nhìn bài toán dưới quan điểm cực trị

I HC S PHM H NI GV: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952 1 NHèN BI TON DI QUAN IM CC TR TQT I - Lý thuyết Giả sử f(x) là hàm số thực xách định trên miền M. Khi đó: 1. Nếu f(x) có giá trị nhỏ nhất trên M thì: Nguyên lí 1: f(x) c với mọi x M khi và chỉ khi cxf Mx )( min . Nguyên lí 2: Bất phơng trình f(x) c có nghiệm thuộc M khi và chỉ khi cxf Mx )( min . 2. Nếu f(x) có giá trị lớn nhất trên M thì : Nguyên lí 3: f(x) c với mọi x M khi và chỉ khi cxf Mx )( max . Nguyên lí 4: Bất phơng trình f(x) c có nghiệm thuộc M khi và chỉ khi )( max xf Mx c 3. Nếu f(x) có đồng thời giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M, thì phơng trình f(x) = m có nghiệm khi và chỉ khi )( max )( min xfmxf Mx Mx Sau đây tôi xin giới thiệu một vài ứng dụng của 4 nguyên lí cực trị trên để giải quyết một số bài toán. II- ng dụng. 1.ng dng trong phng trỡnh v bt phng trỡnh. a) Xột tam thức bậc hai f(x)= ax 2 + bx + c ( a 0) di quan im cc tr: Ta có f(x) = a acb a b xa 4 4 2 2 2 + af(x) = 42 2 2 + a b xa af(x) - 4 . ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 2 Tõ ®ã ta nhËn thÊy: +) a > 0 , minf(x) = - a 4 ∆ , maxf(x) = + ∞ . +) a < 0 , maxf(x) = - a 4 ∆ , minf(x) = - ∞ . +) f(x) ≥ 0 ∀ x ⇔    ≤∆ > ⇔      ≥ ∆ −= > 0 0 0 4 )(min 0 a a xf a +)Phương trình f(x)=0 có nghiệm khi VÝ dô 1: §Ó chøng minh ax 2 + bx + c ≥ 0 , Rx ∈ ∀ ta chøng minh    ≤∆ > 0 0a CMR: 322242 44)2(2 xyxxyyxyx ≥++++ , yx, ∀ Gi¶i §pcm ⇔ x 2 (y 2 +1) 2 + 4y(1-y 2 )x + 4y 2 ≥ 0 §Æt f(x) = (y 2 +1) 2 x 2 + 4y(1 - y 2 )x + 4y 2 Ta cã ∆ ’ = 4y 2 (1 - y 2 ) 2 – 4y 2 (y 2 + 1) 2 = -16y 2 ≤ 0 ∀ y. Suy ra    >+ ≤∆ 0)1( 0' 22 y ⇒ f(x) ≥ 0 ∀ x,y (®pcm). I HC S PHM H NI GV: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952 3 VD2: Từ a.f(x) 0 x suy ra 0 . Chứng minh bất đẳng thức Bunhiacốpki === n i i n i i n i ii baba 1 2 1 2 2 1 (1) Gii +) Nếu = 0 2 i a thì BĐT đợc chứng minh. +) Nếu 0 2 i a thì (1) 0 1 2 1 2 2 1 === n i i n i i n i ii baba Đặt f(x) = )( 2 i a x 2 2( ii ba )X + 2 i b = = n i iiii bXbaXa 1 2 2 2 )2( = = n i ii bXa 1 2 0)( , X . Ta có : = 0 0)( 2 i aa xaf ' = 0 1 2 1 2 2 1 === n i i n i i n i ii baba Đpcm. VD3: Cho x,y,z là nghiệm của hệ phơng trình =++ =++ 4 8 222 xzyzxy zyx CMR: 3 8 ,, 3 8 zyx Giải Ta có += =+ )(4 8 222 yxzxy zyx )(28)(2)(8 222 yxzyxxyyxz +++=+= 16)(2)( 22 =++++ zyxzyx 4 = + + zyx I HC S PHM H NI GV: Trn Quang Thun 0912.676.613 091.5657.952 4 +) x+y+z = 4 hay x + y = -z + 4 Thay vào phơng trình dới ta suy ra xy= (z -2) 2 . Vậy x, y là nghiệm của phơng trình X 2 - (4 - z)X + (z - 2) 2 = 0. Ta có 0)2(4)4( 22 = zz 3 8 00)38( zzz (1) +) Với x+y+z = -4 hay x+y = -z 4 Thay vào phơng trình sau ta suy ra xy = (z + 2) 2 . Vậy x,y là nghiệm của phơng trình: X 2 (4 + z)X + (z + 2) 2 = 0 0)2(4)4( 22 ++= zz 0)83( + xz 0 3 8 z (2) Kết hợp (1) và (2) ta đợc 3 8 3 8 z . Vì vai trò của x, y, z là nh nhau nên ta cũng có 3 8 ,, 3 8 zyx Bài tập tham khảo 1) CMR: 19x 2 +54y 2 + 16z 2 16xz - 24yz + 36xy 0 zyx ,, 2) Cho a,b,c thoả mãn điều kiện a+d = b+c. CMR: nếu lấy m sao cho mbcad 2 thì (x - a)(x- b)(x - c)(x - d) + m 2 0 x . 3) Cho ax + by xy , yx, dơng. CMR: ab 4 1 . 4) Cho các số a i , b i > 0 (i = 1,2,n) thoả mãn: M a b m i i <0 , i . CMR: a) iii baMmmMab )( 2 2 ++ b) ( ) mM Mm ba ba n i ii n i i n i i 4 2 2 1 1 2 1 2 + = == ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 5 b) Tính chất của hàm số nhìn theo quan điểm cực trị như thế nào Giải Ta biết rằng hàm này được quy về Khi đó ta thấy ngay min f(x)= c - và max f(x)= c+ Từ đó ta ta suy ra: i) f(x) ≥ 0 với mọi x khi và chỉ khi min f(x) = c và do đó c ii) f(x) 0 với mọi x khi và chỉ khi min f(x) = c+ và do đó c iii) Phương trình f(x)=0 có nghiệm khi và chỉ khi c- . điều này tương đương với ,hay iv) Bất phương trình f(x) 0 có nghiệm khi và chỉ khi mìn f(x) = c - hay c v) Bất phương trình f (x) ≥ 0 có nghiệm khi và chỉ khi maxf(x) = c+ hay c vi) f(x)đồng nhất khi và chỉ khi f(x)=maxf(x)=0 tương đương c - c+ ,hay a=b=c=0. Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số y= trong khoảng [- ] Vì nên ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 6 thuộc miền giá trị của hàm số : = (1) (1) có nghiệm Suy ra . BÀI TẬP THAM KHẢO 1) Cho hàm số với x . Tìm a để min y=2. 2) Cho hàm số . Tùy theo m tìm min, max của hàm số. 3) Xách định m để . 4) Xách định a để với mọi x thì : . c) Bài toán biện luận số nghiệm và tính có nghiệm của một phương trình và bất phương trình luôn là một bài toán quan trọng, sử dụng cực trị để giải bài toán này là một công cụ hết sức hiệu quả. Trong phần này tôi xin giới thiệu một số bài toán áp dụng tính chất 3 để giải quyết tương đối dễ dàng. Ví dụ 1: Xác định m để phương trình sau có nghiệm: x ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 7 Giải TXĐ : Xét hàm số f’(x) = f’(x)= 0 +2x = 0 Ta có bảng biến thiên : x f’(x) - 0 + f(x) Vậy phương trình f(x) = m có nghiệm Ví dụ 2:Giải phương trình sau: Giải xét hàm số f(x) = f’(x)= n = n trong thì n sinxcosx > 0 ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 8 f’(x) = ) x 0 f’(x) + 0 - f(x) Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất Xét phương trình xác định trên miền M. Nếu thì phương trình tương đương với phương trình sau : Xét ví dụ Giải phương trình Giải Phương trình đã cho tương đương với Ta có Suy ra Do đó ta có : (1) Vậy nghiệm của phương trình là Chú ý Từ cách giải trên bằng cách tương tự giải bài toán tổng quát sau: Với m, n nguyên lớn hơn 2 , giải phương trình sau: ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 9 Khi đó ta thấy nó tương đương với hệ sau: Có 4 khả năng sau xảy ra: 1.Nếu m=2k ,n=2l (tức m,n cùng chẵn) 2. Nếu m = 2k, n = 2l +1 (m chẵn ,n lẻ) 3.Nếu m ,n cùng lẻ 4.Nếu m lẻ ,n chẵn : ݔ = ݐߨ ; ݔ= . BÀI TẬP THAM KHẢO 1) Giải phương trình 2) Giải phương trình 3) Giải phương trình . ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 10 2. Bất đẳng thức nhìn dưới quan điểm cực trị: Chứng minh 1 bất đẳng thức đại số nhìn dưới quan điểm cực trị là tìm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số : min f(x) (max f(x) ) rồi chứng minh min f(x) .trong việc khảo sát hàm số,cực trị của hàm số là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất mà hàm số đạt được trong lân cận đủ nhỏ. VD1 Cho > 0. Ta có thể chứng minh một cách rất dễ dàng bất đẳng thức sau: +…+ Giải 0 Trên trục hoành và trục tung ta đặt liên tiếp các đoạn thẳng sau: khi đó ta thấy ,theo Pitago thì: ; Như vậy VT là tổng của những đường gấp khúc từ O tới . [...]