Khảo sát toán chuyên Vĩnh Phúc 2012 lần 4 kA.PDF

Cảm ơ n bạn Ng uyễn Thành Quan g  ( tquang @ gm ail. co m ) g ửitớ i www. laisac. pag e. tl TRƯỜN G TH PT CH UY ÊN V ĨN H  PHÚ C K Ỳ T HI  T HỬ ĐẠI  HỌC  L ẦN 4 NĂ M  H ỌC 2011 2012 M ô n:  T oán  12.  K hối  A.  Thờ i  gian  làm bài :  180  phút ( K hông kể  thờ i  gia n giao đề)  A. PHẦN CHUNG  CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7, 0  điểm ) Câu I  ( 2, 0 đi ể m )  C h o  h à m  s ố  : 3 2  y x 3x 1 = - +  cóđ ồ  t h ị  l à ( )  C  .  1)  K h ảo  s át s ự bi ế n  t hi ê n  v à v ẽđồ  t hị  h à m  s ố  ( C )  2)Vớigiátrị nàocủa m thìđường thẳngđiquahai điểmcựctrịcủa đồthịhàmsố( C)tiếpxúcvới đườ n g t r ò n ( ) ( ) ( )  2 2  : 1 5  x m y m G - + - - =  Câu  II  ( 2, 0 đi ể m )  1)  Gi ả i  p h ư ơ n g t r ì nh  : ( ) ( )  1 t an 1 si n 2 1 t an  x x x - + = +  2)  Gi ả i  h ệ ph ư ơ n g t r ì nh : ( )  3 4 2 1 2 7  2 1  x y x x y ì - - - = - ï í - + = ï î  ( , )  x y Î R  .  Câu  III  ( 1, 0 đi ể m ) T í nh t í c h  ph â n  : ( )  1  4 2  1  3  ln 3 2 l n  I x x x dx é ù = + - ë û ò  Câu  I V .  ( 1, 0 đi ể m )  C h o  l ă n g  t r ụ t am  g i ác  đ ều 1 1 1  .  A B C A B C  có chí n  cạ nh  đều b ằ n g 5  . T í nh  gó c v à kh o ản g cá c h  g i ữa  ha i  đườ n g t h ẳ n g 1  A B  v à 1  B C  .  Câu  V .  ( 1, 0 đi ể m )  C h o , ,  a b c l àcác  s ố  t h ực  dươ n g t h o ả  m ã n 7  a b b c c a a b c + + =  .  T ì m  g i á t r ị nh ỏ n h ất  của  bi ểu t h ức  : 4 5 6  2 2 2  8 1 108 1 16 1  a b c S a b c + + + = + +  .  B.  PHẦN RIÊNG (3, 0  điểm ).  Thí sinh chỉ  đư ợc làm một trong hai phần (phần  1  hoặc  2 )  1. Th e o  c h ư ơ n g trì nh C hu ẩ n Câu VIa.  (  2, 0 đ i ể m ) 1) T r o n g m ặt  ph ẳ n g vớ i  h ệt ọ ađộ  Ox y  ch o đườ n g t r ò n ( ) ( )  2  2  : 4 4  C x y - + =  v à đ i ể m ( )  4 ; 1  E  . T ì m  t o ạ độ  đi ể m  M  t r ên  t r ục t un g s ao  c h o  t ừ đi ể m  M  kẻ đượ c  h a i t i ếp t u y ế n ,  M A M B đến  đườ n g t r ò n ( )  C  v ớ i ,  A B  l àcác  t i ếpđ i ể m  s ao  ch o  đườ n g t h ẳ n g  A B đ i  qua .  E  2) T r o n g kh ô n g g i a n  vớ i  h ệ t o ạ đ ộ  O xy z  ch o  m ặt  ph ẳng ( ) : 2 2 1 0  P x y z - + - =  v à cá c đườ n g t h ẳ n g 1  1 3  :  2 3 2  x y z d - - = = -  v à 2  5 5  :  6 4 5  x y z d - + = = -  . T ì m  cá c đ i ể m 1 2  ,  M d N d Î Î  s ao  ch o  M N  s o n g s o n g v ớ i ( )  P  v àcác h ( )  P  m ộ t  kh o ản g b ằ n g 2 .  Câu  VIIa.  (  1 , 0 đi ể m )  G i ả i  p h ươ n g t r ì nh : ( ) ( )  3  3 5 12 3 5 2  x x x + - + + =  2.  Th e o  chư ơ n g trì nh  Nâ n g cao Câu  VI b .  (  2, 0 đi ể m ) 1) T r o n g m ặt  ph ẳ n g vớ i  h ệ tọ a đ ộ  Ox y  , ch o  đườ n g t h ẳn g ( ) : 3 4 0  d x y - - =  và đườ n g t r ò n ( ) 2 2  : 4 0 .  