bậc2,3 và4 thơng qua các hệ số của chúng.
1. Các đa thức bậc hai
Chúng ta đã biết cơng thức tính nghiệm của đa thức bậc hai bất kỳ nếu hệ số của nĩ là số thực hoặc số phức. Bây giờ ta sẽ tổng quát hố cơng thức này khi hệ số của đa thức bậc hai nằm trong một trường K bất kỳ cĩ đặc trưng khác 2. Vậy, xét đa thức
f(X) =aX2+bX+c∈K[X], charK= 2. Gọiδ là một phần tử nằm trong một mở rộng trường củaK sao cho δ2 =b2−4ac. Khi đĩ,f(x) phân rã trênK(δ)và nghiệm của nĩ là(−b±δ)/(2a).
2. Các đa thức bậc ba Xét đa thức bậc baf(X) =X3+aX2+bX+c∈K[X], charK= 0. Đặtp= 1 3a2−bvàq= 1 3ba−2 27a3−c, ta cĩf(X−1 3a) =X3−pX− q. Do đĩ, ta chỉ cần hạn chế sự khảo sát đối với những đa thức bậc ba dạngX3−pX−q, vớip, q∈K. Vậy, giả sửf(X) =X3−pX−q
vàu, v là những phần tử nằm trong một trường phân rã nào đĩ của
f trên K. Khi đĩ
f(u+v) =u3+v3+ (3uv−p)(u+v)−q.
Giả sử 3uv =p. Khi đĩ f(u+v) =u3+p3/(27u3)−q. Do đĩ,
f(u+p/(3u)) = 0 khi và chỉ khi u3 là nghiệm của đa thức bậc hai
X2−qX +p3/27. Nghiệm của đa thức bậc hai này là
q 2± q2 4 − p3 27,
và tích của những nghiệm này bằngp3/27. Nếu một trong hai nghiệm này bằngu3 thì nghiệm cịn lại bằngv3, trong đĩv=p/(3u). Từ đĩ
suy ra nghiệm củaf(X) là 3 q 2 + q2 4 − p3 27 + 3 q 2 − q2 4 − p3 27,
trong đĩ các căn bậc ba phải được chọn sao cho tích của chúng bằng 13p. Từ đĩ suy ra đa thức bậc ba X3−pX −q phân rã trên trường K(ε, ζ, w), với ε2 = 1
4q2− 1
27p3 và ζ3 = 1
2q +ε và w thỏa
w3= 1, w= 1. Các nghiệm của đa thứcf(X)trong trường mở rộng nĩi trên làα, β và γ, trong đĩ
α=ζ+ 3p
ζ, β=wζ+w2 p
3ζ, γ=w2ζ+w p
3ζ.
Đặt L=K(ε, ζ, w)là trường phân rã củaf trên K và xét nhĩm GaloisG=Gal(L/K). Nếuσ ∈Gthì σ hốn vị các nghiệm củaf. Vậy, mỗi phần tử của nhĩm Galois đều ứng với duy nhất một phép hốn vị trên tập các nghiệm củaf. Hiển nhiên, các phần tử khác nhau của nhĩm Galois sẽ ứng với các hốn vị khác nhau. Vậy, G
đẳng cấu với nhĩm con của nhĩm đối xứngS3. Do đĩ cấp củaGchỉ cĩ thể là 1,2,3hoặc 6. Nếu f phân rã trên K thì |G|= 1. Nếu f
phân rã thành một nhân tử bất khả qui bậc nhất và một nhân tử bất khả qui bậc hai thì|G|= 2. Bây giờ, giả sử f là đa thức bất khả qui trên K. Đặtδ = (α−β)(β−γ)(γ−α). Khi đĩ,δ2 khơng thay đổi dưới tác động của bất kỳ một hốn vị nào trên tập nghiệm củaf, nên
δ2 khơng thay đổi dưới tác động của mọi phần tử của nhĩm Galois
Gal(L/K). Do đĩ, δ2 ∈ K. Phần tử δ2 ∈K được gọi là biệt thức
(discriminant) của đa thức f. Nếu f(X) = X3−pX −q thì bằng cách tính tốn trực tiếp ta cĩ δ2 = 4p3 −27q2. Ta thấy rằng δ sẽ đổi dấu dưới tác động của các chuyển vị vàδ sẽ khơng thay đổi dưới tác động của các chu trình độ dài 3. Từ đĩ suy ra δ ∈ K nếu G là nhĩm xyclic cấp3, nghĩa làGđược sinh ra bởi một chu trình độ dài
3. Vậy, GZ3 nếu và chỉ nếu f là đa thức bất khả qui trên K và biệt thức4p3−27q2 củaf cĩ căn bậc hai trong trườngK. Nếuf bất khả qui nhưng biệt số củaf khơng cĩ căn bậc hai trongKthìGS3.
3. Đa thức bậc bốn
Xét vấn đề biểu diễn nghiệm của đa thức bậc 4 với hệ số trong trường K đặc trưng 0. Bằng phép thay thế X →X−c, với c∈K, ta cĩ thể đưa bài tốn về việc biểu diễn các nghiệmα, β, γ và δ của đa thức f dạng f(X) = X4−pX2−qX −r trong trường phân rã
Lnào đĩ trên K. Vì hệ số của X3 trong f bằng0 nên các nghiệm này thỏa mãn đẳng thứcα+β+γ+δ= 0. Định nghĩa
λ= (α+β)(γ+δ) =−(α+β)2, μ= (α+γ)(β+δ) =−(α+γ)2,
ν= (α+δ)(β+γ) =−(α+δ)2.
Bằng cách tính tốn trực tiếp, nhận thấy rằng (α +β)(α +
γ)(α+δ) = q. Cĩ thể kiểm chứng rằng nghiệm của f cĩ dạng
1
2(√−λ+√−μ+√−ν), trong đĩ các căn bậc hai được chọn sao cho
√ −λ√
−μ√
−ν = q. Vậy, ta cĩ thể biểu diễn được nghiệm của f
trong trường phân rã trênKcủa nĩ một khi ta biểu diễn được các đại lượngλ, μvàν bằng một biểu thức đại số của các hệ số của đa thức. Xét đa thức bậc bag(X) = (X−λ)(X−μ)(X−ν). Mỗi một hốn vị các nghiệm của đa thức bậc4đều hốn vị các đại lượngλ, μvàν, do đĩ sẽ hốn vị các nhân tử của g. Vậy, các hệ số của g sẽ khơng thay đổi dưới tác động của mọi phần tử của nhĩm GaloisGal(L/K), dẫn đến các hệ số củag đều nằm trong trường K. Bằng cách tính tốn trực tiếp, nhận được
λ+μ+ν=−2p, λμ+λν+μν =p2+ 4r, λμν=−q2.
Từ đĩ suy ra g(X) =X3+ 2pX2+ (p2+ 4r)X+q2. Ta cĩ thể dùng cơng thức tính nghiệm của đa thức bậc ba để biểu diễn các
nghiệmλ, μvà ν củag qua các hệ số củaf, kéo theo ta cĩ thể biểu diễn các nghiệmα, β, γ và δ qua các hệ số của f.
§11. Đa thức X4 − 2