Tài liệu Tuyển tập đại số tổ hợp - Trần Sĩ Tùng pdf

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có thể lập số gồm chữ số từ chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Có số khác gồm chữ số cho tổng chữ số số số chẵn 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho số chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Một đồn cảnh sát khu vực có người Trong ngày, cần cử người làm nhiệm vụ địa điểm A, người địa điểm B, người thường trực đồn Hỏi có cách phân công? 26 (ĐH GTVT 2000) Một lớp học có 20 học sinh, có cán lớp Hỏi có cách cử người dự hội nghị Hội sinh viên trường cho người có cán lớp 27 (HV Quân y 2000) Xếp viên bi đỏ có bán kính khác viên bi xanh giống vào dãy ô trống Hỏi: Có cách xếp khác nhau? Có cách xếp khác cho viên bi đỏ xếp cạnh viên bi xanh xếp cạnh nhau? 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Có số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 9? 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Có số lẻ gồm chữ số khác lớn 500000? 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Với số: 0, 1, 2, 3, 4, thành lập số tự nhiên gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, có em nam, em nữ Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn nhóm em để tham dự trò chơi gồm em nam em nữ Hỏi có cách chọn? 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, Hỏi thành lập số có bảy chữ số từ chữ số trên, chữ số có mặt Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Phần BÀI TOÁN ĐẾM (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Có tập X tập A thoả điều kiện X chứa không chứa 2 Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ tập A không bắt đầu 123 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Một học sinh có 12 sách đôi khác nhau, có sách Toán, sách Văn sách Anh Hỏi có cách xếp tất sách lên kệ sách dài, sách môn xếp kề nhau? (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp trường hợp sau: Bất học sinh ngồi cạnh đối diện khác trường với Bất học sinh ngồi đối diện khác trường với (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X (chữ số phải khác 0) trường hợp sau: n số chẵn Một ba chữ số phải (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Một hộp đựng viên bi đỏ, viên bi trắng viên bi vàng Người ta chọn viên bi từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy đủ màu? (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) Người ta xếp ngẫu nhiên phiếu có ghi số thứ tự từ đến cạnh Có cách xếp để phiếu số chẵn cạnh nhau? Có cách xếp để phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)? (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 11 12 13 14 Trần Só Tùng Người ta viết chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp thứ tự ngẫu nhiên thành hàng Có số lẻ gồm chữ số thành? Có số chẵn gồm chữ số thành? (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Xét số gồm chữ số, có năm chữ số bốn chữ số 2, 3, 4, Hỏi có số thế, nếu: Năm chữ số xếp kề Các chữ số xếp tuỳ ý (ĐH Hàng hải 1999) Có cách xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế (HV BCVT 1999) Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số gồm chữ số khác nhau, cho chữ số có mặt số (ĐHQG HN khối B 2000) Từ chữ số 0, 1, 3, 5, lập số gồm chữ số khác không chia hết cho (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Một thầy giáo có 12 sách đôi khác có sách Văn, sách Nhạc sách Hoạ Ông muốn lấy tặng cho học sinh A, B, C, D, E, F em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho học sinh sách thuộc thể loại Văn Nhạc Hỏi có cách tặng? Giả sử thầy giáo muốn sau tặng sách xong, ba loại sách lại Hỏi có cách chọn? (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có cách chọn khác nếu: 1) phải có nữ 2) chọn tuỳ ý (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Từ chữ số cho ta lập Trần Só Tùng 15 16 17 18 19 20 21 Tuyển tập Đại số tổ hợp được: Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số bốn chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số ba chữ số khác đôi Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số ba chữ số khác đôi (ĐH Y HN 2000) Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách? (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ta lập số mà số có năm chữ số chữ số khác đôi Hỏi Có số phải có mặt chữ số 2 Có số phải có mặt hai chữ số (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Một đội văn nghệ có 20 người, có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: Có nam người Có nam nữ người (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Từ chữ số 2, 3, tạo số tự nhiên gồm chữ số, có mặt đủ chữ số (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng có kích thước đôi khác Có cách chọn viên bi, có viên bi đỏ Có cách chọn viên bi, số bi xanh số bi đỏ (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có thẻ trắng thẻ đen, đánh dấu loại theo số 1, 2, 3, 4, Có cách xếp tất thẻ thành hàng cho hai thẻ màu không nằm liền Tuyển tập Đại số tổ hợp 61 62 63 64 65 66 67 68 Trần Só Tùng Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân công đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ (ĐH khối B 2005 dự bị 2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên, số gồm chữ số khác thiết phải có chữ số 1, (ĐH khối D 2006) Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? (CĐ GTVT III khối A 2006) Từ nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, học sinh khối C, chọn 15 học sinh cho có học sinh khối A học sinh khối C Tính số cách chọn (CĐ Tài – Hải quan khối A 2006) Có số tự nhiên gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần hai chữ số lại phân biệt? (CĐ Xây dựng số khối A 2006) Có số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng tất số (CĐBC