C x y y + - =  T ì m đ i ể m ( )  M d Î  và đ i ể m ( )  N C Î  s ao  ch o  ch ú n g đố i  x ứ n g nh au quađ i ể m ( )  3 ; 1  A  .  2) Trong không g ian với hệ toạ độ Oxyz ,  cho đường thẳng 2 4  : 3 2 2  x y z - - D = = -  và hai điểm ( )  1 ; 2 ; 1 ,  A - ( ) 7 ; 2 ; 3  B -  . T ì m  t r ên D  nh ữ n g đ i ể m  M  s ao  ch o  kh o ản g cá c h  t ừ  M  đến  đư ờ n g t h ẳ n g ch ứa  A B  l ành ỏ  nh ất  .  Câu  VII b . ( 1, 0 đ i ể m )  G i ả i  p h ươ n g t r ì nh : ( ) ( ) ( ) 2 2 2  1  l o g 1 l o g 1 l o g 2  2 x x x - = + + -  Đề  chín h t hức  ( Đề  t hi  gồ m  01 t r an g) Cảm ơ n bạn Ng uyễn Thành Quan g  ( tquang @ gm ail. co m ) g ửitớ i www. laisac. pag e. tl P N , T HANG I M T ON 12 K HIA ( 5 T r ang) Cõu í Ni du ng im I 2, 00 1 Kh o s ỏt s bi n t hi ờ n v v t h h m s 3 2 y x 3x 1 = - + 1, 00 ã T px ỏc nh : H m s cú t px ỏc nh = Ă D . ã S bi n t hi ờ n : v C hi u bi n t hi ờ n : 2 3 6 y ' x x = - T ac ú 2 0 0 x y ' x = ộ = ờ = ở v , y 0 x 0 x 2 > < > h /s n g bi n t r ờn cỏ ckh o n g ( ) ( ) 0 & 2 -Ơ +Ơ v , y 0 0 x 2 < < < h m s n gh c h bi n t r ờn kh o n g ( ) 0 2 v ( ) ( ) 0 1 2 3 C D C T y y y y = = = = - v G i i h n 3 3 x x 3 1 l im y l im x 1 x x đ Ơ đ Ơ ổ ử = - + = Ơ ỗ ữ ố ứ 0, 25 0, 25 v B n g bi n t hi ờ n : x - Ơ 0 2 + Ơ y ' + 0 - 0 + y 1 + Ơ - Ơ 3 0, 25 ã t h : c t t r c Oy t i i m ( 0 1) 0, 25 2 V i g i ỏ t r no ca m t hỡ n g t h n g i quaha i i m cc t r ca t h . . . . 1, 00 t h h m s cú i m c c i ( ) 0 1 A , i m c c t i u ( ) 2 3 B - s u y r a p h n g t r ỡ nh n g t h n g i qua h a i i m cc t r , A B l ( ) 2 1 0 d x y + - = 0, 25 n g t r ũ n ( ) ( ) ( ) 2 2 : 1 5 x m y m G - + - - = cú t õm ( ) 1 I m m + b ỏ n k ớ nh 5 R = i u 0,25 2 1 O x 3 y 3 2 3 1 y x x = - + k i n ( ) d t i px ỳc v i ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 5 , 5 3 5 3 2 1 m m d I d R m m + + - G = = = = + ỏ p s : 5 3 m = 0, 25 0, 25 I I 2, 00 1 G i i p h n g t r ỡ nh : ( ) ( ) 1 t an 1 si n 2 1 t an x x x - + = + ( 1) 1, 00 t 2 2 t an s i n 2 1 t t x x t = ị = + . Ph n g t r ỡ nh ( 1) t r t h nh ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 t t t t t t t t t t t t = - ộ ổ ử - + = + - + = + + ờ ỗ ữ + - + = + ố ứ ờ ở ( ) 1 0 t an 1 t an 0 4 t t x x x k x k k p = - = = - = = - + p = p ẻ Â 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 2 G i i h ph n g t r ỡ nh : 1, 00 K 2 1 x y ỡ ớ ợ t ph n g t r ỡ nh ( 2) t a c ú ( ) ( ) 4 2 2 1 1 2 x y y x - = - ị - = - t h a y v o ph n g t r ỡ nh ( ) 1 t ac 3 2 2 27 4 4 x x x x - = - + - + 3 2 2 4 31 0 x x x x - + - + - = ( ) * Xộ t h m s ( ) 3 2 2 4 31 , f x x x x x = - + - + - v i m i 2 x ( ) ' 2 1 3 2 4 0 2 2 2 f x x x x x ị = + - + > " > - h m s n g bi n t r ờn kh o n g ( ) 2 +Ơ m t kh ỏc ( ) 3 0 3 f x = ị = l n g hi m du y nh