Bài tập đại số lớp 10 chương Phương trình và hệ phương trình- Trần Sĩ Tùng

· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó.. Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình: i Có nghiệm duy nhất ii Vô nghiệm iii Nghiệm đúng

1 Phương trình một ẩn f(x) = g(x) (1)

· x 0 là một nghiệm của (1) nếu "f(x 0 ) = g(x 0 )" là một mệnh đề đúng

· Giải phương trình là tìm tất cả các nghiệm của phương trình đó

· Khi giải phương trình ta thường tìm điều kiện xác định của phương trình

Chú ý:

+ Khi tìm ĐKXĐ của phương trình, ta thường gặp các trường hợp sau:

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức

P x

1 ( ) thì cần điều kiện P(x) ¹ 0

– Nếu trong phương trình có chứa biểu thức P x ( ) thì cần điều kiện P(x) ³ 0

+ Các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) là hoành độ các giao điểm của đồ thị hai hàm

số y = f(x) và y = g(x)

2 Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Cho hai phương trình f 1 (x) = g 1 (x) (1) có tập nghiệm S1

và f 2 (x) = g 2 (x) (2) có tập nghiệm S2

· (1) Û (2) khi và chỉ khi S1 = S2

· (1) Þ (2) khi và chỉ khi S1 Ì S2

3 Phép biến đổi tương đương

· Nếu một phép biến đổi phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của nó thì ta được một phương trình tương đương Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau: – Cộng hai vế của phương trình với cùng một biểu thức

– Nhân hai vế của phương trình với một biểu thức có giá trị khác 0

· Khi bình phương hai vế của một phương trình, nói chung ta được một phương trình hệ

quả Khi đó ta phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

Bài 1 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) x

c) x

-Bài 2 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) 1+ 1- =x x- 2 b) x+ =1 2- x

c) x+ = + 1 x 1 d) x- = - 1 1 x

e) x

3

Bài 3 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) x-3(x2-3x+2) 0= b) x+1(x2- - = x 2) 0

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 4 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

a) x- = + 2 x 1 b) x+ = - 1 x 2

c) 2 x- = + 1 x 2 d) x- =2 2x- 1

Bài 5 Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình và giải phương trình đó:

-Bài 6

a)

Chú ý: Khi a ¹ 0 thì (1) đgl phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m:

a) (m2+2)x-2m x= - 3 b) m x m( - )= + - x m 2

b) m x m( - + =3) m x( - + 2) 6 d) m x2( - + =1) m x m(3 - 2)

e) (m2-m x) =2x m+ 2- 1 f) (m+1)2x=(2m+5)x+ + 2 m

Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau theo các tham số a, b, c:

a) x a b x b a a b

b) (ab+2)x a+ =2b b+ +( 2a)x

c) x ab x bc x b b a b c

2

d) x b c x c a x a b a b c

Bài 3 Trong các phương trình sau, tìm giá trị của tham số để phương trình:

i) Có nghiệm duy nhất ii) Vô nghiệm iii) Nghiệm đúng với mọi x Î R

a) (m-2)x n= - 1 b) (m2+2m-3)x m= - 1

c) (mx+2)(x+ =1) (mx m x+ 2) d) (m2-m x) =2x m+ 2- 1

Bài 4

a)

II PHƯƠNG TRÌNH ax + b = 0

ax + b = 0 (1)

a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất x b

a

= -

b ¹ 0 (1) vô nghiệm

a = 0

b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x

1 Cách giải

Chú ý: – Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = 1 và x = c

a – Nếu a – b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm là x = –1 và x = c

a

-

– Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với b b

2

¢ =

2 Định lí Vi–et

Hai số x x1 2, là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2+bx c+ = khi và chỉ khi 0 chúng thoả mãn các hệ thức S x x b

a

= + = - và P x x c

a

1 2

VẤN ĐỀ 1: Giải và biện luận phương trình ax2+bx c+ = 0

Để giải và biện luận phương trình ax2+bx c + = ta cần xét các trường hợp có thể xảy 0

ra của hệ số a:

