Khảo sát toán chuyên Vĩnh Phúc 2011 lần 4 kA

TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC K THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2011 Môn: Toán 12. Khi A. Thi gian làm bài: 150 phút (Không k thi gian giao đ) A /phÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh. ( 7,0 đim ) Câu I : ( 2,0 đim ). Cho hàm s : 3 y x 3x 2    có đ th là   C . 1) Kho sát s bin thiên và v đ th hàm s (C) 2) Tìm tt c các đim M   C  đ tip tuyn ti M ct (C)  đim N vi MN=2 6 Câu II : ( 2,0 đim ) 1) Gii phng trình : sin 4 2 3 4sin cos x cos x x x     2) Gii phng trình: 2 1 2 3 1 4 3 x x x x       Câu III : ( 1,0 đim ). Tính tích phân: 1 2 2 0 4 4 x x e I dx x x     Câu IV : ( 1,0 đim ). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cnh 2a,(a>0): 0 60 BAD  ; Hai mt phng (SAC)và (SBD)cùng vuông góc vi đáy.Gi M,N ln lt là trung đim cnh BC và SD.Mt phng(AMN) ct cnh bên SC ti E.Bit MN vuông góc vi AN .Tính th tích khi đa din AND.MCE theo a . Câu V : ( 1,0 đim ). Chng minh rng nu   , , 0;1 a b c thì: 5 1 1 1 2 a b c abc bc ca ab        B. PHN T CHN: ( 3,0 đim ).( Thí sinh ch đc làm 1 trong 2 phn,phn A hoc phn B) A .Theo chng trình chun: Câu VIA : ( 2,0 đim ). 1.( 1,0 đim ) Trong mt phng vi h to đ Oxy cho đim A   2;10 và đng thng d:y=8.im E di đng trên d.Trên đng thng đi qua hai đim A và E,ly đim F sao cho . 24 AE AF    .im F chy trên đng cong nào? Vit phng trình đng cong đó. 2.( 1,0 đim ) Trong không gian vi h ta đ 0xyz cho ABC  ,bit   3;2;3 C và phng trình đng cao AH,phân giác trong BM ca góc B ln lt có phng trình: 2 3 3 1 1 2 x y z       và 1 4 3 1 2 1 x y z       .Tính chu vi ABC  Câu VII A .(1,0 đim):Tìm phn thc,phn o ca s phc: 2 3 2008 1 2 3 4 2009 z i i i i        B.Theo chng trình nâng cao Câu VIB : ( 2,0 đim ). 1.(1.0 đim)Trong mt phng h to đ Oxy cho hai đng thng : 1 2 : 2 0; : 2 0 d y x d y x     ,đim A 1 d  ; đim B 2 d  tho mãn . 3 OA OB    .Hãy tìm tp hp trung đim M ca AB. 2. (1,0đim) Trong không gian vi h ta đ 0xyz,vit phng trình mt phng (Q) cha đng thng d: 1 1 3 2 1 1 x y z      và to vi mt phng   : 2 5 0 P x y z     mt góc nh nht. Câu VII B :(1,0 đim):Cho s phc z tho mãn 1 z  và 2. i z z   Tính tng: S 2 4 2010 1 z z z       Ht  thi kho sát ln 4 www.VNMATH.com TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC K THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2011 Môn: Toán 12. Khi A. ÁP ÁN Câu Ý Ni dung im I 2,00 1 Khi m=0 thì hàm s tr thành 3 3 2    y x x . Kho sát s bin thiên và v đ th ca hàm s 3 3 2    y x x .  Tp xác đnh: Hàm s có tp xác đnh   D .  S bin thiên:  Chiu bin thiên 2 3 3   y' x . Ta có 1 0 1         x y' x  , y 0 x 1 x 1        h/s đng bin trên các khong     ; 1 & 1;     , y 0 1 x 1       hàm s nghch bin trên khong (-1;1)      1 4 1 0      CD CT y y ; y y  Gii hn 3 2 3 x x 3 2 lim y lim x 1 x x              0,25 0,25  Bng bin thiên: x  -1 1  y'  0  0  y 4   0 0,25   th:  th ct trc Ox ti các điêm (-2;0),(1;0),ct trc Oy ti đim (0;3) 0,25 2 Tìm tt c các đim M đ tip tuyn ti M ct (C)  đim N vi MN=2 6 1,00 1 -1 O x 4 y 3 3 2    y x x  thi kho sát ln 4 www.VNMATH.com Ta có     3 ; 3 2 M a a a C    .Phng trình tip tuyn ca (C) ti M có dng d:     2 3 3 3 3 2 y a x a a a       phng trình hoành đ giao đim ca (C) và tip tuyn d là:     3 2 3 3 2 3 3 3 2 x x a x a a a             2 2 0 2 x a x a x a x a            đ tn ti N thì 0 a  .Suy raN có hoành đ   3 2 2 ; 8 6 2 a N a a a       theo gt MN=2 6       2 2 2 3 2 24 9 9 9 24 3 4 9 6 2 0 MN a a a t t t            ( 2 0 t a   ) 2 4 4 2 3 2 3 18 10 3 ; 3 3 3 3 9 t a a M                   0,25 0,25 0,25 0,25 II 2,00 1 Gii phng trình : sin 4 2 3 4 sin cos x cos x x x     1,00 pt       sin 4 sin 2 sin 2 cos 2 4 3 x x x x sinx cos x                 2 3 sin 3 cos 2sin 1 2 4 0 2sin 1 3 cos 2 0 cos x x cos x x x sinx x cos x x             1 5 2 2 2 6 6 sinx x k x k             vi k   3 cos 2 0 3 1, 1 1 2 cos x x cos x cosx cosx x k             vi k   phng trình có 3 h nghim 5 2 2 2 6 6 x k x k x k             0,25 0,25 0,25 0,25 2 Gii phng trình: 2 1 2 3 1 4 3 x x x x       1,00 +Khi 0 x  thì pt 2 2 1 3 1 3 2 4 x x x x       (1) đt t 2 1 3 2 x x    2 2 0 1 3 2 t t x x          pt(1) 2 2 6 6 0 3 t t t t t          ( tm),   2 t l   2 1 3 2 x x      2 3 37 7 3 1 0 14 x x x tm        và 3 17 14 x   (loi) Khi 0 x  thì pt 2 2 1 3 1 3 2 4 x x x x        (2) đt t 2 1 3 2 x x    2 2 0 1 3 2 t t x x          pt(1) 2 2 6 6 0 2 t t t t t           ( tm),   3 t l     2 3 37 2 3 1 0 . 4 x x x k tm        và 3 17 4 x   (tm) Kl nghim pt là: 3 37 14 x   và 3 17 4 x   0,25 0,25 0,25 0,25 III Tính tích phân: 1 2 2 0 4 4 x x e I dx x x     1,00 www.VNMATH.com         2 1 1 2 3 2 0 2 4 2 4 4 2 x x x e I dx I I I x                   1 2 3 2 3 0 4 1 4 x e I I e I I        vi 1 1 0 x I e dx   ;   1 1 2 3 2 0 0 ; 2 2 x x e e I dx I dx x x       .Tính 2 I đt   2 1 1 2 2 u du dx x x       x x dv e dx v e      1 1 2 3 2 0 0 1 2 3 2 2 x x e e e I dx I x x         .Vy   2 3 1 3 1 4 1 4 3 2 3 e e I e I I e                 áp s: 3 3 e I   0,25 0,25 0,25 0,25 IV Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 1,00 AC BD O   do (SAC) và(SBD) cùng vuông góc vi (ABCD) nên   SO ABCD  .Tam giác ABD cân có  0 60 BAD ABD    đu cnh 2a đt   0 ; 3; SO x x AO OC a BO OD a       ,chn h trc to đ Oxyz gc O trc Ox đi qua CA,trc Oy đi qua DB,trc Oz đi qua OS ta có O(0;0;0),           3; 0;0 , 0; ;0 , 3; 0;0 , 0; ; 0 , 0;0; A a B a C a D a S x   3 ; ;0 , 0; ; 3; ; 2 2 2 2 2 2 3 ; ; , . 0 2 2 2 a a a x a x M N AN a a x MN a AN MN AN MN x a                                              , I AM CD E IN SC     , do C là trung đim ca DI E  là trng tâm tam giácSDI          . . 3 1 1 , . 3 3 1 1 1 1 5 5 3 , . . . . . 3 3 2 3 3 2 18 9 ADN MCE N AID EMIC AID MIC ABCD ABC ABD CE V V V d N ABCD S CS SO SO d E ABCD S S S SO S a           0,25 0,25 0,25 0,25 V Chng minh rng nu   , , 0;1 a b c thì 1,00 w.l.o.g. a b c ab ac bc      t đó ta có:    1 1 0 1 1 1 b c b c bc b c bc            (do   , , 0;1 a b c ) 1 1 1 1 b c b c ca ab bc        vy : 1 1 1 1 1 1 a b c abc bc bc ca ab bc           ta cn cm 1 3 1 3 1 2 1 2 bc x bc x        (*)vi   0;1 x  (*)     2 1 1 0 x x     luôn đúng vi mi   0;1 x  du bng xy ra khi và ch khi a=b=c=1 0,25 0,25 0,25 0,25 VIA 2,00 1 Trong mt phng vi h to đ Oxy cho đim A   2;10 và đng thng d:y=8 …. 1,00 Gi H là hình chiu vuông góc ca A trên d   2;8 H .Trên tia AH ly đim B 0,25 www.VNMATH.com tho mãn 24 . . 24 12 AH AB AM AN AB AH          (do ; AB AH   cùng hng,AH=2) T đó   2; 2 B  .Ta thy   AHE AFB c g c      (do ˆ A chung, AH AF AE AB  )   0 90 AFB AHE    F chy trên đng tròn tâm I   2; 4 bán kính 1 6 2 R AB   .Phng trình đng cong c đnh mà F chuyn đng trên đó là:     2 2 2 4 36 x y     0,25 0,25 0,25 2 …cho ABC  ,bit   3;2;3 C và phng trình đng…. 