t ca ( *) t h a y v o ph n g t r ỡ nh ( 2) t a c 2 y = v y n g hi m ca hph n g t r ỡ nh l 3 2 x y = = 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 I I I T ớ nh t ớ c h phõ n 1, 00 T ac ú ( ) 1 4 2 1 3 ln 3 2 l n I x x x dx ộ ự = + - ở ỷ ũ ( ) 1 1 2 2 2 2 1 1 3 3 ln( 3 1 ) l n l n l n 3 1 x x x x dx ộ ự = + + - = + ở ỷ ũ ũ t ( ) 2 2 6 l n 3 1 3 1 xdx u x du x dv dx v x ỡ ỡ = + = ù ù ị + ớ ớ = ù ù ợ = ợ ( ) 1 2 2 1 1 2 1 3 3 6 4 ln 2 l n 3 l n 3 1 | 3 1 3 x dx I x x J x + = + - = - + ũ V i 1 1 2 2 1 1 3 3 2 4 4 2 2 3 1 3 3 1 3 3 3 dx J dx x x p ổ ử = - = - = - ỗ ữ + + ố ứ ũ ũ ( t 3 tan x t = v i 2 2 t p p ổ ử ẻ - ỗ ữ ố ứ ( ) 2 1 1 tan 3 dx t dt = + i cn 1 1 3 6 3 x t x t p p = ị = = ị = t ú t ớ nh c 0, 25 0, 25 0, 25 0, 2 5 4 3 4 l n 2 l n 3 4 3 3 9 3 3 9 J I p + p ị = - ị = - + I V . . . T ớ nh gú c v kh o n g cỏ c h g i a h a i n g t h n g 1 A B v 1 B C . 1, 00 T ac ú ỏy l n g t r l t a m g i ỏc uc nh b n g 5 cỏ cm t b ờn l hỡ nh v uụ n g c nh b n g 5 1 1 5 2 AB BC ị = = . Dn g hỡ nh bỡ nh h nh 1 1 1 1 1 1 5 2 , 5 B D B C D B BC BD C B ị = = = = , 0 . s in 60 5 3 A D C D = = ( do A C D D v uụ n g t i A vỡ ) B A B C B D = = ( ) ( ) 1 1 1 1 A B BC AB D B ị a = = ã ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 5 2 5 2 5 3 1 co s 2 . 4 2 . 5 2 . 5 2 A B D B AD A B D AB D B + - + - = = = ã 1 A B D ị n h n t ú ã 1 1 c o s 4 AB D a = a = . T a t h y ( ) ( ) 1 1 1 1 / / , B C m p A B D AB m p A B D è t ú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 , , , d B C A B d B C mp A B D d B mp A B D = = = 1 1 . 3 B AB D AB D V d t D 1 . 1 1 3 1 . . s in 2 B AB C V A B DB = a 1 1 1 25 3 5. 4 5 1 1 15 . s in . 5 2 . 5 2 . 2 2 4 AB C B B dt A B A D D = = = a . ỏ p s ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 co s 4 , 5 AB BC d A B BC ỡ a = a = ù ớ ù = ợ 0, 25 0, 25 0, 25 0, 2 5 V C h o , , a b c l cỏc s t h c d n g t h o m ó n 7 a b b c c a a b c + + = . T ỡ m g i ỏ t r nh n ht 1, 00 g i t hi t t n g n g v i 1 1 1 7 a b c + + = ỏp d n g b t n g t h c C ụ s i + B u nhi ac ụ px k i t a cú : 2 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 8 54 54 2 9 9 9 S a b b a b b b ổ ử ổ ử = + + + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 4 2 2 1 1 16 4 4 c c c ổ ử + + ỗ ữ ố ứ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 0 3 1 7 .7 2 4 2 3 2 2 3 2 7 a b c a b c ổ ử ổ ử + + + + + + + + = + = ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ du b n g x y r akhi 1 1 , 2 3 a c b = = = . V y gi ỏ t r nh n ht ca S b n g 24 t khi 1 1 , 2 3 a c b = = = 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 VI a 2, 00 1 T ỡ m t o i m M t r ờn t r c t un g s aoch o t i m M kc h a i t i pt u y n 1, 00 n g t r ũ n ( ) ( ) 2 2 : 4 4 C x y - + = cú t õm ( ) 4 0 I b ỏ n k ớ nh 2 R = . G i t o i m ( ) 0 M a . T i p i m ( ) ( ) 1 1 2 2 A x y B x y . Do M A l t i pt u y n ca ( ) C v ( ) A C ẻ ( ) ( * ) M A I A A C ỡ ^ ù ớ ẻ ù ợ u u u r u r m ( ) ( ) 1 1 1 1 4 M A x y a I A x y ỡ = - ù ớ = - ù ợ u u u r u u r t ú ( ) ( ) . 