Tuyển tập BDT Trần Sĩ Tùng

TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Trần Sĩ Tùng * Bài tập Toán các khối lớp THPT. * Chuyên đề Toán ôn thi ĐH – CĐ. * Chuyên đề Toán Bồi dưỡng HSG – MTCT. * Đề thi – Đáp án Tốt ngiệp – ĐH – CĐ – HSG. * Phần mềm Toán – Phần mềm ứng dụng khác. …………. www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 2 PHẦN I : LUYỆN TẬP CĂN BẢN I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh:          3 3 3 a b a b 2 2 2. Chứng minh:    2 2 a b a b 2 2 3. Cho a + b  0 chứng minh:    3 3 3 a b a b 2 2 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:    a b a b b a 5. Chứng minh: Với a  b  1:      2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b 6. Chứng minh:         2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c  R 7. Chứng minh:           2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e 8. Chứng minh:      2 2 2 x y z xy yz zx 9. a. Chứng minh:       a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3 b. Chứng minh:            2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh:      2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 11. Chứng minh:      2 2 a b 1 ab a b 12. Chứng minh:      2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 13. Chứng minh:        4 4 2 2 x y z 1 2xy(xy x z 1) 14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì:   3 3 1 a b 4 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 47 Nên: A = 2 2 S P  16. Vậy Max A = 16 (khi x = y = 1 2 ). 51. (Đại học khối B 2006) Trong mpOxy, xét M(x – 1; –y), N(x + 1; y). Do OM + ON ≥ MN nên:              2 2 2 2 2 2 x 1 y x 1 y 4 4y 2 1 y Do đó: A ≥ 2    2 1 y y 2 = f(y)  Với y ≤ 2  f(y) = 2  2 1 y + 2 – y  f(y) =  2 2y y 1 – 1 f(y) = 0  2y =  2 1 y          2 2 y 0 4y 1 y  y = 1 3 Do đó ta có bảng biến thiên như trên  Với y ≥ 2  f(y) ≥ 2  2 1 y ≥ 2 5 > 2 + 3 . Vậy A ≥ 2 + 3 với mọi số thực x, y. Khi x = 0 và y = 1 3 thì A = 2 + 3 Nên giá trị nhỏ nhất của A là 2 + 3 . * Bài tập Toán các khối lớp THPT. * Chuyên đề Toán ôn thi ĐH – CĐ. * Chuyên đề Toán Bồi dưỡng HSG – MTCT. * Đề thi – Đáp án Tốt ngiệp – ĐH – CĐ – HSG. * Phần mềm Toán – Phần mềm ứng dụng khác. …………. Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 46        S 3 S 1 (*) Đặt h = f(S) =  S 3 S  h =  2 3 S < 0, S thoả (*) Từ bảng biến thiên, ta có: 0 < h  4 và h  1, S thoả (*). Mà A = h  MaxA = 16 khi x = y = 1 2 (S = 1, P = 1 4 ).  Cách 3: (x + y)xy =         2 2 y 3y x 2 4 > 0     1 1 x y x y xy > 0 A =  3 3 1 1 x y =  3 3 3 3 x y x y =        2 1 1 x y    1 1 A x y Dễ chứng minh được:          3 3 3 a b a b 2 2 (với a + b > 0) dấu "=" xảy ra khi a = b. Áp dụng với a = 1 x , b = 1 y , ta có:                            3 3 3 1 1 1 1 x y x y 2 2           3 A A 2 2  A  16. Dấu "=" xảy ra khi   1 1 2 x y . Vậy Max A = 16.  Cách 4: A = 2 2 S P , suy ra    2 S 3S A P S SP S 2 – 4P  0  S 2 – 4  2 S SP 3  0    P 1 S 1 4 3  0   P 1 S 4 (chia cho S 2 ) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 3 II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh:      (a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0 2. Chứng minh:       2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0 3. Chứng minh:            3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc với a , b , c  0 4. Cho a, b > 0. Chứng minh:                  m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m  Z + 5. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a,b,c 0 a b c 6. Chứng minh:     6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 7. Chứng minh:     4 2 2 1 2a 3a 1 1 a . 8. Chứng minh:     1995 a 1995 a 1 , a > 0 9. Chứng minh:             2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc . 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b  1 , chứng minh:     ab a b 1 b a 1 . 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1) 13. Cho a > b > c, Chứng minh:       3 a 3 a b b c c . 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc. b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc c)                 1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:      1 x 3 x y y 16. Chứng minh: a)    2 2 x 2 2 x 1 ,x  R b)    x 8 6 x 1 , x > 1 c)    2 2 a 5 4 a 1 17. Chứng minh:          ab bc ca a b c ; a, b, c 0 a b b c c a 2 Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 4 18. Chứng minh:     2 2 4 4 x y 1 4 1 16x 1 16y , x , y  R 19. Chứng minh:       a b c 3 b c a c a b 2 ; a , b , c > 0 20. Cho a , b , c > 0. C/m:          3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b abc b c abc c a abc 21. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số chứng minh: a.     4 a b c d 4 abcd với a , b , c , d  0 (Côsi 4 số) b.    3 a b c 3 abc với a , b , c  0 , (Côsi 3 số ) 22. Chứng minh:      3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ab ; a , b , c > 0 23. Chứng minh:    3 94 2 a 3 b 4 c 9 abc 24. Cho   x 18 y 2 x , x > 0. Định x để y đạt GTNN. 25. Cho     x 2 y ,x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 26. Cho      3x 1 y , x 1 2 x 1 . Định x để y đạt GTNN. 27. Cho     x 5 1 y ,x 3 2x 1 2 . Định x để y đạt GTNN. 28. Cho    x 5 y 1 x x , 0 < x < 1 . Định x để y đạt GTNN. 29. Cho   3 2 x 1 y x , x > 0 . Định x để y đạt GTNN. 30. Tìm GTNN của    2 x 4x 4 f(x) x , x > 0. 31. Tìm GTNN của   2 3 2 f(x) x x , x > 0. 32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x) 33. Cho y = x(6 – x) , 0  x  6 . Định x để y đạt GTLN. 34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3  x  5 2 . Định x để y đạt GTLN 35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,    5 x 5 2 . Định x để y đạt GTLN 36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,  1 2  x  5 2 . Định x để y đạt GTLN Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 45 Cộng 3 bất đẳng thức trên, vế theo vế, ta có:                                       2 2 2 x 1 y y 1 z z 1 x x y z 1 y 4 1 z 4 1 x 4               2 2 2 x y z 3 x y z x y z 1 y 1 z 1 x 4 4     3(x y z) 3 4 4      3 3 9 3 3 .3 4 4 4 4 2 (vì x + y + z  3 3 xyz = 3) Vậy:       2 2 2 x y z 3 1 y 1 z 1 x 2 . 50. (Đại học khối A 2006)  Cách 1: Từ giả thiết suy ra:     2 2 1 1 1 1 1 x y xy x y . Đặt 1 x = a, 1 y = b, ta có: a + b = a 2 + b 2 – ab (1) A = a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = (a + b) 2 Từ (1) suy ra: a + b = (a + b) 2 – 3ab. Vì ab ≤        2 a b 2 nên a + b ≥ (a + b) 2 –  2 3 (a b) 4  (a + b) 2 – 4(a + b) ≤ 0  0 ≤ a + b ≤ 4 Suy ra: A = (a + b) 2 ≤ 16 Với x = y = 1 2 thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16.  Cách 2: Đặt S = x + y, P = xy với S 2 – 4P  0. Từ giả thiết  S, P  0. Ta có: SP = S 2 – 3P  P =  2 S S 3 A =  3 3 1 1 x y =  3 3 3 3 x y x y =    2 2 3 3 (x y)(x y xy) x y =  2 3 3 (x y) xy x y =  2 2 2 (x y) x y  A =         2 2 S S 3 S P Đk: S 2 – 4P  0  S 2 –  2 4S S 3  0  S 2         S 1 S 3  0    S 1 S 3  0 (vì S0) Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 44  Cách 2: Đặt x =  3 a 3b  x 3 = a + 3b; y =  3 b 3c  y 3 = b + 3c; z =  3 c 3a  z 3 = c + 3a  x 3 + y 3 + z 3 = 4(a + b + c) = 4. 