Các dạng lượng giác của số phức

Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng I/ Số phức dưới dạng lượng giác 1/ Acgumen của số phức z ≠ 0 2/ Dạng lượng giác của số phức II/ Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác III/ Công thức Moa –vrơ và ứng dụng 1/ Công thức Moa-vrơ 2/ ứng dụng vào lượng giác 3/ Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng O x y M ϕ ϕϕ ϕ cosϕ ϕϕ ϕ Sinϕ ϕϕ ϕ =(Cosϕ ϕϕ ϕ; Sinϕ ϕϕ ϕ) O x y M a b =(a; b) Z = a + bi Z = cosϕ ϕϕ ϕ+ isinϕ ϕϕ ϕ Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng I/ SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC 1/ Acgument của số phức z ≠ 0 Định nghĩa 1 Cho số phức z ≠ 0. Gọi M là một ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số z x y O M Số ño (radian) của mỗi góc lượng giác có tia ñầu Ox, tia cuối OM ñược gọi là acgument của z ϕ ϕϕ ϕ Chú ý : nếu ϕ là một acgument của z thì mọi acgument của z có dạng ϕ ϕϕ ϕ + k2π ππ π ( như vậy acgument của z sai khác k2π) Acgument Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng I/ SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC 1/ Acgument của số phức z ≠ 0 Ví dụ 1 x y O M ϕ ϕϕ ϕ a/ Số thực dương có một acgument là 0 b/ Số thực âm có một acgument là π c/ Số 3i có một acgument là 2 π Số -2i có một acgument là 2 π − Số 1+ i có một acgument là 4 π 1 1 Nhận xét: Hai s phc z và lz (l là s thc ñưng có acgument sai khác k2 π ππ π , k ∈ ∈∈ ∈ Z, vì các ñim biu din ca chúng cùng thuc tia gc O x y O M ϕ ϕϕ ϕ M’ Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng b/ Dạng lượng giác của số phức Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ R) Kí hiệu r là modun của z và ϕ là một acgument của z, ta có: x y O M ϕ ϕϕ ϕ r a b ; sin a rcos b r ϕ ϕ = = Vậy: ( + isin ) z a bi r cos ϕ ϕ = + = Định nghĩa 2: Dng z = r(cos ϕ ϕϕ ϕ + isin ϕ ϕϕ ϕ ) trong ñó r > 0 ñưc gi là dng lưng giác ca z ≠ 0 Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng Nhận xét: Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (a, b ∈ R) Để tìm dạng lượng giác của z, ta thực hiện như sau: 1/ Tìm r : môdun của z : 2 2 r a b = + ( r là khoảng cách từ gốc O ñến ñiểm M biểu diễn số z trong mặt phẳng phức ) 2/ Tìm ϕ ϕ Là một acgument của z, là một số thức sao cho: ;sin a b cos r r ϕ ϕ = = ϕ Cũng là số ño một góc lượng giác có tia ñầu là Ox, tia cuối là OM: Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng Ví dụ 3: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau: 2; -2; i; 1+ i; 1 3 i − Giải a/ Số 2 có modun r = 2 Một acgument của 2 là ϕ = 0 Dạng lượng giác của 2 là: 2( 0 + isin 0) cos b/ Số -2 có modun r = 2 Một acgument của -2 là ϕ = π Dạng lượng giác của 2 là: 2( + isin ) cos π π c/ Số i có modun r = 1 Một acgument của i là : Dạng lượng giác của i là: ( + isin ) 2 2 cos π π 2 π ϕ = d/ Số 1+ i có modun Một acgument của 1+ i là ϕ , sao cho: Dạng lượng giác của 2 là: 2( + isin ) 4 4 cos π π 2 r = 1 1 ;sin 4 2 2 cos π ϕ ϕ ϕ = = ⇒ = e/ Số có modun Một acgument là ϕ , sao cho: Dạng lượng giác của 2 là: 2 + isin 3 3 cos π π       − −             2 r = 1 3 ;sin 2 2 3 cos π ϕ ϕ ϕ − = = ⇒ = − 1 3 i − Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng Chú ý: 1/ I zI = 1 khi và chỉ khi z = cosϕ + isinϕ ( ϕ ∈ R) 2/ Khi z = 0 thì IzI = 0 nhưng acgument của z không xác ñịnh. ( ñôi khi coi acgument của 0 là số thực tuỳ ý và vẫn viết 0 = 0(cosϕ + isinϕ) 3/ Cần chú ý r > 0 trong dạng lượng giác r(cosϕ + isinϕ) của số phức z Ví dụ 4: a/ Số phức – (cosϕ + isinϕ) có dạng lượng giác là: cos(ϕ + π) + isin(ϕ + π) b/ Số phức cosϕ - isinϕ có dạng lượng giác là: cos(-ϕ) + isin(-ϕ) Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng PHẦN BÀI TẬP Bài 1: Tìm một acgument của mỗi số phức sau ( ) ( ) ( ) 3 3 / 2 2 3 / sin 4 4 / sin 8 8 / / 1 3 a i b cos i c icos d a i a i e z i π π π π − + − − − + + − − + ( a là số thực cho trước) Biết một acgument của z là 3 π Xuctu.com [...]... lư ng giác c a s ph c - ng d ng Bài 2; Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác c/ 1− i 3 ; d/ 2i 1+ i ( 3 −i Xuctu.com ) Bài gi i: ( ) ( ) 1 − i 3 1 − i 3 (1 − i ) 1 − 3 + −1 − 3 i 1 − 3 −1 − 3 c/ = = = + i 1+ i 2 2 2 2 1 r= 2 (1 − 3 ) + (1 + 3 ) 2 1− 3 −1 − 3 cosϕ = ;sin ϕ 2 2 2 2 z = 2 ( cosϕ + i sin ϕ ) 2 = 2 D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng Bài 2; Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác e/... sin (ϕ + ϕ ')    z r = cos (ϕ '− ϕ ) + i sin (ϕ '− ϕ )   z' r' Tích hai s ph c ( d ng lư ng giác) ta l y tích hai modun và t ng các acgument Thương hai s ph c ( d ng lư ng giác) ta l y thương hai modun và hi u các acgument D ng lư ng giác c a s ph c - 2/ NHÂN VÀ CHIA S ng d ng PH C DƯ I D NG LƯ NG GIÁC Xuctu.com Đ NH LÍ N u: z = r ( cosϕ + i sin ϕ ) z ' = r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ') thì z.z ' = rr... ⇒ϕ = 4 2 2 2 4 π π 2 cos + i sin   4  4 4 D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng Bài 2; Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác g/ z = sin ϕ + icosϕ (ϕ ∈ R ) Gi i: π  π  z = sin ϕ + icosϕ (ϕ ∈ R ) = cos  − ϕ  + icos  − ϕ  2  2  Xuctu.com D ng lư ng giác c a s ph c - 2/ NHÂN VÀ CHIA S Đ NH LÍ N u: ng d ng PH C DƯ I D NG LƯ NG GIÁC z = r ( cosϕ + i sin ϕ ) Xuctu.com z ' = r ' ( cosϕ '+... i    ( ) D ng lư ng giác c a s ph c - ( V y: z − 1 + i 3 ) ng d ng 1 3  = ( z − 2)  +  2 2 i    + Khi I z I > 2 thì nó có m t acgument là π 3 ϕ= π 3 + Khi 0< I z I < 2 thì nó có m t acgument là π+ π 3 = 4π 3 + Khi I z I = 2 thì acgument không xác ñ nh Xuctu.com D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng PH N BÀI T P Xuctu.com Bài 2; Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác ( ) a /1 − i 3; b/1... ;sin ϕ = = Tìm acgument: cosϕ = = r r 2 2 Xuctu.com ) ⇒ϕ = π 4 D ng lư ng giác c a z là: π π  2  cos + i sin  4 4  D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng Xuctu.com Ví d 5: Cho hai s ph c z = 1 + i và z ' = 3 + i Tính tích và thương hai s ph c z và z’ ñư i d ng ñ i s và d ng lư ng giác Gi i: Tích và thương dư i d ng lư ng giác z'= 3+i Tìm modun: r = a 2 + b2 = 4 = 2 Tìm acgument: cosϕ = ⇒ϕ = π a... '− ϕ )   r  D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng Ví d 5: Cho hai s ph c z = 1 + i và z ' = 3 + i Tính tích và thương hai s ph c z và z’ ñư i d ng ñ i s và d ng lư ng giác Gi i: Tích và thương dưói d ng ñ i s zz ' = ( aa '− bb ') + i (ab '+ ba ') = z:z'= z.z ' z' 2 = (1 + i ) ( ( 3 −i 3 +1 ) 2 ( )=1 ( 4 ) ( 3 −1 + i 1+ 3 ) ( 3 + 1 + i −1 + 3 Tích và thương dư i d ng lư ng giác z = 1+ i Tìm modun:... 3 cosϕ = ;sin ϕ = ⇒ϕ = 2 2 3 π π  z = 2  cos + i sin  3 3  b/1 + i r= 2 1 2 2 cosϕ = = ;sin ϕ = 2 2 2 π π  z = 2  cos + i sin  4 4  D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng PH N BÀI T P Xuctu.com Bài 2; Vi t các s ph c sau dư i d ng lư ng giác ( ) a /1 − i 3; b/1 + i; c/ 1 − i 3 (1 + i ) ; d/ f/ 1 ; 2 + 2i 1− i 3 ; e/ 2i 1+ i ( ) = (1 + 3 ) + (1 − 3 ) i b/ 1 − i 3 (1 + i ) ( 1+ 3 ) ( 2 + 1−... i z =r(cosϕ + isinϕ’) 1 1 1 = 2 z= 2 ( rcosϕ − i sin ϕ ) 2 2 z z r ( cos ϕ + sin ϕ ) = 1 1 ( cosϕ − i sin ϕ ) = cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ )  r r Xuctu.com D ng lư ng giác c a s ph c - 2/ NHÂN VÀ CHIA S ng d ng PH C DƯ I D NG LƯ NG GIÁC Xuctu.com Đ NH LÍ N u: z = r ( cosϕ + i sin ϕ ) z ' = r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ') Ch ng minh: z ' : z = z ' thì z.z ' = rr ' cos (ϕ + ϕ ') + i sin (ϕ + ϕ ' )    1...D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng PH N BÀI T P Xuctu.com Bài 1: Tìm m t acgument c a m i s ph c sau a / − 2 + 2 3i Bài gi i b / cos π 4 − i sin π 4 a / − 2 + 2 3i a = −2; b = 2 3 ⇒r= ( −2 ) 2 ( + 2 3 ) 2 = 4 + 12 = 16 = 4 a -2 -1 b 2 3 3 2π ⇒ϕ = cosϕ = = = ;sin ϕ = = = 3 r 4 2 r 4 2 D ng lư ng giác c a s ph c - ng d ng PH N BÀI T P Xuctu.com Bài 1: Tìm... '+ i sin ϕ cosϕ '+ i 2 sin ϕ sin ϕ ' ) = rr ' ( cosϕ cosϕ '− sin ϕ sin ϕ '+ i ( sin ϕ cosϕ '+ cosϕ i sin ϕ ') ) = rr ' cos (ϕ + ϕ ') + i sin (ϕ + ϕ ')    D ng lư ng giác c a s ph c - 2/ NHÂN VÀ CHIA S ng d ng PH C DƯ I D NG LƯ NG GIÁC Đ NH LÍ N u: z = r ( cosϕ + i sin ϕ ) z ' = r ' ( cosϕ '+ i sin ϕ ') z.z ' = rr ' cos (ϕ + ϕ ') + i sin (ϕ + ϕ ' )    thì z' r' = cos (ϕ '− ϕ ) + i sin (ϕ '− . Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng I/ Số phức dưới dạng lượng giác 1/ Acgumen của số phức z ≠ 0 2/ Dạng lượng giác của số phức II/. Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng Ví dụ 3: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau: 2; -2; i; 1+ i; 1 3 i − Giải a/ Số 2 có modun r = 2 Một acgument của 2 là ϕ = 0 Dạng lượng giác của. Xuctu.com Dạng lượng giác của số phức - ứng dụng I/ SỐ PHỨC DƯỚI DẠNG LƯỢNG GIÁC 1/ Acgument của số phức z ≠ 0 Ví dụ 1 x y O M ϕ ϕϕ ϕ a/ Số thực dương có một acgument là 0 b/ Số thực