Lý thuyết trường và galois

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN BÙI XUÂN HẢI LÝ THUYẾT TRƯỜNG & GALOIS NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH -2007- Bảng ký hiệu C - tập hợp các số phức R - tập hợp các số thực Q - tập hợp các số hữu tỷ Z - tập hợp các số nguyên N = {1, 2, 3, } - tập hợp các số tự nhiên Z + = {0, 1, 2, 3, } - tập hợp các số nguyên không âm a, b = {a, a +1,a+2, ,b},trongđóa, b ∈ Z và a<b Z n - tập hợp các số nguyên modulo n F q -trườngGaloisgồmq phần tử Aut(L) - nhóm các tự đẳng cấu của t rường L Gal(L/K) - nhóm Galois của mở rộng trường L/K S n - nhóm đối xứng bậc n A n - nhóm thay phiên bậc n [L : K] -bậccủamởrộng 3 Lời giới thiệu Bài toán tìm nghiệm của những phương trình đại số đ ã được quan tâm từ thời cổ đại. Trong những tấm bảng đất sét của người Babylon có từ 1600 năm trước Công nguyên đã có ghi những bài toán đưa về việc giải phương trình bậc hai. Cũng từ những tấm bảng đất sét này người ta nhận thấy rằng những người Babylon đã biết cách tìm nghiệm của phương trình bậc hai mặc dù họ chưa biết cách biểu diễn chúng bằng những ký hiệu đại số. Người La Mã cổ đại cũng từng biết cách giải phương trình bậc hai bằng phương pháp hình học, tuy họ cũng chưa tìm ra công thức đại số để biểu diễn chúng. Tình hình cũng tương tự như vậy đối với những phương trình bậc ba. Phải đ ến thời kỳ Phục hưng các nhà toán học ở Bologna (Ý) mới khám phá ra rằng việc giải phương trình bậc ba cuối cùng được đưa về ba dạng cơ bản sau đây: X 3 + pX = q, X 3 = pX + q, và X 3 + q = pX. Sở dó họ phải xét b a trường hợp riêng biệt này vì họ không muốn công nhận v iệc tồn tại các số âm. Một người trong số các nhà toán học thời đó có tên là Scipio del Ferro tự nhận là ông ta có lời giải cho cả ba trường hợp nêu trên. Tuy nhiên, những lời giải này được giữ bí mật và ông ta chỉ dạy cho một người học trò của mình có tên là Fior biết phương pháp giải một trong ba dạng phương trình nói trên. Nhưng tin tức về việc đã có người biết giải các phương trình bậc ba đã lọt ra ngoài và điều này kích thích sự tìm tòi của nhiều người. Cuối cùng thì một người có tên là Niccolo Fontana (bí danh Tartaglia) đã tái phát minh ra lời giải vào năm 1535. Fontana đã công khai phương pháp của mình nhằm cạnh tranh với Fior, nhưng ông từ chối công bố chi tiết lời giải. Nhưng sau đó Fontana, bò một nhà vật lý học có tên Girolamo Cardano thuyết phục, đã đồng ý trao lời giải cho ông này sau khi nhận được lời hứa là mọi chuyện vẫn sẽ được giữ bí mật. Thế nhưng, vào năm 1545 Cardano cho xuất bản cuốn Ars Magna, 4 trong đó ông trình bày đầy đủ toàn b ộ lời giải của Fontana, kèm theo lời cám ơn trân trọng gửi đến người đã phát minh ra nó. Tất nhiên là Fontana có lý do chính đáng để giận dữ. Thế nhưng, cũng nhờ có dòp may này mà phát minh quan trọng đó đã được ra mắt quần chúng. Cũng trong Ars Magna, Cardano còn trình bày một phương pháp của Ludovico Ferrari về vi ệ c giải phương trình bậc bốn bằng cách đưa về giải phương trình bậc ba. Một tính chất nổi bật dễ nhận thấy trong tất cả các công thức được phát minh là các nghiệm đều được biểu diễn bằng các biểu thức căn thức, nghóa là các biểu thức đại số nhận được bằng cách tác động lên các hệ số các phép toán cộng, trừ, nhân, chia và khai căn. Như vậy, đến thời điểm này có thể nói rằng tất cả cá c phương trình bậc ≤ 4 đều giải được bằng căn thức. Một câu hỏi được đặt ra một cách rất tự nhiên là: Liệu phương trình bậc 5 có giải được bằng căn thức hay không? Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều người. Có thể kể ra đây một số trường hợp sau: Tschirnhaus đưa ra lời giải nhưng bò Leibniz chỉ ra là sai lầm. Euler đưa ra lời giải sai nhưng đồng thời lại tìm được phương pháp mới để giải phương trình bậc 4. Lagrange cũng nghiên cứu vấn đề này và tìm r a cách thống nhất để giải quyết bài toán cho các phương trình bậc ≤ 4. Tuy nhiên ông nói rằng phương pháp của ông sẽ sai nếu áp dụng cho phương trình bậc 5. Vậy, phải chăng phương trình bậc 5 không giải được bằng căn thức? Năm 1813, Ruffini công bố một chứng minh với nhiều sai sót rằng phương trình bậc 5 không giải được bằng căn thức. Cuối cùng, vào năm 1824 Abel đã chứng minh một cách thuyết phục rằng phương trình bậc 5 tổng quát không giải được bằng că n thức. Vấn đề bây giờ lại là việc cần giải quyết câu hỏi: Làm cách nào để nhận biết một phương trình đại số cho trước là giải được hay không bằng căn thức? Abel đ ang nghiên cứu vấn đề na øy dang dở thì mất vào năm 1829. Khi ấy, có một người Pháp còn rất trẻ tên là Évariste Galois, sinh viên Trường Cao đẳng sư phạm (École Normale 5 Superieuse) ở Paris, say sưa nghiên cứu vấn đề này. Galois đã gửi tới ba bản thảo cho Viện Hàn lâm khoa học Paris, nhưng tất cả đều không được xem xét một cách nghiêm túc và rơi vào quên lãng. Năm 1832, chàng thanh niên tài năng xuất chúng Évariste Galois chết trong một cuộc đấu súng khi mới ở tuổi 21. May mắn thay, vào năm 1843, Joseph L iouville đã nhận thấy giá trò của những công trình của Galois và ông đã viết thư gửi Viện Hàn lâm khoa học Paris, trong đó nhấn mạnh rằng ông đã tìm thấy trong các bài viết của Galois một lời giải rất sâu sắc cho một bài toán tuyệt đẹp: ”Làm thế nào để nhận biết một phương trình đại số là giải được hay không bằng căn thức.” Ngày nay , phương pháp mà Galois đề xuất để tìm nghiệm cho một phương trình đại s ố đã được mang tên ông, gọi là Lý thuyết Galois. Giáo trình Lý thuyết Trường & Galois nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản về Lý thuyết mở rộng trường và trình bày những ý tưởng độc đáo của Galois để giải bài toán đã nói phía trên. Trong giáo trình cũng trình bày một số ứng dụng của Lý thuyết Trường & Galois, chẳng hạ n như bài toán dựng hình bằng compa và thước kẻ hay như phép chứng mi nh Đònh lý căn bản của Đại số bằng cách gần như chỉ sử dụng các công cụ đại số. Cụ thể hơn, ở đây có sự kết hợp giữa việc sử dụng Đònh lý căn bản của thuyết Galois và Đònh lý Sylow về nhóm hữu hạn. Tuy nhiên, trong chứng minh chúng tôi vẫn cần đến sự trợ giúp một chút của Giải tích bằng cách sử dụng Đònh lý về cá c giá trò trung gian. Đây cũng là sự minh chứng cho ranh giới rất tương đối của các chuyên ngành trong Toán học. Để tiện lợi cho bạn đọc, ở hai tiết đầu chúng tôi đã trình bày các khái niệm cơ bản về các nhóm hoán vò và giải được. Về mặt hình thức, việc đọc cuốn giáo trình này không đòi hỏi phải biết trước những kiến thức của đại số đại cương. Tuy nhiên, để có thể hiểu sâu vấn đề, người đọc cũng cần phải có chút ít kinh nghiệm làm việc với toán cao cấp. Việc giải bài tập là một phần quan trọng khi đọc cuốn giáo trình này. Cũng có một số bài tập khó, nhưng một bạn đọc nghiêm túc chắc chắn sẽ giải được tất cả các bài tập này. Cuối cùng, như là một qui luật, dù tác giả có chăm chú đến đâu thì vẫn có thể còn có những sai só t. Vì vậy chúng tôi mong nhận 6 được các ý kiến góp ý, phê bình của bạn đọc để hoàn thiện cuốn giáo trình trong những lần xuất bản sau. Mọi ý kiến xin gửi về đòa chỉ hòm thư điện tử bxhai@math.hcmuns.edu.vn TP Hồ Chí Minh 10/06/2007 PGS.TS Bùi Xuân Hải 7 8 Mục lục Bảng ký hiệu 3 Lời giới thiệu 4 §1.Nhómhoánvò 11 §2.Nhómgiảiđược 21 §3.Mởrộnghữuhạnvàmởrộngđạisố 25 §4.Dựnghìnhbằngcompavàthướckẻ 38 §5.NhómGaloisvàtrườngconcốđònh 46 §6.Trườngphânrãvànhữngmởrộngchuẩntắc 52 §7.Mởrộngtáchđược 59 §8.Baochuẩntắc 66 §9.ĐònhlýcănbảncủathuyếtGalois 76 §10.Cácđathứcbậcnhỏ 79 §11. Đa thức X 4 − 2 82 §12.Đònhlýcănbảncủạisố 87 9 §13.Sựgiảiđượcbằngcănthức 90 §14. Đa thức bậc 5 khônggiảiđượcbằngcănthức 97 §15.Trườnghữuhạn 99 Tài liệu tham khảo 105 10 [...]... một tập con (i) Ký hiệu K[S] là giao của tất cả các vành con của F chứa K và S và gọi nó là vành con của F sinh ra bởi K và S (ii) Ký hiệu K(S) là giao của tất cả các trường con của F chứa K và S và gọi nó là trường con của F sinh ra bởi K và S Nếu S là tập hữu hạn thì ta nói K(S) là mở rộng hữu hạn sinh trên K Mệnh đề 3.4 Cho F là mở rộng trường của K và a1 , , an ∈ F (n > 0) Khi đó (i)K[a1, ,... là trường các thương của miền nguyên K[a1 , , an ] Chứng minh Ta sẽ chỉ chứng minh cho trường hợp n = 1, trường hợp tổng quát được chứng minh hoàn toàn tương tự (i) Giả sử a ∈ F Nhận xét rằng K[a] là vành con nhỏ nhất chứa K và a Tập hợp {f (a)| f (X) ∈ K[X]} hiển nhiên kín đối với các phép toán cộng và nhân trong F , nên là một vành con của F Rõ ràng vành con này chứa K và a, đồng thời mọi vành... aben không tầm thường Bài 2.5 Cho p, q và r là các số nguyên tố khác nhau Chứng minh rằng mọi nhóm cấp pqr đều giải được 24 §3 Mở rộng hữu hạn và mở rộng đại số Nếu K là trường con của trường F thì ta viết K ⊆ F và gọi F là mở rộng của K hoặc F là mở rộng trên K Ta cũng dùng ký hiệu F/K để chỉ F là mở rộng của K và nói K là trường cơ sở của mở rộng Nếu F/K là mở rộng trường thì có thể xem F là một không... Cho F1 và F2 là những mở rộng của trường K Giả sử F1 và F2 đều nằm trong một trường L nào đó Khi đó ta ký hiệu F1 F2 là trường con của L sinh ra bởi F1 ∪ F2 trên K và gọi nó là tích của F1 và F2 Ví dụ 4 Cho K = Q Xét các mở rộng của Q trong C Giả sử ω = e2πi/3 là một căn bậc 3 của 1 và ω = 1 Ta sẽ chứng tỏ √ √ √ 3 3 3 Q(ω, 2) = Q( 2)Q(ω 2) √ √ √ Thật vậy, vì Q( 3 2) và Q(ω 3 2) đều nằm trong Q(ω, 3... K