... 13 GV: Tr n Quang Thu n 0912.676.613 – 091.5657.952 I H C SƯ PH M HÀ N I BÀI T P THAM KH O 1.CMR 2.CMR 3.V i 3) ng d ng vào các bài toán c c tr hình h c Trong toán h c gi i tích, nguyên lí c c tr “hàm nh n giá tr th c và liên t c trên t p compact luôn có giá tr l n nh t và giá tr nh nh t trên ó” Dùng nguyên lí này ta có th d dàng ch ng minh s t n t i c c tr c a bài toán hình h c Xét bài toán : Trong... M HÀ N I BÀI T P THAM KH O 1) Cho hàm s y = a) Xác b) Tìm a nh a v i -2 giá tr l n nh t c a hàm s t giá tr nh nh t giá tr nh nh t c a hàm s b ng 29 2) Tìm giá tr nh nh c a hàm s sau: y = K T LU N Các bài toán sơ c p là r t a d ng và phong phú i v i m t s d ng bài toán, n u nhìn dư i quan i m c c tr có th ưa l i cho ta nh ng cách gi i r t c áo Mong ư c ti p t c trao i v i b n c 19 GV: Tr n Quang Thu... v i A > B > C ; g i d = OI CMR: cosA < < cosC 3) Cho tam giác ABC CMR 4) Các bài toán liên quan n d ng f(x) + gi i các lo i bài toán này, thông thư ng ta ph i phá d u tr tuy t i, vì v y c n gi i phương trình g(x) = 0 Mà phương trình này không ph i lúc nào cũng gi i ư c Nhưng ta bi t r ng : V i 2 s th c a, b thì: 17 GV: Tr n Quang Thu n 0912.676.613 – 091.5657.952 I H C SƯ PH M HÀ N I i) min{a,b}= ii)...I H C SƯ PH M HÀ N I VP là dài o n Vì v y hi n nhiên là VP = VT D u ‘=’x y ra khi th ng hàng T c là = Bây gi ta th nhìn bài toán trên theo quan i m c c tr Xét hàm s : = và có t = Ta có Bài toán ư c ch ng minh Nh n xét Ta th y r ng i v i cách này, i u ki n các s : >0 là không c n thi t Như v y ,v i các s thì cách 1 là không th a mãn? Li u kh c ph c như... nguyên lí trên thì luôn t giá tr nh nh t ,l n nh t trên ó T c là luôn t n t i i m I th a mãn yêu c u Bài toán 1 Cho hình vuông có c nh huy n là a không i Cho ư ng th ng d quay xung quanh c nh huy n H i chi u cao tương ng v i c nh huy n là bao nhiêu hi u 2 hình nón sinh ra t giá tr max 14 GV: Tr n Quang Thu n 0912.676.613 – 091.5657.952 I H C SƯ PH M HÀ N I VD1: Cho tam giác ABC vuông ho c tù Ch ng... này gi i các bài toán tìm min, max c a nh ng hàm s có d ng y= f(x) + ơn gi n hơn nhi u so v i vi c phá d u tr tuy t i Ta có: = max{ } = min{ } Ví d : Tìm giá tr nh nh t c a hàm s y = 2cosx + sinx - Gi i t f(x) = 2cosx + sinx + (cosx+ 3sinx -2) = 3cosx + 4sinx -2 g(x) = 2cosx + sinx - (cosx+ 3sinx -2)= cosx – 2sinx +2 D th y r ng min f(x) = -2 min g(x) = 2 - = 2- V y min y = -7 18 GV: Tr n Quang Thu... 2C − B = π ⇒ 2C = π + B 16 GV: Tr n Quang Thu n 0912.676.613 – 091.5657.952 I H C SƯ PH M HÀ N I π   C> ⇒ 2 sin 2C = − sin B  Thay vào (2): bsin2A= -CsinB . – 091.5657.952 10 2. Bất đẳng thức nhìn dưới quan điểm cực trị: Chứng minh 1 bất đẳng thức đại số nhìn dưới quan điểm cực trị là tìm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số : min f(x) (max f(x). bằng 29. 2) Tìm giá trị nhỏ nhấ của hàm số sau: y = KẾT LUẬN Các bài toán sơ cấp là rất đa dạng và phong phú. Đối với một số dạng bài toán, nếu nhìn dưới quan điểm cực trị có thể đưa lại. GV: Trần Quang Thuận 0912.676.613 – 091.5657.952 14 BÀI TẬP THAM KHẢO 1.CMR 2.CMR 3.Với 3) Ứng dụng vào các bài toán cực trị hình học Trong toán học giải tích, nguyên lí cực trị “hàm