng với kết quả đã tính ở phần trước

Sự không thích hợp trong cách tính lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu Công

thức định giá công cụ phái sinh 2.11 không tính đến khả năng giá cổ phiếu tăng haygiảm Ví dụ, theo công thức này thì khi xác suất giá cổ phiếu tăng là 0.5 hay 0.9 sẽ vẫntính ra cùng một giá quyền chọn châu Âu Điều này thật không hợp lý Giả định rằngkhi giá cổ phiếu tăng thì đương nhiên giá trị của quyền chọn mua cổ phiếu đó tăng vàgiá trị quyền chọn bán giảm

Lý do chủ yếu là chúng ta đã không định giá quyền chọn theo định nghĩa tuyệt đối.Chúng ta tính toán giá trị của nó dựa trên giá của chứng khoán cơ sở Khả năng giá tănghay giảm đã được xem xét dựa trên giá cổ phiếu Điều đó có nghĩa là chúng ta khôngcần xem xét đến thay đổi giá của quyền chọn khi đã định giá quyền chọn dựa trên giá

cổ phiếu

Trang 35

Định giá trung lập rủi ro

(1) Mặc dù không cần phải giả định về xác suất tăng hay giảm giá để rút ra được côngthức 2.11 song cũng có thể coi biến p trong công thức 2.11 là xác suất giá cổ phiếu tăng

Do đó biến 1 - p là xác suất giá cổ phiếu giảm và công thức

pf u+ (1− p)f d

là lợi nhuận kỳ vọng từ công cụ phái sinh Theo cách hiểu biến p như vậy, công thức2.11 cho thấy giá trị của công cụ phái sinh ở thời điểm hiện tại chính là giá trị kỳ vọngtương lai khấu trừ lãi phi rủi ro

Chúng ta lại xem xét số tiền thu vào kỳ vọng từ cổ phiếu khi xác suất giá cổ phiếu

tăng là p Giá cổ phiếu kỳ vọng tại thời điểm T, E(S T)được tính bằng:

Chúng ta sẽ xem xét một môi trường mà mọi người đều không bị các rủi ro ảnh

hưởng đến, gọi tên là môi trường trung lập các rủi ro(2) Trong môi trường đó các nhàđầu tư không phải bồi thường rủi ro, và lãi suất kỳ vọng của tất cả mọi chứng khoán đều

là lãi suất phi rủi ro Công thức 2.13 cho thấy giả thiết giá cổ phiếu tăng với xác suất là

p Công thức 2.11 cho thấy giá trị của công cụ phái sinh là lợi nhuận kỳ vọng trong mộtmôi trường trung lập các rủi ro khấu trừ lãi phi rủi ro

Kết quả này là một ví dụ minh hoạ cho một nguyên tắc chung của định giá quyền

chọn, gọi là nguyên tắc định giá trung lập rủi ro.

Xem xét lại ví dụ về cây nhị phân một bước Để minh họa rõ hơn nguyên tắcđịnh giá trung lập rủi ro, hãy xem xét lại ví dụ được mô tả trong hình 3.1 Giá của cổphiếu hiện tại là $20 và sẽ có thể tăng lên $22 hoặc giảm xuống $18 sau thời hạn 3tháng Công cụ phái sinh được xem xét ở đây là quyền chọn mua châu Âu với giá thựchiện là $21 và thời gian đáo hạn là 3 tháng Lãi suất phi rủi ro là 12%/năm

(1) Risk-Neutral Valuation

(2) risk-neutral world

Trang 36

Chúng ta biểu diễn xác suất giá cổ phiếu tăng trong môi trường trung lập rủi ro là p.Trong môi trường này tỉ suất lợi nhuận kỳ vọng của cổ phiếu phải bằng lãi suất phi rủi

ro, 12% Điều này có nghĩa là p thỏa mãn

Cây nhị phân hai bước

Chúng ta có thể mở rộng phân tích cho mô hình cây nhị phân hai bước như trong hình3.3 Ở đây giá cổ phiếu hiện tại là $20 và tại mỗi bước giá có thể tăng hay giảm 10%.Giả sử rằng độ dài của một bước là 3 tháng và lãi suất phi rủi ro là 12%/năm Cũng nhưtrên, xem xét một quyền chọn mua với giá thực hiện là $21

Mục tiêu của phân tích này là tính toán giá quyền chọn tại nút đầu của cây Điềunày có thể được thực hiện bằng cách áp dụng liên tiếp các nguyên tắc đã được thiết lập

ở phía trên Hình 3.4 mô tả hình cây giống hình 3.3, với giá cổ phiếu phía trên và giáquyền chọn phía dưới mỗi nút Dễ tính được giá quyền chọn tại nút cuối cùng của cây

Nó chính bằng lợi nhuận có được từ quyền chọn Ở nút D giá cổ phiếu là 24.2 và giá

quyền chọn là 24.2 - 21 = 3.2; tại nút E và F, quyền chọn là out of the money và giá trị

của quyền chọn này bằng 0

Tại nút C giá của quyền chọn bằng 0, vì nút C dẫn tới nút E hoặc nút F, và giá quyềnchọn tại hai nút này đều bằng 0 Tính toán giá quyền chọn tại nút B bằng cách chú ýđến nhánh này của cây trong hình 3.5 Sử dụng những giả thiết ở trên, với u = 1.1, d =0.9, r = 0.12, T = 0.25, và p = 0.6523, thay vào công thức 2.11 được giá trị của quyền

chọn tại nút B e −0.12×0.25 (0.6523 × 3.2 + 0.3477 × 0) = 2.0257

Để tính toán giá quyền chọn tại nút A ban đầu, tập trung vào bước đầu tiên của cây.Giá trị của quyền chọn tại nút B là 2.0257 và tại nút C là 0 Do đó, công thức 3.2 tínhđược giá trị của nút A là