– Nếu a = 0 thì trở về giải và biện luận phương trình bx c 0 + =

– Nếu a ¹ 0 thì mới xét các trường hợp của D như trên

Bài 1 Giải và biện luận các phương trình sau:

a) x2+5x+3m- = 1 0 b) 2x2+12x-15m= 0

c) x2-2(m-1)x m+ 2 = 0 d) (m+1)x2-2(m-1)x m+ - = 2 0

e) (m-1)x2+ -(2 m x) - = 1 0 f) mx2-2(m+3)x m+ + = 1 0

Bài 2 Cho biết một nghiệm của phương trình Tìm nghiệm còn lại:

a) x2 mx m 1 0; x 3

2

- + + = = - b) 2x2-3m x m2 + =0; x= 1

c) (m+1)x2-2(m-1)x m+ - =2 0; x= 2 d) x2-2(m-1)x m+ 2-3m=0; x= 0

Bài 3

a)

ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (1)

b2 4ac

D > 0 (1) có 2 nghiệm phân biệt x b

a

D

- ±

=

D = 0 (1) có nghiệm kép x b

a

= -

D < 0 (1) vô nghiệm

VẤN ĐỀ 2: Dấu của nghiệm số của phương trình ax2+bx c+ =0 (a¹0) (1)

· (1) có hai nghiệm trái dấu Û P < 0 · (1) có hai nghiệm cùng dấu Û

P 00

D

ì ³

í > î

· (1) có hai nghiệm dương Û P

S

0 0 0

D

ì ³ ï

>

í

ï >

î

· (1) có hai nghiệm âm Û P

S

0 0 0

D

ì ³ ï

>

í

ï <

î

Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì D > 0

Bài 1 Xác định m để phương trình:

i) có hai nghiệm trái dấu ii) có hai nghiệm âm phân biệt

iii) có hai nghiệm dương phân biệt

a) x2+5x+3m- = 1 0 b) 2x2+12x-15m= 0

c) x2-2(m-1)x m+ 2= 0 d) (m+1)x2-2(m-1)x m+ - = 2 0

e) (m-1)x2+ -(2 m x) - = 1 0 f) mx2-2(m+3)x m+ + = 1 0

g) x2-4x m+ + = 1 0 h) (m+1)x2+2(m+4)x m+ + = 1 0

Bài 2

a)

VẤN ĐỀ 3: Một số bài tập áp dụng định lí Vi–et

1 Biểu thức đối xứng của các nghiệm số

Ta sử dụng công thức S x x b P x x c

= + = - = = để biểu diễn các biểu thức đối

xứng của các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P

Ví dụ: x12+x22 =(x1+x2)2-2x x1 2 =S2-2P

x13+x32=(x1+x2) (éë x1+x2)2-3x x1 2ùû=S S( 2-3 )P

2 Hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số

Để tìm hệ thức của các nghiệm độc lập đối với tham số ta tìm:

Khử tham số m giữa S và P ta tìm được hệ thức giữa x 1 và x 2

3 Lập phương trình bậc hai

Nếu phương trình bậc hai có các nghiệm u và v thì phương trình bậc hai có dạng:

x2-Sx P + = , 0 trong đó S = u + v, P = uv

Bài 1 Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình Không giải phương trình, hãy tính:

A = x12+x22; B = x13+x23; C = x14+x24; D = x1-x2 ; E = (2x1+x2)(2x2+x1) a) x2- - = x 5 0 b) 2x2-3x- = 7 0 c) 3x2+10x+ = 3 0

d) x2-2x-15 0= e) 2x2-5x+ = 2 0 f) 3x2+5x- 2 0=

Bài 2 Cho phương trình: (m+1)x2-2(m-1)x m + - = (*) Xác định m để: 2 0

a) (*) có hai nghiệm phân biệt

b) (*) có một nghiệm bằng 2 Tính nghiệm kia

c) Tổng bình phương các nghiệm bằng 2

Bài 3 Cho phương trình: x2-2(2m+1)x+ +3 4m= (*) 0

a) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x 2

b) Tìm hệ thức giữa x1, x 2 độc lập đối với m

c) Tính theo m, biểu thức A = x13+x23

d) Tìm m để (*) có một nghiệm gấp 3 lần nghiệm kia

e) Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là x x12, 22

HD: a) m 2

2

³ b) x1+x2-x x1 2= - 1 c) A = (2 4 )(16+ m m2+4m - 5)

