TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH

62  BÀI 7. TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH y A. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG I. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGH Ĩ A 1. Điểm chạy ra vô t ậ n:  x → ∞ (C): y = f ( x ) M n M 2 H n M 1 M H 2 H 1 H M(x, y) → ∞ ⇔  y → ∞   x → ∞      y → ∞ O x ( D ) 2. Định nghĩa tiệm c ậ n Cho đường cong (C): y = f (x) và đường thẳng (D). Lấy M bất kì ∈ C). Gọi H là hình của M lên đường thẳng (D). Khi đó ta nói đường thẳng (D) là tiệm cận của đường cong (C) ⇔ 3. Nhận xét: lim MH = 0 M ( x , y ) → ∞ Đường cong (C): y = f (x) chỉ có thể có tiệm cận ⇔ Miền xác định hoặc miền giá trị của hàm số y = f (x) phải chứa ∞ ⇔ Đường cong (C): y = f (x) phải có nhánh chạy ra vô tận. Tuy nhiên có những hàm số có nhánh chạy ra vô tận nhưng vẫn không có tiệm cận. II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIỆM CẬN Cho đường cong (C): y = f (x). Xét các dấu hiệu với các tiệm cận tương ứng 1. Tiệm cận đứng: 2. Tiệm cận ngang: lim f ( x ) = ∞ ⇔ x = a x→a lim f ( x ) = b ⇔ y = b x → ∞ là tiệm cận đứ ng là tiệm cận ngang 3. Tiệm cận xiên: lim x → ∞ f ( x ) − ( ax + b )   = 0 ⇔ y = ax + b là tiệm cận xiên (a ≠ 0) y M n H n M 2 H 2 M 1 H 1 y f ( x 0 ) M M 1 M 2 M n y f ( x 0 ) M n M 1 M H 2 63 f ( x 0 ) M H b H O x 0 H 1 H 2 H n x a x 0 + b O H 1 K x 0 x 2 III. TIỆM CẬN CỦA HÀM PHÂN THỨC: Xét hàm s ố y = f ( x ) = u ( x ) v ( x ) 1. Tiệm cận đứng: Bước 1: Giải phương trình  u ( x k ) ≠ 0 v ( x ) = 0 ⇔ x ∈ { x 1 , x 2 , , x n } Bước 2: Nếu    v ( x k ) = 0 thì lim u ( x ) = ∞ ⇔ x = x x → x k v ( x ) k là 1 tiệm cận đứng. 2. Tiệm cận ngang: Bước 1: Dấu hiệu nhận biết   MXÐ: chøa ∞  BËc u ( x ) ≤ BËc v ( x ) Bước 2: Xét giới hạn 3. Tiệm cận xiên: Bước 1: Dấu hiệu nhận biết lim u ( x ) = b ⇔ y = b x → ∞ v ( x )   MXÐ: chøa ∞  là tiệm cận ngang. Bước 2: Tìm tiệm cận: BËc u ( x ) = BËc v ( x ) + 1 Cách 1: Phương pháp tổng quát Xét giới hạn lim x → ∞ f ( x ) x ® Æ t = a ; lim   f ( x ) − ax  x → ∞ ® Æ t = b . Kết luận: (C) có tiệm cận xiên là: y = ax + b Cách 2: Phương pháp chia đa thức (Sử dụng hàm phân thức hữu tỷ) Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức: f ( x ) = u ( x ) = ax + b + w ( x ) với deg w ( x ) < deg v ( x ) v ( x ) v ( x ) Bước 2: lim   f ( x ) − ( ax + b )   = lim w ( x ) = 0 . Vậy (C) có tiệm cận xiên là: y = ax + b. x → ∞ x → ∞ v ( x ) IV. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH H Ọ A 2 Bài 1. Tìm m để ( C ) : y = f ( x ) = x x − m có tiệm cận. Giải. Với m = 0 thì f ( x ) = x = x ∀ x ≠ 0 2 x ⇒ (C) không có tiệm cận. Với m ≠ 0 thì lim f ( x ) = x = ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = m. Vậy với m ≠ 0 x → m x − m thì hàm số luôn có tiệm cận. Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của (C): y = f ( x ) = x x 2 − mx + 1 Gi ả i. lim f ( x ) = lim x = 0 ⇒ (C) có tiệm cận ngang y = 0. x → ∞ x → ∞ x 2 − mx + 1 g Xét phương trình g ( x ) = x 2 − mx + 1 = 0 (1). Ta có: ∆ = m 2 − 4 . • Nếu − 2 < m < 2 thì ∆ g < 0 ⇒ g(x) > 0 ∀ x ⇒ (C) không có tiệm cận đứng. • Nếu m = − 2 thì (1) có 1 nghiệm x = −1 ⇒ lim x → − 1 f ( x ) = −∞ ⇒ TCĐ: x = − 1 • Nếu m = 2 thì (1) có 1 nghiệm x = 1 ⇒ lim f ( x ) = +∞ ⇒ TCĐ: x = 1 x→1 • Nếu m > 2 ∨ m < − 2 thì (1) có 2 nghiệm phân biệt x 1,2 = m ± m 2 − 4 ≠ 0 2 ⇒ lim x → x 1 f ( x ) = ∞ ; lim x → x 2 f ( x ) = ∞ ⇒ (C) có 2 tiệm cận đứng 2 x 2 − 3 x + m x = x 1 và x = x 2 Bài 3. Tìm m để ( C ) : y = f ( x ) = x − m không có tiệm cận đứng. Giải. Hàm số không có tiệm cận đứng ⇔ u ( x ) = 2 x 2 − 3x + m = 0 có nghiệm x = m ⇔ u ( m ) = 2m 2 − 3m + m = 0 ⇔ 2m ( m − 1 ) = 0 ⇔ m = 0 ∨ mx 2 + 6 x − 2 m = 1 Bài 4. Tìm tiệm cận của ( C ) : y = f ( x ) = Gi ả i. x + 2 • Xét m = 0 thì y = 6 x − 2 , khi đó: lim 6 x − 2 = ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = − 2. x + 2 x → − 2 x + 2 lim 6 x − 2 = lim ( 6 − 14 ) = 6 ⇒ Tiệm cận ngang y = 6. x → ∞ x + 2 x → ∞ x + 2 mx 2 + 6 x − 2 4 m − 14 • Xét m ≠ 0: Ta có: f ( x ) = = mx + 6 − 2m + x + 2 x + 2 Nếu 4m − 14 = 0 ⇔ m = 7 2 thì f ( x ) = 7 x − 1 ∀ x ≠ − 2 2 nên không có tiệm cận Nếu m ≠ 7 2 thì 4m − 14 ≠ 0 ⇒ lim x → − 2 f ( x ) = ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = − 2. lim f ( x ) − ( mx + 6 − 2m )   = lim 4 m − 14 = 0 ⇒ TCX: y = mx + 6 − 2m . x → ∞ Kết lu ậ n: x → ∞ x + 2 Nếu m = 0 thì (C) có TCĐ: x = − 2 ; TCN: y = 6. Nếu m = 7 2 thì (C) không có tiệm cận. Nếu m ≠ 0; m ≠ 7 2 thì (C) có TCĐ: x = − 2 ; TCX: y = mx + 6 − 2m 2 2  1 1 B. KHOẢNG CÁCH I. TÓM TẮT CÔNG TH Ứ C 1. Khoảng cách giữa 2 đ iểm  M ( x 1 , y 1 )    N ( x 2 , y 2 ) ⇒ MN = ( x 1 − x 2 ) + ( y 1 − y 2 ) 2. Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường th ẳ ng   § i Ó m M ( x 0 , y 0 )  ⇒ d ( M, ∆ ) = Ax 0 + By 0 + C ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 A 2 + B 2 Các trường hợp đặc biệt: Nếu ( ∆ ): x = a thì d(M, ∆ ) = |x 0 − a| Nếu (∆): y = b thì d(M, ∆) = |y 0 − b| Tổng khoảng cách từ M đến Ox, Oy là: d ( M ) = x 0 + y 0 3. Khoảng cách giữa đường thẳng và đường cong Định nghĩa: Cho đồ thị (C) và đường thẳng (∆). Lấy bất kỳ M ∈ (C) và N ∈ ( ∆ ), khi đó d( ∆ , C) = Min MN Bài toán: Cho (C): y = ƒ (x) và ( ∆ ): Ax + By + C = 0. Tìm d( ∆ , C) Phương pháp: Cách 1: Lấy bất kì M(x 0 , y 0 )∈(C) ⇒ y 0 = ƒ (x 0 ) Tính d(M, ∆) = Ax 0 + By 0 + C A 2 + B 2 . Khi đó d ( ∆ , C ) = Min d ( M, ∆ ) Cách 2: Bước 1: Viết PT tiếp tuyến (t) của (C) // (∆) ⇒ Tiếp điểm A(x 0 , y 0 ) Bước 2: d ( ∆ , C ) = d ( A, ∆ ) 4. Diện tích tam giác trong mặt phẳng tọa đ ộ i Diên tích tam giác OAB   ⇒ S = det ( O A , O B ) = x 1 y 1 O ( 0, 0 ) ; A ( x 1 , y 1 ) ; B ( x 2 , y 2 ) i Diên tích tam giác ABC 2 2 x 2 y 2 x − x y − y  ⇒ S = 1 det ( AB, AC ) = 1 2 1 2 1 A ( x 1 , y 1 ) ; B ( x 2 , y 2 ) ; C ( x 3 , y 3 ) 2 2 x 3 − x 1 y 3 − y 1 II. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH H Ọ A Bài 1. a. Cho A(3, 0). Tìm điểm M ∈ (P): y = x 2 để AM nhỏ nhất. b. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AM ⊥ tiếp tuyến của (P) tại M. Gi ả i a. Gọi M ( m, m 2 ) ∈(P) ⇒ A M 2 = m 4 + m 2 − 6m + 9 Cách 1: Đặt g ( m ) = m 4 + m 2 − 6m + 9 . Ta có: g ′ ( m ) = 4m 3 + 2m − 6 = 0 m  2 2 2 www.VNMATH.com Ch ư ơ n g I . Cá c b à i g i ả n g t r ọ n g t â m v ề h à m s ố – T r ầ n P h ư ơ n g ⇔ ( m − 1 ) ( 2m 2 + 2m + 3 ) = 0 ⇔ m = 1 . Lập BBT suy ra Min g(m) = g(1) = 5 ⇒ Min AM = 5 xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) y Cách 2: AM 2 = m 4 + m 2 − 6m + 9 = ( m 2 − 1 ) 2 + 3 ( m − 1 ) 2 + 5 ≥ 5 9 B ⇒ Min AM = 5 ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) Cách 3: AM 2 = m 4 + m 2 + 1 + 1 + 1 + 1 − 6m + 5 ≥ 6 ⋅ 6 m 4 .m 2 .1.1.1.1 − 6m + 5 = 6 m − 6m + 5 ≥ 5 H M ⇒ Min AM = 5 xảy ra ⇔ m = 1 ⇔ M(1, 1) b) Tiếp tuyến của (P) tại M có hệ số góc là: Đường thẳng AM có hệ số góc là: k 1 = y ′ ( m ) = 2m 1 A M 0 x y − 0 2 k = M = M ⇒ k .k = 2 m 3 -1 O 1 3 Khi AM min thì m = 1 ⇒ k 1 .k 2 = 2 .1 = − 1 ⇒ AM ⊥ tiếp tuyến tại M của (P) 1 − 3 Bài 2. Cho (P): y = f ( x ) = 2 x 2 − 3x + 1 và (∆): y = x − 5. Tìm điểm M ∈ (P), N ∈ ( ∆ ) sao cho MN nhỏ nhất. Giải: Lấy M ( m, 2m 2 − 3m + 1 ) ∈ (P) và N ( n, n − 5 ) ∈ (∆). ⇒ M N 2 = ( m − n ) 2 + ( 2m 2 − 3m + 1 − n + 5 ) 2 = ( m − n ) 2 +  ( m − n ) + 2 ( m 2 − 2m + 3 )  2 = 2   ( m − n ) + ( m 2 − 2m + 3 ) + 2 ( m 2 − 2m + 3 ) ≥ 2   ( m − 1 ) 2 + 2   ≥ 8 ⇒ M N ≥ 2 2 Dấu bằng xảy ra ⇔ m = 1, n = 3 . Suy ra M ( 1, 0 ) và N ( 3, − 2 ) Bình luận: Có thể giải bằng phương pháp hình học theo các bước sau đây: − Vẽ đồ thị và nhận xét (∆) và (P) không cắt nhau. − Viết phương trình tiếp tuyến (t) của (P) // ( ∆ ), tiếp xúc nhau tại M − Gọi N là hình chiếu của M lên ( ∆ ), chứng minh MN là khoảng cách ngắn nhất bằng lý luận hình học. Bài 3. Tìm điểm M ∈ (H): y = f ( x ) = 3 x − 5 x − 2 để tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (H) là nhỏ nhất. www.VNMATH.com B à i 7 . T i ệ m c ậ n v à k h o ả n g c á c h ( ) Giải: y = f ( x ) = 3 x − 5 = 3 + 1 ⇒ TCĐ: x = 2 ; TCN: y = 3. x − 2 x − 2 Lấy M m, 3 + 1 ∈(H), khi đó tổng k/c từ M đến 2 tiệm cận của (H) là: m − 2 d ( M ) = x M − 2 + y M − 3 = m − 2 + 1 ≥ 2 ; Dấu bằng ⇔ m − 2  M ( 1, 2 ) m − 2 = 1 ⇔    M ( 3, 4 ) [...]...  2  Bài 13 (Đề thi TSĐH khối A năm 2005) Tìm m để hàm số y = mx + 1 có cực trị và khoảng cách từ điểm cực x tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên của (C m) bằng 1 2 ⇔ m>0 Giải Hàm số có cực trị ⇔ y ′ = m − 1 = có 2 nghiệm phân biệt 0 x 2  1 ;2 m Khi 70 đó đồ thị có điểm cực tiểu là M    m   và khoảng cách đến tiệm cận xiên y = mx hay mx − y = 0 là d (M , d ) = 71 m −2 m m2 +1 = m m2 +1 2 = 1 ⇔ m... 4 2 + 1    4   4  4 4 2 2 2 2   ⇔a= ±1 4 2 Bài 9 Tìm M ∈ (C): x 2 + 3x + 3 để tổng khoảng cách từ M đến 2 đường x+2 tiệm cận của (C) là nhỏ nhất y= 2 Giải: y = f ( x ) = x + 3x + 3= x + 1 + ⇒ TCĐ: x + 2 = 0 ; TCX: x − y + 1 = 0 1 x+2 x+2 Lấy M(x0, y0)∈(C), khi đó tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận của (C) là: d (M ) = x +2 + 0 x0 − y 0 + 1 x 0 2 1 +2 + = 2 x0 + 2 ⇒ Min d ( M ) = 4 8 xảy... = 24 αβ Min M1 M 2 = 2 ⇔ α = β = 3 ⇒ M1 ( 3 − 3, 4 − 3 ) ; M 2 ( 3 3, 4 + 3 ) 6 + Bài 6 Cho đồ thị (C): y= f ( x) = x 2 + 5 x + Tìm M∈(C) để khoảng cách từ 15 x+3 M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy Giải: Khoảng cách từ M(x, y) đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M(x, y) đến Oy ⇔ y = 2 x ⇔ y = ±2x Xét 2 khả năng sau:  y = −2 x  ⇔ y= −2x  ⇔x∈∅ ⇔   y = x + 2 + 9 x+3     y = −2x 9 3x +... cos α 2 Bài 12 Cho đồ thị (C): y = f ( x ) 2 x − x + 1 Tìm M ( x1 , y1 ∈(C) với x1 > 1 x−1 = ) để khoảng cách từ M đến giao