Trang 37

Hình 3.3: Giá cổ phiếu trong cây nhị phân hai bước

Hình 3.4: Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân hai bước

(3)

Trang 38

e −0.12×0.25 (0.6523 ×2.0257 + 0.3477 × 0) = 1.2823

Giá của quyền chọn là $1.2823

Lưu ý rằng ví dụ này được xây dựng với u và d (tỉ lệ tăng và giảm giá) là như nhautại mỗi nút của cây và với khoảng thời gian từ nút này tới nút kia là như nhau Giả thiếtnày dẫn đến xác suất trung lập rủi ro p, được tính bằng công thức 2.12, là như nhau chotoàn bộ các nút

Tổng quát hóa Tổng quát hóa trường hợp hai bước bằng cách xem xét tình huốngtrong hình 3.6 Giá cổ phiếu lúc đầu là S Sau mỗi khoảng thời gian, giá có thể tăng ulần hoặc giảm d lần giá gốc Giá của công cụ phái sinh được ghi chú trên cây Giả sử

rằng lãi suất phi lợi nhuận là r và khoảng thời gian từ nút này tới nút kia là ∆t năm.

Điều này phù hợp với nguyên lý định giá trung lập rủi ro đã được đề cập trên đây Các

biến p2, 2p(1 − p), v(1 − p)2 là xác suất đạt tới các nút cao, trung bình và thấp Giá củacông cụ phái sinh bằng với giá lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường không bị rủi rotác động đến

Hình 3.5: Định giá cổ phiếu tại nút B

Trang 39

Nếu tổng quát hóa việc sử dụng cây nhị phân bằng cách thêm các bước thì nguyêntắc định giá trung lập rủi ro vẫn áp dụng được Giá của công cụ phái sinh luôn bằng vớigiá lợi nhuận kỳ vọng trong một môi trường không bị rủi ro tác động đến, trừ đi lãi phirủi ro

Ví dụ với quyền chọn bán

Nguyên lý trên có thể áp dụng để định giá cho bất kỳ công cụ phái sinh nào phụ thuộcvào cổ phiếu có giá thay đổi theo kiểu nhị phân Hãy xem xét trường hợp một quyềnchọn bán châu Âu với thời hạn 2 năm, giá thực hiện là 52, chứng khoán cơ sở có giáhiện thời là 50 Giả thiết rằng có hai thời kỳ trong một năm và mỗi thời kỳ giá cổ phiếu

có thể tăng với tỉ lệ 20% hoặc giảm với tỉ lệ 20%, lãi suất phi rủi ro là 5%

Sơ đồ hình cây được biểu diễn trong hình 3.7 Giá trị của xác suất trung lập rủi ro pđược tính bằng

p = e 0.05 1.2 ×1 −0.8 −0.8 = 0.6282

Giá cổ phiếu cuối cùng có thể đạt tới là 72, 48 và 32 Trong trường hợp

Giá trị của quyền chọn bán là $4.1923 Cũng có thể tính được kết quả này bằng cách

sử dụng công thức 2.11 và lần ngược lại cây theo mỗi thời kỳ Hình 3.7 biểu diễn giáquyền chọn mua trung gian đã được tính toán

Hình 3.6: Giá cổ phiếu và công cụ phái sinh trong cây nhị phân hai bước

Trang 40

Quyền chọn mua kiểu Mỹ

Ngoài quyền chọn mua kiểu châu Âu, phương pháp cây nhị phân còn được dùng đểđịnh giá quyền chọn mua kiểu Mỹ Quy trình tính toán là đi từ ngọn đến gốc cây, kiểmtra tại mỗi nút xem liệu việc thực hiện trước đó có tối ưu không Giá trị của quyền chọntại nút cuối cùng bằng giá trị quyền chọn kiểu châu Âu Ở những nút phía trên giá trịcủa quyền chọn là giá trị cao nhất trong hai giá trị sau

1 Giá trị tính theo công thức 2.11

2 Lợi nhuận từ việc thực hiện trước

Để minh họa, xem xét hình 3.7 thay đổi ra sao khi quyền chọn là kiểu Mỹ chứ khôngphải kiểu châu Âu Giá cổ phiếu và xác suất thay đổi giá vẫn như trước Giá trị củaquyền chọn tại nút cuối cũng không thay đổi Ở nút B, công thức 2.11 cho giá trị quyềnchọn là 1.4147, trong khi lợi nhuận từ việc thực hiện trước là âm (= -8) Rõ ràng là việcthực hiện trước không tối ưu ở nút B và giá trị của quyền chọn tại nút này là 1.4147 Tạinút C, công thức 2.11 cho giá trị quyền chọn là 9.4636, trong khi lợi nhuận từ việc thựchiện trước là 12.0 Trong trường hợp này việc thực hiện trước là tối ưu và giá trị củaquyền chọn là 12.0 Ở nút ban đầu A, giá trị tính được theo công thức 2.11 là

e −0.05×1 (0.6282 × 1.4147 + 0.3718 × 12.0) = 5.0894

trong khi lợi nhuận thu được từ việc thực hiện trước là 2.0 Trong trường hợp này, việcthực hiện trước không tối ưu Do đó, giá trị của quyền chọn là $5.0894 Hình 3.8 mô

tả những giá trị của cây nhị phân tương ứng

Hình 3.7: Sử dụng cây nhị phân hai bước để định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu

(4)