d) m 1 2 7

6

±

= e) x2-2(8m2+8m-1)x+ +(3 4 )m 2 = 0

Bài 4 Cho phương trình: x2-2(m-1)x m+ 2-3m= (*) 0

a) Tìm m để (*) có nghiệm x = 0 Tính nghiệm còn lại

b) Khi (*) có hai nghiệm x1, x 2 Tìm hệ thức giữa x1, x 2 độc lập đối với m

c) Tìm m để (*) có hai nghiệm x1, x 2 thoả: x12+x22 = 8

HD: a) m = 3; m = 4 b) (x1+x2)2-2(x1+x2) 4- x x1 2- = 8 0 c) m = –1; m = 2

Bài 5 Cho phương trình: x2-(m2-3 )m x m+ 3= 0

a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng bình phương nghiệm kia

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 1 Tính nghiệm còn lại

HD: a) m = 0; m = 1 b) x2 =1; x2 =5 2 7;- x2 = -5 2 7-

Bài 6 (nâng cao) Cho phương trình: 2x2+2 sinx a =2x+cos2a (a là tham số)

a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi a

b) Tìm a để tổng bình phương các nghiệm của phương trình đạt GTLN, GTNN

Bài 7 Cho phương trình:

a)

1 Định nghĩa và tính chất

· A A khi A

A khi A 00

· A B+ = A B+ Û A B ³ 0 · A B- = A B+ Û A B £ 0

· A B+ = A B- ÛA B £ 0 · A B- = A B- Û A B ³ 0

2 Cách giải

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ ta tìm cách để khử dấu GTTĐ, bằng cách: – Dùng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ

– Bình phương hai vế

– Đặt ẩn phụ

· Dạng 1: f x( ) =g x( ) C

f x

f x g x

f x

f x g x

1

( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( )

í

Û ê

ì <

êí

ê -î = ë

f x g x

f x g x

( ) ( )

ï

ê

-î

· Dạng 2: f x( ) = g x( ) ÛC1[f x( )] [2 = g x( )]2

C

f x g x

f x g x

Û êë =

-· Dạng 3: a f x( ) +b g x( ) =h x( )

Đối với phương trình có dạng này ta thường dùng phương pháp khoảng để giải

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 2x- = + 1 x 3 b) 4x+ =7 2x+ 5 c) x2-3x + = 2 0

d) x2+6x+ =9 2x- 1 e) x2-4x- =5 4x-17 f) 4x-17 =x2-4x- 5 g) x- - +1 x 2x+ =3 2x + h) x4 - + + + - =1 x 2 x 3 14 i) x- + - =1 2 x 2x

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) 4x+ =7 4x+ 7 b) 2x- = -3 3 2x c) x- +1 2x+ =1 3x

d) x2-2x- =3 x2+ 2x+ 3 e) 2x- +5 2x2-7x + = f) x5 0 + + - =3 7 x 10

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) x2-2x x+ - - = 1 1 0 b) x2-2x-5 x - + = c) x1 7 0 2-2x-5 x- - = 1 5 0 d) x2+4x+3 x+ = 2 0 e) 4x2-4x-2x - - = f) x1 1 0 2+6x x+ + +3 10 0=

Bài 4 Giải và biện luận các phương trình sau:

a) mx 1 5- = b) mx x- + = + 1 x 2 c) mx+2x- =1 x

d) 3x m+ = 2x-2m e) x m+ = - + x m 2 f) x m- = + x 1

Bài 5 Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) mx- = + 2 x 4 b)

Bài 6

a)

IV PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU

GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Cách giải: Để giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn ta tìm cách để khử dấu căn, bằng cách:

– Nâng luỹ thừa hai vế

– Đặt ẩn phụ

Chú ý: Khi thực hiện các phép biến đổi cần chú ý điều kiện để các căn được xác định

Dạng 1: f x( ) =g x( ) Û f x [g x ]

g x

2 ( ) ( ) ( ) 0

í

³ ïî

f x( ) ( )hay g x

( ) = ( ) Û íì ( ) 0 (=³ ( ) 0)³

î

Dạng 3: af x( )+b f x( )+ = Û t c 0 f x t

at2 bt c

( ), 0 0

í + + = ïî

Dạng 4: f x( )+ g x( )=h x( )

· Đặt u= f x v g x( ), = ( ) với u, v ³ 0

· Đưa phương trình trên về hệ phương trình với hai ẩn là u và v

Dạng 5: f x( )+ g x( )+ f x g x( ) ( )=h x( )

Đặt t= f x( )+ g x t( ), ³ 0

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 2x- = - 3 x 3 b) 5x+10 8= - x c) x- 2x- = 5 4

d) x2+ -x 12 8= - x e) x2+2x+ =4 2- x f) 3x2-9x+ = - 1 x 2 g) 3x2-9x+ = - 1 x 2 h) x2-3x-10 = - x 2 i) (x-3) x2+ =4 x2- 9

Bài 2 Giải các phương trình sau:

a) x2-6x+ =9 4 x2-6x+ 6 b) (x-3)(8-x) 26+ = -x2+11x

c) (x+4)(x+ -1) 3 x2+5x+ = 2 6 d) (x+5)(2-x) 3= x2+3x

e) x2+ x2+11 31= f) x2-2x+ -8 4 (4-x x)( +2) 0=

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) x+ -1 x- = 1 1 b) 3x+ -7 x+ = 1 2

c) x2+ -9 x2- = 7 2 d) 3x2+5x+ -8 3x2+5x+ = 1 1

e) 31+ x +31- x = 2 f) x2+ - +x 5 x2+8x- = 4 5

g) 35x+ -7 35x-13 1= h) 39- x+ +1 37+ x+ = 1 4

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a) x+ +3 6- = +x 3 (x+3)(6-x) b) 2x+ +3 x+ =1 3x+2 (2x+3)(x+ -1) 16 c) x- +1 3- -x (x-1)(3-x) 1= d) 7- +x 2+ -x (7-x)(2+x) 3=

e) x+ +1 4- +x (x+1)(4-x) 5= f) 3x- +2 x- =1 4x- +9 2 3x2-5x+ 2

3

+ - = + - h) x + 9- = -x x2+9x+ 9

V PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 2x- +4 2 2x- +5 2x+ +4 6 2x- =5 14

b) x+ -5 4 x+ +1 x+ -2 2 x+ = 1 1

c) 2x-2 2x- -1 2 2x+ -3 4 2x- +1 3 2x+ -8 6 2x- = 1 4

Bài 6 Giải các phương trình sau:

a)

Cách giải: Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta phải chú ý đến điều kiện xác định

của phương trình (mẫu thức khác 0)

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a)

1

=

x

2 2

4

=

=

-Bài 2 Giải và biện luận các phương trình sau:

a) mx m

x

1 3 2

mx m

x m

x m x

1

-d) x m x

3

=

x

3

-=

x m+ = x 1+

Bài 3 Giải và biện luận các phương trình sau:

a)

VI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

1 Cách giải: ax bx c t x t

at bt c

2

0 (1)

0 (2)

+ + = ïỵ

2 Số nghiệm của phương trình trùng phương

Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng

· (1) vơ nghiệm Û vô nghiệm

có nghiệm kép âm có nghiệm âm

(2) (2)

é ê ê ë

· (1) cĩ 1 nghiệm Û có nghiệm kép bằng

có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm

é êë

· (1) cĩ 2 nghiệm Û có nghiệm kép dương

có nghiệm dương và nghiệm âm

(2)

é êë

· (1) cĩ 3 nghiệm Û (2) có nghiệm bằng1 0,nghiệm còn lại dương

· (1) cĩ 4 nghiệm Û (2) có nghiệm dương phân biệt2

3 Một số dạng khác về phương trình bậc bốn

· Dạng 1: (x a x b x c x d+ )( + )( + )( + )=K với a b c d, + = +

– Đặt t=(x a x b+ )( + )Þ(x c x d+ )( + )= -t ab cd+

– PT trở thành: t2+(cd ab t K- ) - = 0

· Dạng 2: (x a+ )4+ +(x b)4 = K

– Đặt t x a b

2

+

= + Þ x a t a b, x b t b a

– PT trở thành: 2t4 12 2 2t 2 4 K 0 với a b

2

· Dạng 3: ax4+bx3+cx2±bx a+ =0 (a¹0) (phương trình đối xứng)

– Vì x = 0 khơng là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho x2, ta được:

x x

2 2

– Đặt t x hoặc t x

– PT (2) trở thành: at2+ + -bt c 2a=0 (t ³ 2)