Hoa Sen khối D 2006) Cho đường thẳng d1, d2 song song với Trên đường thẳng d1 cho 10 điểm phân biệt, đường thẳng d2 cho điểm phân biệt Hỏi lập tam giác mà đỉnh tam giác lấy từ 18 điểm cho Trần Só Tuøng 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 Tuyển tập Đại số tổ hợp lần, chữ số khác có mạt lần (ĐH Cần Thơ 2001) Một nhóm gồm 10 học sinh, có nam nữ Hỏi có cách xếp 10 học sinh thành hàng dài cho học sinh nam phải đứng liền (HV Chính trị quốc gia 2001) Một đội văn nghệ có 10 người, có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ Có cách chọn người mà nam (ĐH Giao thông vận tải 2001) Cho chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Hỏi lập số gồm chữ số khác nhau, thiết phải có mặt chữ số (ĐH Huế khối ABV 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số cho chữ số lặp lại lần? (ĐH Huế khối DHT 2001) Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mittinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn? (HV Kỹ thuật quân 2001) Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người cho tổ có học sinh giỏi tổ có học sinh (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác phải có chữ số (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có thể tìm số gồm chữ số khác đôi một? Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số chẵn có chữ số đôi khác nhau? (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập số có chữ số khác mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Có học sinh nam học sinh nữ xếp thành hàng dọc Hỏi có Tuyển tập Đại số tổ hợp 43 44 45 46 47 48 49 50 Trần Só Tùng cách xếp để có học sinh nam đứng xen kẽ học sinh nữ (Khi đổi chỗ học sinh cho ta cách xếp mới) (HV Quan hệ quốc tế 2001) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, coù thể lập số có chữ số mà chữ số đứng vị trí giữa? (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác nhau, có mặt chữ số mặt chữ số Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần (ĐHSP HN II 2001) Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi lập từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7, (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001) Cho A hợp có 20 phần tử Có tập hợp A? Có tập hợp khác rỗng A mà có số phần tử số chẵn? (ĐH Thái Nguyên khối D 2001) Có số chẵn có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, Có số có ba chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, mà số nhỏ số 345 (ĐH Văn Lang 2001) Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác “Mùa hè xanh” Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: Hai học sinh nữ hai học sinh nam Một học sinh nữ học sinh nam (ĐH Y HN 2001) Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số chẵn có ba chữ số khác không lớn 789? (ĐH khối D dự bị 2002) Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, có học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có Trần Só Tùng 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Tuyển tập Đại số tổ hợp em chọn (ĐH khối A 2003 dự bị 2) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên mà số có chữ số khác chữ số đứng cạnh chữ số (ĐH khối B 2003 dự bị 1) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 lập số tự nhiên mà số có chữ số thoả mãn điều kiện: sáu chữ số số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị (ĐH khối B 2003 dự bị 2) Từ tổ gồm học sinh nữ học sinh nam cần chọn em số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có cách chọn vậy? (ĐH khối D 2003 dự bị 1) Từ chữ soá 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lập số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác nhau? (CĐ Sư phạm khối A 2002) Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu 1) suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bị) Cho đa giác lồi n cạnh Xác định n để đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh (CĐ Xây dựng số – 2002) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số khác nhỏ 245 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Từ chữ số 0, 1, 2, 5, lập số lẻ, số gồm chữ số khác (ĐH khối B 2004) Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không (ĐH khối B 2005) Tuyển tập Đại số tổ hợp 12 Trần Só Tùng Lập số có chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất việc xếp số 2, 3, 4, vào vị trí tuỳ ý vị trí (5 vị trí lại đương nhiên dành cho chữ số lặp lần) 9! = 6.7.8.9 = 3024 số Vậy: có tất A94 = 5! (ĐH Hàng hải 1999) Xếp C ngồi giữa: có cách Xếp A, B, D, E vào chỗ lại: có 4! = 24 cách Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu Xếp A E ngồi hai đầu ghế: có 2! = cách Xếp B, C, D vào chỗ lại: có 3! = cách Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu 10 (HV BCVT 1999) * Số số có chữ số khác là: Trần Só Tùng A69 = 9.8.7.6.5.4 = 60480 a2, a3, a4, a5 Ỵ A, có nghóa là: Lấy a1 từ {2, 4, 6, 8} ® có cách * Số số có chữ số khác khác là: A69 - A59 = 8.8.7.6.5.4 = 53760 Lấy a2, a3, a4, a5 từ số lại A ® có A74 = 7.6.5.4 = 840 cách Vậy số số có chữ số khác có mặt là: 136080 – 60480 – 53760 = 21840 số 11 (ĐHQG HN khối B 2000) * Trước hết ta tìm số số gồm chữ số khác nhau: Có khả chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0) Do đó: m = 4.840 = 3360 · Tính n: Lập số chẵn 123a2a1 bắt đầu 123; a1,a2Ỵ A; a1 ≠ a2 Có A34 khả chọn chữ số cuối * Tìm số số gồm chữ số khác chia hết cho 5: Nếu chữ số tận 0: có A34 = 24 số Nếu chữ số tận 5: có khả chọn chữ số hàng nghìn, có A32 = khả chọn chữ số cuối Vậy có 3.6 = 18 số Vậy số cách tặng A69 = 60480 (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1999) ìX Ì A ìï X = {1} È Y ï í1Ỵ X Û í ï2 Ï X ỵï Y Ì {3,4,5,6,7,8} ỵ Do số tập X số tập Y tập hợp {3,4,5,6,7,8} Mà số tập Y {3,4,5,6,7,8} là: 26 = 64 Vậy có 64 tập X A chứa không chứa 2 Gọi * m