0 * M A I A A C ỡ = ù ớ ẻ ù ợ u u u r u u r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 1 1 4 0 1 4 4 2 x x y a y x y ỡ - + - = ù ớ - + = ù ợ , l y ( 1) tr ( 2 ) t h eov t ac 1 1 4 12 0 x ay - - = t ng t cho i m ( ) 2 2 B x y t a c 2 2 4 12 0 x ay - - = t ú t a cú ph ng trỡnh n g thng cha dõy AB l ( ) 4 1 2 0 d x a y - - = m i m 0, 25 0, 25 0, 25 ( ) ( ) 4 1 E d ẻ ( ) 4 . 4 .1 1 2 0 4 0 4 a a M - - = = . ỏ p s ( ) 0 4 M 0,25 2 1 2 , M d N d ẻ ẻ s ao ch o M N s o n g s o n g v i ( ) P v cỏc h ( ) P m t kh o n g b n g 2 . 1, 00 PT t h a m s ca 1 2 1 2 5 6 : 3 3 & : 4 2 5 5 x t x s d y t d y s z t z s = + = + ỡ ỡ ù ù = - = ớ ớ ù ù = = - - ợ ợ V y ( ) ( ) 1 2 1 2 3 3 2 5 6 4 5 5 M t t t d N s s s d ỡ + - ẻ ù ớ + - - ẻ ù ợ ( ) 6 2 4 4 3 3 5 2 5 M N s t s t s t ị = - + + - - - - u u u u r m t ph n g ( ) P cú 1 v t p t ( ) ( ) 1 2 2 , / / . 0 n M N P M N n M N n = - ị ^ = u u u u r u u u u r r r r ( ) ( ) ( ) 1 6 2 4 2 4 3 3 2 5 2 5 0 s t s t s t t s - + - + - + - - - = = - . Vỡ ( ) / / M N P ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 3 3 2 2 1 , , 2 1 4 4 t t t d MN P d M P + - - + - = = = + + 1 6 12 6 0 t t t = ộ - + = ờ = ở ã ( ) ( ) 1 1 1 1 3 0 2 , 1 4 0 t s M N = ị = - ị - - ã ( ) ( ) 2 2 0 0 1 3 0 , 5 0 5 t s M N = ị = ị - 0, 25 0, 25 0,25 0, 25 7a G i i p h n g t r ỡ nh : ( ) ( ) 3 3 5 12 3 5 2 x x x + - + + = 1, 00 C hi a h a i v ca ph n g t r ỡ nh c h o 2 0 x > t a c : 3 5 3 5 12 8 2 2 x x ổ ử ổ ử - + + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ ( 1) d o 3 5 3 5 . 1 2 2 x x ổ ử ổ ử - + = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ t 3 5 3 5 1 0 & 2 2 x x t t t ổ ử ổ ử - + = ị > = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ khi ú pt ( 1) t r t h nh 2 2 12 8 8 12 0 6 t t t t t t = ộ + = - + = ờ = ở ( t h o m ó n ) ã 3 5 2 3 5 2 2 log 2 2 x t x - ổ ử - = ị = = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ã 3 5 2 3 5 6 6 l og 6 2 x t x - ổ ử - = ị = = ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 VIb 2, 00 1 T ỡ m i m ( ) M d ẻ v i m ( ) N C ẻ s ao ch o ch ỳn g i x n g nh auq ua i m ( ) 3 1 A . 1, 00 G i ( ) ( ) 3 4 M a a d + ẻ m N i x n g v i M qua ( ) ( ) 3 1 2 3 2 A N a a ị - - t h eo g t ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 : 4 0 2 3 2 4 2 0 N C x y y a a a ẻ + - = - + - - - = ( ) 6 2 5 6 0 0 5 a a a a - = = = ã ( ) ( ) 1 1 0 4 0 , 2 2 a M N = ị ã 2 2 6 38 6 8 4 , 5 5 5 5 5 a M N ổ ử ổ ử = ị - ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 2 . . . i m M s ao ch o kh o n g cỏ ch t M n n g t h n g ch a A B l nh nh t . 1, 00 T a cú ( ) 6 4 4 A B = - uuu r n g t h n g D cú m t v t cp ( ) 3 2 2 / / . u AB = - ị D r G i H l 0, 25 hỡ nh c hi u ca A t r ờn D . G i ( ) P l m t ph n g qu a ( ) 1 2 1 A - v ( ) P ^ D ( ) : 3 2 2 3 0 P x y z ị - + + = . { } ( ) H P = D ầ n ờ n t o i m H l n g hi m ca h pt : ( ) 1 3 2 2 3 0 2 1 2 2 2 4 2 3 2 2 x x y z y H x y z z = - ỡ - + + = ỡ ù ù = - - - ớ ớ = = ù ù = - ợ ợ . G i ' A i x n g v i A qua D ( ) ' 3 2 5 A ị - ( d o H l t r un g i m ca ' A A ) T a c ú ' , , , A A B D cựn g n m t r o n g m t m t ph n g ( ) P . P t n g t h n g ' A B l 3 2 5 3 2 5 7 3 2 2 3 5 5 2 1 x y z x y z + - - + - - = = = = + - - - - - T ú i m M c n t ỡ m l g i ao i ờ m g i a ' A B v D ị to M l n ghi m h pt ( ) 3 2 5 2 5 2 1 0 2 0 4 2 4 4 3 2 2 x y z x y M x y z z + - - ỡ = ỡ = = ù ù ù - - = ớ ớ - - ù ù = = = ợ ù - ợ . ỏ p s ( ) 2 0 4 M 0, 25 0, 25 0, 25 7b G i i p h n g t r ỡ nh : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 l o g 1 l o g 1 l o g 2 2 x x x - = + + - 1, 00 /k: 2 2 1 1 0 1 1 0 2 0 x x x x x ạ > ỡ - > ỡ ớ ớ < - + ạ - ạ ợ ợ . Khi ú ph n g t r ỡ nh ( ) ( ) 2 2 l og 1 l og 1 l og 2 x x x - = + + - ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 l o g 1 l o g 1 2 1 1 2 x x x x x x ộ ự - = + - - = + - ở ỷ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 3 1 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ộ > ộ ỡ > ỡ ù ờ ớ ờ ớ - = + - ộ - - = = + ù ờ ợ ợ ờ - = + - ờ ờ ờ < < < - < < < - ỡ ỡ = ờ ù ở ờ ờ ớ ớ ờ ờ - = + - + = ù ợ ợ ở ở Ph n g t r ỡ nh cú 3 n ghi m . : 1 2 , 3 x x = + = 0, 25 0, 25 0, 25 0, 25 L u ý khi chm bi: ỏp ỏn ch tr ỡnh by mt cỏc h gii bao gm cỏc ý bt buc phi cú tr ong bi lm ca hc s inh. K hi chm nu hcsinh b qua bc no thỡ khụngcho imb c ú. N u hc s inh gi i cỏc h khỏc , giỏm kho cnc c ỏc ý tr ong ỏp ỏn cho im. Trongbi lm, nu mt bc no ú b s ai thỡ cỏc phn s au cú s dng k t qu s ai ú khụng c im. Hc s inh c s dng k t qu phn tr c l m phn s au. Trongl i gii cõu I V , nuhc s inh khụng v hỡn h hocv s ai hỡnh khụng cho im. im ton bi t ớnh n0 , 25 v khụngl m tr ũn. Ht . + + = ỏp d n g b t n g t h c C ụ s i + B u nhi ac ụ px k i t a cú : 2 3 3 2 2 2 2 1 2 2 2 8 54 54 2 9 9 9 S a b b a b b b ổ ử ổ ử = + + + + + + + ỗ ữ ỗ ữ ố ứ ố ứ 4 2 2 1 1 16 4 4 c c c ổ ử + + ỗ ữ ố ứ 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 0 3 1 7 .7 2 4 2 3 2 2 3 2 7 a b c a b c . cha dõy AB l ( ) 4 1 2 0 d x a y - - = m i m 0, 25 0, 25 0, 25 ( ) ( ) 4 1 E d ẻ ( ) 4 . 4 .1 1 2 0 4 0 4 a a M - - = = . ỏ p s ( ) 0 4 M 0,25 2 1 2 , M d N d . 1 2 2 1 1 4 0 1 4 4 2 x x y a y x y ỡ - + - = ù ớ - + = ù ợ , l y ( 1) tr ( 2 ) t h eov t ac 1 1 4 12 0 x ay - - = t ng t cho i m ( ) 2 2 B x y t a c 2 2 4 12 0 x ay