Định nghĩa 6.1. ChoK là trường vàf(X)∈K[X]. Ta nĩi đa thức
f phân rãtrên K nếu nĩ phân tích thành tích những nhân tử tuyến tính
f(X) =a(X−α1). . .(X−αn),
vớia, α1, . . . , αn∈K.
Rõ ràng trong trường hợp này α1, . . . , αn là tất cả các nghiệm của đa thứcf(X).
Nếu f(X) là đa thức trên K và L là mở rộng của K thì f(X) cũng là một đa thức trênL. Do đĩ ta cũng cĩ thể nĩif(X)phân rã trên L.
Định nghĩa 6.2. (1) Ta nĩi trường F là một trường phân rãcủa đa thứcf(X)∈K[X], nếuF là mở rộng củaK thỏa các điều kiện:
(1.1) f phân rã trên F;
(1.2) nếuK ⊆F ⊆F và f phân rã trênF thì F =F.
(2) Cho S là tập hợp các đa thức bậc ≥1 trên K. Ta nĩi trường
F là một trường phân rã của S trên K, nếu F là mở rộng của K
thỏa các điều kiện:
(2.2) nếuK ⊆F ⊆F vàf phân rã trên F,∀f ∈S thìF =F. Rõ ràng điều kiện (1.2) tương đương với điều kiện:
(1.2’) F = K(α1, . . . , αn), trong đĩ α1, . . . , αn là tất cả các nghiệm củaf.
Điều kiện (2.2) tương đương với điều kiện
(2.2’) F =K(Ω), trong đĩ Ω là tập hợp tất cả các nghiệm của tất cả các đa thứcf ∈S.
Nếu S{f1, . . . , fn} thì trường phân rã của S trên K chính là trường phân rã của một đa thứcf =f1. . . fn trên K. NếuS là một tập bất kỳ (khơng nhất thiết hữu hạn) thì luơn luơn tồn tại trường phân rã trên K của S. Hơn nữa, trường phân rã này duy nhất sai khác một đẳng cấu. Chúng ta sẽ chứng minh điều này đối với một đa thứcf(X)∈K[X]. Trường hợp tổng quát cũng cĩ thể chứng minh được nhưng phức tạp hơn. Vả lại, những ứng dụng sắp tới trong giáo trình này khơng cần đến trường hợp tổng quát như vậy. Do đĩ chúng ta sẽ hạn chế việc chứng minh đối với một đa thức mà thơi. Nhưng trước khi làm điều này ta cần đến bổ đề sau:
Bổ đề 6.3.Chop(X)là một đa thức bất khả qui trên trườngK. Khi đĩ tồn tại một mở rộngF củaK trong đĩ p(X) cĩ nghiệm.
Chứng minh. Do p(X) bất khả qui trên K nên F =K[X]/p(X)
là một trường. Ánh xạ
ρ :K−→K[X]
a→a
là một đơn cấu. Ánh xạ tự nhiên
ϕ:K[X]−→K[X]/p(X)
là một đồng cấu. Vậy j=ϕρ là một đơn cấu từ K vào F, nên F là một mở rộng củaK. Đặt
Ta cĩp(θ) =p(X) +p(X)= 0 trong F. Vậyθ là một nghiệm của
p(X) trong F.
Định lý 6.4. (Về sự tồn tại của trường phân rã) Cho K là một trường và f(X)∈K[X]. Khi đĩ tồn tại trường phân rã của f trên K.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo bậc n của đa thứcf.
Nếun= 1thìf phân rã trênK, do đĩK chính là trường phân rã củaf trênK. Giả sửf khơng phân rã trênK. Khi đĩf cĩ một nhân tử bất khả quif1 bậc >1. Gọi θ1 là một nghiệm của f1 trong một mở rộng nào đĩ củaK (tồn tại do Bổ đề 6.3). Khi đĩf = (X−θ1)g, vớig ∈ K(θ1)[X]và degg =degf −1. Theo giả thiết qui nạp tồn tại trường phân rãF củag trên K(θ1). Rõ ràng F là trường phân rã củaf trên K.
Giả sử σ : K −→ L là một đơn cấu trường. Với a ∈ K đơi khi ta sẽ dùng ký hiệu aσ để chỉ ảnh của a qua đơn cấu σ. Nếu
f(X) =a0+a1X+. . .+anXn∈K[X]thì ta ký hiệu
fσ(X) =aσ
0 +aσ
1X+. . .+aσ nXn.
Bổ đề 6.5. Cho đẳng cấu trường σ : K −→ L và các mở rộng đơn K(α), L(β), trong đĩ α và β là các phần tử đại số tương ứng trên K và L. Giả sử p(X) = min(K, α), q(X) = min(L, β) và pσ(X) =q(X). Khi đĩ tồn tại một đẳng cấu j:K(α)−→L(β) sao choj|K=σ và j(α) =β.
Chứng minh. Mỗi phần tử của K(α) đều cĩ dạng f(α) vớif(X)∈ K[X]. Đặtj(f(α)) =fσ(β), ta chứng minhjchính là đẳng cấu cần xây dựng. Thật vậy, nếu j(f(α)) = 0 thì fσ(β) = 0, kéo theo fσ
chia hết choq(X) =pσ(X)trong L[X]. Từ đĩ suy raf(X)chia hết chop(X)trongK[X], kéo theof(α) = 0. Vậy,j là đơn cấu. Bây giờ xét một đa thức bất kỳ h(X) ∈L[X]. Khi đĩ, với f(X) =hσ−1
(X) ta cĩj(f(α)) =h(β), nghĩa làj cịn là tồn cấu. Ta đã chứng minh
Bổ đề 6.6. Cho đẳng cấu trường σ : K −→ K. Giả sử f(X) ∈ K[X],F là trường phân rã củaf trên K vàL là mở rộng của K
sao cho đa thức fσ phân rã trên L. Khi đĩ, tồn tại một đơn cấu j:F −→L sao choj|K =σ.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh sự tồn tại của j bằng qui nạp theo bậc của đa thứcf. Theo giả thiết, đa thứcf phân rã trên F:
f(X) =a(X−α1). . .(X−αn).
Đặt p(X) = min(K, α1). Khi đĩ p|f, từ đĩ suy ra pσ|fσ, mà fσ
phân rã trênL, nên pσ cũng phân rã trênL:
pσ = (X−β1). . .(X−βr), β1, . . . , βr ∈L.
Vì pσ bất khả qui trên K nên pσ =min(K, β1). Theo Bổ đề 6.5, tồn tại đẳng cấu
j1:K(α1)−→K(β1) sao cho
j1|K =σ vàj1(α1) =β1.
Rõ ràngF là trường phân rã của đa thứcg=f /(X−α1)trên trường
K(α1). Theo giả thiết qui nạp, tồn tại một đơn cấuj:F −→L sao choj|K(α1)=j1.Nhưng khi đĩ j|K =σ và ta cĩ đpcm.
Định lý 6.7.(Về sự duy nhất của trường phân rã). Cho σ:K −→ K là một đẳng cấu trường. Giả sử F là trường phân rã củaf trên Kvà F là trường phân rã củafσ trênK. Khi đĩ tồn tại một đẳng cấuj:F −→F sao cho j|K =σ.
Chứng minh. Theo Bổ đề 6.6, tồn tại đơn cấu j :F −→ Fsao cho
j|K =σ.Nhưngj(F)là trường phân rã củafσ trênK vàj(F)⊆F
nênj(F) =F. Vậyj là đẳng cấu.
Nếu trong định lý trên lấy K = K và σ = IdK là phép đồng nhất trênK thì ta sẽ nhận được sự duy nhất của trường phân rã của một đa thức (sai khác một sự đẳng cấu).
Định nghĩa 6.8. Ta gọi mở rộngK⊆Llàmở rộng chuẩn tắc, nếu mọi đa thức f(X) ∈K[X]bất khả qui trên K và cĩ nghiệm trong
Lđều phân rã trênL.
Ví dụ 9. 1)R⊆C là mở rộng chuẩn tắc. 2)Q⊆Q(√3
2)khơng phải mở rộng chuẩn tắc, vì đa thứcx3−2 bất khả qui trênQ, cĩ nghiệm √3
2 trong Q(√3
2), nhưng hai nghiệm cịn lại là những nghiệm phức, nên khơng nằm trongQ(√3
2).
Định lý 6.9.Mở rộngK ⊆Llà chuẩn tắc và hữu hạn khi và chỉ khi Llà trường phân rã của một đa thức nào đĩ trênK.
Chứng minh. Giả sửK ⊆Llà chuẩn tắc và hữu hạn. Khi đĩ cĩ thể viếtL dưới dạng
L=K(α1, . . . , αn),
trong đĩαi là những phần tử đại số trên K. Đặt
f =p1. . . pn,
trong đĩpi =min(K, αi).