số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A * n số số tự nhiên chẵn gồm chữ số đôi khác lấy từ A bắt đầu 123 * p số số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề Ta cần tính p Hiển nhiên p = m – n · Tính m: Lập số chẵn a5a4a3a2a1 gồm chữ số khác a1, * Số số có chữ số khác khác là: Do có 24 + 18 = 42 số gồm chữ số khác chia hết cho Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm chữ số khác không chia hết cho 12 (ĐHQG TPHCM khối A 2000) Số cách tặng số cách chọn sách từ có kể thứ tự Tuyển tập Đại số tổ hợp BÀI GIẢI A10 = 9.9.8.7.6.5 = 136080 - A10 Þ Có A34 = 4.4! = 96 số Lấy a1 từ {4,6,8} ® có cách Lấy a2 từ A \ {1,2,3,a1} ® có cách Do đó: n = 3.4 = 12 Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348 (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Bước 1: Đặt nhóm sách lên kệ dài: 3! cách Bước 2: Trong nhóm ta thay đổi cách xếp đặt sách: Nhóm sách Toán: 2! cách Nhóm sách Văn: 4! cách Nhóm sách Anh: 6! cách Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 1999) Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có cách xếp: A B A B A B B A B A B A B A B A B A A B A B A B Tuyển tập Đại số tổ hợp 10 Trần Só Tùng Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh trường A, có 6! cách xếp em vào chỗ Tượng tự, có 6! cách xếp học sinh trường B vào chỗ Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách Học sinh thứ trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để ngồi Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ trường A: có cách chọn học sinh trường B Học sinh thứ hai trường A 10 chỗ để chọn, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có cách chọn, v.v… Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 26.6!.6! = 33177600 cách (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1999) Xem số chắn hình thức abcde (kể a = 0), có cách chọn e Ỵ {0,2,4,6}, số chẵn Sau chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là: A74 = 840 Trần Só Tùng * đỏ + trắng + vàng: có Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức Ta loại số có dạng 0bcde Có cách chọn e, A36 cách chọn b, c, d từ X \ {0,e} Vậy có A36 = 360 số chẵn có dạng 0bcde Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề n = abcde * Xem số hình thức abcde (kể a = 0) Có cách chọn vị trí cho Sau chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {1}: có A74 cách Như thế: có A74 = 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề * Xem số hình thức 0bcde Có cách chọn vị trí cho Chọn chữ số khác cho vị trí lại từ X \ {0,1}, số cách chọn A36 Như thế: có A36 = 240 số hình thức dạng 0bcde Kết luận: số số n thoả yêu cầu đề là: 2520 – 240 = 2280 số (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999) Số cách chọn bi số 15 bi là: C15 = 1365 Các trường hợp chọn bi đủ màu là: * đỏ + trắng + vàng: có C24C15C16 = 180 * đỏ + trắng + vàng: có C14C52C16 = 240 11 Tuyển tập Đại số tổ hợp C14C15C62 = 300 Do số cách chọn bi đủ màu là: 180 + 240 + 300 = 720 Vậy số cách chọn để bi lấy không đủ màu là: 1365 – 720 = 645 (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999) * Xếp phiếu số 1, 2, 3, có 4! = 24 cách * Sau xếp phiếu số vào cạnh phiếu số có cách Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề * Khi nhóm chẵn bên trái, nhóm lẻ bên phải Số cách xếp cho số chẵn 2! cách Số cách xếp cho số lẻ là: 3! cách Vậy có 2.6 = 12 cách * Tương tự có 12 cách xếp mà nhóm chẵn bên phải, nhóm lẻ bên trái Vậy: có 12 + 12 = 24 cách (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999) Số có chữ số khác có dạng: abcdef với a ≠ Vì số tạo thành số lẻ nên f Ỵ {1, 3, 5} Do đó: f có cách chọn a có cách chọn (trừ f) b có cách chọn (trừ a f) c có cách chọn (trừ a, b, f) d có cách chọn (trừ a, b, c, f) e có cách chọn (trừ a, b, c, d, f) Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số Vì số tạo thành số chẵn nên f Ỵ {0, 2, 4} * Khi f = (a,b,c,d,e) hoán vị (1,2,3,4,5) Do có 5! số * Khi f Ỵ {2, 4} thì: f có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Do có 2.4.4.3.2.1 = 192 số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Gọi 11111 số a Vậy ta cần số a, 2, 3, 4, Do số có chữ số có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số 16 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng a1a2a3a4a5a6a7 mà tổng chữ số số chẵn 5 Vậy có tất cả: 9.10 = 45.10 số 24 (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000) Theo yêu cầu toán số không đứng trước số nên số có chữ số tạo thành từ số {1, 2, 3, 4, …, 8, 9} = T Ứng với chữ số phân biệt T có cách xếp thoả mãn đứng sau lớn chữ số liền trước 9! C59 = = 126 Vậy số số cần tìm là: 5!4! 25 (HV Kỹ thuật quân 2000) Có tất cả: C39 C62 = C94 C52 = C92 C74 = 1260 cách 26 (ĐH GTVT 2000) Có khả năng: * cán lớp học sinh thường: có C12 C18 * cán lớp học sinh thường: có C22 C118 Vậy số chọn là: C12 C18 + C22 C118 = 324 cách 27 (HV Quân y 2000) Trước hết xếp viên bi đỏ vào ô trống Do viên bi đỏ khác nên số cách xếp A37 Sau xếp viên bi xanh vào ô lại Do viên bi xanh giống nên số cách xếp C34 Vậy số cách xếp khác là: A37 C34 = 840 cách Trước hết ta cần ý màu, để đỏ đứng cạnh xanh đứng cạnh có cách xếp Sau đó, viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vị viên bi đỏ với Số hoán vị 3! Vậy số cách xếp khác để viên bi đỏ đứng cạnh viên bi xanh đứng cạnh là: 6.3! = 36 cách 28 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000) Các số có chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là: 100008, 100017, 100035, …, 999999 Các số lẻ có chữ số, chia hết cho 9, lập thành cấp số cộng: u1 = 100017, 100035, …, un = 999999 với công sai d = 18 Do đó: un = u1 + (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000 Vậy tất có 50000 số lẻ gồm chữ số, chia hết cho 13 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Nhận