tách được trên K nếuf khơng cĩ nghiệm bội trong trường phân rã của nĩ.
Trong trường hợp ngược lại, ta nĩi f là đa thức khơng tách được
trên K.
Ví dụ 10. 1) Đa thứcf5(X) =X4+X3+X2+X+ 1bất khả qui trênQ, cĩ trường phân rã nằm trongC. Các nghiệm của nĩ cĩ dạng
Tất cả các nghiệm này đều khác nhau, do đĩ f5(X) là đa thức tách được trênQ.
Tổng quát hơn, với mọi số nguyên tố p, đa thức chia đường trịn
fp(X) tách được trênQ.
2) Xét trường Zp, p là số nguyên tố và K =Zp(u), trong đĩ u
là một phần tử siêu việt trên Zp (một phần tử được gọi là phần tử siêu việttrên một trường, nếu nĩ khơng phải là phần tử đại số trên trường đĩ). Xét đa thức
f(X) =Xp−u∈K[X].
Gọi L là trường phân rã của f(X) trên K, và θ là một nghiệm củaf trong L. Ta cĩ
f(X) =Xp−u=Xp−θp = (X−θ)p.
Vậyf(X)chỉ cĩ một nghiệm bội duy nhất bậc plà θ. Để chứng minh f(X) khơng tách được trên K, ta chỉ cần chứng minh f(X) bất khả qui trên K. Vậy, giả sử f = gh, g, h ∈ K[X] và bậc của
g, hthực sự nhỏ hơn bậc củaf. Khi đĩ
g(X) = (X−θ)s, 0< s < p.
Từ đĩ suy ra θs ∈K. Vì (s, p) = 1 nên tồn tạia, b∈Z sao cho
sa+bp= 1. Từ đĩ suy ra
θ=θsa+bp= (θs)a(θp)b= (θs)a.ub∈K.
Do đĩθ viết được dưới dạng
θ= v(u)
Từ đĩ
θp = ((v(u))p
w(u))p, do đĩ(v(u))p−u(w(u))p= 0.
Nhưng điều này khơng thể xảy ra do u siêu việt trên Zp, nên
f(X)bất khả qui trên K, do đĩ f(X)khơng tách được trên K. Từ định nghĩa, nhận thấy để xét xem một đa thức bất khả qui cĩ tách được hay khơng, ta cần xét xem nĩ cĩ nghiệm bội hay khơng. Để làm điều này, dưới đây ta sẽ đưa ra một phương pháp liên quan đến khái niệm đạo hàm của một đa thức.
Định nghĩa 7.2. Với đa thức
f(X) =a0+a1X+. . .+anXn∈K[X],
ta gọi đa thức sau đây làđạo hàmcủaf:
Df =a1+ 2a2X+. . .+nanXn−1.
Dễ dàng kiểm chứng các tính chất sau đây đối với các đa thức
f, g∈K[X]:
1)D(f+g) =Df+Dg.
2)D(f g) = (Df)g+f(Dg). 3)∀λ∈K, D(λ) = 0.
4)∀λ∈K, D(λf) =λD(f).
Bổ đề 7.3.Đa thức0=f ∈K[X]cĩ nghiệm bội trong trường phân rã của nĩ khi và chỉ khif vàDf cĩ ước chung bậc≥1trongK[X].
Chứng minh. Giả sửf cĩ nghiệm bộiα trong trường phân rã Lcủa nĩ. Khi đĩ
Do đĩ
Df = 2(X−α)g(X) + (X−α)2Dg= (X−α)[2g+ (X−α)Dg].
Vậy α là nghiệm chung củaf và Df. Do đĩ f và Df đều chia hết chomin(K, α).
Ngược lại, giả sửf khơng cĩ nghiệm bội trong trường phân rã của nĩ. Đặt n=degf. Nếu n= 1 thì Df ∈ K, do đĩ f và Df khơng thể cĩ ước chung bậc ≥ 1. Vậy, giả sử n > 1 và h(X) ∈ K[X] là ước chung bậc≥1 củaf và Df. Giả sửα là một nghiệm củah(X) trong trường phân rã Lcủa nĩ. Khi đĩ,α là nghiệm chung củaf và
Df. Do đĩ
f(X) = (X−α)g(X), trong đĩ g(X)∈L[X].
Từ đĩ
Df = (X−α)Dg+g,
kéo theo αlà nghiệm của g. Vậy,α là nghiệm bội bậc ≥2 củaf và ta cĩ một mâu thuẫn. Điều này chứng tỏf vàDf khơng thể cĩ ước chung bậc≥1 trong K[X].
Bây giờ ta cĩ thể đưa ra một điều kiện cần và đủ để một đa thức bất khả qui là tách được.
Mệnh đề 7.4. (i) Nếu K là trường đặc trưng 0 thì mọi đa thức bất khả qui trênK đều tách được trênK;
(ii) nếu K là trường đặc trưng p > 0 thì đa thức bất khả qui f(X)∈K[X]khơng tách được trênKkhi và chỉ khif(X)∈K[Xp], nghĩa là khi và chỉ khi
f(X) =b0+b1Xp+b2(Xp)2+. . .+br(Xp)r;
(iii) nếu charK = p > 0 và f(X) là một đa thức bất khả qui trênK thì tồn tại một số nguyên m≥0và một đa thứcg∈K[X], bất khả qui, tách được trênK sao chof(X) =g(Xpm
Chứng minh. Theo Bổ đề 7.3, đa thức bất khả qui f(X) ∈ K[X] khơng tách được trên K khi và chỉ khi f và Df cĩ ước chung bậc
≥1. Vìf bất khả qui và Df cĩ bậc nhỏ hơn bậc củaf nên khi đĩ ta phải cĩDf = 0. Đặt
f(X) =a0+a1X+. . .+anXn.