hoặc ngắn gọn hơn, ta nói F/K hữu hạn Trong trường hợp ngược lại F được gọi là mở rộng vô hạn trên K Đònh lý 3.1 (Đònh lý về bậc) Cho dãy mở rộng trường K ⊆ F ⊆ L Khi đó, L/K hữu hạn nếu và chỉ nếu L/F và F/K hữu hạn Hơn nữa, nếu những điều nói trên xảy ra thì [L : K] = [L : F ][F : K] Chứng minh Gọi {ai }i∈I là một cơ sở của không gian vectơ F trên K và {bj }j∈J là một cơ sở của không gian vectơ... rộng của K và L là bao đóng đại số của K trong F Khi đó L là một trường và L là mở rộng đại số lớn nhất của K trong F Chứng minh Giả sử a và b = 0 là những phần tử đại số bất kỳ của F trên K Khi đó, theo Mệnh đề 3.9, K(a, b) hữu hạn trên K Do đó, theo Mệnh đề 3.8, K(a, b) đại số trên K Từ đây suy ra a ± b và a/b đều là những phần tử đại số trên K Vậy, L là trường Đònh nghóa 3.14 Cho F1 và F2 là những... nên G = Gn /Gn−1 là nhóm aben Vậy G là nhóm xyclic cấp nguyên tố Dưới đây là một đònh lý rất quan trọng mà ta sẽ sử dụng tới khi nghiên cứu lý thuyết Galois Đònh lý 2.4 ∀n ≥ 5, Sn là nhóm không giải được 23 Chứng minh Nếu Sn giải được thì An giải được Với n ≥ 5,theo Đònh lý 1.16, An là nhóm đơn Nhưng khi đó theo Đònh lý 2.3, |An | là một số nguyên tố, mà với n ≥ 5 thì |An | = n! không phải là 2 số nguyên... rằng trong trường hợp mở rộng hữu hạn thì tính chất này được suy ra ngay từ Đònh lý 3.1 Đònh lý 3.11 Cho dãy mở rộng K ⊆ F ⊆ L Nếu L/F và F/K là những mở rộng đại số thì L/K cũng là một mở rộng đại số Chứng minh ∀α ∈ L, do α đại số trên F nên tồn tại đa thức f (X) = a0 + a1 X + + an X n ∈ F [X] sao cho f (α) = 0 Đặt F0 = F (a0 , a1 , , an ) và L0 = F0 (α) 32 Theo Mệnh đề 3.9, K ⊆ F0 và F0 ⊆ L0... 0 Vậy, đònh lý đã được chứng minh xong A5 chính là nhóm đơn không giao hoán có cấp nhỏ nhất và Galois chính là người đầu tiên chứng minh điều này Cuối cùng ta sẽ chứng minh một kết quả liên quan đến các phần tử sinh của nhóm đối xứng Sn Bổ đề 1.17 Nhóm đối xứng Sn được sinh ra bởi các chu trình (12 n) và (12) Chứng minh Đặt σ = (12 n) và τ = (12) Gọi G là nhóm con của Sn sinh bởi σ và τ Khi đó... lẻ Đònh lý 1.11 ∀σ ∈ Sn và một chuyển vò (ij) thì với τ = σ(ij) ta có sgn(τ ) = −sgn(σ) Chứng minh 10 Trường hợp j = i + 1: Khi đó rõ ràng ta có những điều sau đây: a) Nếu (i, j) là nghòch thế của σ thì (i, j) không là nghòch thế của τ và ngược lại 14 b) Nếu h, k = i, j thì (h, k) là nghòch thế của σ khi và chỉ khi (h, k) là nghòch thế của τ c) Nếu h < i thì (h, i) là nghòch thế của σ khi và chỉ khi . mà Galois đề xuất để tìm nghiệm cho một phương trình đại s ố đã được mang tên ông, gọi là Lý thuyết Galois. Giáo trình Lý thuyết Trường & Galois nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản về Lý thuyết. 21 §3.Mởrộnghữuhạnvàmởrộngđạisố 25 §4.Dựnghìnhbằngcompavàthướckẻ 38 §5.NhómGaloisvàtrườngconcốđònh 46 §6.Trườngphânrãvànhữngmởrộngchuẩntắc 52 §7.Mởrộngtáchđược 59 §8.Baochuẩntắc 66 §9.ĐònhlýcănbảncủathuyếtGalois. thuyết mở rộng trường và trình bày những ý tưởng độc đáo của Galois để giải bài toán đã nói phía trên. Trong giáo trình cũng trình bày một số ứng dụng của Lý thuyết Trường & Galois, chẳng