xét: chọn cho hết loại sách Số cách chọn sách từ 12 sách là: A12 = 665280 Số cách chọn cho không sách Văn là: A56 = 5040 Số cách chọn cho không sách Nhạc là: A64 A82 = 20160 Số cách chọn cho không sách Hoạ là: A36 A39 = 60480 Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600 13 (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000) Để có nữ ta phải chọn: * nữ, nam ® có C15 C30 cách * nữ, nam ® có C15 C330 cách * nữ, nam ® có C15 C30 cách * nữ, nam ® có C15 C130 cách * nữ có C15 cách ® 4 Vậy: có C15 C30 + C15 C330 + C15 C30 + C15 C130 + C15 cách Nếu chọn tuỳ ý số cách chọn là: C645 14 (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000) Số chẵn gồm bốn chữ số khác có dạng: abc0 abc2 abc4 * Với số abc0 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Þ Có 5.4.3 = 60 số * Với số abc2 abc4 ta có: cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c Þ Có 4.4.3 = 48 số abc2 48 số abc4 Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn Số chia hết cho gồm ba chữ số có dạng ab0 ab5 * Với số ab0 ta có: cách chọn a, cách chọn b Þ Có 5.4 = 20 số * Với số ab5 ta có: cách chọn a, cách chọn b Þ Có 4.4 = 16 số Vậy có: 20 + 16 số cần tìm Gọi abc số chia hết cho gồm ba chữ số khác Khi {a,b,c} là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4} * Khi {a,b,c} = {0,4,5} số phải tìm là: 405, 450, 504, 540 ® có số 14 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng * Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} số phải tìm hoán vị phần tử ® có 3! = số Vậy có: + + = 16 số cần tìm 15 (ĐH Y HN 2000) Số cách chọn nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C15 C13 C14 = 5.3.4 = 60 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C13 C42 = 18 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lí nam là: C32 C14 = 12 Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn 16 (ĐH Cần Thơ khối D 2000) Xét số năm chữ số a1a2a3a4a5 Xếp chữ số vào năm vị trí: có cách xếp Sau xếp chữ số lại vào vị trí lại: có A54 = 120 cách Vậy có 5.120 = 600 số Xếp chữ số vào vị trí: có A52 cách Xếp chữ số lại vào vị trí lại: có A34 = 24 cách Vậy có A52 A34 = 480 số 17 (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000) Chọn nam nữ: có C10 C10 = 5400 cách Có nam nữ, có kiểu chọn sau: * nam nữ: có 5400 cách * nam nữ: có * nam nữ: có C10 C10 C10 C110 = 5400 cách = 2100 cách Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách 18 (ĐH Thái Nguyên khối D 2000) Tất có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có chữ số Trong số có chữ số này, xét số mặt chữ số 2, 3, Loại có: cách chọn chữ số hàng vạn cách chọn chữ số hàng nghìn cách chọn chữ số hàng trăm cách chọn chữ số hàng chục cách chọn chữ số hàng đơn vị Do có 6.7.7.7.7 = 14406 số Vậy tất có: 90000 – 14406 = 75594 số có chữ số, có mặt đủ chữ số 2, 3, 15 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 19 (ĐH Thái Nguyên khối G 2000) Xét số có chữ số tuỳ ý cho a1a2a3a4 Có hai khả năng: Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số chẵn lấy a5 Ỵ {1, 3, 5, 7, 9} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Nếu a1 + a2 + a3 + a4 số lẻ lấy a5 Ỵ {0, 2, 4, 6, 8} lập số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số lại sinh số có chữ số có tổng chữ số số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng chữ số số lẻ 20 (ĐH Cần Thơ khối AB 2000) Có: C52 cách chọn viện bi đỏ C13 cách chọn viên bi lại Vậy có: C52 C13 = 7150 cách chọn Có trường hợp xảy ra: * xanh, đỏ, vàng ® có C39 C35 cách * xanh, đỏ, vàng ® có C92 C52 C42 cách * xanh, đỏ, vàng ® có C19 C15 C44 cách Vậy có tất cả: C39 C35 + C92 C52 C24 + C19 C15 C44 = 3045 cách 21 (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000) Có khả năng: Các thẻ trắng vị trí lẻ, thẻ đen vị trí chẵn ® có 5!5! cách Các thẻ trắng vị trí chẵn, thẻ đen vị trí lẻ ® có 5!5! cách Vậy tất có: 5!5! + 5!5! cách 22 (ĐH Sư phạm HN khối A 2000) Có ô trống, cần chọn ô điền chữ số 2, ô điền chữ số 3, ô điền chữ số 4, ô điền chữ số Sau ô lại, cần chọn ô điền chữ số 1, cuối lại ô điền chữ số Vậy có tất có: 8.7.6.5 C24 = 10080 số thoả yêu cầu đề 23 (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000) Số số có chữ số a1a2a3a4a5a6 9.105 số Với số có chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập số có chữ số 20 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng · Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Số cách chọn chữ số lại là: A54 Þ Số số thu là: A54 = 600 số Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số 40 (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001) Có cách chọn chữ số hàng trăm, cách chọn chữ số hàng chục, cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có 9.9.8 = 648 số · Trường hợp 1: Chữ số tận Bốn chữ số đứng đầu chọn tuỳ ý chữ số lại nên số số tạo thành là: A74 = 840 · Trường hợp 2: Chữ số tận khác * Chữ số tận có cách chọn (từ 2, 4, 6) * Chữ số đứng đầu có cách chọn * chữ số lại chọn tuỳ ý chữ số lại Þ Số số tạo thành: 3.6 A36 = 2160 Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số 41 (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001) Số số gồm chữ số khác là: 6! = 720 Trong đó, số số có chứa 16 5! = 120 số số có chứa 61 5! = 120 Vậy số số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số 42 (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001) Đánh số vị trí đứng từ đến Để có học sinh nam đứng xen kẽ với học sinh nữ học sinh nữ đứng cách một, tức học sinh nữ đứng vị trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9) Có cặp vị trí học sinh nữ Cách xếp bạn nữ vào cặp vị trí 3! Cách xếp bạn nam vào vị trí lại 6! Vậy tất số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách 43 (HV Quan hệ quốc tế 2001) Ta có cách chọn vị trí cho chữ số Khi số cách xếp chữ số lại 8! Vậy tất có: 8! = 40320 số 44 (ĐH Quốc gia TPHCM 2001) Số xét có dạng: a1a2a3a4a5a6 Xếp chữ số vào vị trí từ 17 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp 29 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000) Xét số lẻ có chữ số khác nhau, lớn 500000: x = a1a2a3a4a5a6 Tửứ giaỷ thieỏt ị a1 ẻ {5,6,7,8,9}, a6 ẻ {1,3,5,7,9} Có khả năng: a1 lẻ: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn * sau chọn a1, a6, cần chọn a2a3a4a5 , cách chọn ứng với chỉnh hợp chập phần tử Vậy khả thứ có: 6.4 A84 = 40320 số a1 chẵn: * a1 có cách chọn * a6 có cách chọn * a2a3a4a5 có A84 cách chọn Vậy khả thứ hai có: 2.5 A84 = 16800 số Kết luận: Tất có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm 30 (CĐSP Nha Trang 2000) Số số tự nhiên gồm chữ số khác viết từ chữ số: 0, 1, 2, 3, 4, là: A35 = 300 Trong số nói trên, số số tự nhiên mặt chữ số là: A54 = 120 Vậy số số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số 31 (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000) Chọn em nam: có C39 cách Chọn em nữ: có C62 cách Vậy có: C39 C62 = 1260 cách 32 (ĐH An ninh khối D 2001) Giả sử số có chữ số lập viết ô hình sau: Thế thì: * Có cách chọn vị trí cho chữ số (trừ ô số 1) * Sau chọn vị trí cho số chữ ta C36 = 20 cách chọn vị trí cho chữ số * Sau chọn vị trí cho chữ số chữ số 4, ta 3! = cách Tuyển tập Đại số tổ hợp 18 Trần Só Tùng chọn cho chữ số lại Vậy số số lập là: 6.20.6 = 720 số 33 (ĐH Cần Thơ 2001) Coi học sinh nam đứng liền vị trí mà số cách để bố trí học sinh đứng liền xen kẽ với học sinh nữ 4! Nhưng để xếp học sinh nam đứng liền lại có 7! cách Vậy tất có: 4!7! = 120960 cách 34 (HV Chính trị quốc gia 2001) Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người nhóm có số nữ tức chia nhóm có người mà có nữ nam Þ số cách chia là: C36 C24 = 120 * Số cách chọn người mà nam là: C56 =6 * Số cách chọn người mà có nam (và nữ) là: C64 C14 = 60 Vậy số cách chọn người mà có không nam là: + 60 = 66 35 (ĐH Giao thông vận tải 2001) Giả sử số cần tìm có dạng: A = a1a2a3a4a5a6 + Nếu a1 = chữ số lại A chữ số 0, 1, 2, 3, 5, 6, Vậy có A57 = 2520 số + Nếu a1 ≠ a1 ≠ nên có cách chọn a1 Vì số phải có vị trí lại a2, a3, a4, a5, a6 Khi vị trí khác (không có chữ số 4) A64 số khác Vậy trường hợp có 6.5 A64 = 10800 số Vậy tất có: 2520 + 10800 = 13320 số 36 (ĐH Huế khối ABV 2001) · Số số tự nhiên có chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số · Ta tìm số số tự nhiên có chữ số lặp lại lần: + Số lặp lại lần ứng với số tự nhiên a000 vụựi a ẻ {1,2,3, ,9} ị coự soỏ + Số lặp lại lần ứng với caực soỏ: * a111 vụựi a ẻ {2,3,4, ,9} ị có số * 1b11 với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có số Trần Só Tùng 19 Tuyển tập Đại số tổ hợp Þ có + + + = 35 số + Tương tự với số từ đến ta tìm 35 số tự nhiên cho chữ số lặp lại lần Do số số tự nhiên có chữ số lặp lại lần là: + 9.35 = 324 số · Vậy số số tự nhiên gồm chữ số mà chữ số lặp lại lần là: 9000 – 324 = 8676 số 37 (ĐH Huế khối DHT 2001) = 1287 * Số cách chọn em từ 13 em là: C13 * Số cách chọn em toàn nam là: C57 = 21 * Số cách chọn em toàn nữ là: C56 = Vậy số cách chọn em có nam nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260 38 (HV Kỹ thuật quân 2001) Mỗi tổ có học sinh giỏi Vì không phân biệt thứ tự tổ nên số cách chia phải tìm số cách tạo thành tổ có học sinh phải có học sinh giỏi học sinh Các học sinh lại tạo thành tổ thứ hai · Trường hợp 1: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C52 = 10 cách chọn học sinh * Có C58 = 56 cách chọn học sinh trung bình Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách · Trường hợp 2: Có học sinh khá: * Có cách chọn học sinh giỏi * Có C35 = 10 cách chọn học sinh * Có C84 = 70 cách chọn học sinh trung bình Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách 39 (ĐH Kinh tế quốc dân 2001) Ta sử dụng ô sau để viết số có chữ số: · Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0: Có cách chọn vị trí cho chữ số Sau cách chọn vị trí cho * 11c1 với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có số chữ số Số cách chọn chữ số cọn lại là: A35 * 111d với d ẻ {0,2,3,, 9} ị coự soỏ ị Soỏ số thu là: 4.4 A35 = 960 số Tuyển tập Đại số tổ hợp 26 Trần Só Tùng 58 (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002) Số cần tìm có dạng: a1a2a3a4 Chọn a4 từ {1, 5, 9} Þ có cách chọn Chọn a1 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a4} Þ có cách chọn Chọn a2 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a4} Þ có cách chọn Chọn a3 từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a1, a2, a4} Þ có cách chọn Vậy tất có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề 59 (ĐH khối B 2004) Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ 3, nên có trường hợp sau: Trần Só Tùng 27 Tuyển tập Đại số tổ hợp Vậy tất có: 720 + 720 = 1440 số x 62 (ĐH khối B 2005 dự bị 1) Ta có trường hợp: · nữ nam: có C35C10 = 2520 cách · nữ nam: có C54C10 = 1050 cách · nữ nam: có C55C10 = 120 cách Vậy tất có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách 63 (ĐH khối B 2005 dự bị 2) · Cách 1: Gọi x = a1a2a3a4a5 số cần lập 2 C10 C15 đề * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó Þ có C15 Trước tiên ta xếp vào vị trí: có A52 = 20 cách * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó Þ có C15 C110 C52 đề Sau đó, ta có cách chọn chữ số cho vị trí lại cách chọn chữ số cho vị trí lại thứ hai cách chọn chữ số cho vị trí lại thứ ba Vậy tất có: 20.5.4.3 = 1200 số · Cách 2: * Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó Þ có C15 C110 C15 đề Vậy tất có: 2 C15 C10 C15 + C15 C110 C52 + C15 C10 C15 = 23625 + 10500 + 22750 60 (ĐH khối B 2005) Có C13C12 = 56875 đề cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ nhất, có C12C84 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ tỉnh thứ hai, có C11C44 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ ba Vậy tất có: C13C12 C12C84 C11C44 = 207900 cách phân công 61 (ĐH khối A 2005 dự bị 1) Gọi x = a1a2a3a4a5a6 số cần lập YCBT: a3 + a4 + a5 = Þ a3, a4, a5 Î {1, 2, 5} hoaëc a3, a4, a5 Î {1, 3, 4} a) Khi a3, a4, a5 Ỵ {1, 2, 5} · Có cách chọn a1 · Có cách chọn a2 · Có 3! cách chọn a3, a4, a5 · Có cách chọn a6 Þ Có: 6.5.6.4 = 720 số x b) Khi a3, a4, a5 Ỵ {1, 3, 4}, tương tự ta có 720 số x * Bước 1: Xếp 1, vào vị trí: có A52 = 20 cách * Bước 2: có A35 = 60 cách xếp số lại vào vị trí lại Vậy có 20.60 = 1200 số 64 (ĐH khối D 2006) Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho là: C12 = 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có em tính sau: · Lớp A có học sinh, lớp B, C lớp học sinh Þ Số cách chọn là: C52C14C13 = 120 · Lớp B có học sinh, lớp A, C lớp học sinh: Þ Số cách chọn là: C15C24C13 = 90 · Lớp C có học sinh, lớp A, B lớp học sinh: Þ Số cách chọn là: C15C14C32 = 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh là: 120 + 90 + 60 = 270 Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách 65 (CĐ GTVT III khối A 2006) · Số cách chọn học sinh khối C là: C52 = 10 32 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng k số tự nhiên lớn không vượt 30 (ĐH Vinh khối DTM 2001) Chứng minh rằng: n+1 2000 =2 2001 (2 £ - 1) ( ) Cn2n ( + ) -x n 23 + Cnn-1 (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) Tính tổng: C10 + C10 + C10 + C10 + C10 10 Ckn số tổ hợp chập k n phần tử x -1 n Cn 2 x -1 k k+2 k +1 C14 + C14 = 2C14 (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) Tìm số nguyên dương x thoả: C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 - 14x ( ) ( ) ( ) + + (2 )( ) ( ) = 32 (ĐH khối A 2002) Cho khai triển nhị thức: x -1 22 (CĐSP TPHCM 1999) Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức: 31 (ĐH Y Dược TPHCM 2001) Cho k n số nguyên thoả mãn: ≤ k ≤ n Chứng minh rằng: Cn2n+k Cn2n-k Tuyển tập Đại số tổ hợp Phần II BIỂU THỨC TỔ HP – NHỊ THỨC NEWTON C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + + 32000 C2000 2001 29 Trần Só Tùng x -1 n-1 - x + Cn 2 23 - x n-1 -x n n 23 + Cn (n số nguyên dương) Biết khai triển (ĐH Bách khoa HN 1999) Tính tổng: S = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + + (-1)n-1.nCnn Cn3 = 5C1n 1001 +1 Chứng minh rằng: Ck2001 + Ck2001 £ C1000 2001 + C2001 số hạng thứ tư 20 Tìm n x 33 (ĐH khối B 2002) Cho đa giác A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1, A2, …, A2n Tìm n? 34 (ĐH khối D 2002) Tìm số nguyên dương n cho: Cn0 + 2C1n + 4Cn2 + + 2n Cnn = 243 (trong k nguyên, ≤ k ≤ 2000û) (ĐHQG HN khối B 2000) Tìm số hạng không chứa x khai triển biểu thức sau: 17 ổ ỗ + x3 ữ ỗ3 ÷ è x ø 35 (ĐH dự bị 2002) ,x≠0 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) Giải bất phương trình: A2x - A2x £ C3x + 10 x (ĐHSP HN khối A 2000) n 28 ỉ Trong khai triển nhị thửực ỗ x x + x 15 ữ , haừy tỡm soỏ haùng khoõng phuù ỗ ữ ố ứ Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình: An3 + 2Cnn- ≤ 9n 36 (ĐH dự bị 2002) Giả sử n số nguyên dương và: (1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn a a a Biết tồn số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) cho k -1 = k = k +1 24 Hãy tính n 37 (ĐH dự bị 2002) Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau: (x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 n số tự nhiên lớn (ĐHQG HN khối A 2000) thuộc vào x, biết Cnn + Cnn-1 + Cnn- = 79 (ĐHSP HN khối BD 2000) Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức (x2 + 1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự nhiên) số hạng ax12 khai triển 10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) 1 n Tính tổng: S = Cn0 + C1n + Cn2 + + Cn n+1 30 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng 11 (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000) Chứng minh: 2n-1C1n + 2n-1Cn2 + 2n-3 Cn3 + 2n- Cn4 + + nCnn = n.3n-1 12 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 1ư ỉ Tìm hệ số x31 khai trieồn cuỷa f(x) = ỗ x + ÷ x ø è 40 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh với số nguyên n ≥ 2, ta có: 1 1 n-1 + + + + = n A2 A3 A4 An 14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14 Hãy tính hệ số a9 15 (ĐH Y Dược TPHCM 2000) Với n số nguyên dương, chứng minh hệ thức sau: Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnn = 2n -1 C12n + C32n + C52n + + C2n = C02n + C22n + C42n + + C2n 2n 2n 16 (ÑH An ninh nhân dân khối DG 2000) Tính tổng: S = C02000 + 2C12000 + 3C22000 + + 2001C2000 2000 17 (HV Kỹ thuật quân 2000) Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng: a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 Tìm max(a1, a2, …, a12) 18 (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tính tích phân: I= n ị x(1- x ) dx (n Ỵ N*) Từ chứng minh raèng: 1 1 (-1)n n Cn - Cn + Cn - Cn + + Cn = 2(n + 1) 2(n + 1) 19 (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000) Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức: (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7 20 (ĐH An Ninh khối A 2001) Tìm số âm dãy số x1, x2, …, xn, … với 31 Trần Só Tùng xn = An4+ Pn+ - Tuyển tập Đại số tổ hợp 143 (n = 1, 2, 3, …) 4Pn 21 (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001) Chứng minh với n số tự nhiên, n ≥ 2, ta có: 1 n-1 + + + = n A2 A3 An 22 (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001) ìï 2Ayx + 5Cyx = 90 Giải hệ phương trình: í y y ïỵ5Ax - 2Cx = 80 23 (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001) Tính tích phân: I = ị (x + 2) dx 25 24 23 22 C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 + C6 24 (ÑH Đà Lạt khối D 