Bài tập đại số lớp 10 chương Phương trình và hệ phương trình- Trần Sĩ Tùng

Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 14 1. Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1) · x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng. · Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó. · Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình. Chú ý: + Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau: – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức Px 1 () thì cần điều kiện P(x) ¹ 0. – Nếu trong phương trình có chứa biểu thức Px () thì cần điều kiện P(x) ³ 0. + Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x). 2. Phương trình tương đương, phương trình hệ quả Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1 và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S 2 . · (1) Û (2) khi và chỉ khi S 1 = S 2 . · (1) Þ (2) khi và chỉ khi S 1 Ì S 2 . 3. Phép biến đổi tương đương · Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương. Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức. – Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0. · Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ quả. Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai. Bài 1. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) x xx 55 312 44 +=+ b) x xx 11 515 33 +=+ ++ c) x xx 2 11 9 11 -=- d) x xx 22 315 55 +=+ Bài 2. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xx 112 +-=- b) xx 12 +=- c) xx 11 +=+ d) xx 11 -=- e) x xx 3 11 = f) xxx 2 123 =-+ Bài 3. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xxx 2 3(32)0 += b) xxx 2 1(2)0 + = c) x x xx 1 2 22 = d) xx x xx 2 43 1 11 -+ =++ ++ CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 15 Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xx 21 -=+ b) xx 12 +=- c) xx 212 -=+ d) xx 221 -=- Bài 5. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó: a) xx xx 11 = b) xx xx 22 11 = c) xx xx 22 = d) xx xx 11 22 = Bài 6. a) Chú ý: Khi a ¹ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m: a) mxmx 2 (2)23 +-=- b) mxmxm ()2 -=+- b) mxmmx (3)(2)6 -+=-+ d) mxmxm 2 (1)(32) -+=- e) mmxxm 22 ()21 -=+- f) mxmxm 2 (1)(25)2 +=+++ Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c: a) xaxb baab ab (,0) -=-¹ b) abxabbx (2)2(2a) ++=++ c) xabxbcxb babc acb 2 3(,,1) 111 +++ ++=¹- +++ d) xbcxcaxab abc abc 3(,,0) ++=¹ Bài 3. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R. a) mxn (2)1 -=- b) mmxm 2 (23)1 +-=- c) mxxmxmx 2 (2)(1)() ++=+ d) mmxxm 22 ()21 -=+- Bài 4. a) II. PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0 ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất b x a =- b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 16 1. Cách giải Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c a . – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c a - . – Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b 2 ¢ = . 2. Định lí Vi–et Hai số xx 12 , là các nghiệm của phương trình bậc hai axbxc 2 0 ++= khi và chỉ khi chúng thoả mãn các hệ thức b Sxx a 12 =+=- và c Pxx a 12 == . VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình axbxc 2 0 ++= Để giải và biện luận phương trình axbxc 2 0 ++= ta cần xét các trường hợp có thể xảy ra của hệ số a: – Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bxc 0 += . – Nếu a ¹ 0 thì mới xét các trường hợp của D như trên. Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) xxm 2 5310 ++-= b) xxm 2 212150 +-= c) xmxm 22 2(1)0 += d) mxmxm 2 (1)2(1)20 + +-= e) mxmx 2 (1)(2)10 -+ = f) mxmxm 2 2(3)10 -+++= Bài 2. Cho biết một nghiệm của phương trình. Tìm nghiệm còn lại: a) xmxmx 2 3 10; 2 -++==- b) xmxmx 22 230;1 -+== c) mxmxmx 2 (1)2(1)20;2 + +-== d) xmxmmx 22 2(1)30;0 +-== Bài 3. a) III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1) bac 2 4 D =- Kết luận D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt b x a 1,2 2 D -± = D = 0 (1) có nghiệm kép b x a 2 =- D < 0 (1) vô nghiệm Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 17 VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình axbxca 2 0(0) ++=¹ (1) · (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 · (1) có hai nghiệm cùng dấu Û P 0 0 D ì ³ í > î · (1) có hai nghiệm dương Û P S 0 0 0 D ì ³ ï > í ï > î · (1) có hai nghiệm âm Û P S 0 0 0 D ì ³ ï > í ï < î Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì D > 0. Bài 1. Xác định m để phương trình: i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt iii) có hai nghiệm dương phân biệt a) xxm 2 5310 ++-= b) xxm 2 212150 +-= c) xmxm 22 2(1)0 += d) mxmxm 2 (1)2(1)20 + +-= e) mxmx 2 (1)(2)10 -+ = f) mxmxm 2 2(3)10 -+++= g) xxm 2 410 -++= h) mxmxm 2 (1)2(4)10 +++++= Bài 2. a) VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et 1. Biểu thức đối xứng của các nghiệm số Ta sử dụng công thức bc SxxPxx aa 1212 ; =+=-== để biểu diễn các biểu thức đối xứng của các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P. Ví dụ: xxxxxxSP 2222 121212 ()22 +=+-=- xxxxxxxxSSP 3322 12121212 ()()3(3) éù +=++-=- ëû 2. Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm: bc SxxPxx aa 1212 ; =+=-== (S, P có chứa tham số m). Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x 1 và x 2 . 3. Lập phương trình bậc hai Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng: xSxP 2 0 -+= , trong đó S = u + v, P = uv. Bài 1. Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. Không giải phương trình, hãy tính: A = xx 22 12 + ; B = xx 33 12 + ; C = xx 44 12 + ; D = xx 12 - ; E = xxxx 1221 (2)(2) ++ a) xx 2 50 = b) xx 2 2370 = c) xx 2 31030 ++= d) xx 2 2150 = e) xx 2 2520 -+= f) xx 2 3520 +-= Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 18 Bài 2. Cho phương trình: mxmxm 2 (1)2(1)20 + +-= (*). Xác định m để: a) (*) có hai nghiệm phân biệt. b) (*) có một nghiệm bằng 2. Tính nghiệm kia. c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2. Bài 3. Cho phương trình: xmxm 2 2(21)340 -+++= (*). a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 . b) Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m. c) Tính theo m, biểu thức A = xx 33 12 + . d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia. e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là xx 22 12 , . HD: a) m 2 2 ³ b) xxxx 1212 1 +-=- c) A = mmm 2 (24)(1645) ++- d) m 127 6 ± = e) xmmxm 222 2(881)(34)0 -+-++= Bài 4. Cho phương trình: xmxmm 22 2(1)30 +-= (*). a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0. Tính nghiệm còn lại. b) Khi (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 . Tìm hệ thức giữa x 1 , x 2 độc lập đối với m. c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x 1 , x 2 thoả: xx 22 12 8 += . HD: a) m = 3; m = 4 b) xxxxxx 2 121212 ()2()480 +-+ = c) m = –1; m = 2. Bài 5. Cho phương trình: xmmxm 223 (3)0 += . a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia. b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1. Tính nghiệm còn lại. HD: a) m = 0; m = 1 b) xxx 222 1;527;527 ==-= . Bài 6. (nâng cao) Cho phương trình: xxx 22 22sin2cos aa +=+ (a là tham số). a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a. b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN. Bài 7. Cho phương trình: a) Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 19 1. Định nghĩa và tính chất · AkhiA A AkhiA 0 0 ì ³ = í -< î · AA 0, ³" · ABAB = · AA 2 2 = · ABABAB .0 +=+Û³ · ABABAB .0 -=+Û£ · ABABAB .0 +=-Û£ · ABABAB .0 -=-Û³ 2. Cách giải Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ. – Bình phương hai vế. – Đặt ẩn phụ. · Dạng 1: fxgx ()() = C fx fxgx fx fxgx 1 ()0 ()() ()0 ()() é ì ³ í ê = î Û ê ì < ê í ê -= î ë Cgx fxgx fxgx 2 ()0 ()() ()() ì ³ ï Û é = í ê ï =- ë î · Dạng 2: fxgx ()() = [ ] [ ] C fxgx 1 22 ()() Û= C fxgx fxgx 2 ()() ()() é = Û ê =- ë · Dạng 3: afxbgxhx ()()() += Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải. Bài 1. Giải các phương trình sau: a) xx 213 -=+ b) xx 4725 +=+ c) xx 2 320 -+= d) xxx 2 6921 ++=- e) xxx 2 45417 =- f) xxx 2 41745 -= g) xxxx 12324 ++=+ h) xxx 12314 -+++-= i) xxx 122 -+-= Bài 2. Giải các phương trình sau: a) xx 4747 +=+ b) xx 2332 -=- c) xxx 1213 -++= d) xxxx 22 2323 =++ e) xxx 2 252750 -+-+= f) xx 3710 ++-= Bài 3. Giải các phương trình sau: a) xxx 2 2110 -+ = b) xxx 2 25170 += c) xxx 2 25150 = d) xxx 2 4320 +++= e) xxx 2 442110 = f) xxx 2 63100 ++++= Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mx 15 -= b) mxxx 12 -+=+ c) mxxx 21 +-= d) xmxm 322 +=- e) xmxm 2 +=-+ f) xmx 1 -=+ Bài 5. Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất: a) mxx 24 -=+ b) Bài 6. a) IV. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 20 Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách: – Nâng luỹ thừa hai vế. – Đặt ẩn phụ. Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định. Dạng 1: fxgx ()() = Û [ ] fxgx gx 2 ()() ()0 ì ï = í ³ ï î Dạng 2: fxgx fxgx fxhaygx ()() ()() ()0(()0) ì = =Û í ³³ î Dạng 3: afxbfxc ()()0 ++= Û tfxt atbtc 2 (),0 0 ì ï =³ í ++= ï î Dạng 4: fxgxhx ()()() += · Đặt ufxvgx (),() == với u, v ³ 0. · Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v. Dạng 5: fxgxfxgxhx ()()().()() ++= Đặt tfxgxt ()(),0 =+³ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) xx 233 -=- b) xx 5108 +=- c) xx 254 = d) xxx 2 128 +-=- e) xxx 2 242 ++=- f) xxx 2 3912 -+=- g) xxx 2 3912 -+=- h) xxx 2 3102 =- i) xxx 22 (3)49 -+=- Bài 2. Giải các phương trình sau: a) xxxx 22 69466 -+=-+ b) xxxx 2 (3)(8)2611 +=-+ c) xxxx 2 (4)(1)3526 ++-++= d) xxxx 2 (5)(2)33 +-=+ e) xx 22 1131 ++= f) xxxx 2 284(4)(2)0 -+ += Bài 3. Giải các phương trình sau: a) xx 111 + = b) xx 3712 +-+= c) xx 22 972 + = d) xxxx 22 3583511 ++-++= e) xx 33 112 ++-= f) xxxx 22 5845 +-++-= g) xx 33 575131 + = h) xx 33 91714 -++++= Bài 4. Giải các phương trình sau: a) xxxx 363(3)(6) ++-=++- b) xxxxx 23132(23)(1)16 +++=+++- c) xxxx 13(1)(3)1 -+ = d) xxxx 72(7)(2)3 -++ += e) xxxx 14(1)(4)5 ++-++-= f) xxxxx 2 321492352 -+-=-+-+ g) xxxx 2 2 11 3 +-=+- h) xxxx 2 999 +-=-++ V. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 21 Bài 5. Giải các phương trình sau: a) xxxx 242252462514 -+-+++-= b) xxxx 5412211 +-+++-+= c) xxxxxx 22212234213286214 + ++ = Bài 6. Giải các phương trình sau: a) Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định của phương trình (mẫu thức khác 0). Bài 1. Giải các phương trình sau: a) xxxx 21050 1 23(2)(3) +=- -+-+ b) xxx xxx 1121 221 +-+ += +-+ c) xx xx 211 322 ++ = +- d) xx x 2 2 35 1 4 -+ =- - e) xxxx xx 22 252215 13 -+++ = f) xx xx 22 342 (1)(21) +- = +- Bài 2. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mxm x 1 3 2 -+ = + b) mxm xm 2 3 +- = - c) xmx xxm 1 2 1 += d) xmx xx 3 12 ++ = e) mxm m x (1)2 3 ++- = + f) xx xmx 1 = ++ Bài 3. Giải và biện luận các phương trình sau: a) VI. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 22 1. Cách giải: txt axbxc atbtc 2 42 2 ,0 0(1) 0(2) ì ï =³ ++=Û í ++= ï ỵ 2. Số nghiệm của phương trình trùng phương Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng. · (1) vơ nghiệm Û vônghiệm cónghiệmképâm cónghiệmâm (2) (2) (2)2 é ê ê ë · (1) có 1 nghiệm Û cónghiệmképbằng cónghiệmbằngnghiệmcònlạiâm (2)0 (2)10, é ê ë · (1) có 2 nghiệm Û cónghiệmképdương cónghiệmdươngvànghiệmâm (2) (2)11 é ê ë · (1) có 3 nghiệm Û cónghiệmbằngnghiệmcònlạidương (2)10, · (1) có 4 nghiệm Û cónghiệmdươngphânbiệt (2)2 3. Một số dạng khác về phương trình bậc bốn · Dạng 1: xaxbxcxdKvớiabcd ()()()(), ++++=+=+ – Đặt txaxbxcxdtabcd ()()()() =++Þ++=-+ – PT trở thành: tcdabtK 2 ()0 + = · Dạng 2: xaxbK 44 ()() +++= – Đặt ab tx 2 + =+ Þ abba xatxbt, 22 +=++=+ – PT trở thành: ab ttKvới 4224 21220 2 aaa ỉư - ++-== ç÷ èø · Dạng 3: axbxcxbxaa 432 0(0) ++±+=¹ (phương trình đối xứng) – Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x 2 , ta được: PT Û axbxc x x 2 2 11 0 ỉưỉư ++±+= ç÷ ç÷ èø èø (2) – Đặt txhoặctx xx 11 ỉư =+=- ç÷ èø với t 2 ³ . – PT (2) trở thành: atbtcat 2 20(2) ++-=³ . Bài 1. Giải các phương trình sau: a) xx 42 340 = b) xx 42 540 -+= c) xx 42 560 ++= d) xx 42 3520 +-= e) xx 42 300 +-= f) xx 42 780 +-= Bài 2. Tìm m để phương trình: i) Vơ nghiệm ii) Có 1 nghiệm iii) Có 2 nghiệm iv) Có 3 nghiệm v) Có 4 nghiệm a) xmxm 422 (12)10 +-+-= b) xmxm 422 (34)0 -++= c) xmxm 42 8160 +-= VII. PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ax 4 + bx 2 + c = 0 (a ¹ 0) Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 23 Bài 3. Giải các phương trình sau: a) xxxx (1)(3)(5)(7)297 ++= b) xxxx (2)(3)(1)(6)36 +-++=- c) xx 44 (1)97 +-= d) xx 44 (4)(6)2 +++= e) xx 44 (3)(5)16 +++= f) xxxx 432 635623560 -+-+= g) xxxx 432 410 +-++= Bài 4. Giải các phương trình sau: a) [...]... x + 4 = 2 x - 2 h) 2 x 2 + 5 x 2 + 3 x + 5 = 23 - 6 x Bi 10 Trong cỏc h phng trỡnh sau: i) Tỡm s nguyờn m h cú nghim duy nht l nghim nguyờn ii) Khi h cú nghim (x, y) , tỡm h thc gia x, y c lp vi m ỡmx + 2 y = m + 1 ỡmx + y = 3m a) ớ b) ớ ợ2 x + my = 2 a - 1 ợ x + my = 2m + 1 ỡx - 2y = 4 - m ỡ2 x + y = 5 c) ớ d) ớ 2 x + y = 3m + 3 ợ ợ2 y - x = 10m + 5 Bi 11 Gii cỏc h phng trỡnh sau: ỡ x2 + y2 = 5 ỡ... 31 c) 16 x + 17 = 8 x - 23 d) x 2 - 2 x - 8 = 3( x - 4) f) 51 - 2 x - x 2 = 1 - x h) x + 3 + 1 = 3x - 1 e) 3x 2 - 9 x + 1 + x - 2 = 0 g) ( x - 3) x 2 - 4 = x 2 - 9 Bi 8 Gii cỏc phng trỡnh sau: a) 4 - 3 10 - 3 x = x - 2 b) x - 5 + x + 3 = 2x + 4 c) 3x + 4 - 2 x - 1 = x + 3 d) x2 - 3x + 3 + x 2 - 3x + 6 = 3 e) x + 2 - 2 x - 3 = 3x - 5 f) 3x - 3 - 5 - x = 2 x - 4 h) x +1 -1 = x - x + 8 g) 2 x + 2 + 2 x... ớ b) ợ7 x - 9 y = 8 Bi 1 ỡ2 x + y = 11 ớ5 x - 4 y = 8 ợ ỡ3 2 ỡ( 2 + 1) x + y = 2 - 1 ù 4 x + 3 y = 16 ù d) ớ e) ớ ù2 x - ( 2 - 1) y = 2 2 ù 5 x - 3 y = 11 ợ ợ2 5 Bi 2 Gii cỏc h phng trỡnh sau: ỡ1 8 ỡ 10 1 ù x - y = 18 ù x -1 + y + 2 = 1 ù ù a) ớ b) ớ ù 5 + 4 = 51 ù 25 + 3 = 2 ùx y ù x -1 y + 2 ợ ợ ỡ2 x - 6 + 3 y + 1 = 5 ỡ2 x + y - x - y = 9 d) ớ e) ớ ợ5 x - 6 - 4 y + 1 = 1 ợ3 x + y + 2 x - y = 17 Bi . xx x xx 2 43 1 11 -+ =++ ++ CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 15 Bài 4. Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải. xxyym yxy 22 2 4 34 ì ï -+= í -= ï î Bài 9. Giải các hệ phương trình sau: a) Phương trình bậc nhất – bậc hai Trần Sĩ Tùng Trang 28 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau: a) mxmxm 22 43+-=+ . D y = 0 Hệ có vô số nghiệm Trần Sĩ Tùng Phương trình bậc nhất – bậc hai Trang 25 Bài 5. Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận. ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức