Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” Feb|2011 Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0 1 B B ổ ổ t t r r ợ ợ k k i i ế ế n n t t h h ứ ứ c c , , c c h h ủ ủ đ đ ề ề : : B B Ấ Ấ T T Đ Đ Ẳ Ẳ N N G G T T H H Ứ Ứ C C I. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Dùng định nghĩa: Để chứng minh BĐT AB < ta chứng minh BĐT tương đương 0 AB -< Tóm lại: 0 ABAB <Û-< Ví dụ: Chứng minh rằng nếu 2 số a, b thỏa điều kiện ab>0 thì 2 ab ba +³ 2. Dùng phép biến đổi tương đương Để chứng minh BĐT 11 AB < ta có thể dùng phép biến đổi tương đương: 112233 nn ABABABAB <Û<Û<ÛÛ< Trong đó BĐT thức sau cùng nn AB < đúng, thì BĐT 11 AB < được chứng minh. Ví dụ: Cho ,,0 acbcc >>> chứng minh BĐT ()() caccbcab -+-£ 3. Phương pháp phản chứng Xem lại cách chứng minh bằng phương pháp phản chứng (đã gửi lần trước) Ví dụ: Chứng minh rằng với ,,, abcd là các số không âm thì: ()() acbdabcd ++³+ 4. Phương pháp quy nạp toán học (sẽ học năm lớp 11) BÀI TẬP 1. Chứng minh các BĐT sau: a) 2 4 1 , 12 a a a £" + b) Nếu 0,0,0 abab +³¹¹ thì 22 11 ab baab +³+ c) 111 2 abc bccaababc æö ++³+- ç÷ èø với mọi a,b,c dương. d) 222 33 abcabc ++++ £ với a,b,c là các số không âm. 5. Sử dụng tính chất của tỉ số Cho a, b, c là các số dương. Khi đó, ta có các tính chất sau: · Nếu 1 a b < thì aac bbc + < + · Nếu 1 a b > thì aac bbc + > + · Nếu ac bd £ thì aacc bbdd + ££ + 6. Sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai Thuật ngữ: B ất Đẳng Thức Trong tiếng Anh là inequality ɔ Bổ trợ kiến thức Toán 10CB “Tài liệu tặng miễn phí cho học sinh” Feb|2011 Biên soạn: gv Đặng Trung Hiếu – www.gvhieu.wordpress.com – 0939239628 – Phiên bản 1.0 2 II. SỬ DỤNG MỘT SỐ BĐT THÔNG DỤNG 1. Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) BĐT Cauchy chỉ áp dụng cho những số không âm. Cho hai số: 2 ab ab + ³ dấu “=” xảy ra khi a=b Cho ba số: 3 3 abc abc ++ ³ dấu “=” xảy ra khi a=b=c Tổng quá cho n số: 12 12 n n n aaa aaa n +++ ³ dấu “=” xảy ra khi 12 n aaa === Ví dụ: Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng: 111 ()9 abc abc æö ++++³ ç÷ èø 2. Bất đẳng thức Bunhiacopski: Bất đẳng thức Bunhiacopski có thể áp dụng cho mọi số thực. Cho 2 cặp số tùy ý 1122 ,;, abab : 22222 11221212 ()()() ababaabb +£++ Dấu “=” xảy ra khi 12 12 aa bb = Cho 3 cặp số tùy ý 112233 ,;,;, ababab : 2222222 112233123123 ()()() abababaaabbb ++£++++ Dấu “=” xảy ra khi 3 12 123 a aa bbb == Tổng quát cho n cặp số tùy ý 1122 ,;,; ;, nn ababab : 2222222 11221212 ( )( )( ) nnnn abababaaabbb +++£++++++ Dấu “=’ xảy ra khi 12 12 n n a aa bbb === Ví dụ: Cho 2 số a, b thỏa mãn 3a+4b=7. Chứng minh rằng: 22 347 ab +³ BÀI TẬP 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 4 1 ab ab ab +³ + với a, b là hai số dương b) 11 abbaab -+-£ với 1,1 ab ³³ c) 111 1164 a abc æöæöæö +++³ ç÷ç÷ç÷ èøèøèø với a,b,c là các số dương thỏa a+b+c=1 d) 333222 abcabcbaccab ++³++ với a,b,c là các số dương. 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (12) Axx =- với 1 0 2 x ££ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 3 2 Bx x =+ - với 2 x > 4. Với 03,01 xy ££££ hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: (3)(1)(47) Cxyxy = + . Phiên bản 1.0 2 II. SỬ DỤNG MỘT SỐ BĐT THÔNG DỤNG 1. Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) BĐT Cauchy chỉ áp dụng cho những số không âm. Cho hai số: 2 ab ab + ³ dấu “=” xảy ra khi a=b Cho ba số: . trước) Ví dụ: Chứng minh rằng với ,,, abcd là các số không âm thì: ()() acbdabcd ++³+ 4. Phương pháp quy nạp toán học (sẽ học năm lớp 11) BÀI TẬP 1. Chứng minh các BĐT sau: a) 2 4 1 , 12 a a a £" + . với mọi a,b,c dương. d) 222 33 abcabc ++++ £ với a,b,c là các số không âm. 5. Sử dụng tính chất của tỉ số Cho a, b, c là các số dương. Khi đó, ta có các tính chất sau: · Nếu 1 a b <