Ta cĩ
Df =a1+ 2a2X+. . .+nanXn−1= 0 nếu và chỉ nếukak= 0, ∀k∈1, n.
(i) Trường hợp char(K) = 0: Từ đẳng thức kak = 0 suy ra
ak = 0(k∈1, n). Vậy, nếu f(X)là đa thức bất khả qui bậc≥1 thì
f tách được trênK.
(ii) Trường hợpchar(K) =p >0: Từ đẳng thức kak= 0suy ra
ak= 0 nếu p |k. Đặtbi=aip, suy ra
f(X) =b0+b1Xp+b2(Xp)2+. . .+br(Xp)r.
(iii) Gọi m là số nguyên khơng âm lớn nhất sao cho f(X) ∈ K[Xpm
]. Lưu ý rằng sốmnhư vậy luơn tồn tại vìf ∈K[Xp0
]và chỉ tồn tại một tập hữu hạn những sốr≥0 đểf ∈K[Xpr
], do mỗi đa thức trong K[Xpr
] cĩ bậc khơng bé thuapr. Vậyf(X) = g(Xpm
). Do tính tối đại củam, g(X)∈K[Xp]. Hơn nữag(X)bất khả qui trên
K. Thật vậy, giả sửg(X) =h(X)k(X). Khi đĩf(X) =g(Xpm
) =
h(Xpm
)k(Xpm
), kéo theo một mâu thuẫn với tính bất khả qui của
f(X)trên K. Theo (ii),g(X)tách được trên K.
Từ chứng minh Mệnh đề 7.4 (ii), ta thấy trong trường hợp
char(K) =p >0 thì đa thức bất khả quif khơng tách được trênK
khi và chỉ khif(X) =g(Xp), với một đa thức nào đĩg(X)∈K[X].
Định nghĩa 7.5. (i) Mợt đa thức bất kỳ f ∈K[X]được gọi là tách đượctrênK, nếu mọi nhân tử bất khả qui của nĩ đều tách được trên
(ii) choL/K là mở rộng trường và α∈L là một phần tử đại số trênK. Khi đĩ ta nĩiαtách đượctrên K, nếumin(K, α)tách được trênK. Ta nĩi mở rộngL/K tách đượcnếu mọi phần tử α∈Lđều tách được trênK.
Ví dụ 11. ChoK là trường đặc trưng 0. Khi đĩ mọi đa thức trong
K[X] đều tách được trên K. Từ đĩ suy ra mọi mở rộng đại số của
K đều tách được trên K.
Nếu K là trường đặc trưng p > 0 thì K(X) khơng phải là mở rộng tách được trênK(Xp), vì đa thức min(K(Xp), X) =tp −Xp
chỉ cĩ một nghiệm duy nhất làt=X.
Mệnh đề 7.6. Nếu L/K là mở rộng tách được và K ⊆ M ⊆L thì M/K vàL/M là những mở rộng tách được.
Chứng minh. Hiển nhiênM/K tách được. ∀α∈K, xétpK(X) :=
min(K, α) và pM := min(M, α). Ta cĩpM|pK trong M[X]. Vì α
tách được trênK nênpK tách được trênK, do đĩpMtách được trên
M. Vậy L/M là mở rộng tách được.
Bài tập
Bài 7.1. Đa thức nào trong các đa thức dưới đây
X3+1, X2+2X−1, X6+X5+X4+X3+X2+X+1,7X5+X−1 tách được trên
a)Q; b) C; c) Z2; d) Z3; e)Z5; f)Z7; g) Z19.
Bài 7.2. Cho mở rộng đại số L/K. Ta nĩi phần tử a ∈ L\K là
chỉ cĩ một nghiệm. Ta nĩi mở rộng L/K là thuần tuý khơng tách được nếu mỗi phần tử củaL là thuần tuý khơng tách được trên K. Chứng minh rằngathuần túy khơng tách được trênK khi và chỉ khi tồn tại số tự nhiênr≥1sao choapr
∈K, trong đĩ p=charK.
Bài 7.3. Cho mở rộngL/K vàα ∈L là phần tử khơng tách được trên K. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên m ≥0 sao cho αpm là phần tử tách được trênK, trong đĩ p=charK.
Bài 7.4. ChoK là trường đặc trưng p >0 vàa∈K−Kp. Chứng minh rằngXp−alà đa thức bất khả qui trên K.
Bài 7.5. ChoKlà trường đặc trưngp >0vàLlà mở rộng thuần túy khơng tách được trênKbậcpn. Chứng minh rằngapn
∈K,∀a∈L.
Bài 7.6. Cho dãy mở rộng trườngK ⊆L⊆F sao choF/L chuẩn tắc và L/K là mở rộng thuần túy khơng tách được. Chứng minh rằngF/K là mở rộng chuẩn tắc.
Bài 7.7. ChoL, F là các mở rộng của trườngK và cùng nằm trong một trường lớnM nào đĩ. Chứng minh rằng, nếu LvàF cùng tách được trênK thìLF cũng tách được trênK. Điều ngược lại cĩ đúng khơng?
Bài 7.8. ChoL, F là các mở rộng của trườngK và cùng nằm trong một trường lớnM nào đĩ. Chứng minh rằng, nếuLvàF cùng thuần túy khơng tách được trênK thìLF cũng thuần túy khơng tách được trên K. Điều ngược lại cĩ đúng khơng?
§8. Bao chuẩn tắc