3 4 = 3. BĐT cần ch. minh  x + y + z  3 Ta có: x 3 + 1 + 1  3 3 3 x .1.1 = 3x; y 3 + 1 + 1  3 3 3 y .1.1 = 3y; z 3 + 1 + 1  3 3 3 z .1.1 = 3z  9  3(x + y + z) (vì x 3 + y 3 + z 3 = 3) Vậy x + y + z  3 Dấu "=" xảy ra             3 3 3 x y z 1 3 a b c 4            a 3b b 3c c 3a=1 3 a+b+c= 4  a = b = c = 1 4 48. (Đại học khối B 2005 dự bị 2) Ta có: 0  x  1  x  x 2   1 x y y x 4    1 x y y x 4 (1) Theo BĐT Côsi ta có:      2 2 1 1 1 y x yx 2 yx . x y 4 4 4    1 x y y x 4 Dấu "=" xảy ra                      2 2 0 y x 1 x 1 x x 1 y 1 4 yx 4 49. (Đại học khối D 2005 dự bị 2) Ta có:        2 2 x 1 y x 1 y 2 . x 1 y 4 1 y 4        2 2 y 1 z y 1 z 2 . y 1 z 4 1 z 4        2 2 z 1 x z 1 x 2 . z 1 x 4 1 x 4 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 5 37. Cho   2 x y x 2 . Định x > 0 để y đạt GTLN 38. Cho     2 3 2 x y x 2 . Định x để y đạt GTLN III. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Bunhiacôpxki 1. Chứng minh: (ab + cd) 2  (a 2 + c 2 )(b 2 + d 2 ) BĐT Bunhiacopxki 2. Chứng minh:   sin x cos x 2 3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 4b 2  7. 4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a 2 + 5b 2  725 47 . 5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a 2 + 11b 2  2464 137 . 6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a 4 + b 4  2. 7. Cho a + b  1 Chứng minh:   2 2 1 a b 2 Lời giải: I. Chứng minh BĐT dựa vào định nghĩa và tính chất cơ bản: 1. Cho a, b > 0 chứng minh:          3 3 3 a b a b 2 2 (*) (*)            3 3 3 a b a b 0 2 2        2 3 a b a b 0 8 . ĐPCM. 2. Chứng minh:    2 2 a b a b 2 2 ()  a + b  0 , () luôn đúng.  a + b > 0 , ()       2 2 2 2 a b 2ab a b 0 4 2      2 a b 0 4 : đúng. Vậy:    2 2 a b a b 2 2 . 3. Cho a + b  0 chứng minh:    3 3 3 a b a b 2 2       3 3 3 a b a b 8 2         2 2 3 b a a b 0          2 3 b a a b 0 , ĐPCM. Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 6 4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:    a b a b b a () ()     a a b b a b b a          a b a a b b 0         a b a b 0         2 a b a b 0 , ĐPCM. 5. Chứng minh: Với a  b  1:      2 2 1 1 2 1 ab 1 a 1 b ()          2 2 1 1 1 1 0 1 ab 1 ab 1 a 1 b                  2 2 2 2 ab a ab b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab                      2 2 a b a b a b 0 1 a 1 ab 1 b 1 ab             2 2 b a a b 0 1 ab 1 a 1 b                     2 2 2 2 b a a ab b ba 0 1 ab 1 a 1 b                 2 2 2 b a ab 1 0 1 ab 1 a 1 b , ĐPCM.  Vì : a  b  1  ab  1  ab – 1  0. 6. Chứng minh:         2 2 2 a b c 3 2 a b c ; a , b , c  R              2 2 2 a 1 b 1 c 1 0 . ĐPCM. 7. Chứng minh:           2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e              2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 0 4 4 4 4                                  2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 . ĐPCM 8. Chứng minh:      2 2 2 x y z xy yz zx        2 2 2 2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0              2 2 2 x y x z y z 0 9. a. Chứng minh:       a b c ab bc ca ; a,b,c 0 3 3       2 2 2 a b c ab bc ca                   2 2 2 2 a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca 3 9 3       a b c ab bc ca 3 3 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 43 Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), (4) ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3), (4) là các đẳng thức  x = y = z = 1. 45. (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Ta có: 3 + 4 x = 1 + 1 + 1 + 4 x  4 4 x 4     84 x x x 3 4 2 4 2 4 Tương tự:   8 y y 3 4 2 4 ;   8 z z 3 4 2 4 Vậy      x y z 3 4 3 4 3 4  2         8 8 8 x y z 4 4 4  3 8 x y z 6 4 .4 .4  6   24 x y z 4 = 6 46. (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Ta có: 1 + x = 1 +    3 4 3 x x x x 4 3 3 3 3 1 + y x = 1 +    3 4 3 3 y y y y 4 3x 3x 3x 3 x 1 + 9 y = 1 +    3 4 3 3 3 3 3 4 y y y y            2 6 4 3 9 3 1 16 y y Vậy:                    2 y 9 1 x 1 1 x y  256 3 3 6 4 3 3 3 3 x y 3 . . 3 3 x y = 256 47. (Đại học khối B 2005 dự bị 1)  Cách 1: Ta có:         3 a 3b 1 1 1 (a 3b).1.1 (a 3b 2) 3 3         3 b 3c 1 1 1 (b 3c).1.1 (b 3c 2) 3 3         3 c 3a 1 1 1 (c 3a).1.1 (c 3a 2) 3 3 Suy ra:            3 3 3 1 a 3b b 3c c 3a 4(a b c) 6 3         1 3 4. 6 3 4 = 3 Dấu "=" xảy ra               3 a b c 4 a 3b b 3c c 3a=1  a = b = c = 1 4 Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 42          1 1 1 1 2x+y+z 4 2x y z                1 1 1 1 1 4 2x 4 y z =         1 1 1 1 8 x 2y 2z (1) Tương tự:            1 1 1 1 x 2y z 4 2y x z                1 1 1 1 1 4 2y 4 x z =         1 1 1 1 8 y 2z 2x (2)            1 1 1 1 x y 2z 4 2z x y                1 1 1 1 1 4 2z 4 x y =         1 1 1 1 8 z 2x 2y (3) Vậy:                1 1 1 1 1 1 1 2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz = 1 Ta thấy trong các bất đẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y = z. Vậy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 3 4 . 43. (Đại học khối B 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:                           x x x x 12 15 12 15 2 . 5 4 5 4               x x 12 15 5 4  2.3 x (1) Tương tự ta có:              x x 12 20 5 3  2.4 x (2)              x x 15 20 4 3  2.5 x (3) Cộng các bất đẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất đẳng thức nhận được cho 2 ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra  (1), (2), (3) là các đẳng thức  x = 0. 44. (Đại học khối D 2005) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương ta có: 1 + x 3 + y 3  3 3 3 3 1.x .y = 3xy     3 3 1 x y 3 xy xy (1) Tương tự:    3 3 1 y z 3 yz yz (2);    3 3 1 z x 3 zx zx (3) Mặt khác    3 3 3 3 3 3 3 3 xy yz zx xy yz zx     3 3 3 3 3 xy yz zx (4) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 7 b. Chứng minh:            2 2 2 2 a b c a b c 3 3              2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b c a b c 2 a b c              2 2 2 2 a b c 2 ab bc ca a b c             2 2 2 2 a b c a b c 3 3 10. Chứng minh:      2 2 2 a b c ab ac 2bc 4          2 2 2 a a b c b c 2bc 0 4             2 a b c 0 2 . 11. Chứng minh:      2 2 a b 1 ab a b        2 2 2a 2b 2 2ab 2a 2b 0           2 2 2 2 a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0              2 2 2 a b a 1 b 1 0 . 12. Chứng minh:      2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz        2 2 2 x y z 2xy 2xz 2yz 0  (x – y + z) 2  0. 13. Chứng minh:        4 4 2 2 x y z 1 2x(xy x z 1)          4 4 2 2 2 2 x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0              2 2 2 2 2 x y x z x 1 0 . 14. Chứng minh: Nếu a + b  1 thì:   3 3 1 a b 4  a + b  1  b  1 – a  b 3 = (1 – a) 3 = 1 – a + a 2 – a 3  a 3 + b 3 =          2 1 1 1 3 a 2 4 4 . 15. Cho a, b, c là số đo độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh: a. ab + bc + ca  a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca).  ab + bc + ca  a 2 + b 2 + c 2  (a – b) 2 + (a – c) 2 + (b – c) 2        a b c , b a c , c a b     2 2 2 a b 2bc c ,    2 2 2 b a 2ac c ,    2 2 2 c a 2ab b  a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca). Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 8 b. abc  (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)       2 2 2 a a b c          2 a a c b a b c       2 2 2 b b a c          2 b b c a a b c       2 2 2 c c a b          2 c b c a a c b               2 2 2 2 2 2 a b c a b c a c b b c a               abc a b c a c b b c a c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0  4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – a 4 – b 4 – 2a 2 b 2 – c 4 > 0  4a 2 b 2 + 2c 2 (b 2 + a 2 ) – (a 2 + b 2 ) 2 – c 4 > 0  (2ab) 2 – [(a 2 + b 2 ) – c 2 ] 2 > 0  [c 2 – (a – b) 2 ][(a + b) 2 – c 2 ] > 0  (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . đúng  Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác  c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0. II. Chứng minh BĐT dựa vào BĐT CÔSI: 1. Chứng minh:      (a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm:    a b 2 ab ,   b c 2 bc ,   a c 2 ac           2 2 2 a b b c a c 8 a b c 8abc . 2. Chứng minh:       2 2 2 (a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:     3 a b c 3 abc ,    3 2 2 2 2 2 2 a b c 3 a b c            3 2 2 2 3 3 3 a b c a b c 9 a b c 9abc . 3. Chứng minh:            3 3 1 a 1 b 1 c 1 abc , với a , b , c  0.                   1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.     3 a b c 3 abc ,    3 2 2 2 ab ac bc 3 a b c                 3 3 2 2 2 3 3 1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc 4. Cho a, b > 0. Chứng minh:                  m m m 1 a b 1 1 2 b a , với m  Z +                                            m m m m m m m 1 a b a b b a 1 1 2 1 . 1 2 2 b a b a a b 2 4 2 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 41 Theo BĐT Côsi ta có: (1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) = 1 2 (2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤ ≤         3 1 4 32 3 2 3 27 Vậy BĐT (3) đúng  (2) đúng  y ≤ 3 , x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1  x = k2. Vậy maxy = 3 .  Tìm min: Ta có y = sin 5 x + 3 cosx ≥ – sin 4 x + 3 cosx. Tương tự như trên, ta được miny = – 3 , đạt được khi x =  + k2. 41. (Đại học khối A 2003 dự bị 2) (1)       (a b c)(b c a) 1 bc     2 2 (b c) a 1 bc    2bc(1 cos A) 1 bc   2 A 1 cos 2 4   2 A 3 sin 2 4   A 3 sin 2 2 (do 0 <   A 2 2 ) (3) Biến đổi vế trái của (2) như sau:         A B C 1 A B-C B+C sin sin sin sin cos cos 2 2 2 2 2 2 2 ≤        1 A A sin 1 sin 2 2 2 = = –        2 1 A A sin sin 2 2 2 = –                 2 1 A 1 1 sin 2 2 2 4 =         2 1 1 A 1 sin 8 2 2 2 Do (3) suy ra:            2 A B C 1 1 3 1 sin sin sin 2 2 2 8 2 2 2 =   1 1 (4 2 3) 8 8 =  2 3 3 8 Dấu “=” xảy ra                   0 0 B-C cos 1 A 120 2 A 3 B C 30 sin 2 2 42. (Đại học khối A 2005) Với a, b > 0 ta có: 4ab  (a + b) 2     1 a b a b 4ab           1 1 1 1 a b 4 a b Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b. Áp dụng kết quả trên ta có: Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 40 Đặt                         1 1 1 a x; ; b y; ; c z; x y z Áp dụng bất đẳng thức (*), ta có:                  a b c a b c a b c Vậy P =      2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z             2 2 1 1 1 (x y z) x y z  Cách 1: Ta có: P            2 2 1 1 1 (x y z) x y z             2 2 3 3 1 3 xyz 3 xyz =  9 9t t với t = 2 3 ( xyz)  0 < t           2 x y z 1 3 9 Đặt Q(t) = 9t + 9 t Q(t) = 9 – 2 9 t < 0, t       1 0; 9 Q(t) giảm trên       1 0; 9  Q(t)  Q       1 9 = 82. Vậy P   Q(t) 82 Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 1 3 .  Cách 2: Ta có: (x + y + z) 2 +         2 1 1 1 x y z = 81(x + y + z) 2 +         2 1 1 1 x y z – 80(x + y + z) 2  18(x + y + z).         1 1 1 x y z – 80(x + y + z) 2  162 – 80 = 82 Vậy P  82 Dấu "=" xảy ra  x = y = z = 1 3 . 40. (Đại học khối A 2003 dự bị 1)  Tìm max: y = sin 5 x + 3 cosx ≤ sin 4 x + 3 cosx (1) Ta chứng minh: sin 4 x + 3 cosx ≤ 3 , x  R (2)  3 (1 – cosx) – sin 4 x ≥ 0  3 (1 – cosx) – (1 – cos 2 x) 2 ≥ 0  (1 – cosx). 3 – (1 – cosx)(1 + cosx) 2  ≥ 0 (3) Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 9 5. Chứng minh:       bc ca ab a b c ; a, b, c 0 a b c  Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm:    2 bc ca abc 2 2c a b ab ,    2 bc ba b ac 2 2b a c ac ,    2 ca ab a bc 2 2a b c bc       bc ca ab a b c a b c . 