2001) n Chứng minh với số x ta có: xn = n å Ckn (2x - 1)k (n Ỵ N) (*) k =0 Tính tổng: S = 25 (ĐH Đà Nẵng khối A 2001) Với n số tự nhiên, tính tổng: 1 1 n n S = Cn0 + C1n + Cn2 22 + Cn3 23 + + Cn 2 n+1 26 (ĐH Hàng hải 2001) 2n = 22n-1(22n + 1) Chứng minh: C02n + C22n 32 + C42n 34 + + C2n 2n 27 (ĐH Luật TPHCM khối A 2001) Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, ta có: C1n 3n-1 + 2.Cn2 3n- + 3.Cn3 3n-3 + + n.Cnn = n.4n–1 28 (ĐHSP HN khối A 2001) 10 ỉ1 Trong khai trieồn cuỷa ỗ + x ữ thaứnh đa thức: è3 ø a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak Ỵ R) tìm hệ số ak lớn (0 ≤ k ≤ 10) 29 (ĐH Vinh khối AB 2001) Cho n số nguyên dương cố định Chứng minh Ckn lớn 36 Tuyển tập Đại số tổ hợp 20 Trần Só Tùng 10 1ư 1ư ỉ ỉ Cho A = ç x - ÷ + ç x3 - ÷ Sau khai triển rút gọn biểu x è ø x ø è thức A gồm số hạng? 69 (CĐ KT Y tế I 2006) Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau: 2k 2k - 2n- 2n 2n C02n + C22n 32 + + C2n + + C2n + C2n = 215 (216 + 1) 2n 70 (CĐ Xây dựng số 2006) Chứng minh: Cn0 3n - C1n 3n-1 + + (-1)n Cnn = Cn0 + C1n + + Cnn 71 (CĐ KT Y tế 2005) Giải bất phương trình: 2C2x+1 + 3A2x - 20 < 72 (CÑBC Hoa Sen khối D 2006) Tìm hệ số x29y8 khai triển (x3 – xy)15 73 (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta đa thức có dạng: a + a x + a x2 + … + a n xn Tìm hệ số x5, biết a0 + a1 + a2 = 71 33 Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp Hãy tính hệ số a5 38 (ĐH khối A 2003) Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton cuỷa n ổ 5ử n+1 n ỗ + x ÷ , biết rằng: Cn+ - Cn+ = 7(n + 3) (n nguyên dương, x > 0) èx ø 39 (ĐH khối B 2003) Cho n số nguyên dương Tính tổng: 22 - 1 23 - 2n+1 - n Cn + Cn + + Cn n+1 40 (ĐH khối D 2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n–3 hệ số x3n–3 khai triển thành đa thức (x2 + 1)n(x + 2)n Tìm n để a3n–3 = 26n 41 (ĐH khối D 2003 dự bị 2) Tìm số tự nhiên n thoả mãn: Cn0 + Cn2Cnn- + 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn-3 = 100 42 (CÑ Xây dựng số – 2002) Chứng minh với số nguyên dương n ta có: -1 2n C12n + C32n + C52n + + C2n 2n = C2n + C2n + C2n + + C2n BÀI GIẢI (CĐSP TPHCM 1999) k k+2 k +1 C14 + C14 = 2C14 (0 ≤ k ≤ 12, k Ỵ N) 14! 14! 14! Û + =2 k!(14 - k)! (k + 2)!(12 - k)! (k + 1)!(13 - k)! 1 Û + =2 (14 - k)(13 - k) (k + 1)(k + 2) (k + 1)(13 - k) Û (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k) Û k2 – 12k + 32 = Û k = hoaëc k = Vậy: k = k = (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999) 1 10 10 C10 + C110 + + C10 + C10 - C10 = 386 10 - C10 = 2 2 (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999) ( C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 - 14x Giải phương trình: C1x + 6Cx2 + 6C3x = 9x2 – 14x 19 19 Chứng minh rằng: C120 + C320 + C520 + + C17 20 + C20 = 44 (CĐ khối AD 2003) Chứng minh rằng: P1 + 2P2 + 3P3 + …+ nPn = Pn+1 – 45 (CĐ Giao thông II 2003) Chứng minh với số nguyên dương n ≥ 2, ta có: n-1 ổ 2n - Cn0C1n Cnn Ê ỗ ữ è n-1 ø 46 (CĐ Giao thông III 2003) Tính tổng: ) (x Ỵ N, x ≥ 3) S = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + + (-1)n-1nCnn 1 n Cn + Cn + + Cn n+1 biết n số nguyên dương thoả điều kiện: Tính toång: 10 S = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 = 43 (CÑ Sư phạm Bến Tre khối A 2002) T = Cn0 + Cnn + Cnn-1 + Cnn- = 79 47 (CĐ Tài kế toán IV 2003) (n > 2) 34 Tuyển tập Đại số tổ hợp Chứng minh rằng: + C02Ckn- Trần Só Tùng + C12Cnk 12 + C22Cnk 22 = Cnk Tìm k Ỵ {0; 1; 2; …; 2005} cho (với n, k Ỵ Z ;n ≥ k + 2) 48 (CĐ Tài kế toán IV 2003 dự bị) An3 + 2Cn2 = 16n 51 (CĐ Nông Lâm 2003) Tìm hệ số lớn đa thức khai triển nhị thức Newton của: 15 ổ1 ỗ + xữ ố3 ø 52 (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003) Hãy khai triển nhị thức Newton (1 – x)2n, với n số nguyên dương Từ chứng minh rằng: -1 2n 1C12n + 3C32n + + (2n - 1)C2n 2n = 2C2n + 4C2n + + 2nC2n 53 (ĐH khối A 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1 + x2(1 – x)]8 54 (ĐH khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Newton cuỷa: ổ3 ỗ x+4 ữ xứ ố +1 C12n+1 - 2.2C22n+1 + 3.22 C32n+1 - 4.23 C42n+1 + + (2n + 1).22n C2n 2n+1 = 2005 56 (ĐH khối D 2005) An4+1 + 3An3 (n + 1)! 57 (ĐH khối A 2005 dự bị 2) Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 – 3x)2n, n số nguyên dương thoả mãn: 58 (ĐH khối D 2005 dự bị 1) n ỉ 7ử n 20 ỗ + x ÷ , biết rằng: C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 = - èx ø 61 (ĐH khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4) Biết số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm kỴ{1,2,…, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn 62 (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006) ì x x ïïCy : Cy+ = Giải hệ phương trình: í ïCx : Ax = y ïỵ y 24 63 (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006) 1 Tìm số tự nhiên n cho: - n = n n C4 C5 C6 64 (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006) Tính toång S = 1.Cn0 A11 + 2.C1n A12 + 3.Cn2 A13 + + (n + 1).Cnn A1n+1 65 (CÑ Sư phạm TPHCM khối BT 2006) Khai triển biểu thức (1 – 2x)n ta đa thức có dạng: a + a x + a x2 + … + a n xn Tìm hệ số x5, biết a0 + a1 + a2 = 71 66 (CĐ Điện lực TPHCM 2006) n 1ư ỉ Tìm số hạng khoõng chửựa x khai trieồn nhũ thửực ỗ x2 + ÷ , biết x ø è biết Cn2+1 + 2Cn2+ + 2Cn2+ + Cn2+ = 149 +1 C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + + C2n 2n+1 60 (ĐH khối A 2006) Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton Biết rằng: Cn0 + C1n + Cn2 = 211 với x > 55 (ĐH khối A 2005) Tìm số nguyên dương n cho: Tính giá trị biểu thức: M = đạt giá trị lớn Tìm số nguyên n > thoả mãn đẳng thức: 2Pn + An2 - Pn An2 = 12 49 (CĐ Công nghiệp HN 2003) Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)2003 Khai triển đa thức dạng: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a2003x2003 Tính tổng S = a0 + a1 + a2 + … + a2003 50 (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003) Tuyển tập Đại số tổ hợp Ck2005 59 (ĐH khối D 2005 dự bị 2) Giải bất phương trình: (n!)3 Cnn Cn2n Cn3n £ 720 Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: 35 Trần Só Tùng = 1024 rằng: C1n + Cn3 = 13n (n số tự nhiên lớn 2, x số thực khác 0) 67 (CĐ Kinh tế TPHCM 2006) Tìm n Ỵ N cho: C04n+ + C24n+ + C44n+ + + C2n 4n+ = 256 68 (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006) 40 Tuyển tập Đại số tổ hợp Thật vaäy, A22 + A32 + A24 + + Ak2 Trần Só Tùng + Ak2+1 = k -1 k -1 + = + k k (k 1)k + Ak +1 (k - 1) + k = (k + 1)k k +1 1 1 n-1 , "n ≥ Vaäy: + + + + = n A2 A3 A4 An = 37 Trần Só Tùng Xét đa thức p(x) = (1 – x) Khai triển theo công thức Newton ta được: p(x) = (1 – x)n = Suy ra: – p¢(x) = n(1 – x)n–1 = + C1n + Cn2 + + Cnn = 2n C02n - C12nx + C22nx2 - C32nx3 Cho x = ta được: = i= Ci2000 xi 2n + + C2n 2n x Trong (1) cho x = ta +1 Thật vậy, cần chứng tỏ: Ck2001 < Ck2001 (1) với "k = 0, 1, 2, …, 999 Ta có: (1) Û å Ci2000 = 22000 Đạo hàm vế (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)1999 = 2000 å i.Ci2000xi-1 i=1 Cho x = ta được: å i.Ci2000 = 2000.21999 = 1000.22000 i=1 Do đó: S = 2000 å i= Ci2000 + 2000 å i.Ci2000 +1 1001 Þ Ck2001 + Ck2001 £ C1000 2001 + C2001 (đẳng thức Û k = 1000) = 1001.22000 i=1 17 (HV Kỹ thuật quân 2000) P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12 23 k ak = C12 2k ; ak < ak+1 Û k < 2001! 2001! < k!(2001- k)! (k + 1)!(2000 - k)! Û (k + 1) < 2001 – k Û 2k < 2000 Û k < 1000 k = 0, 1, 2, …, 999 ék = 1000 Vì vậy: Ck2001 £ C1000 ) 2001 ,"k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức Û ê ëk = 1001 ék = 999 +1 vaø: Ck2001 £ C1001 ) 2001 , "k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức Û ê ëk = 1000 i= 2000 Vậy: S = (ĐHQG HN khối A 2000) Ta chứng tỏ: 2000 1999 1000 1001 C02001 = C2001 2001 < C2001 = C2001 < C2001 = C2001 < < C2001 = C2001 (1) 2000 å (-1)k-1.kCkn = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + + (-1)n-1.nCnn = S Cho x = Þ đpcm 16 (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000) å n k =1 Cn0 2000 n å (-1)k -1.kCkn.xk -1 k =1 (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2 x2 + + Cnnxn Coù (x + 1)2000 = n å (-1)k Ckn xk k =0 11.10 12.11.10 13.12.11.10 14.13.12.11.10 = + 10 + + + + 24 120 = 3003 15 (ĐH Y Dược TPHCM 2000) = (n > 2) n = + C110 + C11 + C12 + C13 + C14 (1 – x) Vậy: x = (ĐH Bách khoa HN 1999) S = C1n - 2Cn2 + 3Cn3 - 4Cn4 + + (-1)n-1.nCnn 9 9 a9 = + C10 + C11 + C12 + C13 + C14 2n Tuyển tập Đại số tổ hợp Û x + 3x – 3x + x – 3x + 2x = 9x – 14x é x = (loaïi) Û x(x – 9x + 14) = Û êê x = (loại) êë x = (nhận) 14 (ĐH Thuỷ lợi II 2000) Cho x = Þ (ĐHQG HN khối B 2000) Số hạng tổng quát khai triển là: k C17 ( ) ( ) 17-k x 3 k x4 k = C17 17 34 12 k - x4 ( ) (k Ỵ N, ≤ k ≤ 17) 38 Tuyển tập Đại số tổ hợp Để số hạng không chứa x Trần Só Tùng 17 34 k=0 Þk=8 12 * Ta có: I = (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000) ìx Ỵ N ï £ 2x ìx Ỵ N ï Điều kiện: í Ûí £ x ỵx ³ ï ïỵ3 £ x Ta coù: *I= 2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤ Û x2 ≤ x2 – 3x + 12 Û x ≤ Kết hợp điều kiện, ta được: x (ĐHSP HN khối A 2000) 12 28 ổ 15 ỗ ữ * Ta coự: x x + x ỗ ữ ố ứ k ổ 4ử k ỗ 3ữ C12 x n(n - 1) = 79 12-k Vậy số hạng cần tìm là: C12 = 792 (ĐHSP HN khối BD 2000) n Ta coù: (x + 1) = n å k =0 Ckn x2k (1) Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn phương trình: x12 = x2k Þ k = Trong (1) cho x = n å Ckn = 2n k =0 Từ giả thiết Þ n å Ckn = 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10 k =0 Vậy hệ số cần tìm là: C10 = 210 10 (ĐHSP TPHCM khối DE 2000) = 2n+1 - n+1 +C1nx + + Cnnxn )dx ổ x2 xn+1 = ỗ Cn0 x + C1n + + Cnn ữ ỗ n + 1÷ø è 1 n Cn + Cn + + Cn = S n+1 2n+1 - n+1 11 (ÑH Kinh tế quốc dân khối A 2000) Ta có: (1 + x)n = Cn0 + C1nx + Cn2 x2 + Cn3 x3 + Cn4 x4 + + Cnnxn Lấy đạo hàm hai vế: n(1 + x)n–1 = C1n + 2Cn2 x + 3Cn3 x + 4Cn4 x3 + + nCnnxn-1 48 112 12 ỉ - 28 kk 15 15 ỗ ữ x = C12 x =ồ ỗ ữ ỗ ữ k =0 k = è ø è ø 48 112 Số hạng không phụ thuoäc x Û k= Û k = 15 12 ị (1+ x)n+1 n+1 Vậy: S = = 3, x = ìn = 12 Û í ỵn = -13 (loại) n ị (1+ x) dx = Tuyển tập Đại số tổ hợp 1 (Cn0 = Cn0 + x(x - 1)(x - 2) + 10 x 1.2.3 * Xác định n: Cnn + Cnn-1 + Cnn- = 79 Û + n + 1 A2x - A2x £ C3x + 10 x Û Vậy số hạng cần tìm số hạng thứ khai triển C17 39 Trần Só Tùng Thay x = n 3n-1 2n-1 , ta được: = C1n + 2Cn2 2-1 + 3Cn3 2-2 + 4Cn4 2-3 + + nCnn 2-n+1 Þ 2n-1C1n + 2n-1Cn2 + 3.2n-3 Cn3 + 4.2n- Cn4 + + nCnn = n.3n-1 12 (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000) 1ử ổ ỗx + ữ x ố ứ 40 31 Hệ số x 40 = ỉ 1ư Ck40xk ỗố x2 ữứ k =0 laứ Ck40 40-k = 40 å Ck40x3k -80 k =0 với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 Û k = 37 Vậy: hệ số x31 C37 40 = C40 = 40.39.38 = 40.13.19 = 9880 1.2.3 13 (ĐH Thuỷ lợi 2000) Chứng minh phương pháp qui nạp 1 * Với n = 2, đpcm Û = Û A22 = A2 * Giả sử BĐT cần chứng minh với n = k (k ≥ 2), tức ta có: 1 1 k -1 + + + + = k A2 A3 A4 Ak Ta cần chứng minh BĐT với n = k + ... khối ABE 2000) Số số có chữ số a1a2a3a4a5a6 9.105 số Với số có chữ số a1a2a3a4a5a6 ta lập số có chữ số 20 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng · Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0: Có cách... số có chữ số a1a2a3a4a5 với tổng chữ số số lẻ Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có chữ số, số có chữ số lại sinh số có chữ số có tổng chữ số số lẻ, nên có tất 9000.5 = 45000 số có chữ số mà tổng... số Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn (HV Ngân hàng TPHCM 1999) Gọi 11111 số a Vậy ta cần số a, 2, 3, 4, Do số có chữ số có chữ số đứng liền là: 5! = 120 số 16 Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng