TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011 Môn: Toán 12.. Thời gian làm bài: 150 phút Không kể thời gian giao đề Câu I.. 2 Lập phương trình tiếp tuyến củ
Trang 1TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán 12 Khối B
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
(1)
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) mà tiếp tuyến này cắt các trục Ox,Oy lần lượt tại các điểm A và B thoả mãn: 3OA=4OB
Câu II (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình sau:
2) Giải phương trình lượng giác:
4
os 4
Câu III (1,0 điểm)Tính tích phân:
3
4
x cos x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho tứ diện ABCD có AB=6,CD=7,khoảng cách giữa AB và CD bằng 8
và góc giữa AB và CD bằng 600
.Tính thể tích khối tứ diện ABCD
Câu V (1,0 điểm)
Cho a b c d là các số thực bất kì Chứng minh rằng: , , ,
a b c d ad bc 3
Câu VI (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn C có phương trình
C x y x y và điểm M 3;1 ,gọi A & B là các tiếp điểm của các
tiếp tuyến kẻ từ M tới C Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm
M lên đường thẳng AB
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A 0;1;0 và đường thẳng :
:
.Tìm toạ độ các điểm B C thuộc d sao cho tam giác ,
ABC
vuông cân tại A
Câu VII (1,0 điểm) Giải phương trình sau đây trên tập hợp các số phức ,biết rằng phương trình sau có nghiệm thực : 3 2
2 z 5 z 3 2 i z 3 i 0
- HẾT -
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: ……….……….…… Số báo danh: ………
Đề thi khảo sát lần
4
Trang 2TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM2011
Môn: Toán 12 Khối B
ĐÁP ÁN Câ u Ý Nội dung Điể m I 2,00 1 Hàm số: 2 1 2 3 1 1 x y x x +) Giới hạn, tiệm cận: ( 1) ( 1) 2; 2; ; lim lim lim lim x x x x y y y y - TC đứng: x = -1; TCN: y = 2 +) 2 3 ' 0, 1 y x D x +) BBT: x - - 1 +
y' + || +
y 2
||
2
+)đồ thị
1,00 0,25
0,25
0,25
0,25
2 +) Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại điểm M x 0 ;y0 cắt Ox tại A cắt Oy tại B sao cho
3OA=4OB Do tam giác OAB vuông tại O nên tan 3
4
A hệ số góc của d bằng 3
4hoặc
3 4
Hệ số góc của d tại M là
1
0
3 4
o
o
x
x
1 1 2 7 3 2
y
y
Phương trình tiếp tuyến của (C) thoả mãn bài toán
1,00
0,25
0,5
8
6
4
2
-2
-4
-6
Đề thi khảo sát lần
4
Trang 3là :
1
3
0,25
1 +) ĐK: x0;y0
Đặt
u v u v
3x 16 3y 16 10
Dấu bằng xẩy ra khi hai véc tơ u v ,
cùng
3 4
x
y
Thử lại thấy đúng Vây hệ có nghiệm duy nhất x y ; 3;3
1,00
0,25
0,25 0,25
0,25
2 +) ĐK:
,
xk kZ
) tan( ) tan( ) tan( ) cot( ) 1
2 cos 4 os 4 1 0
+) Giải pt được cos24x = 1 cos8x = 1
4
xk và cos24x = -1/2 (VN)
+) Kết hợp ĐK ta được nghiệm của phương trình là ,
2
x k k Z
1,00
0,25 0,25
0,25 0,25
3
4
sin 3 cos 3
sin 3 cos 3 sin sin 3 cos 3 sin
x cos x T
4 sin 2 sin 42 8 2
sin 2
cos x x
3
4
sin 3 cos 3
0,5
0,5
Dựng hình bình hành ABCE khi đó V A BCD. V E BCD. doAE/ /BCD (1) 0,25
Trang 4
.
2 1
3
.sin 60 sin 60
1 21 3
E BCD B ECD
ECD
ABCD
V
(4)
0,25
0,25
0,25
3
T
T
a b c d ac bd
2
1
yêu cầu bài toán
1
0 2
luôn đúng Ta có điều phải chứng minh
0,5
0,25
0,25
1 Đường tròn (C) : 2 2
x y có tâm I(1 ;3) bán kính R=2 ;MI=2 52R
nên M nằm ngoài đường tròn
Gọi H x y ; .Ta có IHx1;y3 ; IM 4; 2
và nhận thấy IH IM ,
cùng chiều
nên IHt IM t 0 1 4 1 4
theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHM ta có
1,00
0,25
0,25
0,25 0,25
2
Phương trình tham số của
6 4
3
tam giác ABC vuông cân tại A nên
0
6 4 ; ;3
véc tơ chỉ phương của d là u 4;1; 1
.Để ABC450 cos450 AB u.
1,00
0,25
0,25
Trang 52 2
1
1
2
2 3 2 18 54 45
t
t
do B và C có vai trò bình đẳng nên chúng có toạ độ là ;
2; 2; 2 2; 2; 2
hoac
0,25 0,25
viết lại phương
2z 5z 3 2 i z 3 i 02z 5z 3z 3 2z1 i 0
do phương trình có nghiệm thực z nên :
2
z z
thoả mãn cả 2 phương trình của hệ
2
1 2
1
2
z
Vậy pt có 3 nghiệm : 1; 1 ; 2
2
z z i z i
0,25
0,25
0,25
0,25