của 2 tiệm cận là nhỏ nhất 2x 2 − x + 1 Giải: f ( x ) = = 2x + 1 + 2 x− 1 x−1 ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = 2x + 1 ⇒ I(1, 3) Lấy M(1 + a, b)∈(C) với a > 0 ⇒ 2 b = 3 + 2a + a 2 Khoảng cách từ M đến I(1, 3) là: IM = (1 + a − 1) + ( b − 3) ( ⇒ IM 2 = a 2 + 2a + 2 a ) = 5a 2 2 2 + 4 +... ( αβ) 2 +1) ⇒ M M ≥ 4 2 (1+ 2 )    αβ αβ 1 2 Suy ra Min M1M 2 = 4 2 (1+ 2 ) xảy ra ⇔ α = β > 0 và ( αβ) = 8 ⇔ α = β = 4 8 2 ( ⇒ M1 ( 1 − 4 8 ,4 8 + 2.4 2) ; M 2 1 + Bài 11 Cho (Cα): 4 8, −4 8 − 2.4 2 ) y = f ( x ) 3x 2 cos α + 4 x sin α + (cosα ≠ 0) = 7 x−1 Tìm α để khoảng cách từ O(0, 0) đến tiệm cận xiên của (Cα) là lớn nhất Giải: 2 f ( x = 3x cos α + 4 x sin α + 7 = 3x cos α + 4 sin α + 3 cos... d ( M ) = h ( m ) = m + m + 4 + 6 m−3 ( m − 3) 2 Nhìn bảng biến thiên suy ra: Min d ( M ) = Min h ( m ) = h ( 0 ) = h ( 2 ) = 2 Bài 8 Tìm M ∈ (C): y = x−1 tiệm cận của (C) là nhỏ nhất x f′ 0 ) 2 3− 3 + 6 = 2m + 4 + m−3 0 − 10 − 4 3 f 2 2 để khoảng cách từ M đến giao 2 đường ⇒ TCĐ: x = 1 ; TCX: y = x + 3 ⇒ I(1, 4) y = f ( x) = x + 3 + Giải: 1 x −1 Lấy M(a + 1, b)∈(C) với a ≠ 0 ⇒ b = a + 4 + 1 ; IM =... 11x + 15 = 0  y=2 x  ⇔ •  9 + y=x+2  x+3  y=2 x   y = 2x  −1 ± 61 x= ⇔ ⇔  9  x − 2 −x + 3 = 0  2  2  x + x − 15 = 0   y = −1 ± 61 x2 +x− Bài 7 Tìm điểm M ∈ (C): y = f ( x ) 6 để khoảng cách từ M đến 2 x−3 = trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất Giải: Lấy M ( m, f ( m ) ) ∈(C) ⇒ 2 d ( M) = m + f ( m) = m + m + m − 6 = m + m + 4 + 6 m−3 m−3 Do M0(2, 0) thì d(M0) = 2 nên để tìm Min d(M) ta...Bài 4 Tìm điểm M ∈ (H): y = f ( x ) = x − để tổng khoảng cách từ M đến 2 1 y x+1 trục tọa độ Ox, Oy là nhỏ nhất x, Oy là: m − 1 ∈(H), tổng k/c từ M đến O M Giải: Lấy M m, H m+1 ) ( 1 d ( M ) = xM + y M = m + m − 1 m+1 Để ý rằng với M(1, 0) thì d(M) = 1, . tận nhưng vẫn không có tiệm cận. II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIỆM CẬN Cho đường cong (C): y = f (x). Xét các dấu hiệu với các tiệm cận tương ứng 1. Tiệm cận đứng: 2. Tiệm cận ngang: lim f ( . 62  BÀI 7. TIỆM CẬN VÀ KHOẢNG CÁCH y A. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG I. CÁC KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGH Ĩ A 1. Điểm chạy ra vô t ậ n:  x → ∞ (C):. ) = b ⇔ y = b x → ∞ là tiệm cận đứ ng là tiệm cận ngang 3. Tiệm cận xiên: lim x → ∞ f ( x ) − ( ax + b )   = 0 ⇔ y = ax + b là tiệm cận xiên (a ≠ 0) y M n H n M 2 H