Nếu
τ :M −→L
là một đơn cấu trường sao choτ(a) =a,∀a∈K thì ta nĩi τ là một
K-đơn cấutừM vàoL. Ta cịn nĩi τ là một đơn cấu trên K
Định lý 8.2. Giả sử L là một mở rộng chuẩn tắc hữu hạn trên K, K⊆M ⊆L và
τ :M −→L
là mộtK−đơn cấu. Khi đĩ tồn tại mộtK-tự đẳng cấuσ của Lsao choσ|M =τ.
Chứng minh. VìL/Klà chuẩn tắc và hữu hạn, nên theo Định lý 6.9,
Llà trường phân rã trên K của một đa thức f ∈K[X]nào đĩ. Do
τ là K-đơn cấu nên fτ =f vàK ⊆τ(M). Vậy, L cịn đồng thời là trường phân rã trênM và trênτ(M)của f. Do đĩ theo Định lý 6.7, tồn tại một đẳng cấuσ :L −→ L sao cho σ|M = τ.Vì τ là K-đơn cấu, nênσ làK-tự đẳng cấu.
Sử dụng định lý vừa chứng minh ta cĩ thể xây dựng các K-tự đẳng cấu của một mở rộng chuẩn tắc hữu hạnL trên K như sau:
Mệnh đề 8.3. Giả sử L/K là một mở rộng chuẩn tắc hữu hạn và α, β là các nghiệm nằm trong Lcủa một đa thứcp(X)bất khả qui trênK. Khi đĩ tồn tại mộtK-tự đẳng cấuσcủaLsao choσ(α) =β.
Chứng minh. Theo Bổ đề 6.5, ánh xạ
τ :K(α)−→K(β)
vớiτ(α) =β và giữ nguyên các phần tử của trường K là một đẳng cấu trên K và do đĩ là một K-đơn cấu từ K(α) vàoL. Theo Định lý 8.2,τ mở rộng thành mộtK-tự đẳng cấuσ củaL.
Nếu một mở rộng khơng phải là chuẩn tắc thì ta sẽ cố gắng mở rộng nĩ thành một mở rộng chuẩn tắc. Một cố gắng như vậy đưa ta tới một định nghĩa về bao chuẩn tắc.
Định nghĩa 8.4. ChoL là một mở rộng đại số trênK. Ta gọi một
bao chuẩn tắccủa mở rộngL/K là một mở rộngN của Lsao cho: (1) N/K chuẩn tắc.
(2) Nếu L⊆M ⊆N và M/K chuẩn tắc thì M =N.
VậyN là mở rộng nhỏ nhất củaLchuẩn tắc trên K.
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ để tồn tại bao chuẩn tắc.
Định lý 8.5. Nếu L/K là mở rộng hữu hạn thì tồn tại bao chuẩn tắcN củaL/K. Hơn nữa,N hữu hạn trênK. NếuM là một bao chuẩn tắc khác củaL/K thì tồn tại một đẳng cấuσ:M −→N trên K.
Chứng minh. Giả sử x1, . . . , xr là cơ sở của L trên K và mi =
min(K, xi),∀i ∈ 1, r. Gọi N là trường phân rã của đa thức f =
m1. . . mr trên L. Khi đĩ rõ ràng N cũng là trường phân rã củaf
trênK (doL=K(x1, . . . , xr)). Do đĩ theo Định lý 6.9,N/K là mở rộng chuẩn tắc hữu hạn. Giả sửL ⊆P ⊆ N và P chuẩn tắc trên
K. Mỗi đa thức bất khả quimi đều cĩ một nghiệmxi∈L⊆P, nên do tính chuẩn tắc củaP trên K,mi phân rã trênP. Suy raf phân rã trênP. Vì N là trường phân rã của f nên P =N. Vậy N là bao chuẩn tắc củaL/K.
Bây giờ, giả sử M là bao chuẩn tắc khác của L/K. Đa thức f
như đã nêu ở trên sẽ phân rã cả trênM vàN. Vậy,M và N chứa các trường phân rã củaf trên K. Các trường phân rã này đều chứa
L và chuẩn tắc trên K, do đĩ chúng tương ứng bằng M vàN. Từ đĩ suy raM N.
Ví dụ 12. Xét mở rộng trường Q ⊆ Q(√3
X3−2trênQchỉ cĩ một nghiệm nằm trongQ(√3
2), do đĩ mở rộng này khơng chuẩn tắc. Gọi K ⊆ C là trường phân rã của đa thức
X3−2trên Q. Khi đĩ K=Q(√3
2, w), vớiw=e2πi3 . Vậy K là bao chuẩn tắc của mở rộngQ(√3
2)/Q.
Bổ đề 8.6.Cho một dãy mở rộng trường K ⊆L⊆N ⊆M,
trong đĩ L hữu hạn trên K và N là bao chuẩn tắc củaL/K. Khi đĩ, nếuτ :L−→M là một K-đơn cấu thìτ(L)⊆N.
Chứng minh. Xét phần tử bất kỳ α ∈L. Vì L là mở rộng hữu hạn trênK nênαlà phần tử đại số trênK. Gọip(X) =min(K, α). Khi đĩτ(α) cũng là một nghiệm củap(X), nênτ(α)∈N.
Kết quả nĩi trên cho phép chúng ta hạn chế việc khảo sát lên bao chuẩn tắc của một mở rộng hữu hạn cho trước, nếu như việc khảo sát chỉ liên quan đến những đơn cấu.
Định lý dưới đây cho ta một số điều kiện tương đương của mở rộng chuẩn tắc.
Định lý 8.7.Đối với mở rộng hữu hạn L/K, những điều kiện dưới đây tương đương:
(i) L/K chuẩn tắc.
(ii) Tồn tại mở rộng chuẩn tắcN hữu hạn trên K chứa L sao cho mỗiK-đơn cấuτ :L−→N là một K-tự đẳng cấu củaL.
(iii) Đối với mọi mở rộng chuẩn tắc hữu hạnM/K chứaL, mỗi K-đơn cấuτ :L−→M là mộtK-tự đẳng cấu củaL.
(iv) Đối với mọi mở rộng chuẩn tắc M/K chứa L, mỗiK-đơn cấuτ :L−→M là mộtK-tự đẳng cấu củaL.
Chứng minh. (i)=⇒(iv). NếuLchuẩn tắc trênKthìLlà bao chuẩn tắc của L/K. Giả sử M/K chuẩn tắc, L ⊆M và τ : L −→ M là
mộtK−đơn cấu. Khi đĩ, theo Bổ đề 8.6, τ(L) ⊆L.Nhưng K-đơn cấu τ cĩ thể xem như một đơn cấu từ khơng gian véctơ hữu hạn chiềuL trên K vàoM. Do đĩdimK(τ(L)) =dimK(L). Từ đĩ suy raτ(L) =Lvà do đĩτ làK-tự đẳng cấu củaL.
(iv)=⇒ (iii). Hiển nhiên.
(iii)=⇒(ii). Theo Định lý 8.5, tồn tại bao chuẩn tắcN củaL/K,
N hữu hạn trên K. Theo (iii),N/Kchính là mở rộng thỏa những địi hỏi cần thiết.
(ii)=⇒ (i). Giả sử p(X) là một đa thức bất khả qui trên K và
α∈Llà một nghiệm củap(X). Khi đĩ, doN chuẩn tắc trênK nên
p(x) phân rã trênN. Nếu β là một nghiệm khác của p(X)thì theo Mệnh đề 8.3, tồn tại mộtK-tự đẳng cấuσ củaN sao choσ(α) =β. Khi đĩ σ|L :L −→ N là một K-đơn cấu, nên theo (ii), σ|L là một
K-tự đẳng cấu của L, do đĩ β = σ(α) ∈ L. Vậy L/K là mở rộng chuẩn tắc.