6. Chứng minh:     6 9 2 3 x y 3x y 16 ; x,y 0 4 () ()     6 9 2 3 x y 64 12x y         3 3 2 3 3 2 3 x y 4 12x y Áp dụng BĐT Côsi cho ba số không âm:         3 3 2 3 3 2 3 2 3 x y 4 3x y 4 12x y . 7. Chứng minh:     4 2 2 1 2a 3a 1 1 a () ()        4 4 2 2 2 1 a a a 1 4a 1 a . Áp dụng BĐT Côsi cho 4 số không âm:   4 4 2 2 1 a , a , a 1, 1 a            4 4 2 4 4 2 2 4 2 2 1 1 a a a 1 4 a a a 1 4a 1 a 1 a 8. Chứng minh:     1995 a 1995 a 1 () , a > 0 ()       1995 1995 a 1995a 1995 a 1995 1995a            1995 1995 1995 1995 1995 1994 soá a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a 9. Chứng minh:             2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a 6abc .                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 6 số không âm:         6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6 a a b b b c c c a 6 a b c 6abc 10. Cho a , b > 0. Chứng minh:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 10     2 2 a a 1 2ab 2b a b ,    2 2 b b 1 2bc 2c b c ,    2 2 c c 1 2ac 2a a c  Vậy:               2 2 2 2 2 2 a b c 1 1 1 1 2 a b c a b b c a c 11. Cho a , b  1 , chứng minh:     ab a b 1 b a 1 .                a a 1 1 2 a 1 , b b 1 1 2 b 1      ab 2b a 1 , ab 2a b 1      ab a b 1 b a 1 12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1)               x x 1 1 x 1 x y z 3                           2 4 x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1 Tương tự:           2 4 y 4 x 1 y 1 z 1 ;           2 4 z 4 x 1 y 1 z 1  xyz  64(x – 1)(y – 1)(z – 1). 13. Cho a > b > c, Chứng minh:       3 a 3 a b b c c .                 3 a a b b c c 3 a b b c c 14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh: a) b + c  16abc.          2 b c bc 2                      2 2 2 b c 1 a 16abc 16a 16a 4a 1 a 2 2                            2 2 2 4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)  8abc  (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b)   2 bc.2 ac.2 ab 8abc c)                 1 1 1 1 1 1 64 a b c                    4 2 1 a a b c 4 a bc 1 a a a    4 2 1 4 ab c 1 b b    4 2 1 4 abc 1 c c                  1 1 1 1 1 1 64 a b c 15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:      1 x 3 x y y Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 39 số liên tục x: f(x) =   x 1 1 50 x 50 (2 ≤ x ≤ 48) f(x) =    2 2 2 1 1 x 50 50 x 50x ; f(x) = 0        2 x 50 2 x 48   x 5 2 Bảng biến thiên: 5 2 Chuyển về biểu thức f(b) =   2 b b 50 50b (2 ≤ b ≤ 48, b  N) Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b) = min[f(7); f(8)]. Ta có f(7) =   49 57 53 350 175 ; f(8) =    64 58 61 53 400 200 175 Vậy minS = 53 175 khi            a 1 b 7 c 8 d 50 38. (Đại học 2002 dự bị 6) Ta có diện tích tam giác: S =   a b c 1 1 1 ah bh ch 2 2 2  h a = 2S a ; h b = 2S b ; h c = 2S c       a b c 1 1 1 1 (a b c) h h h 2S                             a b c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (a b c) a b c h h h 2S a b c Áp dụng BĐT Côsi ta có: (a + b + c)         1 1 1 a b c ≥ 9 và vì S = 3 2 , nên ta có:                   a b c 1 1 1 1 1 1 9 3 a b c h h h 3 39. (Đại học khối A 2003) Với mọi   u,v ta có:        u v u v (*) [...]... Phần Mềm Tốn , - Trang 15 Tuyển tập Bất đẳng thức  y = (x + 3)(5 – 2x) = Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 1 (2x + 6)(5 – 2x) 2 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com a,b,c  0 ab  bc  ca  abc giả thiết   Áp dụng BĐT Cơsi cho 2 số khơng âm 2x + 6 và 5 – 2x 5 ,  3  x   :    2 1  11   2x  6    5  2x   2  2x  6  5  2x   (2x + 6)(5 – 2x)  2 121 8 Tuyển tập Bất đẳng thức x,y,z... - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 33 Tuyển tập Bất đẳng thức Dấu “=” xảy ra  Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 1 1 1  b  1 b  2    1  1 1  1 a  a 2 Trần Sĩ Tùng 37 Cho y   a = b = 2  18 (ĐH Vinh khối A, B 2001) Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0 Do đó theo BĐT Cơsi ta có: www.toantrunghoc.com x 2 x 2 Tuyển tập Bất đẳng thức Định x để y đạt GTLN 2  x 2 ... Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 22 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 27 Tuyển tập Bất đẳng thức f(t) = 3 – Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 3 t 2 2 = 3(t  1) t 2 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức 38 (Đại học 2002 dự bị 6) 1 < 0, t   0;    3 3 Gọi a, b, c lần lượt là độ 2 Cho tam giác ABC có diện tích bằng... x  4y    5 x  y  4   4 1 =  Cách 2: S =  x 5  4x Trần Sĩ Tùng  www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 11 Tuyển tập Bất đẳng thức  Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng a b c  a   b   c      1    1    1  3 bc ac ab bc  ac  ab  1 1 1   1   a  b    b  c    c  a     3 2 b c a...  ca 2R 2 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 37 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Dấu “=” xảy ra  a  1  b  1  a = b  a = b = 1 ( do a + b = 2 1) Vậy maxA = 6 khi a = b = 1 2 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Trần Sĩ Tùng vì : a  b  c3  3abc  y 2 z2   x 2 z2   x 2 y 2   3 +  2  2  2  2  2  2  ≥... www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 28 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 21 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Cho 2 số thực a, b thoả điều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = a  1  b  1 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo... 1  b  1) mà a + b = 1 nên A ≤ 6 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 35 Tuyển tập Bất đẳng thức  x ≥  y  z  yz  Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com y  z  x zx   xy   z  x  y  2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)2 Trần Sĩ Tùng 2  P ≥ 1 (x + y + z) ≥ 2 ≥ 1 + 3 abc  3 a b c + abc = 1  abc  2 2 2 3   2  Giá  x     y   trị  31 Tìm... Mềm Tốn , - Trang 26 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 23 Tuyển tập Bất đẳng thức Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com 45 (Đại học khối A 2005 dự bị 1) Cho 3 số x, y, z thoả 3  4x  3  4y  3  4z  6 46 (Đại học khối A 2005 dự bị 2) Trần Sĩ Tùng + y + z = 0 CMR: 1 (CĐGT II 2003 dự bị) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét các điểm: y  9  1  x   1 ... hay x +  – 1 ≥ x  BĐT cần chứng minh: 5 7 Cho a + b  1 www.toantrunghoc.com 2464 137 11b  Áp dụng BĐT Bunhiacopski cho 4 số  Trần Sĩ Tùng 735 4 9 2 2 5 b      3a 2  5b2   3a + 5b  3 5 47 5 Cho 3a – 5b = 8 Chứng minh: 7a2 + 11b2   3a  5b  Trần Sĩ Tùng 2  2  a +b 2  a4 + b4  2 1 2 12  12   a 2  b2   a 2  b2  3 3 2 Chứng minh: a 2  b2  Áp dụng 3  a  2  b 2 ... Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 18 www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chun Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Tốn , - Trang 31 Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com  1 1 1   1 1 1 2     4    a b c pa pb pc Trần Sĩ Tùng 2 x 1  x + y ≥ 2 x3 y 2  2xy x  3 2  2xy x xy x y 2 Áp dụng BĐT Cơsi cho 2 số dương 1 x 2 , 2 x 1 y2 ta có: y z Suy ra: 2  x3  y2  . TUYỂN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC Trần Sĩ Tùng * Bài tập Toán các khối lớp THPT. * Chuyên đề Toán ôn thi. www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài Liệu - Phần Mềm Toán , - Trang 2 PHẦN I : LUYỆN TẬP CĂN BẢN . a) c. 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2c 2 a 2 – a 4 – b 4 – c 4 > 0 Trần Sĩ Tùng www.toantrunghoc.com Tuyển tập Bất đẳng thức www.toantrunghoc.com : Đề Thi – Đáp Án - Chuyên Đề - Tài