Vì L chuẩn tắc trên K nên mọi đa thức pi đều phân rã trên L, do đĩ f cũng phân rã trên L. Vì L được sinh ra bởi K và một số nghiệm của f, đồng thời L chứa tất cả các nghiệm của f, nên L là trường phân rã củaf trên K.
Ngược lại, giả sử Llà trường phân rã của đa thức g trên K. Khi đĩ, hiển nhiên L/K là mở rộng hữu hạn. Ta chỉ cịn cần chứng minh L/K là mở rộng chuẩn tắc. Vậy, giả sử đa thức bất khả qui
f ∈K[X]cĩ nghiệm trong L. Ta cần phải chứng minh f phân rã trênL. Gọi M ⊇Llà trường phân rã của đa thức f gtrên L. Giả sử
α1, α2 là hai nghiệm của f trong M. Ta sẽ chứng tỏ [L(α1) :L] = [L(α2) :L].
@ @ K K(α1) K(α2) @ @ L L(α1) L@(α2) @ @ M Hình 2
trong đĩ các dây cung chỉ quan hệ bao hàm. Vớij= 1,2ta cĩ [L(αj) :L][L:K] = [L(αj) :K] = [L(αj) :K(αj)][K(αj) :K].
(1) Vìα1, α2 đều là những nghiệm của đa thức bất khả quif trênK
nên
[K(α1) :K] =degf = [K(α2) :K]. (2) Do L là trường phân rã củag trên K nên L(αj) là trường phân rã củag trên K(αj). Ngồi ra ta cĩ
K(α1)−→K(α2)
α1 →α2
là một đẳng cấu trên K (nghĩa là giữ nguyên các phần tử của K), nên nĩ thác triển thành đẳng cấu giữa các trường phân rã
L(α1)−→L(α2).
Do đĩ
[L(α1) :K(α1)] = [L(α2) :K(α2)]. (3) Kết hợp (1), (2) và (3) suy ra
Từ đẳng thức cuối cùng suy ra, nếu α1 ∈ L thì α2 ∈ L, do đĩ
L/K là mở rộng chuẩn tắc.
Bài tập
Bài 6.1. Xây dựng trong C các trường phân rã trên Q của các đa thức
X3−1, X4+ 5X2+ 6và X6−8.
Bài 6.2. Tìm bậc trên Qcủa các trường nĩi trong Bài tập 6.1.
Bài 6.3. Xây dựng trường phân rã của đa thức X3+ 2X+ 1 trên Z3.
Bài 6.4. Xây dựng trường phân rã của đa thức
X3+X2+X+ 2 trên trườngZ3.
Bài 6.5. Cĩ bao nhiêu đa thức đơn khởi bậc 2trên trường Zp?
Bài 6.6. Liệt kê tất cả các đa thức đơn khởi bậc 2 trên Z5. Tìm trong số đĩ những đa thức bất khả qui trênZ5. Xây dựng các trường phân rã cho các đa thức bất khả qui ấy.
Bài 6.7. Cho f(X) là đa thức bậc n trên trườngK và L là trường phân rã củaf trên K. Chứng minh rằng [L:K]chia hếtn!.
Bài 6.8. Các mở rộng nào dưới đây là chuẩn tắc: a)Q(√−5)/Q; b) Q(√7
5)/Q. c)Q(√5,√7
5)/Q(√7
Bài 6.9. Cho ví dụ một dãy mở rộng trườngK ⊆L⊆F, trong đĩ
L/K và F/L là những mở rộng chuẩn tắc nhưng F/K khơng phải là mở rộng chuẩn tắc.
Bài 6.10. Cho K là trường và f(X) ∈ K[X] là đa thức cĩ bậc nguyên tố. Giả sử đối với mọi mở rộngL của K, nếu f cĩ nghiệm trong Lthì f phân rã trên L. Chứng minh rằng hoặcf bất khả qui trên K hoặc f phân rã trên K.
Bài 6.11. Cho L và F là những mở rộng của trường K, trong đĩ
LvàF đều là các trường con của trường M. Chứng minh rằng nếu
L/K và F/K là những mở rộng chuẩn tắc thì LF/K cũng là mở rộng chuẩn tắc. Cho ví dụ chứng tỏ điều ngược lại khơng đúng.
Bài 6.12. Cho mở rộng chuẩn tắc L/K và đa thức bất khả qui
f(X)∈ K[X]. Chứng minh rằng, nếuf khơng bất khả qui trên L
thìf phân tích thành những nhân tử bất khả qui trênLcĩ cùng bậc. Suy ra, nếu f cĩ nghiệm trong L thìf phân rã trên L.
§7. Mở rộng tách được