Định lý 8.8. Cho L/K là mở rộng hữu hạn tách được bậc n. Khi đĩ, tồn tại đúngn K-đơn cấu khác nhau từL vào bao chuẩn tắcN của mở rộngL/K.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo bậc n= [L:K]. Nếun= 1 thì L=K và điều khẳng định là hiển nhiên.
Giả sử n > 1, và điều khẳng định là đúng đối với mọi mở rộng hữu hạn, tách được bậc bé thuan. xét phần tửα ∈L\K, vàp(X) =
min(K, α). Khi đĩ, deg(p) = r = [K(α) : K] >1. Vì đa thức bất khả qui p cĩ một nghiệm nằm trong mở rộng chuẩn tắc N nên p
phân rã trênN. Doαtách được trênKnên các nghiệm củapđều là nghiệm đơn. Giả sử các nghiệm đĩ là α1, . . . , αr. Đặt s= n
r. Theo giả thiết qui nạp, cĩ đúng s K(α)-đơn cấu ρ1, . . . , ρs : L −→ N.
Theo Mệnh đề 7.3, tồn tạir K-tự đẳng cấuτ1, . . . , τr củaN sao cho
τi(α) =αi.
Các ánh xạ
cho ta n = rs K-đơn cấu L −→ N khác nhau. Thật vậy, giả sử (i, j)= (k, l). Nếui=k hoặc j =l thì hiển nhiên φij =φkl. Nếu
i= k và j = l thì τiρj(α) = τi(α) = τk(α) = τkρl(α). Từ đĩ suy raφij =φkl. Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng ngồi ra khơng cịn cĩ
K-đơn cấu nào khác từL−→N.
Vậy, giả sử τ :L −→ N là một K-đơn cấu bất kỳ. Khi đĩ τ(α) là một nghiệm củap(X) trong N, nên τ(α) =αi với mộtinào đĩ. Ánh xạφ=τ−1
i τ là một K(α)-đơn cấuL−→N, nên theo giả thiết qui nạpφ=ρj với mộtj nào đĩ. Do đĩ τ =τiρj =φij.
Nhờ cĩ các định lý vừa chứng minh ta cĩ thể tính được cấp của nhĩm Galois của một mở rộng hữu hạn, chuẩn tắc và tách được. Thật vậy, áp dụng các định lý 8.7 và 8.8, ta nhận được ngay kết quả dưới đây:
Hệ quả 8.9.NếuK ⊆L là mở rộng hữu hạn, chuẩn tắc, tách được bậcn thì cĩ đúngn K-tự đẳng cấu khác nhau củaL, do đĩ
|Gal(L/K)|=n.
Bây giờ ta dễ dàng suy ra kết quả quan trọng sau đây:
Định lý 8.10.ChoK⊆L là một mở rộng hữu hạn bậcnvới nhĩm GaloisG. NếuL/K là chuẩn tắc và tách được thì K là trường con cố định củaG.
Chứng minh. GọiK0 là trường con cố định củaGvà|G|=n. Theo Định lý 5.5, [L :K0] = |G|. Theo Hệ quả 8.9, n = [L :K] = |G|. Nhưng do K⊆K0 nên từ đĩ suy ra K=K0.
Điều ngược lại của Định lý 8.10 cũng đúng. Tuy nhiên, trước khi chứng minh điều ấy ta cần đến một kết quả dưới đây:
Định lý 8.11.Cho dãy mở rộng trường K⊆L⊆M
sao cho[M :K]hữu hạn,[L:K] =nvà Ltách được trên K. Khi đĩ, tồn tại nhiều nhất làn K-đơn cấuL−→M.
Chứng minh. Gọi F là bao chuẩn tắc củaM/K. Theo Định lý 8.5,
F là mở rộng hữu hạn trên K. Mọi K-đơn cấu L −→ M cĩ thể xem như mộtK-đơn cấuL−→F. Vậy số cácK-đơn cấuL−→M
khơng vượt quá số cácK-đơn cấu từ Lvào bao chuẩn tắc F của M. Bây giờ ta sẽ chứng minh cĩ đúngn K- đơn cấuL−→F. Thật vậy, ta thấyF là mở rộng chuẩn tắc và hữu hạn trên K, nên rõ ràng F
chứa một bao chuẩn tắcN củaL/K:
K ⊆L⊆N ⊆F.
Từ Bổ đề 8.6 suy ra mỗi mộtK-đơn cấuL−→F đều cĩ thể xem như mộtK-đơn cấu L −→ N. Mà theo Định lý 8.8 chỉ cĩ đúng n K-đơn cấuL−→N, nên suy ra chỉ cĩ đúngn K-đơn cấuL−→F.
Định lý 8.12. Cho mở rộng hữu hạn L/K với nhĩm Galois G =
Gal(L/K). Nếu K là trường con cố định củaG thìL/K là chuẩn tắc và tách được.
Chứng minh. Theo Định lý 5.5,[L :K] = |G|=n. Vậy cĩ đúngn K-tự đẳng cấu của L. Tương tự như trong chứng minh Định lý 8.8, ta cĩ thể chứng minh được rằng nếuLkhơng tách được thì cĩ ít hơn
n K-đơn cấu L−→ N, vớiN là bao chuẩn tắc của L/K. Do đĩ L
phải tách được trên K. Ta chỉ cịn cần chứng minh L là mở rộng chuẩn tắc trênK. Vậy, giả sửM là mở rộng chuẩn tắc hữu hạn trên
K chứa L và τ : L −→ M là một K-đơn cấu. Theo Định lý 8.11, cĩ khơng quán K-đơn cấu L−→M. Nhưng mỗi một phần tử của nhĩmGal(L/K)đều cĩ thể xem như mộtK-đơn cấu L−→M, mà cĩ đúngnphần tử như vậy, nên τ phải là một trong những phần tử của nhĩmGal(L/K). Áp dụng Định lý 8.7, suy ra L/K là mở rộng chuẩn tắc.
Định nghĩa 8.13. Cho mở rộng hữu hạnL/K. Ta nĩiLlàmở rộng Galois trênK nếu K=F(Gal(L/K)).
Bổ đề 8.14.Mở rộng hữu hạnL/K là mở rộng Galois khi và chỉ khi
[L:K] =|Gal(L/K)|.
Chứng minh. NếuL/K là mở rộng Galois thì theo định nghĩaK là trường cố định củaG:=Gal(L/K). Khi đĩ, theo Định lý 5.5, ta cĩ
[L:K] =|G|.
Ngược lại, giả sử [L : K] = |G|. Gọi K0 là trường con cố định củaG. Khi đĩ, theo Định lý 5.5
[L:K0] =|G|.
Vì K⊆K0, nên K =K0, kéo theo Llà mở rộng Galois trên K.
Định lý 8.15. Cho mở rộng hữu hạn L/K. Khi đĩ các điều kiện dưới đây tương đương:
(i) L/K là mở rộng Galois.
(ii) L/K là mở rộng chuẩn tắc và tách được.
(iii)Llà trường phân rã cuả một đa thức tách được trênK.
Chứng minh. (i)=⇒ (ii). Áp dụng Định lý 8.12.
(ii)=⇒ (iii). DoL/K là mở rộng chuẩn tắc và hữu hạn nên theo Định lý 5.9,L là trường phân rã trên K cuả một đa thứcf ∈K[X]. Giả sửplà một nhân tử bất khả qui bất kỳ cuảf. Vì mọi nghiệm cuả
p cũng là nghiệm cuả f và theo giả thiết các nghiệm này đều tách được trênK nênp tách được trênK, kéo theo f tách được trên K. (iii)=⇒(i). Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo bậcn= [L:K]. Nếun= 1thìL=K, do đĩ điều khẳng định là hiển nhiên. Vậy, giả sử n > 1 và điều khẳng định là đúng đối với mọi mở rộng bậc nhỏ hơnn. Giả sử Llà trường phân rã cuả đa thứcf tách được trên
là nghiệm cuả f. Đặt F = K(α). Khi đĩ [F : K] > 1, kéo theo [L :F]< n. Hiển nhiên đa thức f cũng tách được trên F và L là trường phân rã cuả f trên F. Do đĩ, áp dụng giả thiết qui nạp suy raL là mở rộng Galois trên F. Đặt H :=Gal(L/F)≤Gal(L/K). Đa thức bất khả qui p(X) = min(K, α) là ước cuả đa thức f tách được trên K nên cũng tách được trên K. Gọi α1, . . . , αr là tất cả các nghiệm khác nhau cuảp(X). Khi đĩ[F :K] =r. ∀i∈1, r, ánh xạσi :K(α)−→K(αi), với α→αi và giữ nguyên các phần tử cuả
Klà một K-đẳng cấu. XemLđồng thời như các trường phân rã cuả
F =K(α)vàK(αi)rồi áp dụng Bổ đề 5.7, ta tìm được một phần tử
τi∈Gal(L/K)sao choτi(α) =αi.Ta sẽ chứng minh các lớp kề trái
τiHđơi một khác nhau. Thật vậy, giả sửi=jvàτiH=τjH. Khi đĩ
τ−1
i τj ∈H =Gal(L/F),kéo theo τ−1
i τj(α) =αhayτi(α) =τj(α), nghĩa là αi = αj. Nhưng đây là điều mâu thuẫn với cách đặt các phần tử αi. ĐặtG :=Gal(L/K) và áp dụng điều mới chứng minh ta cĩ
|G|= [G:H]|H| ≥r|H|= [F :K]|H|= [F :K][L:F] = [L:K].
Mặt khác, theo Hệ quả 5.6, ta cĩ |G| ≤[L:K]. Vậy, [L :K] =
|G|. Theo Bổ đề 8.14,L/K là mở rộng Galois.
Hệ quả 8.16.ChoL/K là một mở rộng hữu hạn. Khi đĩ:
(i) Nếu L = K(α1, . . . , αn), với các phần tử αi đều tách được trênK thìL tách được trên K; (ii)L tách được trên K nếu và chỉ nếuLnằm trong một mở rộng Galois nào đĩ củaK.
Chứng minh. (i) Giả sửL=K(α1, . . . , αn)và mọiαi đều tách được trên K. GọiF là trường phân rã trên K của đa thức
f(x) :=
n
i=1
min(K, αi).
Rõ ràng f tách được trên K , do đĩ theo Định lý 8.15, F tách được trênK , kéo theo Ltách được trên K.
(ii) NếuL⊆F và F/K là mở rộng Galois thì theo Định lý 8.15,
F tách được trên K. Từ đĩ suy ra L tách được trên K. Ngược lại, giả sử L tách được trên K. Do L/K hữu hạn nên ta cĩ thể viết
L=K(α1, . . . , αn), trong đĩ mọi αi đều tách được trênK. Đặt F
là trường phân rã trênK của đa thức
f(x) :=n
i=1
min(K, αi).
Theo Định lý 8.15,F là mở rộng Galois trên K.
Bổ đề 8.14 cho chúng ta một tiêu chuẩn để chứng minh khi nào một mở rộng hữu hạn là mở rộng Galois. Tuy nhiên, để sử dụng nĩ ta cần phải tính được nhĩm Galois của mở rộng. Mà điều này lại khơng phải lúc nào cũng dễ dàng. Dưới đây, ta xét một trường hợp riêng khiL là mở rộng đơn trênK.
Mệnh đề 8.17. Cho mở rộng L/K và a∈L là một phần tử đại số trên K. Khi đĩ nhĩm Galois Gal(K(a)/K) là hữu hạn và cĩ cấp bằng số các nghiệm khác nhau trongK(a) của đa thứcmin(K, a). Suy ra K(a) là mở rộng Galois trên K khi và chỉ khi đa thức