1,00 pt tham s ca AH và BM     2 1 : 3 & : 4 2 3 2 3 x t x u AH y t BM y u z t z u                       khi đó     2 ;3 ;3 2 & 1 ;4 2 ;3 A t t t B u u u       +xác đnh to đ B Ta có       2; 2 2; & 1;1; 2 . 0 2 2 2 2 0 0 1; 4;3 AH AH CB u u u a BC AH CB a u u u u B                       +xác đnh to đ A Ta có:       1 ; 1 ; 2 , 1; 2;1 , 2; 2;0 BM BA t t t u BC            . Vì BM là đng phân giác trong ca góc B nên:               2 2 2 . . , , . . 01 2 1 1. 2 2 4 0 1 4 4 1 1 2 BM BM BM BM BM BM BA u u BC cos BA u cos u BC BA u u BC tt t t t t t t                                      + t =0   2;3;3 A (loi) do A,B,C thng hàng + t =-1   1; 2;5 A (tm) khi đó ta có đc 2 2 AB BC CA   tam giác ABC đu ,vy chu vi tam giác ABC bng 6 2 0,25 0,25 0,25 0,25 VIIA Tìm phn thc,phn o ca s phc: 2 3 2008 1 2 3 4 2009 z i i i i        1,00 2 3 2008 1 2 3 4 2009 z i i i i        2 3 4 2009 2 3 4 2009 iz i i i i i             2 3 2008 2009 2008 2009 1 1 2009 2009 1 2009 1 2009 1 1 2009 2010 2008 1005 1004 1 2 2 i z i i i i i i i i i i i i z i i                        vy phn thc ca s phc z bng 1005, phn o ca s phc z bng -1004 do 4 4 1 4 2 4 3 0 k k k k i i i i k           0,25 0,25 0,25 0,25 VIB 2,00 1 Trong mt phng h to đ Oxy cho hai đng thng : 1 2 : 2 0; : 2 0 d y x d y x     …… 1,00 www.VNMATH.com T gt     1 1 1 2 2 2 ; , ; A x y d B x y d   nm v 2 phía trc tung 1 2 0 x x   có  1 1 2 2 1 2 2 , 2 5 , 5 , 3 5 y x y x OA x OB x AOB cos              t gt 1 2 1 2 . 3 1 1 OA OB x x x x         gi M(x;y) là trung đim ca AB 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 ; 2 4 2 2 x x x y y y x x x x x x x            (1) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 y x x y x x x x x x          (2) T (1) và (2) 2 2 1 4 y x     (3) Vy tp hp các đim M(x;y) là đng Hyperbol cho bi (3). 0,25 0,25 0,25 0,25 2 vit phng trình mt phng (Q) cha đng thng d: 1 1 3 2 1 1 x y z      và to vi mt phng   : 2 5 0 P x y z     góc nh nht 1,00 +d có vtcp   2;1;1 u   ,(P) có vtpt   1; 2; 1 m    (Q) có vtpt     2 2 2 ; ; 0 n a b c a b c      +do (Q) cha d nên ta có   . 0 2 0 2 ; ; 2 n u n u a b c c a b n a b a b                     +gi góc hp bi (P) và (Q) là     2 2 2 . 2 2 ; . 6. 2 m n a b a b cos cos m n m n a b a b                       2 2 2 3 3 3 2 6. 3 2 6. 2 a b a b cos a a b a b           0 30   vy 0 min 30   du bng xy ra khi và ch khi 0 a  lúc đó ta chn   1; 1 0;1; 1 b c n        mt phng (Q):     : 1; 1;3 : 0;1; 1 qua A d vtpt n            t đó mp (Q): 4 0 y z    0,25 0,25 0,25 0,25 VIIB Tính tng S 2 4 2010 1 z z z       1,00 gi s   , , . z a bi a b    ta có h pt :   2 2 2 22 1 1 2 1 2 2 z a b a b ab iz i z                      2 2 2 2 2 2 1 2 1 4 1 4 1 0 b a a a a ab               2 2 0; 1 1 0; 1 0 a b b a b a ab                    khi đó ta có 4 s phc là : 1; 1; ; z z z i z i       khi 1 z  hoc 1 z   ta có 1006 S  khi z i  hoc z i   ta có     1006 1006 2 2 2 2 1 1 0 1 1 z i S z i        0,25 0,25 0,25 0,25 www.VNMATH.com . Tính tng: S 2 4 2010 1 z z z       Ht  thi kho sát ln 4 www.VNMATH.com TRNG THPT CHUYÊN VNH PHÚC K THI TUYN SINH I HC, CAO NG NM 2011 Môn: Toán 12. Khi A . 4 x x x k tm        và 3 17 4 x   (tm) Kl nghim pt là: 3 37 14 x   và 3 17 4 x   0,25 0,25 0,25 0,25 III Tính tích phân: 1 2 2 0 4 4 x x. 2008 1005 10 04 1 2 2 i z i i i i i i i i i i i i z i i                        vy phn thc ca s phc z bng 1005, phn o ca s phc z bng -10 04 do 4 4 1 4 2 4 3 0 k