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) x4-3x2- = 4 0 b) x4-5x2+ = 4 0 c) x4+5x2+ = 6 0

d) 3x4+5x2- = 2 0 e) x4+x2-30 0= f) x4+7x2- = 8 0

Bài 2 Tìm m để phương trình:

iv) Cĩ 3 nghiệm v) Cĩ 4 nghiệm

a) x4+ -(1 2 )m x2+m2- = 1 0 b) x4-(3m+4)x2+m2 = 0

c) x4+8mx2-16m= 0

VII PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG

ax4 + bx2 + c = 0 (a ¹ 0)

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) (x-1)(x-3)(x+5)(x+ =7) 297 b) (x+2)(x-3)(x+1)(x+6)= - 36 c) x4+(x-1)4 =97 d) (x+4)4+ +(x 6)4 = 2

e) (x+3)4+ +(x 5)4=16 f) 6x4-35x3+62x2-35x+ = 6 0 g) x4+x3-4x2+ + = x 1 0

Bài 4 Giải các phương trình sau:

a)

1 Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

a x b y c1 1 1 12 12 22 22

î

Giải và biện luận:

– Tính các định thức: a b

D

a b

D

c b

D

a c

Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như:

phương pháp thế, phương pháp cộng đại số

2 Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các

phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1 Giải các hệ phương trình sau:

x y

x y

x y

í - =

x y

x y

ì - =

î

( x y)

-í

ì

ï í

î

y

í

ïî

Bài 2 Giải các hệ phương trình sau:

a) x y

x y

5 4 51

ì

- =

ïï

í

ï + =

ïî

ì

í

î

c) x y x y

ì

í

î

x y x y

î

Bài 3 Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

x my

m x (m 2)y 5

-î

m x y m2 2 m

2

-í

y m

x my2 m1

î

Bài 4 Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận ii) Tìm m Î Z để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

m x y m2 2 m

2

mx y

x 4(m 1)y 14m

î c) mx yìí + - + =îx my+ - =3 32m 1 0

VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

D ¹ 0 Hệ có nghiệm duy nhất D x D y

D x ¹ 0 hoặc D y ¹ 0 Hệ vô nghiệm

D = 0

D x = D y = 0 Hệ có vô số nghiệm

Bài 5 Trong các hệ phương trình sau hãy:

i) Giải và biện luận

ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức giữa x, y độc lập đối với m

x my2 m 1

x my

î

Bài 6 Giải và biện luận các hệ phương trình sau:

a) ax y bì + =í + = -î3x 2y 5 b) y ax bì -íî2x-3y==4 c) ax y a bì + = +í + =îx 2y a

d) a b x a b y a

a b x a b y b

b

bx ay ab

2

ì + = + í

b

bx b y b

2

ìï = -í

ïî

Bài 7 Giải các hệ phương trình sau:

a)

x y z

x y z

ì + - =

ï

í

ï - - =

î

b)

x y z

x y z

ï + + = í

ï + + = î

c)

x y z

-ï

í

ï + - = î

Bài 8

a)

1 Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và 1 phương trình bậc hai

· Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia

· Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn

· Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này

2 Hệ đối xứng loại 1

Hệ có dạng: (I) f x yìíîg x y( , ) 0( , ) 0== (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x))

(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi)

· Đặt S = x + y, P = xy

· Đưa hệ phương trình (I) về hệ (II) với các ẩn là S và P

· Giải hệ (II) ta tìm được S và P

· Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình: X2-SX P+ = 0

3 Hệ đối xứng loại 2

Hệ có dạng: (I) f x yìíîf y x( , ) 0( , ) 0== (1)(2)

(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại)

· Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:

f x y( , )( , ) 0( , ) 0 (3)(1)

î

· Biến đổi (3) về phương trình tích:

(3) Û x y g x y( - ) ( , ) 0= Û x yé =êëg x y( , ) 0=

· Như vậy, (I) Û

f x y

x y

f x y

g x y

( , ) 0

( , ) 0 ( , ) 0

í

êî = ê

êí

ë

· Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I)

4 Hệ đẳng cấp bậc hai

Hệ có dạng: (I) a x b xy c y d

a x b xy c y d

ï í

· Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0)

· Khi x ¹ 0, đặt y kx= Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y)

Chú ý: – Ngoài các cách giải thông thường ta còn sử dụng phương pháp hàm số để

giải (sẽ học ở lớp 12)

– Với các hệ phương trình đối xứng, nếu hệ có nghiệm ( ; ) thì y x x y0 0 ( ; ) 0 0

cũng là nghiệm của hệ Do đó nếu hệ có nghiệm duy nhất thì x0 =y0

IX HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN